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15.1.1 分式 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十五章
课题 15.1.1 分式 课时 1课时
课标要求 1. 理解分式的概念，能准确区分整式与分式，把握“分母含字母”的本质特征。2. 掌握分式有意义、无意义的条件，能结合具体代数式求解字母的取值范围，强化“分母不为零”的逻辑意识。3. 掌握分式值为零的双重条件，能规范判断并求解字母取值，规避“忽略分母检验”的易错点。4. 经历分式概念的抽象与条件探究过程，体会类比迁移、分类讨论的数学思想，建立“数式通性”的认知框架。
教材分析 《分式》作为华师大版八年级下册第15章的开篇课时，是代数式知识体系的重要延伸，承接七年级“整式”“因式分解”及“分数概念”等前置内容，同时为后续分式的性质、运算、分式方程及高中代数知识奠定核心基础，具有“承前启后”的关键地位。教材设计遵循“从具体到抽象、从旧知到新知”的认知规律，通过路程、工作量等贴近学生生活的实际情境，引导学生列出分母含字母的代数式，再类比分数的定义抽象出分式概念，进而分层探究分式有意义、无意义及值为零的条件。教材注重概念的严谨性，通过针对性辨析题强化易错点，同时渗透“数式通性”思想，让学生在类比中理解知识关联，降低抽象概念的学习难度。
学情分析 八年级学生已熟练掌握整式的概念、分类及运算，能准确区分单项式与多项式；对分数的定义、性质及“分母不为零”的规则有扎实认知，具备通过类比迁移学习分式的条件；同时掌握一元一次方程中未知数取值范围的分析方法，为探究分式有意义的条件提供了方法借鉴。同时学生正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，对类比、迁移的学习方法接受度高，能借助分数实例理解分式的表面特征，但抽象思维不够成熟，对“分式本质是两个整式的商”“分母含字母的必要性”等深层逻辑理解不足，易受直观表象影响。
核心素养目标 1.通过类比分数概念，从具体代数式中抽象出分式的定义，理解分式的本质特征，建立分式与整式的区别与联系，提升抽象概括能力。2.经历分式有意义、无意义及值为零条件的探究过程，通过分析、推理、辨析，明确各条件的逻辑关联，培养严谨的演绎推理能力。3.能结合分式的相关条件，准确求解字母取值范围，规范书写解题步骤，提升代数式分析与推理的准确性。
教学重点 1. 分式的概念及分式与整式的本质区别。2. 分式有意义、无意义的条件，能准确求解字母取值范围。
教学难点 1. 理解分式的本质是“两个整式的商”，精准区分分式与整式。2. 掌握分式值为零的双重条件，规避“只看分子、忽略分母”的易错点。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 教师出示问题：观察下面代数式，其中是整式的有哪些？整式有：【想一想】整式包括单项式和多项式. 注意：整式的分母中不能含有分母。 主动回答预习问题，回顾整式的核心知识，唤醒旧知储备。 预习反馈强化旧知关联，为类比学习铺垫；生活情境让学生感受分式的实用性，激发学习兴趣；
二、探究 【做一做】（1）面积为2m2的长方形的长为3m，则它的宽为m. （2）面积为Sm2的长方形的长为am，则它的宽为m. （3）一箱苹果售价p元，总重m kg，箱重n kg，则每干克苹果的售价元. 观察下面所列出的代数式中，哪些是整式？哪些不是？它们之间有什么区别？，，是整式，和 分母中含有字母，不是整式. 分母中含有字母的式子叫做什么？形如 （A，B是整式，且B中含有字母）的式子，叫做分式. 其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母. 注意：分式必须满足三个条件：①形如的式子；②A、B都是整式；③ 分母B中含有字母. 整式和分式统称为有理式. 【例1】 下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？注意：分式是两个整式相除的商，分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母. 【想一想】分式的分母中的字母能取任何数吗？为什么？在分式中，分母的值不能为0. 如果分母的值为0，则分式没有意义. 例如，在分式 中，x≠0；在分式中，x+y≠0. 【例2】当x取什么值时，下列分式有意义？（1）； （2） . 分析：要使分式有意义，只需分母的值不等于零. 解：（1）分母x－1≠0，即x≠1，所以，当x≠1时，分式 有意义. （2）分母2x＋3≠0，即，所以，当时，分式有意义. 【想一想】当x取什么值时，下列分式无意义？（1）； （2） . 分析：要使分式无意义，只需分母的值等于零. 解：（1）分母x－1=0，即x=1，所以，当x=1时，分式无意义. （2）分母2x＋3=0，即 ，所以，当时，分式无意义. 【想一想】当x取什么值时，分式的值为0？思考：要使分式的值为零，分式中的分子和分母应满足什么条件？当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0. 由 x - 2=0，得x=2 ，此时，2x+3≠0. 所以当x= 2时，分式的值是零. 总结归纳分式有意义、分式值为零的条件：①分式有意义的条件：分式的分母不等于零. ②分式无意义的条件：分式的分母等于零. ③分式的值为零的条件：分式的分子等于零且分母不等于零. 拓展提高（1）分式是否有意义，只与分式中分母的值是否为0有关，而与分子的值是否为0无关. （2）讨论分式有无意义，一定要针对原分式讨论，不能将分式化简后再讨论. （3）分式有意义的条件是指表示分母的整式的值不能为0，并不是说分母中字母的取值不能为0. 跟随引导，类比分数理解分式的“商”本质，初步感知分式结构。记录分式定义，标注关键词，明确概念核心条件。完成课本例题，通过同桌互查强化概念理解，及时发现并修正错误。结合分数知识，自主思考并回答问题，类比得出“分式分母不能为零”的结论。记录分式有意义、无意义的条件，明确核心是“分析分母取值”。 小组讨论，结合分数实例推导分式值为零的条件，明确“分子为零”和“分母不为零”的关联性。 借助分数类比，降低分式定义的抽象难度，让学生自主建构概念；分组辨析与即时练习结合，针对性突破“混淆分式与整式”的难点，强化概念本质理解。通过分数类比，让学生理解分式分母不为零的逻辑必然性，而非机械记忆；例题示范规范解题流程，变式练习针对“分母恒不为零”的特殊情况拓展思维，突破易错点。通过易错设问制造认知冲突，引导学生自主探究双重条件；例题示范规范解题流程，错误辨析针对性突破难点，让学生在纠错中强化检验意识，掌握核心方法。
三、尝试 【知识技能类作业】必做题：1. 下列式子 中，属于分式的有( B ). A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个2. 下列说法正确的是( D ). A. 分式包含分数B. 分数一定是分式C. 分式的分子中一定含有字母D. 分式的分母中一定含有字母3. 使分式有意义的x的取值范围是( C ). A. x≠－1 B. x≠0 C. x≠1 D. x≠24. 使分式无意义的条件是( B ). A. x＝4 B. x＝－4 C. x≠4 D. x≠－4【知识技能类作业】选做题：5. 若分式 的值为0，则实数x的值为( A ). A. 2 B. 0 C. －2 D. －36. 对于分式，下列说法错误的是( C ).A．当x＝1.5时，分式的值为0B．当x＝-2时，分式无意义C．当x>1时，分式的值为正数D．当x＝5时，分式的值为1【综合拓展类作业】7. 已知分式，当x＝2时，分式的值为零；当x＝-2时，分式没有意义，求a＋b的值. 解：∵ x＝2时，分式的值为零，∴2－b=0，解得，b＝2. ∵ x＝－2时，分式没有意义，∴ 2×（－2）+a=0，解得，a=4. ∴ a+b=6. 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。
五、提升 适时小结，兴趣延伸本节课你学到了什么？① 分式的定义.② 分式有无意义的条件.③ 分式的值为0的条件. 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计 15.1.1分式① 分式的定义.② 分式有无意义的条件.③ 分式的值为0的条件. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】必做题：1. 下列代数式中，属于分式的是( C )A． B． C． D．2. 不论x取何值，下列分式总有意义的是( C ).A． B． C． D．【知识技能类作业】选做题：3. 已知分式，求满足下列条件的x的值：（1）分式无意义； （2）分式的值为零．解：（1）当(x－2)(x＋3)＝0，即x＝2或x＝－3时，分式 无意义．解：（2）当x－5＝0且(x－2)(x＋3)≠0，即x＝5时，分式的值为零．4. 若 表示一个整数，则整数n可取的值有( A )A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【综合拓展类作业】5. 已知分式(a，b为常数)满足下面表格中的信息： 求ab＋c的值．解：因为当x＝2时，分式无意义，所以2－b＝0，所以b＝2.因为当x＝0.5时，分式的值为0，所以2×0.5＋a＝0，解得a＝－1，所以原分式为 .因为当x＝5时，分式的值为c，所以 ＝c，解得c＝3，所以ab＋c＝(－1)2＋3＝4.
教学反思 本节课通过分数与分式的深度类比，让学生自主抽象概念、推导条件，降低了抽象知识的学习难度，多数学生能准确区分分式与整式，掌握核心条件；注重互动设计，通过分组辨析、同桌互查、小组互助等形式，调动学生参与积极性，让不同层次学生都能参与课堂；同时针对性突破易错点，通过例题示范、错误辨析、口诀强化等方式，让学生牢记“分母不为零”“值为零双重条件”等核心要点，规范解题步骤满足不同学生的学习需求。
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 下册第十五章
课标要求 1.了解分式和最简分式的概念，知道分式的分母不能为零；2.熟练掌握分式的基本性质，能进行分式的约分、通分；掌握分式的加、减、乘、除及乘方运算，理解运算法则的推导逻辑，提升运算准确性与规范性。3.了解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程，能根据方程及具体问题的实际意义，检验结果是否合理；4.会综合运用分式的知识解决一些简单的实际问题。5.了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数。
内容分析 《分式》是华师大版八年级下册第15章内容，是继七年级“整式”“一元一次方程”之后，对代数式与方程知识的进一步拓展与深化，也是后续学习反比例函数、二次函数及高中分式不等式、数列等知识的重要基础。本章以“数式通性”为核心纽带，将分数的性质与运算推广到分式，将一元一次方程的解法迁移到分式方程，构建起“整式—分式—分式方程”的代数式与方程知识体系，对学生形成完整的代数思维至关重要。从知识逻辑来看，本章内容层层递进：先建立分式的概念（基础），再依托分式基本性质开展分式运算（核心技能），最后通过分式方程解决实际问题（应用拓展），符合“概念—性质—运算—应用”的代数知识学习规律，同时注重知识的实用性与思维的递进性，既能巩固前期整式、方程知识，又能为后续复杂代数问题的学习奠定基础。
学情分析 八年级学生已掌握七年级下册“整式的加减”“整式的乘除”“因式分解”等知识，能熟练进行整式运算与因式分解（提公因式法、公式法），为分式的约分、通分提供了技能支撑；同时，学生已掌握一元一次方程的解法与应用，能运用方程思想解决简单实际问题，为分式方程的学习奠定了方法基础。此外，学生对分数的性质、运算有扎实的认知，具备通过类比迁移学习分式知识的能力。同时学生此时正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期，对类比、迁移的学习方法接受度较高，能通过分数知识推导分式的相关性质与运算。但学生的抽象思维仍不够成熟，对“分式有意义的条件”“增根的本质”等抽象概念的理解需要借助具体实例与直观分析；同时，学生的运算规范性与细心程度不足，在分式运算中易出现约分不彻底、通分出错、漏检验增根等问题。
单元目标 （一）教学目标1.通过类比分数概念，抽象出分式的定义，理解分式的本质是“两个整式的商”，建立分式与整式的区别与联系，提升抽象概括能力。2.熟练掌握分式的基本性质，能规范进行分式的约分、通分、加、减、乘、除及乘方运算；能准确解分式方程，检验并排除增根，提升运算的准确性与规范性。3.经历分式基本性质、运算法则的推导过程，通过类比分数知识进行合情推理与演绎推理，培养逻辑推理能力；能通过分析分式方程增根的产生原因，推理检验的必要性。4.能将实际问题中的数量关系转化为分式或分式方程，通过求解、检验解决实际问题，建立“实际问题—数学模型—求解检验”的建模流程，提升建模意识与应用能力。5.通过分式与分数的类比、分式方程与整式方程的转化，建立数式、方程之间的关联，借助具体实例直观理解抽象概念，发展直观想象能力。（二）教学重点、难点重点1. 理解分式的概念，能准确判断一个代数式是否为分式，掌握分式有意义、无意义、值为零的条件。2. 掌握分式的基本性质，能运用性质进行分式的约分与通分，能将分式化为最简分式。3. 熟练掌握分式的乘、除、乘方运算，以及同分母、异分母分式的加、减运算，能准确计算复杂分式运算题。4. 理解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本方法，能检验分式方程的根，排除增根。5.能运用分式方程解决工程、行程等实际问题，提升分析问题、解决问题的能力。难点1. 易混淆分式与整式的概念，忽略分式分母不能为零的条件，对分式值为零的条件（分子为零且分母不为零）理解不透彻。2. 因式分解不熟练导致约分、通分出错；分式加减运算中，对最简公分母的确定不准确；运算过程中步骤混乱，符号出错。3. 解分式方程时，忽略去分母过程中产生增根的原因，忘记检验步骤，或无法准确判断增根并舍去。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数15.1分式及其基本性质分式的定义；分式的基本性质.215.2 分式的运算分式的乘除分式的加减215.3可化为一元一次方程的分式方程分式方程的定义解分式方程列分式方程解决实际问题115.4零指数幂与负整数指数幂零指数幂与负整数指数幂科学记数法2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务15.1分式及其基本性质1.理解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式.2.知道分式有意义、无意义和分式值为0的条件.3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件.理解分式有意义和分式值为0的条件.能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件.任务一：讲解分式与分数的区别，理解分式何时有意义，分式何时值为零？任务二：巩固练习1.通过类比分数的基本性质，说出分式的基本性质，并能用字母表示．2.理解并掌握分式的基本性质和符号法则．掌握分式的基本性质，能正确、熟练地运用分式的基本性质，对分式进行约分和通分．任务一：理解并掌握分式的基本性质。任务二：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形。15.2 分式的运算1.类比分数的乘除法法则，探究得出并理解分式的乘除法法则.2.会运用法则进行分式的乘除法的运算，体会数学的化归思想.3.会借助分式的乘除法运算，进行化简求值.经历探索分式的乘除法运算法则，通过类比分数的乘除法法则，提高联想能力和推理能力．任务一：通过类比分数的乘除法法则，理解分式的乘除法法则。任务二：巩固练习1.熟练地进行同分母的分式加减法的运算.2.会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.3.渗透类比转化的数学思想方法．从分数加减法引入，类比得出分式的加减法，最关键的是法则的探究，重点是法则的运用。任务一：探究同分母的分式加减法.任务二：探究异分母的分式加减法.15.3可化为一元一次方程的分式方程1了解分式方程的概念．2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用．理解分式方程的意义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法，了解解分式方程解的检验方法，从而渗透数学的转化思想．任务一：理解分式方程的概念；任务二：学会怎样解分式方程。任务三：能用分式方程解决实际问题。15.4零指数幂与负整数指数幂1.理解负整数指数幂．2掌握整数指数幂的运算性质．掌握整数指数幂的运算性质，能熟练进行整数指数幂及其相关的计算.任务一：理解负整数指数幂．任务二：掌握整数指数幂的运算性质．会用科学记数法表示小于1的数，能将用科学记数法表示的数还原为原数能用负整数指数幂表示科学记数法任务一：用科学记数法表示小于1的数任务二：用科学记数法表示的数还原为原数。
《分式》大单元教学设计
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第十五章 分式
15.1.1 分式
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
通过类比分数概念，从具体代数式中抽象出分式的定义，理解分式的本质特征，建立分式与整式的区别与联系，提升抽象概括能力。
01
经历分式有意义、无意义及值为零条件的探究过程，通过分析、推理、辨析，明确各条件的逻辑关系，培养严谨的逻辑推理能力。
02
能结合分式有意义、值为零的条件，准确求解字母的取值范围，提升代数式分析与计算的准确性。
03
02
新知导入
【想一想】整式包括_________和____________.
注意：整式的分母中不能含有分母。
观察下面代数式，其中是整式的有哪些？
整式有：
单项式
多项式
03
新知探究
【做一做】
（1）面积为2m2的长方形的长为3m，则它的宽为________m.
（2）面积为Sm2的长方形的长为am，则它的宽为________m.
（3）一箱苹果售价p元，总重m kg，箱重n kg，则每干克苹果的售价________元.
03
新知探究
观察下面所列出的代数式中，哪些是整式？哪些不是？它们之间有什么区别？
是整式， 分母中含有字母，不是整式.
分母中含有字母的式子叫做什么？
03
新知探究
探究
分式的概念
形如 （A，B是整式，且B中含有字母）的式子，叫做分式.
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
注意：分式必须满足三个条件：
①形如 的式子；
②A、B都是整式；
③ 分母B中含有字母.
03
新知探究
探究
分式的概念
整式和分式统称为有理式.
分式
整式
单项式
多项式
有理式
03
新知探究
小试牛刀
嘿！你是一个小小探险家 ，刚刚闯入了一个神秘的“数学实验室”。
在这里，一群调皮的代数式小精灵 正到处乱跑！它们长得非常像，但其实藏着两个完全不同的家族：一个是稳重的“整式家族” ，另一个是神秘的“分式家族” 。
你的任务，就是拿起你的魔法捕手，把它们送回正确的能量筐里！
03
新知探究
注意：分式是两个整式相除的商，分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母.
【例1】 下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
03
新知探究
探究
分式有意义的条件
【想一想】分式 的分母中的字母能取任何数吗？为什么？
在分式中，分母的值不能为0. 如果分母的值为0，则分式没有意义.
例如，在分式 中，x≠0；在分式 中，x+y≠0.
03
新知探究
【例2】当x取什么值时，下列分式有意义？
（1） ； （2） .
解：（1）分母x－1≠0，即x≠1，
所以，当x≠1时，分式 有意义.
（2）分母2x＋3≠0，即 ，
所以，当 时，分式 有意义.
分析：要使分式有意义，只需分母的值不等于零.
03
新知探究
【想一想】当x取什么值时，下列分式无意义？
（1） ； （2） .
解：（1）分母x－1=0，即x=1，
所以，当x=1时，分式 无意义.
（2）分母2x＋3=0，即 ，
所以，当 时，分式 无意义.
分析：要使分式无意义，只需分母的值等于零.
03
新知探究
【想一想】当x取什么值时，分式 的值为0？
思考：要使分式的值为零，分式中的分子和分母应满足什么条件？
当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0.
由 x - 2=0，得x=2 ，此时，2x+3≠0.
所以当x= 2时，分式 的值是零.
总结归纳
分式有意义、分式值为零的条件：
①分式有意义的条件：分式的分母不等于零.
②分式无意义的条件：分式的分母等于零.
③分式的值为零的条件：分式的分子等于零且分母不等于零.
拓展提高
（1）分式是否有意义，只与分式中分母的值是否为0有关，而与分子的值是否为0无关.
（2）讨论分式有无意义，一定要针对原分式讨论，不能将分式化简后再讨论.
（3）分式有意义的条件是指表示分母的整式的值不能为0，并不是说分母中字母的取值不能为0.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 下列式子 中，属于分式的有
( ).
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2. 下列说法正确的是( ).
A. 分式包含分数
B. 分数一定是分式
C. 分式的分子中一定含有字母
D. 分式的分母中一定含有字母
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3. 使分式 有意义的x的取值范围是( ).
A. x≠－1 B. x≠0
C. x≠1 D. x≠2
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4. 使分式 无意义的条件是( ).
A. x＝4
B. x＝－4
C. x≠4
D. x≠－4
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5. 若分式 的值为0，则实数x的值为( ).
A. 2
B. 0
C. －2
D. －3
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6. 对于分式 ，下列说法错误的是( ).
A．当x＝1.5时，分式的值为0
B．当x＝-2时，分式无意义
C．当x>1时，分式的值为正数
D．当x＝5时，分式的值为1
C
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 已知分式 ，当x＝2时，分式的值为零；当x＝-2时，分式没有意义，求a＋b的值.
解：∵ x＝2时，分式的值为零，∴2－b=0，解得，b＝2.
∵ x＝－2时，分式没有意义，
∴ 2×（－2）+a=0，解得，a=4.
∴ a+b=6.
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
① 分式的定义.
② 分式有无意义的条件.
③ 分式的值为0的条件.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1. 下列代数式中，属于分式的是( )
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2. 不论x取何值，下列分式总有意义的是( ).
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 已知分式 ，求满足下列条件的x的值：
（1）分式无意义； （2）分式的值为零．
解：（1）当(x－2)(x＋3)＝0，即x＝2或x＝－3时，
分式 无意义．
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 已知分式 ，求满足下列条件的x的值：
（1）分式无意义； （2）分式的值为零．
解：（2）当x－5＝0且(x－2)(x＋3)≠0，即x＝5时，
分式 的值为零．
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4. 若 表示一个整数，则整数n可取的值有( )
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
A
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5. 已知分式 (a，b为常数)满足下面表格中的信息：
求ab＋c的值．
x的取值 2 0. 5 5
分式的值 无意义 0 c
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5. 解：因为当x＝2时，分式无意义，所以2－b＝0，所以b＝2.
因为当x＝0.5时，分式的值为0，
所以2×0.5＋a＝0，解得a＝－1，所以原分式为 .
因为当x＝5时，分式的值为c，
所以 ＝c，解得c＝3，所以ab＋c＝(－1)2＋3＝4.
Thanks!
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