16.1 幂的运算 课件(共32张PPT) 2025-2026学年人教版数学八年级上册

(共32张PPT)
义务教育教科书 数学 八年级 上册
第十六章 整式的乘法
16.1　幂的运算
a
n
指数
幂
底数
=a·a····a
n个a
an 表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么
复习回顾
第一课时
同底数幂的乘法
问题 一种电子计算机每秒可进行1亿亿(1016 ) 次运算，它工作103 s 可进行多少次运算？
列式：1016×103
怎样计算1016×103呢？
根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) 105×102 =10( ) ；
(2) a3· a2 = a ( ) ；
(3) 5m × 5n =5( ) （m,n都是正整数）.
猜想: am ·an
=
探究
你能证明吗？
一般地，对于任意底数a 与任意正整数m，n，
7
5
m+n
am · an = am+n (m，n都是正整数).
即同底数幂相乘,
底数　　，指数 　　.
不变
相加
同底数幂的运算性质：
结果：①底数不变 ②指数相加
注意
条件：①乘法 ②底数相同
归纳总结
本章中，若没有特别说明，指数中的字母均为正整数.
例1 计算：
（1）x2 · x5 ;
（2）a · a6;
（3）(-2) × (-2)4 × (-2)3;
（4） xm · x3m+1.
a=a1
典例精析
三个或三个以上同底数幂相乘，也具有这一性质.
(1) x x =x
(2) a a =a
(3) (-2)×(-2) ×(-2) =256
想一想：am+n 可以写成哪两个因式的积？
am+n = am · an
填一填：若xm =3 ，xn =2，那么
xm+n = × = × = ；
思维拓展
能力提升
（1）若xa＝3，xb＝4，xc＝5，求2xa＋b＋c的值．
（2）已知23x＋2＝32，求x 的值；
xm
xn
x3
x2
x5
2.计算：
⑴ 10n·10m+1= ⑵ x7·x5= ；
⑶ m·m7·m9= ； ⑷ -44·44= ；
⑸ 22n·22n+1= ； ⑹ y5·y2·y4·y= ；
⑺ xm·x3m+1= ； ⑻ a4·a2+a·a5= ；
⑼ bm·b3-b3+m= ； (10)(x+y)(x+y)4= .
1.a16可以写成（ ）
A.a8+a6 B.a8·a2 C.a8·a8 D.a4·a4
目标检测
C
x
m
-4
2
y
x
2a
0
(x+y)
3.（1）已知xa=8,xb=9,求xa+b的值；
（2）已知an-3·a2n+1=a10,求n 的值；
（3）3×27×9 = 32x-4,求x 的值；
(1) 72
(2) n=4
(3) x=5
同底数幂的乘法
法则
am·an=am+n (m,n都是正整数）
注意
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数）
直接应用性质
常见变形：(-a)2=a2, (-a)3=-a3
底数相同时
底数不相同时
先变成同底数再应用性质
课堂小结
作业
校本作业:基础性作业
提高性作业
拓展性作业
教科书P101，习题16.1 第1题.
第二课时
幂的乘方与积的乘方
计算：（结果用幂的形式表示）
(1) 102 ·104； (2)32·32 ·32 · 32； (3)(x+y)2 ·(x+y)3.
课前热身
追问: 计算（2）的结果38还有其它的表示形式吗？
(1) 10 (2) 3 (3)(x+y)
(3 ) 、(3 )
探究
根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
归纳与猜想： (m、n都是正整数）
你能证明吗？
6
6
3m
归纳与猜想：(a ) =a
底数______，指数_____.
不变
相乘
即幂的乘方，
(am )n = amn (m，n都是正整数).
幂的乘方性质：
例2 计算：
（1）(103)5 ；
（3）(am)2；
（2）(a4)4；
（4）-(x4)3；
（6） [(﹣x)4]3.
（5） [(x+y)2]3；
典例精析
(1) (10 ) =10
(2) (a ) =a
(3) (a ) =a
(4) -(x ) =-x
(5) [(x+y) ] =(x+y)
(6) [(-x) ] =x
比较同底数幂的乘法与幂的乘方：
运算 种类 公式 法则 中运算 计算结果 底数 指数
同底数幂乘法
幂的乘方
乘法
乘方
不变
不变
指数
相加
指数
相乘
am·an=am+n
(am)n=amn
思
考
想一想：下面这道题该怎么进行计算呢？
幂的乘方:
＝(a6)4
=a24
[(y5)2]2=______=________
[(x5)m]n=______=________
小试身手
(y10)2
y20
(x5m)n
x5mn
思
考
想一想：amn=( )n=（ ）m
am
an
练习：已知am＝2，an＝3，求a2m＋3n 的值.
思
考
填空,下面的运算过程用到哪些运算律 运算结果有什么规律
(1) (ab)2=(ab) (ab)=(a a) (b b)=a( )b ( );
(2) (ab)3= ____________ = ____________ =a( )b( ).
一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
思考： (ab)n=？
探究
你能证明吗？
2
2
(ab) (ab) (ab)
(a a a) (b b b)
3
3
(ab) =a b
即积的乘方,等于把积的每一个因式分别_______，再把所得的幂_______.
(ab)n = anbn （n是正整数）
想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)n =
积的乘方性质
乘方
相乘
anbncn （n为正整数）
例3 计算:
(1) (2a)3； (2) (-5b)3 ； (3) (xy2)2； (4) (-2x3y)4.
方法总结：运用积的乘方性质进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
典例精析
(1) (2a) =8a (2) (-5b) =-125b
(3) (xy ) =x y (4) (-2x y) =16x y
　　
(1) (3cd)3=9c3d 3;
(2) (-3a3)2= -9a6;
(3) (-2x3y)3= -8x6y3;
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
(4) (-ab2)2= a2b4.
即时测评
(1) 不对，改正：(3cd) =27c d
(2) 不对，改正：(-3a ) =9a
(3) 不对，改正：(-2x y) =-8x y
(4) 对
例 用简便方法计算：
(1) 0.25 4×(－4) 4 ； (2)0.125 2025×(－8 2025)．
典例精析
(1) 0.25 ×(-4) =[0.25×(-4)] =(-1) =1
(2) 0.125 ×(-8 )=[0.125×(-8)] =(-1) =-1
三种幂的运算性质逆运用的规律
运算特点 逆用性质 逆用公式(以下m，n都是正整数)
幂的指数为和的形式 同底数幂的乘法 am＋n＝
幂的指数为积的形式 幂的乘方 amn＝
幂的指数相同 积的乘方 anbn＝
am·an
(am)n＝(an)m
(ab)n
2.下列运算正确的是（ ）
A.x·x2=x2 B.(xy)2=xy2 C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4
1.计算(-x2y)2的结果是（　　）
A.x4y2 B.-x4y2 C.x2y2 D.-x2y2
目标检测
3.已知 3x+4y-5=0，求27x·81y的值.
4.练习P101 第1，2，3题.
A
C
27 81 =3 3 =3 ，由 3x+4y-5=0 得 3x+4y=5，故原式 = 3 =243
幂的运算性质
性质
am·an=am+n
(am)n=amn
(ab)n=anbn (m、n都是正整数)
反向运用
am+n=am · an
amn=(am)n
an·bn = (ab)n
可使某些计算简捷
注意
运用积的乘方性质时要注意：公式中的a、b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序）
课堂小结
作业
校本作业:基础性作业
提高性作业
拓展性作业
教科书P101，习题16.1 第2、3题.
下 课
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