2025-2026学年湘教版数学七年级上册3.5 认识二元一次方程组 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
湘教版七年级数学上册
第3章 一次方程（组）
3.5 认识二元一次方程组
老牛喘着气吃力地说：“累死我了.”小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2 个.”老牛气喘吁吁地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”小马天真而不信地说：“真的？”
问题1：从它们的对话中，你最想知道什么？
老牛和小马各驮的包裹的数量.
问题2：如果假设老牛驮了x 个包裹，小马驮了y 个包裹，你能得到怎样的方程？ 能列几个？
两个方程，x－y＝2；x＋1＝2(y－1).
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主题一：二元一次方程(组)的相关概念
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35 个头，从下面数有94 只脚，问笼中各有多少只鸡和兔？
(1)找出上述趣题中的等量关系；
①兔的只数＋鸡的只数＝35；②兔的脚数＋鸡的脚数＝94.
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(2)这道题可以用一元一次方程来解，题中有两个等量关系，若设兔有x 只，鸡有y 只，能根据两个等量关系列出两个方程吗？ 列出的方程还是一元一次方程吗？
可列出以下两个方程：x＋y＝35，4x＋2y＝94.
(1)能给这两个方程起名字吗？
(2)为什么叫二元一次方程呢？
(3)什么样的方程是二元一次方程呢？
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二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程.
要解决上述“鸡兔同笼”问题，①兔的只数＋鸡的只数＝35；②兔的脚数＋鸡的脚数＝94.这两个等量关系需要同时成立，也即未知数x，y 必须同时满足x＋y＝35和4x＋2y＝94这两个方程.于是将两个方程联立，得
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像这样，只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组.
注意：方程组中的各方程中，同一个字母必须代表同一个量.
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做一做：
(1)把满足方程x＋y＝35①，且符合问题的实际意义的x，y的值填入下表：
(2)上表中存在哪对x，y 的值满足方程4x＋2y＝94②吗？ 若有，请指出.
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
小结：由上表可知，x＝1，y＝34；x＝2，y＝33；…；x＝34，y＝1都能使方程x＋y＝35两边的值相等，因此它们都是方程x＋y＝35的解.
如果不考虑方程x＋y＝35与前面实际问题的联系，还能说出哪些x，y 的值是方程x＋y＝35的解？
一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
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由刚才的探究，能够知道满足x＋y＝35的x，y的值有无数组.
还发现，x＝12，y＝23既满足方程①，又满足方程②.也就是说，x＝12，y＝23是方程①与方程②的公共解，于是，将这两个数写成(12，23)的形式，它就是由方程①和②组成的方程组的一个解，
一般地，对于未知数为x，y 的二元一次方程组，若x，y 分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1，c2)叫作这个方程组的一个解.习惯上记作 求方程组的解的过程叫作解方程组.
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注意：
(1)未知数的值必须同时满足两个方程时，才是方程组的解.若取 x＝1，y＝34时，它们能满足方程①，但不满足方程②，所以它们不是方程组的解.
(2)二元一次方程组的解是一对数，而不是一个数，所以必须把 x＝12与y＝23合起来才是方程组的解.
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主题二：从实际问题中抽象出二元一次方程组
例 小玲在文具店买了3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花1 元.
(1)设练习本的单价是x 元，圆珠笔的单价是y 元，试列出相应的二元一次方程组.
(2) 是列出的二元一次方程组的一个解吗？
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分析 本题中等量关系如下：
购买练习本所花的钱＋购买圆珠笔所花的钱＝17 元，
购买练习本所花的钱－购买圆珠笔所花的钱＝1 元.
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解 (1)根据等量关系，得
(2)把x 用3，y 用4分别代入方程①②可得：
方程①左边的值是3×3＋2×4＝17，方程①右边的值也是17；
方程②左边的值是3×3－2×4＝1，方程②右边的值也是1.
因此， 是列出的二元一次方程组的一个解.
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变式训练 某校现有校舍20 000 m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%，同时使建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍.若设应拆除旧校舍x m2，建造新校舍y m2，请根据题意列一个方程组.
分析 由建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，我们可以得到方程y＝4x.拆除部分旧校舍，改建新校舍后，校舍总面积仍增加30%，其增加量应当对应到新校舍面积与拆除的旧校舍面积的差值，所以我们可列出另一方程y－x＝20 000×30%.
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设应拆除旧校舍x m2，建造新校舍y m2，根据题意列出方程组
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1．已知关于x，y的方程(k2－1)x2＋(k＋1)x＋y＝3．
当k＝　 　时，它为二元一次方程．
　1　
课堂评价
2．已知方程xm－1＋yn－8＝5是关于x，y的二元一次方程，则m＝　 　，n＝　 　．
　9　
　2　
3． (人教七下P90)如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，求：
(1)x，y满足的关系式；
(2)当x＝90时，y的值；
(3)当y＝60时，x的值．
(3)当y＝60时，x＋120＝180，解得x＝60．
(2)当x＝90时，90＋2y＝180，解得y＝45．
解：(1)由三角形内角和定理，可得x＋2y＝180．
4．(北师八上P106)甲种物品每个重 4 kg，乙种物品每个重 7 kg，现有甲种物品 x 个，乙种物品 y个，共重 76 kg．
(1)列出关于x，y的二元一次方程：　 　；
(2)若x＝12，则y＝　 　；
(3)若乙种物品有8个，则甲种物品有多少个？
即甲种物品有5个．
解：(3)当y＝8时，4x＋7×8＝76，解得x＝5．
　4　
　4x＋7y＝76　
5．【例5】某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．八年级一班在16场比赛中得26分．根据题意列二元一次方程组．
解：设该班胜x场，负y场，
依题意，得．
★6． (跨学科融合)为了庆祝全国两会的顺利召开，某校组织了党史知识竞赛，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励．若购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需280元；若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元．你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？试找出问题的解．
0.50
解：设购买1副乒乓球拍x元，1副羽毛球拍y元，
根据题意，得，找出方程组的解为．
答：购买1副乒乓球拍 80元，1副羽毛球拍 120元．
1.本节课主要学习了哪些知识？ 学习了哪些数学思想和方法？
2.本节课还有哪些疑惑？ 说一说.
课堂总结
基础性作业：教材练习第1~3题.
提高性作业：教材习题3.5第1，2题.
作业设计
感 谢 观 看