湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．（2025高三上·云溪期末）设集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·云溪期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B．3 C．4 D．
3．（2025高三上·云溪期末）已知向量，，若与方向相同，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
4．（2025高三上·云溪期末）若复数满足且，则（ ）
A．5 B． C． D．10
5．（2025高三上·云溪期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．（2025高三上·云溪期末）已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·云溪期末）已知抛物线：的焦点为F，点P是C上的一点，点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高三上·云溪期末）已知函数恰有2个零点，则实数（ ）
A．有最大值，没有最小值 B．有最小值，没有最大值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．（2025高三上·云溪期末）已知正四棱台的体积为，则（ ）
A．正四棱台的高为
B．与平面所成的角为
C．平面与平面夹角的正切值为
D．正四棱台外接球的表面积为
10．（2025高三上·云溪期末）设公比为q的等比数列前n项的积为，则（ ）
A．若，则
B．若，则必有
C．若，，则有最大值
D．若，则数列一定是等差数列
11．（2025高三上·云溪期末）曲线C是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（ ）
A．曲线C关于x轴对称 B．存在点P，使得
C．面积的最大值是1 D．存在点P，使得为钝角
12．（2025高三上·云溪期末）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，，且，，都有，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2025高三上·云溪期末）的展开式中的系数为 （用数字作答）
14．（2025高三上·云溪期末）已知数列中，，，（，），则 ．
15．（2025高三上·云溪期末）已知圆和圆与x轴和直线都相切，两圆相交于M，N两点，其中点M的坐标为，且两圆半径的乘积为5，则k的值为 .
16．（2025高三上·云溪期末）若无穷数列满足，则称数列为数列. 若数列为递增数列，则 ；若数列满足，且，则 .
四、解答题（共5小题，共70分）
17．（2025高三上·云溪期末）已知函数在处的切线为.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间与最大值.
18．（2025高三上·云溪期末）某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位参赛者从以下两种方式中选择一种参赛：
①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即获得“智慧星”称号；
②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，甲选择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分别为，乙选择第二种方式，他能正确回答每一个问题的概率均为．两种方式下各个问题能否正确回答均互不影响，两人彼此之间也互不影响．
（1）求甲没有获得“智慧星”称号的概率；
（2）求乙获得“智慧星”称号的概率．
（3）记事件“乙正确回答问题的个数比甲正确回答问题的个数多3个”，求事件发生的概率．
19．（2025高三上·云溪期末）已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点.
（1）求E的方程；
（2）已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值.
20．（2025高三上·云溪期末）直线经过抛物线的焦点，且与交于两点（点在轴上方)，点（，且）在轴上，直线，分别与交于点，，记直线与轴交点的横坐标为.
（1）若直线垂直于轴，求直线的方程.
（2）证明：.
21．（2025高三上·云溪期末）数列满足对任意的正整数都成立，则称为数列.
（1）设是等差数列，是正项等比数列，记，证明：数列是数列；
（2）若为数列，且，求证：；
（3）若正项数列的前项和为，求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，
则，故阴影部分表示.
故答案为：C.
【分析】由图可知：阴影部分表示集合的并集去掉交集，结合集合并集、交集的概念计算即可.
2．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
因为，所以，解得，即，
则.
故答案为：A.
【分析】根据向量垂直的坐标表示求出的值，即可得向量的坐标，再根据向量模的坐标表示求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
由题意可知：，则，解得，
当时，，，，与方向相同，符合题意；
当时，，，，与方向相反，不合题意，
故.
故答案为：C.
【分析】由题意可知，根据向量平行的坐标表示求得的值，再根据与方向相同验证即可.
4．【答案】B
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：设，则，
所以，则，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】设，利用复数求模公式和已知条件，从而得出，再结合复数运算法则和已知条件可得复数，计算出复数，结合复数模长定义公式，从而得出的值.
5．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一类：甲单独参加某项比赛，先安排甲，由于甲不能参加跳远，则甲的安排方法有种，
再将余下人，安排到与下的三个项目，由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，则满足条件的报名方法有，即甲单独参加某项比赛的报名方法有种；
第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法，再安排余下三人，有种方法，则甲不单独参加某项比赛的报名方法有种，
故满足条件的不同的报名方法共有种方法.
故答案为：C.
【分析】由题意，分甲单独参加某项比赛和甲不单独参加某项比赛讨论，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求解即可.
6．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数的图象开口向上，对称轴为，
且的单调性相同，若函数是上的单调函数，
则函数在上单调递增，即，解得，
故实数a的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数性质可知函数在上单调递增，再根据分段函数单调性，结合分界点处函数值的大小列式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线：的焦点为，准线方程为，
过点作的准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义知：，因为，
所以，
当且仅当M，P，三点共线时取得最小值，
故周长的最小值是.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点和准线方程，过点P作C的准线的垂线，垂足为，根据抛物线定义及三角形的性质可得，据此求周长最小值即可.
8．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，
若，则，此时在时无零点，则需在时有2个零点，
令，则或，
所以、且，解得且，则且符合要求；
当时，令，则，
所以在时有1个零点，则需在时有1个零点，
令，则或，
由，则，则需满足，解得，
则当时，符合要求，
综上所述，，
则实数有最大值，没有最小值.
故答案为：A.
【分析】 分及进行讨论，即可得分别在及时的零点个数， 从而可得实数的取值范围，进而得出实数a的最值，则选出正确的选项.
9．【答案】A,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：取上、下底面中心分别为，连接，如图所示：
A、设正四棱台的高为，则，
解得，故A正确；
B、易知平面，在直角梯形中，，
取中点，连接，有平面，故为与平面所成的角，
由于，故，因此与平面所成的角为，
平面平面，则与平面所成的角为，故B错误；
C、过作，由于平面，平面，，
平面，故平面，
平面，故，则是平面与平面所成的夹角，
因此，故C正确；
D、设外接球的球心为，连接，设，则，
则，解得，， 正四棱台外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】取上、下底面中心分别为，连接，设正四棱台的高为，根据棱台的体积公式求解即可判断A；取中点，连接，根据线面垂直可得为与平面所成的角，是平面与平面所成的夹角，利用三角形的边角关系求解即可判断BC；根据勾股定理，可求解半径，再根据球的表面积公式求解即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，
即，故A错误；
B、若，则，
即，因为等比数列奇数项必同号，所以，故B正确；
C、若，，则等比数列是递减数列，
必存在，使得且，这个时候，故C正确；
D、若，则，，
当时，不满足等于同一个常数，则数列不一定是等差数列，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，根据等比数列的积的性质逐项分析判断即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；曲线与方程；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设曲线C上任意一点，
由题意可得，
A、易知点在曲线C上，而点不在曲线C上，则曲线C不关于x轴对称，故A错误；
B、若存在点P，使 ，则，即以这样的点P存在，故B正确；
C、，P应该在椭圆D：内（含边界），
曲线C与椭圆D有唯一的公共点，此时，，
当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故C正确；
D、取曲线C上点，，在曲线C上再寻找一个特殊点，，
则，即，
两边平方并整理得，解得，
即或，因为，则取点，此时，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】 设曲线C上任意一点， 利用两点间距离公式列式表示出曲线C的方程，取特殊点观察方程的对称性即可判断A；假设结论成立，推理出曲线存在，即可判断B；点P在椭圆上顶点时，满足题意，且面积最大即可判断C；寻找曲线C上的一个特殊点，验证为钝角即可判断D.
12．【答案】B,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，因为，，都有，
所以，则，所以，
又因为，
所以，故A错误；
对于B，则，所以，
因为，
所以，
又因为是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，
所以，，则，
所以，故B正确；
对于C，因为，
所以，则，
所以，故C正确；
对于D，因为，
所以
又因为，所以是周期为的周期函数，
则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件和赋值法，则判断出选项A；利用函数的奇偶性和对称性，从而得出函数的周期，再结合赋值法可判断选项B和选项C；利用函数的周期性结合一个周期内的相应函数值之和，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
13．【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式
【解析】【解答】解：二项式的展开式的通项为，
当时，，
当时，，
则的展开式中含的系数为.
故答案为：.
【分析】写出二项式 展开式的通项，求展开式中和的系数即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，可得，
则数列是以1首项，公差为的等差数列，
即，可得，
则.
故答案为：.
【分析】化简可得数列是以首项为1，公差为2的等差数列，可得等差数列通项公式，根据等差数列的通项公式求即可.
15．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；圆的标准方程
【解析】【解答】解：设圆和圆的半径分别为，，，其中，
则，即a，b是的两个不同的根，
因为，所以，解得，则，
直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，
当时，可得，符合题意；
当时，可得，不符合题意.
故答案为：.
【分析】设圆和圆的半径分别为，，，根据圆的标准方程，将问题转化为一元二次方程有解问题，利用韦达定理求得两圆心所在直线的斜率，再根据正切的二倍角公式求解即可.
16．【答案】；
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由为递增数列，
则，所以，
则，，，，
所以
则，
又因为，所以，则；
由，得数列是单调递增数列，
则数列的偶数项构成单调递增数列，
依题意，可得，或，
由，得，则或，
所以或或或，
由，得，
又因为，所以，则，
所以，当时，则，
下面证明数列中相邻两项不可能同时为非负数：
假设数列中存在同时为非负数，
因为，
若，则，与条件矛盾；
若，则，与条件矛盾，
则假设不存在，即对任意正整数，中至少有一个小于；
由，对成立，
则当时，，，
所以，
则，
所以，
则，，
又因为，
所以数列是，公差为1的等差数列，
则.
故答案为：；.
【分析】利用已知条件结合题中定义和单调递增数列的性质，从而可得，再利用累加法计算得出数列第十项的值；依题意得出数列的偶数项构成单调递增数列，从而可得当时，，再证明相邻两项不可能同时为非负数，从而可得，再根据等差数列的通项公式得出.
17．【答案】（1）解：函数，，
因为函数在点处的切线为，
所以，，
所以，则；
（2）解：由（1）知，
当，当且仅当时取等号，
当，则函数在单调递减，单调递增，
因为，，所以.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的导函数，由条件结合导数的几何意义可得，列方程求即可；
（2）由（1）知，利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性求最值即可.
（1）因为函数在处的切线为，
所以，，
又函数的导函数，
所以，
所以；
（2）由（1）知
当，当且仅当时取等号，
当，
在单调递减，单调递增，
又，，
.
18．【答案】（1）解：设甲获得“智慧星”称号的事件为，
根据独立事件的乘法公式，，，
则甲没有获得“智慧星”称号的概率是；
（2）解：设乙答对的问题数为，易知服从二项分布，，
由题意，乙获得智慧星的概率为；
（3）解：由于乙最多题，甲最多题，当乙比甲多对题时，甲可能答对题，
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
故.
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；二项分布
【解析】【分析】（1）设甲获得“智慧星”称号的事件为，根据独立事件的乘法公式，结合对立事件概率求法即可；
（2）设乙答对的问题数为，易知服从二项分布，，根据二项分布求即可；
（3）由题意可知：甲可能答对个，结合二项分布求解即可.
（1）设甲获得“智慧星”称号的事件为，
根据独立事件的乘法公式，，
于是，
即甲没有获得“智慧星”称号的概率是；
（2）设乙答对的问题数为，则，
由题意，乙获得智慧星的概率为
（3）由于乙最多题，甲最多题，当乙比甲多对题时，甲可能答对题
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
故
19．【答案】（1）解：设双曲线：，
因为 过点，所以，解得，
则双曲线 的方程为；
（2）解：设，，
联立，消元整理可得，，
由韦达定理可得，，
则，
即，解得或.
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设双曲线：，利用待定系数法求解即可；
（2）设，，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合平面向量数量积的坐标表示公式求解即可.
（1）由题意，设E的方程为，又E过点，
所以，解得，
所以E的方程为.
（2）设，，由得，
因为，
所以，，
所以
，
所以，
解得或.
20．【答案】（1）解：抛物线的焦点为，
若直线垂直于轴，则直线，
令，则、，
所以，
则直线，即直线，
则直线，即直线，
联立，解得或，即，
联立，解得或，即，
则直线的方程为.
（2）证明：设直线为，
联立，则，
所以，，
由，得直线，直线，
联立，则，
所以，则，
同理可得，
则，，
所以，
令，则，
因为，所以，
则，
所以，
由，
得，
所以.
【知识点】数列与解析几何的综合；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得直线，联立直线方程与抛物线方程可得点的坐标和点的坐标，结合点的坐标可得点的坐标和点的坐标，再利用两点式得出直线的方程.
（2）设直线为，联立直线方程与抛物线方程，从而得出与交点纵坐标有关韦达定理式，再结合点的坐标，则可表示出点的坐标和点的坐标，利用两点式可得直线的方程，再令可得，最后借助放缩法和裂项相消法求和，从而证出不等式成立.
（1）由抛物线的焦点为，
若直线垂直于轴，则，令，则、，
，则，即，
，即，
联立，解得或，即，
联立，解得或，即，
故直线的方程为；
（2）设直线为，联立，则有，
故，，
由，则，，
联立，则，
故，即，同理可得，
则，，
则，
令，即有，
又，则，
则，
故，由，
故，即得证.
21．【答案】（1）证明：，
因为数列为等差数列，所以，
又因为数列为等比数列，设数列的公比为，
所以，又因为，
所以，所以，
则数列为数列；
（2）证明：由为数列，可得，
设，则，
，
则，
，则，
，则，解得；
（3）证明：
由且，可得，
，
因为，所以，
所以，则.
【知识点】数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列性质，等比数列性质化简，证明，结合新定义证明即可；
（2）由为数列，可得，设，由条件结合数列定义可得，再证明，，由此可证明结论；
（3）先证明，再证明，结合证明结论.
（1）
∵数列为等差数列，
∵数列为等比数列，设数列的公比为，
∴，又
，
∴数列为数列；
（2）由为数列则
设则，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
解得：；
（3）
由且，
∴，
∴
又
，
∴，
∴.
1 / 1湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．（2025高三上·云溪期末）设集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，
则，故阴影部分表示.
故答案为：C.
【分析】由图可知：阴影部分表示集合的并集去掉交集，结合集合并集、交集的概念计算即可.
2．（2025高三上·云溪期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
因为，所以，解得，即，
则.
故答案为：A.
【分析】根据向量垂直的坐标表示求出的值，即可得向量的坐标，再根据向量模的坐标表示求解即可.
3．（2025高三上·云溪期末）已知向量，，若与方向相同，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
由题意可知：，则，解得，
当时，，，，与方向相同，符合题意；
当时，，，，与方向相反，不合题意，
故.
故答案为：C.
【分析】由题意可知，根据向量平行的坐标表示求得的值，再根据与方向相同验证即可.
4．（2025高三上·云溪期末）若复数满足且，则（ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】B
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：设，则，
所以，则，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】设，利用复数求模公式和已知条件，从而得出，再结合复数运算法则和已知条件可得复数，计算出复数，结合复数模长定义公式，从而得出的值.
5．（2025高三上·云溪期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一类：甲单独参加某项比赛，先安排甲，由于甲不能参加跳远，则甲的安排方法有种，
再将余下人，安排到与下的三个项目，由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，则满足条件的报名方法有，即甲单独参加某项比赛的报名方法有种；
第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法，再安排余下三人，有种方法，则甲不单独参加某项比赛的报名方法有种，
故满足条件的不同的报名方法共有种方法.
故答案为：C.
【分析】由题意，分甲单独参加某项比赛和甲不单独参加某项比赛讨论，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求解即可.
6．（2025高三上·云溪期末）已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数的图象开口向上，对称轴为，
且的单调性相同，若函数是上的单调函数，
则函数在上单调递增，即，解得，
故实数a的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数性质可知函数在上单调递增，再根据分段函数单调性，结合分界点处函数值的大小列式求解即可.
7．（2025高三上·云溪期末）已知抛物线：的焦点为F，点P是C上的一点，点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线：的焦点为，准线方程为，
过点作的准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义知：，因为，
所以，
当且仅当M，P，三点共线时取得最小值，
故周长的最小值是.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点和准线方程，过点P作C的准线的垂线，垂足为，根据抛物线定义及三角形的性质可得，据此求周长最小值即可.
8．（2025高三上·云溪期末）已知函数恰有2个零点，则实数（ ）
A．有最大值，没有最小值 B．有最小值，没有最大值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，
若，则，此时在时无零点，则需在时有2个零点，
令，则或，
所以、且，解得且，则且符合要求；
当时，令，则，
所以在时有1个零点，则需在时有1个零点，
令，则或，
由，则，则需满足，解得，
则当时，符合要求，
综上所述，，
则实数有最大值，没有最小值.
故答案为：A.
【分析】 分及进行讨论，即可得分别在及时的零点个数， 从而可得实数的取值范围，进而得出实数a的最值，则选出正确的选项.
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．（2025高三上·云溪期末）已知正四棱台的体积为，则（ ）
A．正四棱台的高为
B．与平面所成的角为
C．平面与平面夹角的正切值为
D．正四棱台外接球的表面积为
【答案】A,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：取上、下底面中心分别为，连接，如图所示：
A、设正四棱台的高为，则，
解得，故A正确；
B、易知平面，在直角梯形中，，
取中点，连接，有平面，故为与平面所成的角，
由于，故，因此与平面所成的角为，
平面平面，则与平面所成的角为，故B错误；
C、过作，由于平面，平面，，
平面，故平面，
平面，故，则是平面与平面所成的夹角，
因此，故C正确；
D、设外接球的球心为，连接，设，则，
则，解得，， 正四棱台外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】取上、下底面中心分别为，连接，设正四棱台的高为，根据棱台的体积公式求解即可判断A；取中点，连接，根据线面垂直可得为与平面所成的角，是平面与平面所成的夹角，利用三角形的边角关系求解即可判断BC；根据勾股定理，可求解半径，再根据球的表面积公式求解即可判断D.
10．（2025高三上·云溪期末）设公比为q的等比数列前n项的积为，则（ ）
A．若，则
B．若，则必有
C．若，，则有最大值
D．若，则数列一定是等差数列
【答案】B,C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，
即，故A错误；
B、若，则，
即，因为等比数列奇数项必同号，所以，故B正确；
C、若，，则等比数列是递减数列，
必存在，使得且，这个时候，故C正确；
D、若，则，，
当时，不满足等于同一个常数，则数列不一定是等差数列，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，根据等比数列的积的性质逐项分析判断即可.
11．（2025高三上·云溪期末）曲线C是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（ ）
A．曲线C关于x轴对称 B．存在点P，使得
C．面积的最大值是1 D．存在点P，使得为钝角
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；曲线与方程；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设曲线C上任意一点，
由题意可得，
A、易知点在曲线C上，而点不在曲线C上，则曲线C不关于x轴对称，故A错误；
B、若存在点P，使 ，则，即以这样的点P存在，故B正确；
C、，P应该在椭圆D：内（含边界），
曲线C与椭圆D有唯一的公共点，此时，，
当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故C正确；
D、取曲线C上点，，在曲线C上再寻找一个特殊点，，
则，即，
两边平方并整理得，解得，
即或，因为，则取点，此时，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】 设曲线C上任意一点， 利用两点间距离公式列式表示出曲线C的方程，取特殊点观察方程的对称性即可判断A；假设结论成立，推理出曲线存在，即可判断B；点P在椭圆上顶点时，满足题意，且面积最大即可判断C；寻找曲线C上的一个特殊点，验证为钝角即可判断D.
12．（2025高三上·云溪期末）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，，且，，都有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，因为，，都有，
所以，则，所以，
又因为，
所以，故A错误；
对于B，则，所以，
因为，
所以，
又因为是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，
所以，，则，
所以，故B正确；
对于C，因为，
所以，则，
所以，故C正确；
对于D，因为，
所以
又因为，所以是周期为的周期函数，
则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件和赋值法，则判断出选项A；利用函数的奇偶性和对称性，从而得出函数的周期，再结合赋值法可判断选项B和选项C；利用函数的周期性结合一个周期内的相应函数值之和，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2025高三上·云溪期末）的展开式中的系数为 （用数字作答）
【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式
【解析】【解答】解：二项式的展开式的通项为，
当时，，
当时，，
则的展开式中含的系数为.
故答案为：.
【分析】写出二项式 展开式的通项，求展开式中和的系数即可得到答案.
14．（2025高三上·云溪期末）已知数列中，，，（，），则 ．
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，可得，
则数列是以1首项，公差为的等差数列，
即，可得，
则.
故答案为：.
【分析】化简可得数列是以首项为1，公差为2的等差数列，可得等差数列通项公式，根据等差数列的通项公式求即可.
15．（2025高三上·云溪期末）已知圆和圆与x轴和直线都相切，两圆相交于M，N两点，其中点M的坐标为，且两圆半径的乘积为5，则k的值为 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；圆的标准方程
【解析】【解答】解：设圆和圆的半径分别为，，，其中，
则，即a，b是的两个不同的根，
因为，所以，解得，则，
直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，
当时，可得，符合题意；
当时，可得，不符合题意.
故答案为：.
【分析】设圆和圆的半径分别为，，，根据圆的标准方程，将问题转化为一元二次方程有解问题，利用韦达定理求得两圆心所在直线的斜率，再根据正切的二倍角公式求解即可.
16．（2025高三上·云溪期末）若无穷数列满足，则称数列为数列. 若数列为递增数列，则 ；若数列满足，且，则 .
【答案】；
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由为递增数列，
则，所以，
则，，，，
所以
则，
又因为，所以，则；
由，得数列是单调递增数列，
则数列的偶数项构成单调递增数列，
依题意，可得，或，
由，得，则或，
所以或或或，
由，得，
又因为，所以，则，
所以，当时，则，
下面证明数列中相邻两项不可能同时为非负数：
假设数列中存在同时为非负数，
因为，
若，则，与条件矛盾；
若，则，与条件矛盾，
则假设不存在，即对任意正整数，中至少有一个小于；
由，对成立，
则当时，，，
所以，
则，
所以，
则，，
又因为，
所以数列是，公差为1的等差数列，
则.
故答案为：；.
【分析】利用已知条件结合题中定义和单调递增数列的性质，从而可得，再利用累加法计算得出数列第十项的值；依题意得出数列的偶数项构成单调递增数列，从而可得当时，，再证明相邻两项不可能同时为非负数，从而可得，再根据等差数列的通项公式得出.
四、解答题（共5小题，共70分）
17．（2025高三上·云溪期末）已知函数在处的切线为.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间与最大值.
【答案】（1）解：函数，，
因为函数在点处的切线为，
所以，，
所以，则；
（2）解：由（1）知，
当，当且仅当时取等号，
当，则函数在单调递减，单调递增，
因为，，所以.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的导函数，由条件结合导数的几何意义可得，列方程求即可；
（2）由（1）知，利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性求最值即可.
（1）因为函数在处的切线为，
所以，，
又函数的导函数，
所以，
所以；
（2）由（1）知
当，当且仅当时取等号，
当，
在单调递减，单调递增，
又，，
.
18．（2025高三上·云溪期末）某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位参赛者从以下两种方式中选择一种参赛：
①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即获得“智慧星”称号；
②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，甲选择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分别为，乙选择第二种方式，他能正确回答每一个问题的概率均为．两种方式下各个问题能否正确回答均互不影响，两人彼此之间也互不影响．
（1）求甲没有获得“智慧星”称号的概率；
（2）求乙获得“智慧星”称号的概率．
（3）记事件“乙正确回答问题的个数比甲正确回答问题的个数多3个”，求事件发生的概率．
【答案】（1）解：设甲获得“智慧星”称号的事件为，
根据独立事件的乘法公式，，，
则甲没有获得“智慧星”称号的概率是；
（2）解：设乙答对的问题数为，易知服从二项分布，，
由题意，乙获得智慧星的概率为；
（3）解：由于乙最多题，甲最多题，当乙比甲多对题时，甲可能答对题，
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
故.
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；二项分布
【解析】【分析】（1）设甲获得“智慧星”称号的事件为，根据独立事件的乘法公式，结合对立事件概率求法即可；
（2）设乙答对的问题数为，易知服从二项分布，，根据二项分布求即可；
（3）由题意可知：甲可能答对个，结合二项分布求解即可.
（1）设甲获得“智慧星”称号的事件为，
根据独立事件的乘法公式，，
于是，
即甲没有获得“智慧星”称号的概率是；
（2）设乙答对的问题数为，则，
由题意，乙获得智慧星的概率为
（3）由于乙最多题，甲最多题，当乙比甲多对题时，甲可能答对题
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
故
19．（2025高三上·云溪期末）已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点.
（1）求E的方程；
（2）已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值.
【答案】（1）解：设双曲线：，
因为 过点，所以，解得，
则双曲线 的方程为；
（2）解：设，，
联立，消元整理可得，，
由韦达定理可得，，
则，
即，解得或.
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设双曲线：，利用待定系数法求解即可；
（2）设，，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合平面向量数量积的坐标表示公式求解即可.
（1）由题意，设E的方程为，又E过点，
所以，解得，
所以E的方程为.
（2）设，，由得，
因为，
所以，，
所以
，
所以，
解得或.
20．（2025高三上·云溪期末）直线经过抛物线的焦点，且与交于两点（点在轴上方)，点（，且）在轴上，直线，分别与交于点，，记直线与轴交点的横坐标为.
（1）若直线垂直于轴，求直线的方程.
（2）证明：.
【答案】（1）解：抛物线的焦点为，
若直线垂直于轴，则直线，
令，则、，
所以，
则直线，即直线，
则直线，即直线，
联立，解得或，即，
联立，解得或，即，
则直线的方程为.
（2）证明：设直线为，
联立，则，
所以，，
由，得直线，直线，
联立，则，
所以，则，
同理可得，
则，，
所以，
令，则，
因为，所以，
则，
所以，
由，
得，
所以.
【知识点】数列与解析几何的综合；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得直线，联立直线方程与抛物线方程可得点的坐标和点的坐标，结合点的坐标可得点的坐标和点的坐标，再利用两点式得出直线的方程.
（2）设直线为，联立直线方程与抛物线方程，从而得出与交点纵坐标有关韦达定理式，再结合点的坐标，则可表示出点的坐标和点的坐标，利用两点式可得直线的方程，再令可得，最后借助放缩法和裂项相消法求和，从而证出不等式成立.
（1）由抛物线的焦点为，
若直线垂直于轴，则，令，则、，
，则，即，
，即，
联立，解得或，即，
联立，解得或，即，
故直线的方程为；
（2）设直线为，联立，则有，
故，，
由，则，，
联立，则，
故，即，同理可得，
则，，
则，
令，即有，
又，则，
则，
故，由，
故，即得证.
21．（2025高三上·云溪期末）数列满足对任意的正整数都成立，则称为数列.
（1）设是等差数列，是正项等比数列，记，证明：数列是数列；
（2）若为数列，且，求证：；
（3）若正项数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）证明：，
因为数列为等差数列，所以，
又因为数列为等比数列，设数列的公比为，
所以，又因为，
所以，所以，
则数列为数列；
（2）证明：由为数列，可得，
设，则，
，
则，
，则，
，则，解得；
（3）证明：
由且，可得，
，
因为，所以，
所以，则.
【知识点】数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列性质，等比数列性质化简，证明，结合新定义证明即可；
（2）由为数列，可得，设，由条件结合数列定义可得，再证明，，由此可证明结论；
（3）先证明，再证明，结合证明结论.
（1）
∵数列为等差数列，
∵数列为等比数列，设数列的公比为，
∴，又
，
∴数列为数列；
（2）由为数列则
设则，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
解得：；
（3）
由且，
∴，
∴
又
，
∴，
∴.
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