山东省德州市2024年中考数学真题
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．（2024·德州）在0，，﹣2，这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C．﹣2 D．
2．（2024·德州）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·德州）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a（a+1）＝a2+1
C．a2 a4＝a6 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
4．（2024·德州）如图所示几何体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·德州）甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如表所示：
甲 9.7 9.7 9.6 9.7 9.7
乙 9.9 9.8 10 9.4 9.3
丙 10 9.8 9.6 9.5 9.5
则三名运动员中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
6．（2024·德州）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．a+b＜0
C．a+2＞b+2 D．|a﹣1|＞|b﹣1|
7．（2024·德州）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．6
8．（2024·德州）把多项式x2﹣3x+4进行配方，结果为（ ）
A．（x﹣3）2﹣5 B．
C． D．
9．（2024·德州）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是某函数图象上的两点，当1＜x2＜x1＜2时，y2﹣y1＜0．该函数的解析式可能是（ ）
A．y＝﹣2x B．
C．y＝x2﹣x﹣1 D．y＝﹣x2﹣2x+1
10．（2024·德州）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（ ）
A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1
11．（2024·德州）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·德州）如图，点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，AB∥CD∥y轴，若AB＝3，CD＝2，AB与CD的距离为5，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．5 D．6
二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
13．（2024·德州）分解因式：x2﹣4= ．
14．（2024·德州）如图，C是AB的中点，且CD=BE，请添加一个条件 ，使得△ACD≌△CBE.
15．（2024·德州）衣橱里挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，则它们取自同一套的概率是 ．
16．（2024·德州）已知a和b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解，则a2+2023a﹣b的值为 ．
17．（2024·德州）观察下列等式：
S1；
S2；
S3；
…
则S10的值为 ．
18．（2024·德州）有一张如图所示的四边形纸片，AB＝AD＝6cm，CB＝CD＝8cm，∠B为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
三、解答题：本大题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2024·德州）
（1）化简：；
（2）解方程组：．
20．（2024·德州）某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图．
册数 四册 五册 六册 七册
人数 6 a 9 7
（1）本次调查的学生人数为 ；
（2）a＝ ；
（3）已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数；
（4）学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为 ．
21．（2024·德州）如图， ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AC＝8，∠DCB＝74°，求菱形ABCD的边长．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22．（2024·德州）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
（1）两种棋的单价分别是多少？
（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
23．（2024·德州）如图，圆⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，点O2在⊙O1上，点C是上的一点，连接AC并延长交⊙O2于点P，连接AB，BC，BP．
（1）求证：∠ACB＝2∠P；
（2）若∠P＝30°，AB．
①求⊙O1的半径；
②求图中阴影部分的面积．
24．（2024·德州）已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数．
（1）如果该抛物线经过点（4，3），求此抛物线的顶点坐标．
（2）如果当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值．
（3）点O（0，0），点A（1，0），如果该抛物线与线OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围．
25．（2024·德州）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE．
（1）如图1，当∠ACD＝15°时，求∠BDE的度数；
（2）如图2，连接BE，当0°＜∠ACD＜90°时，∠ABE的大小是否发生变化？如果不变，求∠ABE的度数；如果变化，请说明理由；
（3）如图3，点M在CD上，且CM：MD＝3：2，以点C为中心，将线CM时针转120°得到线段CN，连接EN，若AC＝4，求线段EN的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：-2＜0＜＜，
∴最小的数是-2.
故答案为：C.
【分析】比较四个有理数的大小，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形，所以A不符合题意；
B：是中心对称图形，所以B符合题意；
C：不是对称图形，所以C不符合题意；
D：是轴对称图形，不符合题意。
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行识别即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：a2+a2＝2a2，所以A不符合题意；
B：a（a+1）＝a2+a，所以B不符合题意；
C：a2 a4＝a6 ，所以C符合题意；
D： （a﹣1）2＝a2-2a+1，所以D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项法则可得出A不正确；根据单项式乘多项式法则可得出B不正确；根据同底数幂的乘法可得出C正确；根据完全平方公式可得出D不正确。从而得出答案。
4．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，可得选项C的图形。
故答案为：C.
【分析】从左面看，可得选项C的图形，即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：甲的成绩在9.6和9.7之间波动；乙的成绩在9.3和10之间波动，丙的成绩在9.5和10之间波动，
∴S甲＜S丙＜S乙 ∴ 三名运动员中成绩最稳定的是 ：甲
故答案为：A.
【分析】根据三组数据波动性的大小，可得出S甲＜S丙＜S乙，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】不等式的性质；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A：由数轴知：，所以，所以A不正确；
B：因为a＜0，b＞0，且，所以a+b＞0，所以B不正确；
C：因为a＜b，所以a+2＜b+2，所以C不正确；
D：因为1＜b＜2，所以，因为-1＜a＜0，所以-2＜a-1＜-1，所以，所以 |a﹣1|＞|b﹣1|，所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据a，与原点之间的距离可得出A不正确；根据有理数加法法则，可得出B不正确；根据不等式的基本性质可得出C不正确；根据数轴上两点之间的距离可得出D正确，即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵S==2BC=12，
∴BC=6，
∵AE是中线，
∴BE=.
故答案为：B.
【分析】根据三角形面积计算公式可得出BC=6，再根据中线的定义，可得出BE=.
8．【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2﹣3x+4 =x2﹣3x+（）2-（）2+4=（x-）2+
故答案为：B.
【分析】根据配方法，可得出x2﹣3x+4=x2﹣3x+（）2-（）2+4=（x-）2+，即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y2﹣y1＜0．
∴y2＜y1 即 当1＜x2＜x1＜2时，y2＜y1
∴当1＜x2＜x1＜2时，y随x的增大而增大；
A：在y＝﹣2x 中，y随x的增大而减小，所以A不符合题意；
B：在中，y随x的增大而减小，所以B不符合题意；
C：在y＝x2﹣x﹣1 中，对称轴为x=，在对称轴右侧，即x＞时，y随x的增大而增大；即C符合题意；
D：在 y＝﹣x2﹣2x+1 中，对称轴为x=-1，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，所以D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】首先根据题意可得出当1＜x2＜x1＜2时，y随x的增大而增大；然后再根据函数的性质逐项进行判断，即可得出答案。
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；相似三角形的性质-对应边；等积变换；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点B作BG∥AC，交AE的延长线于点G，
∵AB：BC＝3：4，
∴设AB=3a，则BC=4a，
根据勾股定理可得：AC=5a，
∴S△ABC =，
∴BD=a，
∵ ∠ABC＝90°，
∴AD=，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵BG∥AC，
∴∠G=∠CAE，
∴∠G=∠BAE，
∴BG=AB=3a，
又由BG∥AC，可得出，
∴
故答案为：A.
【分析】过点B作BG∥AC，交AE的延长线于点G，首先根据AB：BC＝3：4， 可设AB=3a，则BC=4a，进而根据勾股定理可得出AC=5a，再由面积法得出BD=a，进一步根据勾股定理得出AD=，进而再根据角平分线的定义和平行线的性质得出BG=AB=3a，再根据，即可得出，即可得出答案。
11．【答案】B
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：A： OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠BOM，
又∵PO=PM，
∴∠AOM=∠PMO，
∴∠PMO=∠BOM，
∴PMIIOB.
故A不符合题意.
B：如图所示，
∵OP=OM，
∴∠OPM=∠OMP.
又∵PN平分∠APM，
∴∠APN =∠MPN.
据此无法得到判定PN//OB的条件.
故B符合题意，
C：如图所示，
OP =ON=PM=MN，
∴四边形OPMN是菱形，
∴PMIIOB.
故C不符合题意.
D：如图所示，
根据作图步骤可知，
这里作了一个角(∠APM)等于已知角(∠O)，
∵∠APM=∠O，
∴PMIIOB.
故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得出∠PMO=∠BOM，进而根据平行线的判定可得出A不符合题意；根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得出∠APN =∠MPN.不能判定两直线平行，可得出B符合题意；根据菱形的判定，可得出PMIIOB，故而C不符合题意；根据作图可知∠APM=∠O，可得出PMIIOB，即可得出D不符合题意，即可得出答案。
12．【答案】D
【知识点】点的坐标；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，设 CD 与×轴交于点E，AB与×轴交于点 F，C(m，)，则D(m，)，OE=-m.
∴-=2，可得出
∴b-a=2m
∴a-b=2OE，
同理可得a-b=3OF，
∴20E =30F.
又∵OE + OF =5，
∴OE=3，OF=2，
∴a-b=6.
故答案为：D.
【分析】如图，设 CD 与×轴交于点E，AB与×轴交于点 F，C(m，)，则D(m，)，OE=-m，进而a-b=2OE，同理a-b=3OF，即可得出20E =30F.再结合OE + OF =5，即可得出OE=3，OF=2，进而得出a-b=6.
13．【答案】（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
14．【答案】AD=CE
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵ C是AB的中点
∴AC=CB
在与中，
∴
故答案为：AD=CE
【分析】添加条件AD=CE，利用SSS判定可以证明 △ACD≌△CBE ，此题答案不唯一。
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：令3件上衣分别为A，B，C，对应的裤子分别为a，
b， c画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，
所以取自同一套的概率为：.
故答案为：.
【分析】令3件上衣分别为A，B，C，对应的裤子分别为a，b， c，然后画树状图进行分析，可得出共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
16．【答案】2028
【知识点】整式的加减运算；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a是方程x2+2024x﹣4＝0的解，
∴a2+2024a-4=0，
∴a2+2024a=4①
∵a和b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解，
∴a+b=-2024②，
①-②，得：a2+2024a-a-b=4-（-2024），
∴a2+2023a-b=2028.
故答案为：a2+2023a-b=2028.
【分析】首先根据方程的解的意义得出a2+2024a=4①，再根据根与系数的关系可得出a+b=-2024②，进而①-②，即可得出答案。
17．【答案】10
【知识点】二次根式的加减法；探索数与式的规律；有理数的加法运算律；用代数式表示数值变化规律；归纳与类比
【解析】【解答】解：∵S1；
S2；
S3；
…
∴Sn=+......+
∴S10=+......+==1+=10+=10+1-=10+1-
=10.
故答案为：10。
【分析】首先根据已有的式子找出规律，可得出Sn=+......+，进而得出S10=+......+，进一步利用拆项法进行计算，即可得出答案。
18．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-作三角形的内切圆；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接AC，作∠ABC的平分线，交 AC于点O，作OH⊥BC于点H.
在三角形ABC 和三角形ADC中，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴ABC≌ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD
∴AC平分∠BAD，CA平分∠BCD.
∵OB平分∠ABC，
∴点O到四边形ABCD的各边的距离相等，
∴圆O是四边形ABCD的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为OH
∵∠ABC = 90°，
∴∠OBH=∠ABC=45°，
所以三角形BOH为等腰直角三角形，
∴OH = BH.设OH = r cm，则BH=r cm，CH = BC- BH =(8-r)cm.
∵∠ABC=90°，OH⊥BC
∴OH//AB，
∴COHCAB，
∴
即：，
∴r=
即圆O的半径为cm，
所以圆形纸片的半径为 cm。
故答案为：.
【分析】如图，连接AC，作∠ABC的平分线，交 AC于点O，作OH⊥BC于点H.首先根据SSS判定ABC≌ADC，可得出∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD.即可得出点O到四边形ABCD的各边的距离相等，所以圆O是四边形ABCD的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为OH，设OH = r cm，则BH=r cm，CH = BC- BH =(8-r)cm.进而根据COHCAB，可得出，即，解得r=，即圆形纸片的半径为 cm。
19．【答案】（1）解：
＝1
＝1
（2）解：，
①×2﹣②得，﹣4y＝﹣8，
解得y＝2；
把y＝2代入①得，x﹣1＝2，
解得x＝3，
故方程组的解为
【知识点】分式的混合运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算法则进行分式的混合运算即可；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可。
20．【答案】（1）36
（2）14
（3）解：该校本学期度四册课外书的学生人数为：
1800300（人）；
（4）6人
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图；众数
【解析】【解答】解：（1） 本次调查的学生人数为 ：9÷25%＝36（人），
参与调查的学生人数为36人。
故答案为：36人；
（2）a＝36﹣6﹣9﹣7＝14；
故答案为：14；
（4）补查前读课外书册数最多的是五册，
∴补查前读课外书的册数的众数为5，
∵补查的几人读课外书的册数恰好相同，且补查后读课外书册数的众数变成了另一个数，
∴补查的人数最少为：14﹣9+1＝6（人）．
故答案为：6人。
【分析】（1）由统计表和扇形统计图可知：读六册数的人数为9人，占本次调查人数的25%，即可得出本次调查的学生人数为：9÷25%＝36（人）；
（2）从本次调查人数中减去其它数据，即可得出a的值；
（3）用样本读四册数的人数所占的比例估计总体，即可得出该校本学期度四册课外书的学生人数为：1800300（人）；
（4）根据补差前的众数为5，出现的次数为14，出现次数与之最接近的的数据是9，即可得出补查的人数最少为14﹣9+1＝6（人）．
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：如图，连接BD交AC于点O，
由（1）可知， ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ACB∠DCB74°＝37°，AC⊥BD，AOAC＝4，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△CBO中，cos∠ACBcos37°≈0.80，
即0.80，
解得：BC≈5，
答：菱形ABCD的边长约为5．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，进而得出AD∥BC，进而可得出 ∠DAC＝∠BCA， 再根据角平分线的概念，即可得出 ∠DAC＝∠BAC， 进一步得出∠BCA＝∠BAC，根据等角对等边可得出AB＝BC，再根据菱形的判定，即可得出结论；
（2）首先根据菱形的性质可得出AC⊥BD，AOAC＝4， ∠AOB＝90°， 进而解Rt△CBO，即可得出BC≈5，即菱形ABCD的边长约为5．
22．【答案】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
23．【答案】（1）证明：连接AO2，BO2，
∵，
∴∠ACB＝∠AO2B＝2∠P；
（2）解：①连接AO1并延长交⊙O11与D，连接BD，
则∠ABD＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠AO2B＝2∠P＝60°，
∴∠D＝∠AO2B＝60°，
∵AB＝2，
∴AD4，
∴⊙O1的半为2；
②连接O2O1交AB于H，
∴AH，O2H⊥AB，
∴HO1AH＝1，AO1＝2，
∴O2H＝3，
在⊙O2中，弓形AB＝扇形AO2B﹣△AO2B2π﹣3，
在⊙O1中，弓形AB＝扇形AO1B﹣△AO1Bπ，
∴图中阴影部分的面积＝2π﹣3（π）π．
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算；解直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接AO2，BO2，首先根据同弧所对的圆周角相等，可得出∠ACB＝∠AO2B，再根据圆周角定理，即可得出∠AO2B＝2∠P，进一步即可得出结论；
（2）① 连接AO1并延长交⊙O11与D，连接BD， 根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠ABD＝90°，再根据圆周角定理可得出∠D＝∠AO2B＝60°，进而解直角三角形可得出AD4，即⊙O1的半为2；
②连接O2O1交AB于H，利用割补法可得出阴影部分的面积可得出⊙O2中弓形AB-⊙O1中弓形AB，即可得出答案。
24．【答案】（1）解：∵抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1经过点（4，3），
∴16﹣16m+2m+1＝3，
解得m＝1，
∴y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴此抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）解：∵y＝x2﹣4mx+2m+1＝（x﹣2m）2﹣4m2+2m+1；
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2m，
∵当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，
∴当x＝2m﹣3时，y＝4，
∴（2m﹣3﹣2m）2﹣4m2+2m+1＝4，
整理得：2m2﹣m﹣3＝0，
∴m或m＝﹣1，
故m的值为或﹣1；
（3）解：∵抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1与线段OA恰有一个交点，
∴或．
∴m＞1或m．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，根据该抛物线经过点（4，3），即可得出抛物线的解析式y＝x2﹣4x+3，把一般式转化成顶点式，即可得出 抛物线的顶点坐标；
（2）把一般式转化成顶点式可得出y＝（x﹣2m）2﹣4m2+2m+1，根据抛物线的性质可得出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2m，根据当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，即可得出（2m﹣3﹣2m）2﹣4m2+2m+1＝4，解方程即可；
（3）根据抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1与线段OA恰有一个交点，可得出或，解不等式组即可得出m＞1或m．
25．【答案】（1）解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+15°＝45°，
∵线段DC顺时针旋转120°得到线DE，
∴∠CDE＝120°，
∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝120°﹣45°＝75°；
（2）解： ∠ABE的度数不变。
如图1，连接CE，
由上知：∠DEC＝∠ABC，
∵∠DOE＝∠BOC，
∴△DOE∽△COB，
∴，
∵∠COD＝∠BOE，
∴△COD∽△BOE，
∴∠ABE＝∠DCE＝30°；
（3）解：如图2，连接CE，
由（2）知，∠DCE＝30°，
∵线CM时针转120°得到线段CN，
∴∠DCN＝120°，CN＝CM，
∴∠ECN＝∠DCN﹣∠DCE＝120°﹣30°＝90°，
设CN＝CM＝3a，DM＝2a，DE＝CD＝5a，
∴CECD＝5，
∴EN4a，
∵点D在AB上，
∴AC≤CD≤AC，
∴2≤5a≤4，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定；旋转的性质；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠A＝∠B，进而可根据三角形外角的性质得出得出∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+15°＝45°，再结合 线段DC顺时针旋转120°得到线DE． 旋转角为120°，即可得出∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝120°﹣45°＝75°；
（2）如图1，连接CE，首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠DEC＝∠ABC，再根据对顶角相等，即可得出△DOE∽△COB，进而得出，结合∠COD＝∠BOE，可得出△COD∽△BOE，进而得出∠ABE＝∠DCE＝30°；
（3）如图2，连接CE，根据CM：MD＝3：2， 可设CN＝CM＝3a，DM＝2a，DE＝CD＝5a，进而可得出CECD＝5，再根据∠ECN＝∠DCN﹣∠DCE＝120°﹣30°＝90°，可得出EN4a，根据点D在AB上，可得出AC≤CD≤AC，从而得出，进而得出．
1 / 1山东省德州市2024年中考数学真题
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．（2024·德州）在0，，﹣2，这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C．﹣2 D．
【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：-2＜0＜＜，
∴最小的数是-2.
故答案为：C.
【分析】比较四个有理数的大小，即可得出答案。
2．（2024·德州）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形，所以A不符合题意；
B：是中心对称图形，所以B符合题意；
C：不是对称图形，所以C不符合题意；
D：是轴对称图形，不符合题意。
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行识别即可得出答案。
3．（2024·德州）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a（a+1）＝a2+1
C．a2 a4＝a6 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：a2+a2＝2a2，所以A不符合题意；
B：a（a+1）＝a2+a，所以B不符合题意；
C：a2 a4＝a6 ，所以C符合题意；
D： （a﹣1）2＝a2-2a+1，所以D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项法则可得出A不正确；根据单项式乘多项式法则可得出B不正确；根据同底数幂的乘法可得出C正确；根据完全平方公式可得出D不正确。从而得出答案。
4．（2024·德州）如图所示几何体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，可得选项C的图形。
故答案为：C.
【分析】从左面看，可得选项C的图形，即可得出答案。
5．（2024·德州）甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如表所示：
甲 9.7 9.7 9.6 9.7 9.7
乙 9.9 9.8 10 9.4 9.3
丙 10 9.8 9.6 9.5 9.5
则三名运动员中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：甲的成绩在9.6和9.7之间波动；乙的成绩在9.3和10之间波动，丙的成绩在9.5和10之间波动，
∴S甲＜S丙＜S乙 ∴ 三名运动员中成绩最稳定的是 ：甲
故答案为：A.
【分析】根据三组数据波动性的大小，可得出S甲＜S丙＜S乙，即可得出答案。
6．（2024·德州）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．a+b＜0
C．a+2＞b+2 D．|a﹣1|＞|b﹣1|
【答案】D
【知识点】不等式的性质；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A：由数轴知：，所以，所以A不正确；
B：因为a＜0，b＞0，且，所以a+b＞0，所以B不正确；
C：因为a＜b，所以a+2＜b+2，所以C不正确；
D：因为1＜b＜2，所以，因为-1＜a＜0，所以-2＜a-1＜-1，所以，所以 |a﹣1|＞|b﹣1|，所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据a，与原点之间的距离可得出A不正确；根据有理数加法法则，可得出B不正确；根据不等式的基本性质可得出C不正确；根据数轴上两点之间的距离可得出D正确，即可得出答案。
7．（2024·德州）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵S==2BC=12，
∴BC=6，
∵AE是中线，
∴BE=.
故答案为：B.
【分析】根据三角形面积计算公式可得出BC=6，再根据中线的定义，可得出BE=.
8．（2024·德州）把多项式x2﹣3x+4进行配方，结果为（ ）
A．（x﹣3）2﹣5 B．
C． D．
【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2﹣3x+4 =x2﹣3x+（）2-（）2+4=（x-）2+
故答案为：B.
【分析】根据配方法，可得出x2﹣3x+4=x2﹣3x+（）2-（）2+4=（x-）2+，即可得出答案。
9．（2024·德州）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是某函数图象上的两点，当1＜x2＜x1＜2时，y2﹣y1＜0．该函数的解析式可能是（ ）
A．y＝﹣2x B．
C．y＝x2﹣x﹣1 D．y＝﹣x2﹣2x+1
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y2﹣y1＜0．
∴y2＜y1 即 当1＜x2＜x1＜2时，y2＜y1
∴当1＜x2＜x1＜2时，y随x的增大而增大；
A：在y＝﹣2x 中，y随x的增大而减小，所以A不符合题意；
B：在中，y随x的增大而减小，所以B不符合题意；
C：在y＝x2﹣x﹣1 中，对称轴为x=，在对称轴右侧，即x＞时，y随x的增大而增大；即C符合题意；
D：在 y＝﹣x2﹣2x+1 中，对称轴为x=-1，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，所以D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】首先根据题意可得出当1＜x2＜x1＜2时，y随x的增大而增大；然后再根据函数的性质逐项进行判断，即可得出答案。
10．（2024·德州）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（ ）
A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；相似三角形的性质-对应边；等积变换；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点B作BG∥AC，交AE的延长线于点G，
∵AB：BC＝3：4，
∴设AB=3a，则BC=4a，
根据勾股定理可得：AC=5a，
∴S△ABC =，
∴BD=a，
∵ ∠ABC＝90°，
∴AD=，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵BG∥AC，
∴∠G=∠CAE，
∴∠G=∠BAE，
∴BG=AB=3a，
又由BG∥AC，可得出，
∴
故答案为：A.
【分析】过点B作BG∥AC，交AE的延长线于点G，首先根据AB：BC＝3：4， 可设AB=3a，则BC=4a，进而根据勾股定理可得出AC=5a，再由面积法得出BD=a，进一步根据勾股定理得出AD=，进而再根据角平分线的定义和平行线的性质得出BG=AB=3a，再根据，即可得出，即可得出答案。
11．（2024·德州）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：A： OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠BOM，
又∵PO=PM，
∴∠AOM=∠PMO，
∴∠PMO=∠BOM，
∴PMIIOB.
故A不符合题意.
B：如图所示，
∵OP=OM，
∴∠OPM=∠OMP.
又∵PN平分∠APM，
∴∠APN =∠MPN.
据此无法得到判定PN//OB的条件.
故B符合题意，
C：如图所示，
OP =ON=PM=MN，
∴四边形OPMN是菱形，
∴PMIIOB.
故C不符合题意.
D：如图所示，
根据作图步骤可知，
这里作了一个角(∠APM)等于已知角(∠O)，
∵∠APM=∠O，
∴PMIIOB.
故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得出∠PMO=∠BOM，进而根据平行线的判定可得出A不符合题意；根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得出∠APN =∠MPN.不能判定两直线平行，可得出B符合题意；根据菱形的判定，可得出PMIIOB，故而C不符合题意；根据作图可知∠APM=∠O，可得出PMIIOB，即可得出D不符合题意，即可得出答案。
12．（2024·德州）如图，点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，AB∥CD∥y轴，若AB＝3，CD＝2，AB与CD的距离为5，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】点的坐标；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，设 CD 与×轴交于点E，AB与×轴交于点 F，C(m，)，则D(m，)，OE=-m.
∴-=2，可得出
∴b-a=2m
∴a-b=2OE，
同理可得a-b=3OF，
∴20E =30F.
又∵OE + OF =5，
∴OE=3，OF=2，
∴a-b=6.
故答案为：D.
【分析】如图，设 CD 与×轴交于点E，AB与×轴交于点 F，C(m，)，则D(m，)，OE=-m，进而a-b=2OE，同理a-b=3OF，即可得出20E =30F.再结合OE + OF =5，即可得出OE=3，OF=2，进而得出a-b=6.
二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
13．（2024·德州）分解因式：x2﹣4= ．
【答案】（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
14．（2024·德州）如图，C是AB的中点，且CD=BE，请添加一个条件 ，使得△ACD≌△CBE.
【答案】AD=CE
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵ C是AB的中点
∴AC=CB
在与中，
∴
故答案为：AD=CE
【分析】添加条件AD=CE，利用SSS判定可以证明 △ACD≌△CBE ，此题答案不唯一。
15．（2024·德州）衣橱里挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，则它们取自同一套的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：令3件上衣分别为A，B，C，对应的裤子分别为a，
b， c画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，
所以取自同一套的概率为：.
故答案为：.
【分析】令3件上衣分别为A，B，C，对应的裤子分别为a，b， c，然后画树状图进行分析，可得出共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
16．（2024·德州）已知a和b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解，则a2+2023a﹣b的值为 ．
【答案】2028
【知识点】整式的加减运算；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a是方程x2+2024x﹣4＝0的解，
∴a2+2024a-4=0，
∴a2+2024a=4①
∵a和b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解，
∴a+b=-2024②，
①-②，得：a2+2024a-a-b=4-（-2024），
∴a2+2023a-b=2028.
故答案为：a2+2023a-b=2028.
【分析】首先根据方程的解的意义得出a2+2024a=4①，再根据根与系数的关系可得出a+b=-2024②，进而①-②，即可得出答案。
17．（2024·德州）观察下列等式：
S1；
S2；
S3；
…
则S10的值为 ．
【答案】10
【知识点】二次根式的加减法；探索数与式的规律；有理数的加法运算律；用代数式表示数值变化规律；归纳与类比
【解析】【解答】解：∵S1；
S2；
S3；
…
∴Sn=+......+
∴S10=+......+==1+=10+=10+1-=10+1-
=10.
故答案为：10。
【分析】首先根据已有的式子找出规律，可得出Sn=+......+，进而得出S10=+......+，进一步利用拆项法进行计算，即可得出答案。
18．（2024·德州）有一张如图所示的四边形纸片，AB＝AD＝6cm，CB＝CD＝8cm，∠B为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-作三角形的内切圆；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接AC，作∠ABC的平分线，交 AC于点O，作OH⊥BC于点H.
在三角形ABC 和三角形ADC中，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴ABC≌ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD
∴AC平分∠BAD，CA平分∠BCD.
∵OB平分∠ABC，
∴点O到四边形ABCD的各边的距离相等，
∴圆O是四边形ABCD的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为OH
∵∠ABC = 90°，
∴∠OBH=∠ABC=45°，
所以三角形BOH为等腰直角三角形，
∴OH = BH.设OH = r cm，则BH=r cm，CH = BC- BH =(8-r)cm.
∵∠ABC=90°，OH⊥BC
∴OH//AB，
∴COHCAB，
∴
即：，
∴r=
即圆O的半径为cm，
所以圆形纸片的半径为 cm。
故答案为：.
【分析】如图，连接AC，作∠ABC的平分线，交 AC于点O，作OH⊥BC于点H.首先根据SSS判定ABC≌ADC，可得出∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD.即可得出点O到四边形ABCD的各边的距离相等，所以圆O是四边形ABCD的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为OH，设OH = r cm，则BH=r cm，CH = BC- BH =(8-r)cm.进而根据COHCAB，可得出，即，解得r=，即圆形纸片的半径为 cm。
三、解答题：本大题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2024·德州）
（1）化简：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）解：
＝1
＝1
（2）解：，
①×2﹣②得，﹣4y＝﹣8，
解得y＝2；
把y＝2代入①得，x﹣1＝2，
解得x＝3，
故方程组的解为
【知识点】分式的混合运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算法则进行分式的混合运算即可；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可。
20．（2024·德州）某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图．
册数 四册 五册 六册 七册
人数 6 a 9 7
（1）本次调查的学生人数为 ；
（2）a＝ ；
（3）已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数；
（4）学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为 ．
【答案】（1）36
（2）14
（3）解：该校本学期度四册课外书的学生人数为：
1800300（人）；
（4）6人
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图；众数
【解析】【解答】解：（1） 本次调查的学生人数为 ：9÷25%＝36（人），
参与调查的学生人数为36人。
故答案为：36人；
（2）a＝36﹣6﹣9﹣7＝14；
故答案为：14；
（4）补查前读课外书册数最多的是五册，
∴补查前读课外书的册数的众数为5，
∵补查的几人读课外书的册数恰好相同，且补查后读课外书册数的众数变成了另一个数，
∴补查的人数最少为：14﹣9+1＝6（人）．
故答案为：6人。
【分析】（1）由统计表和扇形统计图可知：读六册数的人数为9人，占本次调查人数的25%，即可得出本次调查的学生人数为：9÷25%＝36（人）；
（2）从本次调查人数中减去其它数据，即可得出a的值；
（3）用样本读四册数的人数所占的比例估计总体，即可得出该校本学期度四册课外书的学生人数为：1800300（人）；
（4）根据补差前的众数为5，出现的次数为14，出现次数与之最接近的的数据是9，即可得出补查的人数最少为14﹣9+1＝6（人）．
21．（2024·德州）如图， ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AC＝8，∠DCB＝74°，求菱形ABCD的边长．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：如图，连接BD交AC于点O，
由（1）可知， ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ACB∠DCB74°＝37°，AC⊥BD，AOAC＝4，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△CBO中，cos∠ACBcos37°≈0.80，
即0.80，
解得：BC≈5，
答：菱形ABCD的边长约为5．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，进而得出AD∥BC，进而可得出 ∠DAC＝∠BCA， 再根据角平分线的概念，即可得出 ∠DAC＝∠BAC， 进一步得出∠BCA＝∠BAC，根据等角对等边可得出AB＝BC，再根据菱形的判定，即可得出结论；
（2）首先根据菱形的性质可得出AC⊥BD，AOAC＝4， ∠AOB＝90°， 进而解Rt△CBO，即可得出BC≈5，即菱形ABCD的边长约为5．
22．（2024·德州）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
（1）两种棋的单价分别是多少？
（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
【答案】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
23．（2024·德州）如图，圆⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，点O2在⊙O1上，点C是上的一点，连接AC并延长交⊙O2于点P，连接AB，BC，BP．
（1）求证：∠ACB＝2∠P；
（2）若∠P＝30°，AB．
①求⊙O1的半径；
②求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接AO2，BO2，
∵，
∴∠ACB＝∠AO2B＝2∠P；
（2）解：①连接AO1并延长交⊙O11与D，连接BD，
则∠ABD＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠AO2B＝2∠P＝60°，
∴∠D＝∠AO2B＝60°，
∵AB＝2，
∴AD4，
∴⊙O1的半为2；
②连接O2O1交AB于H，
∴AH，O2H⊥AB，
∴HO1AH＝1，AO1＝2，
∴O2H＝3，
在⊙O2中，弓形AB＝扇形AO2B﹣△AO2B2π﹣3，
在⊙O1中，弓形AB＝扇形AO1B﹣△AO1Bπ，
∴图中阴影部分的面积＝2π﹣3（π）π．
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算；解直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接AO2，BO2，首先根据同弧所对的圆周角相等，可得出∠ACB＝∠AO2B，再根据圆周角定理，即可得出∠AO2B＝2∠P，进一步即可得出结论；
（2）① 连接AO1并延长交⊙O11与D，连接BD， 根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠ABD＝90°，再根据圆周角定理可得出∠D＝∠AO2B＝60°，进而解直角三角形可得出AD4，即⊙O1的半为2；
②连接O2O1交AB于H，利用割补法可得出阴影部分的面积可得出⊙O2中弓形AB-⊙O1中弓形AB，即可得出答案。
24．（2024·德州）已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数．
（1）如果该抛物线经过点（4，3），求此抛物线的顶点坐标．
（2）如果当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值．
（3）点O（0，0），点A（1，0），如果该抛物线与线OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1经过点（4，3），
∴16﹣16m+2m+1＝3，
解得m＝1，
∴y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴此抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）解：∵y＝x2﹣4mx+2m+1＝（x﹣2m）2﹣4m2+2m+1；
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2m，
∵当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，
∴当x＝2m﹣3时，y＝4，
∴（2m﹣3﹣2m）2﹣4m2+2m+1＝4，
整理得：2m2﹣m﹣3＝0，
∴m或m＝﹣1，
故m的值为或﹣1；
（3）解：∵抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1与线段OA恰有一个交点，
∴或．
∴m＞1或m．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，根据该抛物线经过点（4，3），即可得出抛物线的解析式y＝x2﹣4x+3，把一般式转化成顶点式，即可得出 抛物线的顶点坐标；
（2）把一般式转化成顶点式可得出y＝（x﹣2m）2﹣4m2+2m+1，根据抛物线的性质可得出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2m，根据当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，即可得出（2m﹣3﹣2m）2﹣4m2+2m+1＝4，解方程即可；
（3）根据抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1与线段OA恰有一个交点，可得出或，解不等式组即可得出m＞1或m．
25．（2024·德州）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE．
（1）如图1，当∠ACD＝15°时，求∠BDE的度数；
（2）如图2，连接BE，当0°＜∠ACD＜90°时，∠ABE的大小是否发生变化？如果不变，求∠ABE的度数；如果变化，请说明理由；
（3）如图3，点M在CD上，且CM：MD＝3：2，以点C为中心，将线CM时针转120°得到线段CN，连接EN，若AC＝4，求线段EN的取值范围．
【答案】（1）解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+15°＝45°，
∵线段DC顺时针旋转120°得到线DE，
∴∠CDE＝120°，
∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝120°﹣45°＝75°；
（2）解： ∠ABE的度数不变。
如图1，连接CE，
由上知：∠DEC＝∠ABC，
∵∠DOE＝∠BOC，
∴△DOE∽△COB，
∴，
∵∠COD＝∠BOE，
∴△COD∽△BOE，
∴∠ABE＝∠DCE＝30°；
（3）解：如图2，连接CE，
由（2）知，∠DCE＝30°，
∵线CM时针转120°得到线段CN，
∴∠DCN＝120°，CN＝CM，
∴∠ECN＝∠DCN﹣∠DCE＝120°﹣30°＝90°，
设CN＝CM＝3a，DM＝2a，DE＝CD＝5a，
∴CECD＝5，
∴EN4a，
∵点D在AB上，
∴AC≤CD≤AC，
∴2≤5a≤4，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定；旋转的性质；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠A＝∠B，进而可根据三角形外角的性质得出得出∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+15°＝45°，再结合 线段DC顺时针旋转120°得到线DE． 旋转角为120°，即可得出∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝120°﹣45°＝75°；
（2）如图1，连接CE，首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠DEC＝∠ABC，再根据对顶角相等，即可得出△DOE∽△COB，进而得出，结合∠COD＝∠BOE，可得出△COD∽△BOE，进而得出∠ABE＝∠DCE＝30°；
（3）如图2，连接CE，根据CM：MD＝3：2， 可设CN＝CM＝3a，DM＝2a，DE＝CD＝5a，进而可得出CECD＝5，再根据∠ECN＝∠DCN﹣∠DCE＝120°﹣30°＝90°，可得出EN4a，根据点D在AB上，可得出AC≤CD≤AC，从而得出，进而得出．
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