2026 年邵阳市初中联考试题卷
九年级数学
温馨提示:
(1)本学科试卷分试题卷和答题卡两部分, 考试时量为 120 分钟, 满分为 120 分;
(2)请你将姓名、 准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上;
(3)请你在答题卡上作答, 答在本试题卷上无效.
一、 单项选择题(本大题共 10 小题, 每小题 3 分, 共 30 分. 在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的. )
1. 下列四个数中, 最小的数是
A. 0 B. -8 C. 113 D. 10
2. 根据公开信息, 2025 年“湘超”联赛自 9 月 7 日开赛至 12 月 27 日决赛结束, 现场观赛
人数累计约 232 万人, 数据 232 万用科学记数法表示为
A. 2. 32×105 B. 23. 2×105 C. 0. 232×107 D. 2. 32×106
3. 下列计算正确的是
A. (x4) 3 = x7 B. x4·x3 = x7 C. x4 +x4 = 2x8 D. x3 ÷x3 = x
4. 某学校举行元旦文艺汇演, 七位评委对某班的节目给出的评分为: 9. 2, 9. 4, 9. 3, 9. 0,
8. 9, 9. 4, 9. 5, 则这组数据的中位数是
A. 9. 0 B. 9. 2 C . 9. 3 D. 9. 4
5. 如图, 在△ABC 中, AB=AC, ∠B= 70°, AD∥BC, 则∠CAD 的度数是
A. 70°
B. 65°
C. 60°
D. 55°
6. 下列图形中, 既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B. C. D.
2x+1>0,
7. 不等式组{ 的解集在数轴上表示正确的是x-3≤0
A. B.
C. D.
2026 年邵阳市初中联考试题卷(九年级数学) 第 1 页(共 6 页)
8. 若 x= 1 是关于 x 的一元二次方程 2x2 -5x+3a= 0 的一个解, 则 a 的值为
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
9. 如图, 在菱形 ABCD 中, 对角线 AC, BD 相交于点 O, AB= 13, BD= 10, 则 AC 的长是
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
10. a如图, 点 A, C 在反比例函数 y = 的图象上, 过点 A 作 x 轴的平行线 AB, 交 y 轴于
x
点 M, 交反比例函数 y= b 的图象于点 B. 过点 C 作 x 轴的平行线 CD, 交 y 轴于点 N,
x
y= b交 的图象于点 D. 若 AB= 6, CD= 3, MN= 3, 则 b-a 的值为
x
A. 15 B. 12 C. 9 D. 6
二、 填空题(本大题共 6 个小题, 每小题 3 分, 共 18 分. )
11. 因式分解: a2 -2026a= .
12. 若 n 为整数, 且 n< 26 13. 如图, AC 与 BD 相交于点 O, ∠1 = ∠2. 若 AB= 3, CD= 6, OA= 2, 则 AC= .
14. 如图, 直线 l1: y = -x+ 3 与直线 l2: y = kx+b 相交于点 P( a, 5), 则关于 x 的方程
-x+3 = kx+b 的解为 .
15. 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠ACB = 90°, AC = 8, AB = 10, 分别
1
以 A, B 为圆心, 大于 AB 的长为半径画弧, 两弧相交于点
2
M, N, 过点 M, N 作直线 MN, 交 AB 于点 D, 连接 CD, 则
S△CDB = .
16. 如图, 二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象关于直线 x = 2 对
称, 有下列四个结论: ①abc<0; ②b2 -4ac>0; ③16a+4b+c>0;
④对于任意实数 k, 都有 ak2 +bk-4a-2b≥0. 其中正确的结论
有 (填序号) .
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三、 解答题( 本大题共 8 个小题, 第 17, 18 题每小题 6 分, 第 19, 20 题每小题 8 分,
第 21, 22 题每小题 10 分, 第 23, 24 题每小题 12 分, 共 72 分. 解答应写出必要的文
字说明、 演算步骤或证明过程. )
17. (6 分)计算: 1- 3 -tan60°+(π-8) 0 .
18. (6 分)先化简, 再求值: ( x + 1 x-1 -+ - ) · 2 , 从 1, 1, 2 中选一个合适的 x 值, 代入x 1 x 1 x +1
求值.
19. (8 分)如图, 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O, AB∥CD, AD∥BC, AB⊥BC.
(1)求证: △ABO≌△CDO;
(2)若 AB= 1, AC= 2, 求△ABO 的周长.
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20. (8 分)某校为了解师生对“校园餐”的满意程度, 随机抽取了部分师生进行调查, 此次
调查共分成四个等级: “非常满意” “满意” “基本满意” “不满意” . 为了解调查情况,
将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
请根据统计图信息, 解答以下问题:
(1)本次调查的师生共有 人, 请将图(1)补充完整;
(2)求“满意”等级对应的圆心角度数;
(3)若该校共有 3000 名师生, 请你估计“非常满意”等级的师生人数.
21. (10 分)芯片是信息技术的核心载体, 近年来, 我国大力推动芯片的自主研发. 某芯
片研发企业欲新增 A, B 两条生产线共同生产同型号芯片, 助力国产芯片升级. 已知
A 生产线一天生产芯片的产量比 B 生产线一天生产芯片的产量多 200 颗, A, B 两条
生产线一天共生产芯片 1000 颗.
(1)求 A, B 两条生产线每天分别生产多少颗芯片
(2)该企业计划用这两条生产线共同生产 18000 颗芯片, 且 A 生产线生产的芯片量不
超过 B 生产线生产的芯片量的 2 倍. 若 A 生产线生产一颗芯片的成本是 30 元, B
生产线生产一颗芯片的成本是 35 元, 请你帮该企业设计出生产成本最低的生产方
案, 并求出最低生产成本.
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22. (10 分)如图, 一位探究爱好者利用无人机测量建筑物 ABCD 的高度. 无人机飞行至
点 P 处, 测得正前方水平方向与建筑物 ABCD 的顶端 A 的仰角为 60°, 继续沿垂直方
向飞行至点 Q 处, 测得该建筑物顶端 A 的仰角为 45°. 已知无人机在点 P 处距离地面
的垂直高度 PN 为 50 米, 且无人机与建筑物 ABCD 的水平距离 PM 为 40 米( 无人机
近似看作一个点), 请根据提供的信息解决下列问题(结果保留整数) .
(1)求建筑物 ABCD 的高度;
(2)若无人机从点 Q 处水平飞行至点 R 处, 此时测得建筑物
ABCD 的顶端 A 的仰角为 37°, 求 QR 的长.
(参考数据: 3 ≈1. 73, 2 ≈1. 41, sin37°≈0. 60, cos37°≈0. 80,
tan37°≈0. 75)
23. (12 1分)如图(1), 在平面直角坐标系中, 抛物线 L1: y = x2 平移后得到抛物线 L ,2 2
L2 与 L1 交于点 A( -2, 2), 且与 y 轴交于点 B(0, 6), 点 C 为 L2 的顶点.
(1)求 L2 的表达式;
(2)连接 CA 并延长交 L1 于点 D, E 为线段 AD 上的动点, 过点 E 作 x 轴的垂线交 x 轴
于点 F, 交 L1 于点 G, 求线段 EG 的最大值;
(3)如图(2), 过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q, 连接 AC, 问: L2 上是否存在一点 P,
使得∠PCA= 2∠CAQ 若存在, 请求出点 P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
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24. (12 分)综合与实践
在几何学中, 旋转是一种基本的图形变换, 它让静态的图形展现出动态的魅力.
一个图形绕固定点旋转, 不仅改变了位置, 更创造出新的视觉形态. 如图(1), 在矩
形 ABCD 中, AB= 1, 将边 AB 绕点 A 逆时针旋转 α(0°<α <180°)得到线段 AE, 过点 E
作 AE 的垂线交直线 BC 于点 F.
(1) BF= 3若 , 求旋转角 α 的大小;
3
(2)若 α= 45°, 如图(2)所示, 求点 E 到 BC 的距离;
(3)若 AD= 5 , 且点 F, E, D 三点共线, 求四边形 ABFE 的面积.
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九年级数学
一、选择题(本大题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 B D B C A C B A B D
10. D 解析:连接 OA,OB,OC,OD,如图所示.
| a | | b |
由题意得 S△AOM =S△CON = ,S2 △BOM
=S△DON = ,2
S =S +S = | a | + | b |所以 △AOB △AOM △BOM ,2 2
S = | a | + | b |同理 △COD ,即 S2 2 △AOB
=S△COD .
所以 AB×OM=CD×ON,
又因为 AB= 6,CD= 3,
所以 6OM= 3ON,即 ON= 2OM.
因为 OM+ON= 3,所以 OM= 1.
1
所以 S△AOB = AB×OM=
1 ×6×1 = 3, | a | + | b |即 = 3.
2 2 2 2
由图象可知,a<0,b>0,
-a
所以 + b = 3,b-a= 6,故选 D.
2 2
二、填空题(本大题有 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分)
11. a(a-2026) 12. 5 13. 6 14. x= -2 15. 12 16. ②④
16. ②④ 解析:因为由图可知,二次函数图象开口向上,所以 a>0.
b
因为对称轴为 x= - = 2,所以 b<0.
2a
因为二次函数图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴,所以 c<0. 所以 abc>0,故①错误;
由图象可知,二次函数 y=ax2 +bx+c 与 x 有两个不同的交点,
所以一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 有两个不相等的实数根,即 Δ= b2 -4ac>0,故②正确;
由图象可知,二次函数 y=ax2 +bx+c 的顶点在第四象限且对称轴为 x= 2,
因为当 x= 0 时,y<0,所以 x= 4 时,y<0,即 y= 16a+4b+c<0,故③错误;
当 x 取任意实数 k 时,y=ak2 +bk+c,当 x= 2 时,y= 4a2 +2b+c,由图象可知,当 x= 2 时,二次
函数 y=ax2 +bx+c 取得最小值,所以 ak2 +bk+c≥4a+2b+c,即 ak2 +bk-4a-2b≥0,故④正
确. 所以正确答案为②④.
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三、解答题(本大题有 8 个小题,共 72 分. 解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过
程. )
17. (6 分)解:原式= 3 -1- 3 +1 ………………………………………………………… 3 分
= 0. ……………………………………………………………………… 6 分
注:每化简对一个得 1 分.
18. (6 ) :( x + 1 x-· 1 2分 解 = x -x+x+1 · x-1x+1 x-1 ) x2 +1 (x+1)(x-1) x2 +1
x2= +1
+ ·
1
x 1 x2 +1
= 1
+ . …………………………………………………… 3 分x 1
因为 x≠±1,故 x= 2, …………………………………………………………………… 4 分
代入求值得原式= 1 . …………………………………………………………………… 6 分
3
19. (8 分)(1)证明:在四边形 ABCD 中,因为 AB∥CD,AD∥BC,
所以四边形 ABCD 是平行四边形. ……………………………………………………… 2 分
所以 OA=OC,OB=OC.
又∠AOB= ∠COD,
所以△ABO≌△CDO. …………………………………………………………………… 4 分
(2)因为 AB⊥BC,所以平行四边形 ABCD 是矩形.
1
所以 AC=BD= 2. 即 OA=OB= AC= 1. ……………………………………………… 7 分
2
所以 AB+OA+OB= 1+1+1 = 3,即△ABO 的周长是 3. ………………………………… 8 分
20. (8 分)解:(1)由题意知,“非常满意”等级的师生人数是 40 人,占比 20%,
40
故 = 200 人,本次调查的师生共有 200 人. …………………………………… 2 分
20%
“基本满意”等级的师生人数= 200-40-80-20 = 60 人,如图所示.
………………… 4 分
(2) 80结合统计图,不难知 ×360° = 144°,所以“满意”等级对应的圆心角度数为 144°.
200
……………………………………………………………………………………… 6 分
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(3)因为 3000× 40 = 600 人,故“非常满意”等级的师生约为 600 人. ……………… 8 分
200
21. (10 分)解:(1)设 A 生产线每天生产 x 颗芯片,B 生产线每天生产 y 颗芯片. ……… 1 分
根据题意得:
{x-y= 200, x= 600,解得x+y= 1000, {y= 400.
答:A 生产线每天生产 600 颗芯片,B 生产线每天生产 400 颗芯片. ………………… 4 分
(2)设 A 生产线共生产 m 颗芯片,则 B 生产线共生产(18000-m)颗芯片,生产成本为 W 元.
根据题意得:m≤2(18000-m),
解得 m≤12000. ………………………………………………………………………… 6 分
因为 W= 30m+35(18000-m)= -5m+630000,-5<0,
所以 W 随 m 的增大而减小,故当 m= 12000 时,W 有最小值, ……………………… 8 分
此时 W= -5×12000+630000 = 570000 元.
答:该企业可以设计 A 生产线共生产 12000 颗芯片,B 生产线共生产 6000 颗芯片,成本最
低,最低生产成本为 570000 元. ……………………………………………………… 10 分
22. (10 分)解:(1)由题意得,在 Rt△APM 中,∠APM= 60°,PM= 40,tan60° = AM,
PM
则 AM= 40 3米, ………………………………………………………………………… 2 分
所以 AB=AM+MB= 40 3 +50≈40×1. 73+50 = 119. 2≈119 米. ……………………… 4 分
(2)延长 RQ 交 AB 于点 H,则四边形 QPMH 是矩形,
所以 QH=PM= 40 米.
由题意知,∠AQH= 45°,
所以△AQH 是等腰直角三角形.
所以 AH= 40 米. …………………………………………… 7 分
在 Rt△ARH 中,∠ARH= 37°,tan37° = AH ,则 RH≈160米.
RH 3
所以 RQ= 160-40≈53. 3-40 = 13. 3≈13 米,
3
即 QR 约为 13 米. ………………………………………… 10 分
23. (12 分) 1解:(1)因为 L2 由 L1:y= x2
1
平移得来,所以设 L2:y= x2 +bx+c.2 2
因为 L2 与 L1 交于点 A( -2,2),且与 y 轴交于点 B(0,6),
ì 1 ×( -2) 2 -2b+c= 2,
得:í 2 ……………………………………………………………… 2 分
c= 6,
b= 3,
故{ ………………………………………………………………………………… 3 分c= 6.
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所以 L2 的表达式为:y=
1 x2 +3x+6. …………………………………………………… 4 分
2
(2)由(1)知,L 12 的表达式为:y= x2 +3x+6,2
1 3 3
所以 y= (x+3) 2 + ,所以点 C 的坐标为 -3, ,………………………………… 5 分
2 2 ( 2 )
ì 3
设直线 CA 的表达式为 y= kx+b,把 C ( -3k+b= ,-3, 3 ,A( -2,2)代入得 22 ) í
-2k+b= 2,
ì
k=
1 ,
得:í 2 所以直线 CA 的表达式为:y=
1 x+3, …………………………………… 6 分
2
b= 3,
易得 D (3, 9 ) ,因为 E 在线段 AD 上,2
G 在 L1 上,EF⊥x 轴,
E ( m, 1 故设 m+3 ) , 1则 G (m, m22 2 ) ,
EG = 1 m+3- 1 m2 = - 1 (m2 -m+ 1 - 1则 +32 2 2 4 4 )
2
= - 1 (m- 1 ) +25,2 2 8
因为-2≤m≤3,所以当 m= 1 时,EG 25有最大值,最大值为 . ……………………… 8 分
2 8
(3)作 L2 的对称轴 MC,则 MC∥AQ,
所以∠MCA= ∠CAQ,
过点 A 作直线 MC 的垂线,交 L2 于点 A′,
因为 L2 的对称轴是直线 x= -3,
所以 A′的坐标为( -4,2) . ……………… 10 分
因为 A,A′关于 MC 对称,所以∠A′CM= ∠MCA,
所以∠A′CA= 2∠CAQ,即 A′满足条件.
当点 P 在对称轴 MC 的右边时,∠PCA<∠CAQ,
故这样的点 P 不存在.
综上所述,点 P 的坐标为( -4,2) . …………………………………………………… 12 分
24. (12 分)解:(1)连接 AF,
因为 AE 由 AB 旋转得来,所以 AE=AB.
因为 EF⊥AE,四边形 ABCD 为矩形,所以∠B= ∠E= 90°.
{AB=AE,在 Rt△ABF 与 Rt△AEF 中, AF=AF,
所以 Rt△ABF≌Rt△AEF(HL),所以∠EAF= ∠BAF. ………………………………… 2 分
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BF= 3
因为 ,AB= 1,在 Rt△ABF BF 3中, tan∠BAF= = ,
3 AB 3
所以∠BAF= 30°,所以∠EAF= ∠BAF= 30°,
所以∠BAE= ∠BAF+∠EAF= 60°,即旋转角 α= 60°. ………………………………… 3 分
(2)过点 E 作 EH⊥BC,交 BC 于点 H,延长 HE,交 AD 于点 L,
如图所示.
因为 AD∥BC,所以∠ALE= 90°.
因为 α= 45° ,四边形 ABCD 是矩形,所以∠EAL= 45°.
由题意得:EA= 1,所以 EL=AE·sin45° = 2 . ………………………………………… 5 分
2
所以 EH= 1- 2 , 2故点 E 到 BC 的距离为 1- . ……………………………………… 6 分
2 2
(3)分两种情况:
①当 0°<α≤90°时,连接 AF,如图所示.
由(1)得 Rt△ABF≌Rt△AEF,所以 BF=EF.
因为 AE⊥DF,点 F,E,D 三点共线,
所以∠AED= 90°. 又 AB= 1,AD= 5 ,
在 Rt△AED 中,DE2 =AD2 -AE2 = 5-1 = 4,所以 DE= 2.
设 BF=EF= x,则 DF= x+2,FC= 5 -x.
在 Rt△DCF 中,FC2 +DC2 =DF2,即( 5 -x) 2 +12 = (x+2) 2,
解得 x= 5 -2,所以 BF= 5 -2.
1
所以 S四边形ABFE =S△ABF+S△AEF = 2× AB×BF= 5 -2. …………………………………… 9 分2
②当 90°<α<180°时,如图所示.
在 Rt△AED 中,DE2 =AD2 -AE2 = 5-1 = 4,所以 DE= 2.
因为四边形 ABCD 是矩形,所以 AD∥BC,∠EDA= ∠F.
ì ∠EDA= ∠F,
在 Rt△AED 与 Rt△DCF 中,í∠E= ∠DCF= 90°,
AE=DC,
所以 Rt△AED≌Rt△DCF(AAS) .
1
所以 S四边形ABFE =S△AED+S△DCF+S矩形ABCD = 2× AE×ED+AB×AD2
= 2× 1 ×1×2+1× 5 = 5 +2.
2
综上所述,四边形 ABFE 的面积为 5 -2 或 5 +2. …………………………………… 12 分
注:解答题有其他解法酌情给分.
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