第15章 轴对称 综合与实践 最短路径问题 课件(共21张PPT) 2025-2026学年人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 第15章 轴对称 综合与实践 最短路径问题 课件(共21张PPT) 2025-2026学年人教版数学八年级上册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-28 00:00:00 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
义务教育教科书 数学 八年级 上册
第15章 轴对称
综合与实践 最短路径问题
1.如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
①
②
③
A
B
复习旧知
结论：线段②（AB）最短。
理由：两点之间，线段最短。
2.如图，点P是直线l 外一点，点P与该 直线l 上各点连接的所有线段中，
哪条最短？为什么？
复习旧知
结论：线段 PC 最短。
理由：垂线段最短。
活动一
牧民饮马问题
任务1 如图，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地，牧民到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
l
A
B
如图，在直线l 上找一点C，使CA+CB的和最小.
已知，如图，点A、B在直线l 的异侧，在l 上求作一点C，使得CA+CB的和最小．
解决问题一
连接AB，线段AB与直线l 交于点C，点C即为所求．
两点之间，线段最短.
作法：
依据：
如图，在直线l 上求作一点C，使CA+CB的和最小．
思考：能否通过轴对称，把左边未知的问题转化为我们右边研究过的问题呢？
l
A
B
A、B在直线l 的同侧
A、B在直线l 的异侧
解决问题二
转化
l
A
B
B'
追问：此题，能否作点A关于直线l 的对称点呢？
C
B'
A
B
抽象成数学模型
如图，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
l
A
B
联想
旧知
解决实际问题
用旧知解决新知
归纳总结
牧民饮
马问题
在l 上另外任取一点C'，连接AC'，BC'，B'C'.
任务2 如何证明任务1中得到的CA+CB的和最小？
需证明：
任务3 你还能举出类似上述数学模型的其他现实问题吗？ 请举例并加以解决.
B'
牧民饮马问题的拓展
实际问题
活动二
任务1 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处，牧民怎样走可使所走的路径最短
A
草地
河
已知直线m、直线n及点A，在直线m上找一点B,在直线n上找一点C，使AB+BC+CA的和最小.
数学问题
A'
A"
B
C
实际问题
任务2 如图，牧马从A地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短？请在图上画出牧马人行走的最短路线.
A
草地
河
已知直线m,n及点A,B，在直线m上找一点P,在直线n上找一点Q，使AP+PQ+QB的和最小.
数学问题
B
B'
A'
P
Q
实际问题
任务3 如图，牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处牧马，再到河边C处饮马，然后回到A处，如何确定A，B，C的位置，使从A处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短
已知△DEF，在EF上找一点A，在DE上找一点B，在DF上找一点C，使AB+BC+CA的和最小.
数学问题
思考1 对于这个实际问题，我们怎样把它抽象成数学问题呢？
草
地
河
生活区
已知△DEF，在EF上找一点A，在DE上找一点B，在DF上找一点C，使AB+BC+CA的和最小.
问题解决
思考3 如图，连接DA1,DA2，
(1)猜想△DA1A2的形状并说明理由？
(2)猜想∠A1DA2与∠EDF的数量关系并说明理由？
A1
A2
思考2 这个问题与任务1中的问题有什么区别？如何把任务3中的问题转化为任务1中的问题？
假设点A的位置是固定的
思考4 当点A位于什么地方时，DA1的长度最小？
A1
A2
因为DA1=DA，
所以当DA⊥EF时，根据垂线段最短，
此时DA最短，
所以DA1最短，所以A1A2最短，即AB+BC+CA最短.
已知△DEF，在EF上找一点A，在DE上找一点B，在DF上找一点C，使AB+BC+CA的和最小.
问题解决
作法：(1)过点D作DA⊥EF；
(2)作点A关于DE的对称点A1,点A关于DF的对称点A2；
(3)连接A1A2，交DE,DF于点B，C.
如图所示,牧民行走的最短路线是A→B→C→A.
A
A1
A2
B
C
任务4 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
活动三
造桥选址问题
任务1 如图，A，B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB最短？
（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
追问：当点N在直线b 的什么位置时，AM+NB最小.
如图，将点A沿垂直于直线a 的方向平移到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交直线b于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
作法：
问题解决
需证明：AM'+M'N'+BN' >AM+MN+NB
思考：如何证明这条路径AMNB最短？
A'N'+BN' >A'B
另任作桥M′ N′，连接A′N′.
MN=M′N′
AM'+BN' >AM+NB
AM'=A′N′
AM＝A′N
两点之间，线段最短
任务2 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
1.如图，直线l 是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l 上的某处修建 一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中 实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是( )
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为 AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧 童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
D
1000
目标检测
原理
线段公理和垂线段最短
最短路径问题
解题方法
造桥选址问题
关键是将固定线段“桥”和同侧点平移
最短路径问题
轴对称知识+线段公理
解题方法
思想
化归思想
课堂小结
下 课
Thanks!
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义务教育教科书 数学 八年级 上册
第15章 轴对称
综合与实践 最短路径问题
1.如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
①
②
③
A
B
复习旧知
结论：线段②（AB）最短。
理由：两点之间，线段最短。
2.如图，点P是直线l 外一点，点P与该 直线l 上各点连接的所有线段中，
哪条最短？为什么？
复习旧知
结论：线段 PC 最短。
理由：垂线段最短。
活动一
牧民饮马问题
任务1 如图，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地，牧民到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
l
A
B
如图，在直线l 上找一点C，使CA+CB的和最小.
已知，如图，点A、B在直线l 的异侧，在l 上求作一点C，使得CA+CB的和最小．
解决问题一
连接AB，线段AB与直线l 交于点C，点C即为所求．
两点之间，线段最短.
作法：
依据：
如图，在直线l 上求作一点C，使CA+CB的和最小．
思考：能否通过轴对称，把左边未知的问题转化为我们右边研究过的问题呢？
l
A
B
A、B在直线l 的同侧
A、B在直线l 的异侧
解决问题二
转化
l
A
B
B'
追问：此题，能否作点A关于直线l 的对称点呢？
C
B'
A
B
抽象成数学模型
如图，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
l
A
B
联想
旧知
解决实际问题
用旧知解决新知
归纳总结
牧民饮
马问题
在l 上另外任取一点C'，连接AC'，BC'，B'C'.
任务2 如何证明任务1中得到的CA+CB的和最小？
需证明：
任务3 你还能举出类似上述数学模型的其他现实问题吗？ 请举例并加以解决.
B'
牧民饮马问题的拓展
实际问题
活动二
任务1 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处，牧民怎样走可使所走的路径最短
A
草地
河
已知直线m、直线n及点A，在直线m上找一点B,在直线n上找一点C，使AB+BC+CA的和最小.
数学问题
A'
A"
B
C
实际问题
任务2 如图，牧马从A地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短？请在图上画出牧马人行走的最短路线.
A
草地
河
已知直线m,n及点A,B，在直线m上找一点P,在直线n上找一点Q，使AP+PQ+QB的和最小.
数学问题
B
B'
A'
P
Q
实际问题
任务3 如图，牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处牧马，再到河边C处饮马，然后回到A处，如何确定A，B，C的位置，使从A处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短
已知△DEF，在EF上找一点A，在DE上找一点B，在DF上找一点C，使AB+BC+CA的和最小.
数学问题
思考1 对于这个实际问题，我们怎样把它抽象成数学问题呢？
草
地
河
生活区
已知△DEF，在EF上找一点A，在DE上找一点B，在DF上找一点C，使AB+BC+CA的和最小.
问题解决
思考3 如图，连接DA1,DA2，
(1)猜想△DA1A2的形状并说明理由？
(2)猜想∠A1DA2与∠EDF的数量关系并说明理由？
A1
A2
思考2 这个问题与任务1中的问题有什么区别？如何把任务3中的问题转化为任务1中的问题？
假设点A的位置是固定的
思考4 当点A位于什么地方时，DA1的长度最小？
A1
A2
因为DA1=DA，
所以当DA⊥EF时，根据垂线段最短，
此时DA最短，
所以DA1最短，所以A1A2最短，即AB+BC+CA最短.
已知△DEF，在EF上找一点A，在DE上找一点B，在DF上找一点C，使AB+BC+CA的和最小.
问题解决
作法：(1)过点D作DA⊥EF；
(2)作点A关于DE的对称点A1,点A关于DF的对称点A2；
(3)连接A1A2，交DE,DF于点B，C.
如图所示,牧民行走的最短路线是A→B→C→A.
A
A1
A2
B
C
任务4 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
活动三
造桥选址问题
任务1 如图，A，B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB最短？
（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
追问：当点N在直线b 的什么位置时，AM+NB最小.
如图，将点A沿垂直于直线a 的方向平移到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交直线b于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
作法：
问题解决
需证明：AM'+M'N'+BN' >AM+MN+NB
思考：如何证明这条路径AMNB最短？
A'N'+BN' >A'B
另任作桥M′ N′，连接A′N′.
MN=M′N′
AM'+BN' >AM+NB
AM'=A′N′
AM＝A′N
两点之间，线段最短
任务2 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
1.如图，直线l 是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l 上的某处修建 一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中 实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是( )
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为 AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧 童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
D
1000
目标检测
原理
线段公理和垂线段最短
最短路径问题
解题方法
造桥选址问题
关键是将固定线段“桥”和同侧点平移
最短路径问题
轴对称知识+线段公理
解题方法
思想
化归思想
课堂小结
下 课
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