2025~2026学年济南市槐荫区八年级数学第一学期期末考试试题以（含答案）

2025～2026 学年度第一学期期末质量检测八年级数学（2026.01）
本试题分试卷和答题卡两部分。第 Ⅰ 卷满分为 40 分；第 Ⅱ 卷满分为 110 分。本试题共 8 页，满分为 150 分。考试时间为 120 分钟。
答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置。考试结束后，将试卷、答题卡一并交回。本考试不允许使用计算器。
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
注意事项：
第 Ⅰ 卷为选择题，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答案写在试卷上无效。
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.下列数学符号中，属于中心对称图形的是( )
2.下列计算中，正确的是( )
A.×= B. =1 C. += D. ÷=4
3.如图，已知BC∥EF，∠A=30 ，若∠ADE=70 ，则∠C的度数为( )
A. 30 B. 40 C. 45 D. 57
4.在平面直角坐标系中，点P( 2,5)到y轴的距离是( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
5.下列命题中，是假命题的是( )
A. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 若a>b，那么 2a> 2b
C. 等腰三角形两底角的平分线相等
D. 有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形
6.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,2)，关于x的不等式kx+b>2的解集为( )
A. x<0 B. x>0 C. x<1 D. x>1
7.如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段CD，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点A( 6,0)、B( 4,3)、D(3,1)，则点C的坐标为( )
A. (1, 3) B. ( 1,3) C. ( 1, 2) D. (1, 2)
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120 ，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN，分别交AB于点E，交BC于点F，则∠AFC的度数为( )
A. 50 B. 60 C. 70 D. 80
9.人工智能的发展使得智能机器人成为时尚。如图，送餐机器人小 A 和小 I 从厨房门口出发，前往450cm的客人处，小 A 比小 I 先出发，小 I 出发一段时间后将速度提高到原来的 2 倍。设小 A 行走的时间为x(s)，小 A 和小 I 行走的路程分别为y1(cm)、y2(cm)，y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是( )
A. 小 A 比小 I 先出发 15 秒
B. 小 I 提速后的速度为30cm/s
C. n=40
D. 从小 A 出发至送餐结束，小 I 和小 A 最远相距150cm
10.如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E为射线CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C落在点C1处，连接AC1，当△AC1D为直角三角形时，CE的长为( )
A. 4+4 B. 4+ C. 4+4或4 D. 4+或4
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
注意事项：
所有答案必须用 0.5 毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等。不按以上要求作答，答案无效。
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填在答题卡的横线上。）
11.=______。
12.如图，数轴上表示的是关于x的不等式组的解集，则该不等式组的整数解有______个。
13.如图是某班学生体重（单位：kg）的箱线图，该班学生体重的下四分位数是______kg。
14.如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，箕面AB与水平地面的夹角∠CAB为62 ，小明将它扶起，将簸箕绕点A顺时针旋转，点B落在点B1处，使其平放在地面，箕面AB绕点A旋转的度数为______度。
15.已知x=，y=，则代数式x2+3xy+y2的值为______。
16.如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，AC=4，BD=6，则AD+BC的最小值是______。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分 6 分）计算：÷ ×+ (2 1)0
18.（本小题满分 6 分）解不等式组：
19.（本小题满分 6 分）如图，∠A=∠B=90 ，点E是线段AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2。求证：Rt△ADE≌Rt△BEC。
20.（本小题满分 8 分）在边长为 1 个单位长度的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1) 作出△ABC向左平移 4 个单位长度后得到的△A1B1C1；
(2) 作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
(3) △A2B2C2可看作是△A1B1C1以点______为旋转中心，旋转180 得到的。
21.（本小题满分 8 分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F。
(1) 求证：AD=AF；
(2) 若∠C=60 ，BD=4，EC=6，求AF的长。
22.（本小题满分 8 分）某校为选拔槐荫区第五届 “勾股数学” 杯初中校际联赛参赛选手，在八年级 (1) 班和 (2) 班开展了数学知识竞赛，现从两班参与竞赛的学生中各随机抽取 10 名同学的成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩分为 A、B、C 三个等级（单位：满分 100 分，90 分及 90 分以上为优秀）：A：70 x<80，B：80 x<90，C：90 x 100。
下面给出了部分信息：
八年级 (1) 班 10 名学生的成绩为：73，75，81，82，84，88，88，93，97，99；
八年级 (2) 班 10 名学生的成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97。
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
学生 平均数 中位数 众数 方差
八 (1) 班 86 a 88 68.2
八 (2) 班 86 85 b 56
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 填空：a= ，b= 。
(2) 学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪个班？
(3) 若八年级两个班共有 90 名学生参赛，请估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数。
23.（本小题满分 10 分）为打造低碳社区，某社区决定购买 A、B 两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统。已知购买 1 盏 A 种路灯和 1 盏 B 种路灯共需 100 元，购买 2 盏 A 种路灯比 1 盏 B 种路灯的费用多 20 元。
(1) 求 A、B 两种路灯的单价；
(2) 该社区计划购买 A、B 两种路灯共 10 盏，且购买总费用不超过 450 元，最多可以购买多少盏 B 种路灯？
24.（本小题满分 10 分）根据信息完成下列各题。
一套简单的密码由三部分组成：明文、密文、密钥，它们之间的关系是利用密钥可以将明文转化为密文。
某校信息兴趣小组，编制了一套密码。如表：x表示明文，y表示密文，且x为非负整数。
x 6 10 13 14
y 13 ？ 0 2
已知当0 x 12时，加密密钥为y=2x+1；当13 x 25时，加密密钥为y=mx+n（m≠2，n≠1，且m≠0）。
(1) 表格中 “？” 处的数字是______；
(2) 请求出当13 x 25时这套密码的加密密钥，即y与x的函数关系式；
(3) 若小樊同学给某个 “明文数字” 加密后对应的 “密文数字” 是 “10”，请求出对应的 “明文数字”。
25.（本小题满分 12 分）如图 1，等边三角形ABC的边长为 18，点M是AC边上一动点，由点A向点C方向运动（不与点C重合），点N是CB延长线上一点，由点B向CB延长线方向运动，点M与点N同时以相同的速度出发，连接MN交AB于点D。
(1) 求证：在运动过程中，点D是线段MN的中点；
请根据提示，完成证明过程。
证明：如图 2，过点M作MP∥NC，交AB于点P，……
(2) 如图 3，过点M作ME⊥AB于点E，在运动过程中线段ED的长度是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由；
(3) 如图 4，将线段MN绕点M顺时针旋转60 得线段MF，连接FA，当FA取最小值时，请求出此时BN的长度是多少？
26.（本小题满分 12 分）
【先导问题】
(1) 如图 1，在△ABC中，∠C=90 ，BD平分∠ABC交AC于点D。若CD=3，则点D到AB的距离为______；
【提炼模型】
(2) 如图 2，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D。
求证：BC·AD=AB·CD。
请根据提示，补全证明过程。
证明：如图 3，过点D作DE⊥AB，作DF⊥BC，过点B作BH⊥AC，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ ，
∴== ，
又∵==
∴=
∴BC·AD=AB·CD。
【识别模型】
(3) 如图 4，直线y= x+4与x轴、y轴的交点分别为点A、B，若∠BAO的平分线与y轴交于点C，求点C的坐标；
【应用模型】
(4) 在 (3) 的条件下，线段OA上是否存在一点P，使得∠CPO=∠BAO+∠OBA。若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.下列数学符号中，属于中心对称图形的是( C )
2.下列计算中，正确的是( A )
A.×= B. =1 C. += D. ÷=4
3.如图，已知BC∥EF，∠A=30 ，若∠ADE=70 ，则∠C的度数为( B )
A. 30 B. 40 C. 45 D. 57
4.在平面直角坐标系中，点P( 2,5)到y轴的距离是( A )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
5.下列命题中，是假命题的是( B )
A. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 若a>b，那么 2a> 2b
C. 等腰三角形两底角的平分线相等
D. 有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形
6.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,2)，关于x的不等式kx+b>2的解集为( D )
A. x<0 B. x>0 C. x<1 D. x>1
7.如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段CD，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点A( 6,0)、B( 4,3)、D(3,1)，则点C的坐标为( D )
A. (1, 3) B. ( 1,3) C. ( 1, 2) D. (1, 2)
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120 ，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN，分别交AB于点E，交BC于点F，则∠AFC的度数为( B )
A. 50 B. 60 C. 70 D. 80
9.人工智能的发展使得智能机器人成为时尚。如图，送餐机器人小 A 和小 I 从厨房门口出发，前往450cm的客人处，小 A 比小 I 先出发，小 I 出发一段时间后将速度提高到原来的 2 倍。设小 A 行走的时间为x(s)，小 A 和小 I 行走的路程分别为y1(cm)、y2(cm)，y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是( C )
A. 小 A 比小 I 先出发 15 秒
B. 小 I 提速后的速度为30cm/s
C. n=40
D. 从小 A 出发至送餐结束，小 I 和小 A 最远相距150cm
10.如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E为射线CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C落在点C1处，连接AC1，当△AC1D为直角三角形时，CE的长为( C )
A. 4+4 B. 4+ C. 4+4或4 D. 4+或4
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
注意事项：
所有答案必须用 0.5 毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等。不按以上要求作答，答案无效。
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填在答题卡的横线上。）
11.=___3___。
12.如图，数轴上表示的是关于x的不等式组的解集，则该不等式组的整数解有___3___个。
13.如图是某班学生体重（单位：kg）的箱线图，该班学生体重的下四分位数是___36___kg。
14.如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，箕面AB与水平地面的夹角∠CAB为62 ，小明将它扶起，将簸箕绕点A顺时针旋转，点B落在点B1处，使其平放在地面，箕面AB绕点A旋转的度数为___118___度。
15.已知x=，y=，则代数式x2+3xy+y2的值为___9___。
16.如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，AC=4，BD=6，则AD+BC的最小值是___2___。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分 6 分）计算：÷ ×+ (2 1)0
=3－+2－1
=2+
18.（本小题满分 6 分）解不等式组：
解不等式①：x 2
解不等式②：x<3
不等式组的解集：2 x<3
19.（本小题满分 6 分）如图，∠A=∠B=90 ，点E是线段AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2。求证：Rt△ADE≌Rt△BEC。
证明：∵∠1=∠2，
∴DE=CE
∵∠A=∠B=90 ，
∴△ADE和△BEC是直角三角形
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE Rt△BEC（HL）
20.（本小题满分 8 分）在边长为 1 个单位长度的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1) 作出△ABC向左平移 4 个单位长度后得到的△A1B1C1；
(2) 作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
(3) △A2B2C2可看作是△A1B1C1以点______为旋转中心，旋转180 得到的。
（1）（2）如图所示
（3）（－2，0）
21.（本小题满分 8 分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F。
(1) 求证：AD=AF；
(2) 若∠C=60 ，BD=4，EC=6，求AF的长。
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C
∵DE⊥BC，
∴∠FEC=∠DEB=90
∴∠F+∠C=90 ，∠ADF=∠BDE，∠BDE+∠B=90
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF（4 分）
(2) 解：∵∠C=60 ，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，BC=AB
设AF=AD=x，则AB=AC=x+4，BC=x+4
∵EC=6，
∴BE=BC EC=x+4 6=x 2
在Rt△BDE中，∠B=60 ，
∴∠BDE=30 ，BD=2BE
∴4=2(x 2)，解得x=4，即AF=4（4 分）
22.（本小题满分 8 分）某校为选拔槐荫区第五届 “勾股数学” 杯初中校际联赛参赛选手，在八年级 (1) 班和 (2) 班开展了数学知识竞赛，现从两班参与竞赛的学生中各随机抽取 10 名同学的成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩分为 A、B、C 三个等级（单位：满分 100 分，90 分及 90 分以上为优秀）：A：70 x<80，B：80 x<90，C：90 x 100。
下面给出了部分信息：
八年级 (1) 班 10 名学生的成绩为：73，75，81，82，84，88，88，93，97，99；
八年级 (2) 班 10 名学生的成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97。
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
学生 平均数 中位数 众数 方差
八 (1) 班 86 a 88 68.2
八 (2) 班 86 85 b 56
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 填空：a= ，b= 。
(2) 学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪个班？
(3) 若八年级两个班共有 90 名学生参赛，请估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数。
(1) a=86，b=84（2 分）
(2) 选派八 (2) 班，理由：八 (2) 班方差更小，成绩更稳定（3 分）
(3) 八 (1) 班优秀 3 人，八 (2) 班优秀 3 人，抽样优秀率=
总优秀人数：90×=27人（3 分）
23.（本小题满分 10 分）为打造低碳社区，某社区决定购买 A、B 两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统。已知购买 1 盏 A 种路灯和 1 盏 B 种路灯共需 100 元，购买 2 盏 A 种路灯比 1 盏 B 种路灯的费用多 20 元。
(1) 求 A、B 两种路灯的单价；
(2) 该社区计划购买 A、B 两种路灯共 10 盏，且购买总费用不超过 450 元，最多可以购买多少盏 B 种路灯？
(1) 设 A 单价x元，B 单价y元，根据题意得
解得
答：A 单价 40 元，B 单价 60 元（5 分）
(2) 设购买 B 种路灯m盏，则 A 种(10 m)盏
40(10 m)+60m 450
解得：m 2.5
∵m为正整数，
∴m最大为 2
答：最多购买 2 盏 B 种路灯（5 分）
24.（本小题满分 10 分）根据信息完成下列各题。
一套简单的密码由三部分组成：明文、密文、密钥，它们之间的关系是利用密钥可以将明文转化为密文。
某校信息兴趣小组，编制了一套密码。如表：x表示明文，y表示密文，且x为非负整数。
x 6 10 13 14
y 13 ？ 0 2
已知当0 x 12时，加密密钥为y=2x+1；当13 x 25时，加密密钥为y=mx+n（m≠2，n≠1，且m≠0）。
(1) 表格中 “？” 处的数字是______；
(2) 请求出当13 x 25时这套密码的加密密钥，即y与x的函数关系式；
(3) 若小樊同学给某个 “明文数字” 加密后对应的 “密文数字” 是 “10”，请求出对应的 “明文数字”。
(1) 21（2 分）
(2) 代入x=13,y=0；x=14,y=2
得
解得
∴y= 2x－26（4 分）
(3) ①当0 x 12时，2x+1=12 x=5.5（非负整数，舍去）
②当13 x 25时，2x－26=12
解得x=19
∴对应得文明数字是19
25.（本小题满分 12 分）如图 1，等边三角形ABC的边长为 18，点M是AC边上一动点，由点A向点C方向运动（不与点C重合），点N是CB延长线上一点，由点B向CB延长线方向运动，点M与点N同时以相同的速度出发，连接MN交AB于点D。
(1) 求证：在运动过程中，点D是线段MN的中点；
请根据提示，完成证明过程。
证明：如图 2，过点M作MP∥NC，交AB于点P，
……
(2) 如图 3，过点M作ME⊥AB于点E，在运动过程中线段ED的长度是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由；
(3) 如图 4，将线段MN绕点M顺时针旋转60 得线段MF，连接FA，当FA取最小值时，请求出此时BN的长度是多少？
(1) 证明：∵MP∥NC，
∴∠MPD=∠NBD，∠AMP=∠C=60
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60 ，△AMP是等边三角形，AM=MP
∵AM=BN
∵速度相同
∴MP=BN
在△MPD和△NBD中，
∴△MPD≌△NBD（AAS），
∴MD=ND，即D 是 MN 中点（4 分）
(2) ED长度不变，ED=9
理由：△AMP是等边三角形，ME⊥AB，
∴AE=EP
∵△MPD≌△NBD，
∴PD=BD
∴ED=EP+PD=AP+PB=AB=9（4 分）
(3) 当FA⊥AC时，FA最小，此时BN=9（4 分）
26.（本小题满分 12 分）
【先导问题】
(1) 如图 1，在△ABC中，∠C=90 ，BD平分∠ABC交AC于点D。若CD=3，则点D到AB的距离为______；
【提炼模型】
(2) 如图 2，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D。
求证：BC·AD=AB·CD。
请根据提示，补全证明过程。
证明：如图 3，过点D作DE⊥AB，作DF⊥BC，过点B作BH⊥AC，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ ，
∴== ，
又∵==
∴=
∴BC·AD=AB·CD。
【识别模型】
(3) 如图 4，直线y= x+4与x轴、y轴的交点分别为点A、B，若∠BAO的平分线与y轴交于点C，求点C的坐标；
【应用模型】
(4) 在 (3) 的条件下，线段OA上是否存在一点P，使得∠CPO=∠BAO+∠OBA。若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
(1) 3（2 分）
(2) 填空：DE=DF；（4 分）
(3) 解：A(3,0)，B(0,4)，AB=5
设C(0,c)，由角平分线模型：=，
即=
解得c=1.5，
∴C(0,1.5)（3 分）
(4) 存在，点P坐标：(1,0)或(2,0)（3 分）