2.5 整式的加法和减法 教案
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2.5
整式的加法和减法
教案
教学目标
(1)了解同类项、合并同类项的概念，掌握合并同类项法则，能正确合并同类项．
(2)能先合并同类项化简后求值．
过程与方法
经历类比有理数的运算律，探究合并同类项法则，培养学生观察、探索、分类、归纳等能力．
重、难点与关键
1．重点：掌握合并同类项法则，熟练地合并同类项．
2．难点：多字母同类项的合并．
3．关键：正确理解同类项概念和合并同类项法则．
教具准备
投影仪．
教学过程
引入：
有理数可以进行加减计算，那么整式能否可以加减运算呢？怎样化简呢？
在西宁到拉萨路段，如果列车通过冻土地段的时间是t小时，那么它通过非冻土地段所需的时间就是21t小时，则这段铁路的全长是100t+120×21t，即100t+252t
1．类比数的运算，我们应如何化简式子100t+252t呢？
(1)运用有理数的运算律计算：
100×2+252×2=______；
100×(-2)+252×(-2)=_______．
(2)根据(1)中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理．
思路点拨：根据逆用乘法对加法的分配律可得：
100t+252t=________．
思路点拨：逆用乘法对加法的分配律可得：
100×2+252×2=(100+252)×2=352×2
100×(-2)+252×(-2)=(100+252)×(-2)=352×(-2)
我们知道字母可以表示数，如果用t表示上述算术中的数2(或-2)就有，100t+252t=(100+252)×t=352t．
事实上，100t+252t与100×2+252×2和100×(-2)+252×(-2)有相同的结构，都是两个数分别与同一个数乘积的和，这里t表示同一个因数，因此根据分配律也应该有：100t+252t=(100+252)t=352t
2．填空:
(1)100t-252t=(
)t；
(2)3x2+2x2=(
)x2；
(3)3ab2-4ab2=(
)ab2.
对于上面的(1)、(2)、(3)，利用分配律可得：
100t-252t=(100-252)t=-152t
3x2+2x2=(3+2)x2=5x2
3ab2-4ab2=(3-4)ab2=-ab2
这就是说，上面的三个多项式都可以合并为一个单项式．
具备什么特点的多项式可以合并呢？
观察(1)中多项式的项100t和-252t，它们都含有相同字母t，并且t的指数都是1；(2)中的多项式的项3x2+2x2都含有相同字母x，并且字母x的指数都是2；(3)中的多项式的项3ab2和-4ab2都含有字母a，b，并且字母a的指数都是1，b的指数都是2．
像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，几个常数项也是同类项．
例：合并下列各式的同类项.
(1)xy-02xy
(2)-3xy+2xy+3xy-2xy
(3)4a+3b+2ab-4a-4b
(学生讨论得出结果).
例：(1)求多项式的值，其中x=05.
(2)求多项式的值，其中a=-，b=2，c=-3.
分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求值，这样做往往可以简化计算.
3．思考：下列各组是不是同类项：
(1)05x2y和02xy2
(2)4abc和4ab
(3)-5m2n3和2n3m2
(4)7xnyn+1和-3xnyn+1
思路点拨：根据同类项定义进行判断，同类项应所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，二者缺一不可，与其系数无关，与其字母顺序无关．(1)题虽然所含字母相同，但相同字母的指数不同，(2)题所含字母不同；(3)、(4)符合同类项定义，所以(3)、(4)是同类项，(1)、(2)不是同类项．
因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律分配律把多项式中的同类项进行合并．例如，
4x2+2x+7+3x-8x2-2
(找出多项式中的同类项)
＝4x2-8x2+2x+3x+7-2
(交换律)
＝(4x2-8x2)+(2x+3x)+(7-2)
(结合律)
＝(4-8)x2+(2+3)x+(7-2)
(分配律)
＝-4x2+5x+5
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
例：(1)8a+2b+(5a-b)
解(1)8a+2b+(5a-b)
=8a+2b+5a-b
=13a+b
(2)(5a-3b)-3(a2-2b)
解：(2)(5a-3b)-3(a2-2b)
=5a-3b-(3a2-6b)
=5a-3b-3a2+6b
=-3a2+5a+3b
例：做大小两个长方体纸盒，尺寸如下(单位：cm)：
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
15a
2b
2c
(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？
解：小纸盒的表面积是2ab+2bc+2ca平方厘米，
大纸盒的表面积是6ab+8bc+6ca平方厘米.
(1)做这两个纸盒共用料：
(2ab+2bc+2ca)+(6ab+8bc+6ca)
=2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca
=8ab+10bc+8ca
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料：
(6ab+8bc+6ca)-(2ab+2bc+2ca)
=6ab+8bc+6ca-2ab+2bc+2ca
=4ab+6bc+4ac
由例题可看出：合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系？
合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变．
若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，即这两项相抵消，如-3ab2+3ab2=(-3+3)ab2=0·ab2=0．
多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并．
通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列，如-4x2+5x+5或写成5+5x-4x2．
整式的加法和减法
教案
教学目标
(1)了解同类项、合并同类项的概念，掌握合并同类项法则，能正确合并同类项．
(2)能先合并同类项化简后求值．
过程与方法
经历类比有理数的运算律，探究合并同类项法则，培养学生观察、探索、分类、归纳等能力．
重、难点与关键
1．重点：掌握合并同类项法则，熟练地合并同类项．
2．难点：多字母同类项的合并．
3．关键：正确理解同类项概念和合并同类项法则．
教具准备
投影仪．
教学过程
引入：
有理数可以进行加减计算，那么整式能否可以加减运算呢？怎样化简呢？
在西宁到拉萨路段，如果列车通过冻土地段的时间是t小时，那么它通过非冻土地段所需的时间就是21t小时，则这段铁路的全长是100t+120×21t，即100t+252t
1．类比数的运算，我们应如何化简式子100t+252t呢？
(1)运用有理数的运算律计算：
100×2+252×2=______；
100×(-2)+252×(-2)=_______．
(2)根据(1)中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理．
思路点拨：根据逆用乘法对加法的分配律可得：
100t+252t=________．
思路点拨：逆用乘法对加法的分配律可得：
100×2+252×2=(100+252)×2=352×2
100×(-2)+252×(-2)=(100+252)×(-2)=352×(-2)
我们知道字母可以表示数，如果用t表示上述算术中的数2(或-2)就有，100t+252t=(100+252)×t=352t．
事实上，100t+252t与100×2+252×2和100×(-2)+252×(-2)有相同的结构，都是两个数分别与同一个数乘积的和，这里t表示同一个因数，因此根据分配律也应该有：100t+252t=(100+252)t=352t
2．填空:
(1)100t-252t=(
)t；
(2)3x2+2x2=(
)x2；
(3)3ab2-4ab2=(
)ab2.
对于上面的(1)、(2)、(3)，利用分配律可得：
100t-252t=(100-252)t=-152t
3x2+2x2=(3+2)x2=5x2
3ab2-4ab2=(3-4)ab2=-ab2
这就是说，上面的三个多项式都可以合并为一个单项式．
具备什么特点的多项式可以合并呢？
观察(1)中多项式的项100t和-252t，它们都含有相同字母t，并且t的指数都是1；(2)中的多项式的项3x2+2x2都含有相同字母x，并且字母x的指数都是2；(3)中的多项式的项3ab2和-4ab2都含有字母a，b，并且字母a的指数都是1，b的指数都是2．
像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，几个常数项也是同类项．
例：合并下列各式的同类项.
(1)xy-02xy
(2)-3xy+2xy+3xy-2xy
(3)4a+3b+2ab-4a-4b
(学生讨论得出结果).
例：(1)求多项式的值，其中x=05.
(2)求多项式的值，其中a=-，b=2，c=-3.
分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求值，这样做往往可以简化计算.
3．思考：下列各组是不是同类项：
(1)05x2y和02xy2
(2)4abc和4ab
(3)-5m2n3和2n3m2
(4)7xnyn+1和-3xnyn+1
思路点拨：根据同类项定义进行判断，同类项应所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，二者缺一不可，与其系数无关，与其字母顺序无关．(1)题虽然所含字母相同，但相同字母的指数不同，(2)题所含字母不同；(3)、(4)符合同类项定义，所以(3)、(4)是同类项，(1)、(2)不是同类项．
因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律分配律把多项式中的同类项进行合并．例如，
4x2+2x+7+3x-8x2-2
(找出多项式中的同类项)
＝4x2-8x2+2x+3x+7-2
(交换律)
＝(4x2-8x2)+(2x+3x)+(7-2)
(结合律)
＝(4-8)x2+(2+3)x+(7-2)
(分配律)
＝-4x2+5x+5
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
例：(1)8a+2b+(5a-b)
解(1)8a+2b+(5a-b)
=8a+2b+5a-b
=13a+b
(2)(5a-3b)-3(a2-2b)
解：(2)(5a-3b)-3(a2-2b)
=5a-3b-(3a2-6b)
=5a-3b-3a2+6b
=-3a2+5a+3b
例：做大小两个长方体纸盒，尺寸如下(单位：cm)：
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
15a
2b
2c
(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？
解：小纸盒的表面积是2ab+2bc+2ca平方厘米，
大纸盒的表面积是6ab+8bc+6ca平方厘米.
(1)做这两个纸盒共用料：
(2ab+2bc+2ca)+(6ab+8bc+6ca)
=2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca
=8ab+10bc+8ca
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料：
(6ab+8bc+6ca)-(2ab+2bc+2ca)
=6ab+8bc+6ca-2ab+2bc+2ca
=4ab+6bc+4ac
由例题可看出：合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系？
合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变．
若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，即这两项相抵消，如-3ab2+3ab2=(-3+3)ab2=0·ab2=0．
多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并．
通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列，如-4x2+5x+5或写成5+5x-4x2．
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