安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年上学期高二1月月考数学试题（含答案）

定远育才学校2025-2026学年上学期高二1月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知四面体中，，，两两垂直，，，与平面所成的角为，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
2.直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是( )
A. B. C. D.
3.已知是圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆，设圆与圆交于，两点，则下列点中，直线一定不经过( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的上顶点为，左顶点为，平行于的直线交椭圆于，两点，的中点为，且，则椭圆的焦距为( )
A. B. C. D.
5.在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点，在直线上，是边长为的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，，依次类推其中点，，，，共线，点，，，，共线，点，，，，共线由上述圆弧组成的曲线与直线恰有个交点时，曲线长度的最小值为
A. B. C. D.
6.在数列中，若，则( )
A. B. C. D.
7.抛物线有这样的光学性质：沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线，经抛物线反射后，光线一定经过抛物线的焦点已知从点沿平行于轴的方向射入一条光线，经抛物线反射后交抛物线于另外一点，则点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
8.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是( )
A. B. 平面
C. 向量与的夹角是 D. 与所成角的余弦值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆：相切，则下列结论正确的是( )
A. 圆上的点到原点的最大距离为
B. 圆上存在三个点到直线的距离为
C. 若点在圆上，则的最小值是
D. 若圆与圆有公共点，则
10.若数列是等差数列，公差为，则下列对数列的判断正确的是( )
A. 若，则数列是等差数列
B. 若，则数列是等差数列
C. 若，则数列是公差为的等差数列
D. 若，则数列是公差为的等差数列
11.已知双曲线，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的顶点到其渐近线的距离为
B. 若为的左焦点，点在上，则满足的点的轨迹方程为
C. 若，在上，线段的中点为，则线段的方程为
D. 若为双曲线上任意一点，则点到点和到直线的距离之比恒为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.南北朝时，张邱建写了一部算经，即张邱建算经，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究有一定的贡献，例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则每一等人比下一等人多得 斤金．
13.已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数的值为 ．
14.双曲线右焦点为，点，在双曲线上，且关于原点对称．若，则的面积为____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，数列满足，．
证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知三点，，在圆上
求圆的标准方程；
过原点的动直线与圆相交于，两点，求线段的中点的轨迹的方程；
在的条件下，若过点的直线与曲线有两个交点，求直线的斜率的取值范围．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面为菱形且，底面，，，为的中点．
求二面角平面角的正切值；
在线段上是否存在一点，使平面成立如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由．
18.本小题分
古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在轴上，面积为，点在椭圆上

求椭圆的标准方程；
经过点的直线与曲线交于，两点，与椭圆的面积比为，求直线的方程．
19.本小题分
已知双曲线的标准方程为，的左右顶点分别为，，右焦点，离心率．
求双曲线的方程及其渐近线方程；
过圆上的点作圆的切线，交双曲线于，两点，点为弦的中点，证明：．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【解】，
所以数列是公比的等比数列；
，
即，，
设等差数列的公差为，
由，解得，，
所以；
由知，
所以，
，
得
，
所以．
16.【解】设圆的一般方程为，有
解得
可得圆的一般方程为，
可得圆的标准方程为．
设直线的方程为，点、的坐标为，，点的坐标为，
若直线与圆相交，有，解得，
联立方程，消去后整理为，
由，
可得点的横坐标和纵坐标分别为，两式相除可得，
代点的横坐标有，整理为，有．
又由，有，
综上知点的轨迹的方程为．
设直线的方程为，整理得，
当直线与圆相切时，有，解得，
将代入圆的方程，有，解得，
两点所在直线的斜率为，
由可知轨迹为以点为圆心，为半径的圆在的一部分，
若直线与轨迹有两个交点，可得直线的斜率的取值范围为
17. 【解】连结对角线、相交于点，连结、，则根据中位线性质得到，
平面，
平面，，
底面是菱形，
以为原点，、、分别为，，轴建立空间直角坐标系．
，，，，，，，，
，，，，
，，，，
设二面角的平面角为，是锐角，
等于法向量夹角余弦的绝对值，平面的法向量为，设平面的法向量为，
，取，得到
，
即，，，
故二面角的平面角正切值是．
设上存在点使得平面，则有，
，设，，
，
，
，，
此时，而平面，平面，
，，，平面平面．
故当时，能使得平面．

18.【解】设椭圆的方程为：，
因为椭圆的面积为，点在椭圆上，
所以解得：，
所以椭圆的标准方程为： ；
因为经过点的直线与曲线交于，两点，
当直线的斜率不存在时，，
此时，
因为与椭圆的面积比为，
但，即直线斜率存在，
不妨设直线的方程为，
联立
消得：，
不妨设，
则，
因为
，
，
所以
，
因为与椭圆的面积比为，
所以，
化简得，
所以，
即，
解得：，
所以直线的方程为或，
故直线的方程为或．
19.【解】由焦点坐标可得，而，故，所以，
故双曲线方程为，
渐近线方程为．
由可得圆，
若直线的斜率存在，
设，，，
因为为圆的切线，故即，
由可得，
故
，
故，
而，故，
故，故，
当直线的斜率不存在时，或，
若，则，而，，
因，故，
同理可得若，也有，
故总成立．