14.1 全等三角形及其性质
【题型1】全等形 1
【题型2】全等三角形的概念 3
【题型3】全等三角形的性质 5
【题型4】全等三角形的性质与运动变化问题 8
【题型1】全等形
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A.形状相同的两个图形一定全等 B.两个长方形是全等图形 C.两个全等图形面积一定相等 D.两个正方形一定是全等图形
【答案】C
【解析】解：A、形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意；
B、长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；
C、两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意；
D、两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【举一反三1】下列各图形中，不是全等形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A、形状不同，不是全等形，符合题意；
B、形状相同，大小相等，是全等形，不符合题意；
C、形状相同，大小相等，是全等形，不符合题意；
D、形状相同，大小相等，是全等形，不符合题意．
【举一反三2】如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有 组．
【答案】3.
【解析】解：根据全等的定义可知，
全等图形有： 和 ， 和 ， 和 ，
∴图中有3组全等的图形．
【举一反三3】如图是由与四边形ACDB全等的6个四边形拼成的图形，若AB＝3cm，CD＝2AB，则AF的长为 cm．
【答案】27．
【解析】解：∵图形与四边形ACDB全等的6个四边形拼成的图形，
∴AF＝3AB+3CD，
∵AB＝3，CD＝2AB＝6，
∴AF＝3AB+3CD＝3×3+3×6＝27（cm）．
故答案为：27．
【举一反三4】如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形(要求至少要画出两种方法).
【答案】解 如图所示.
【举一反三5】在下列3个6×6的网格中，画有正方形ABCD，沿网格线把正方形分ABCD分割成两个全等图形，请用三种不同的方法分割，画出分割线．
【答案】解：如图所示：
【题型2】全等三角形的概念
【典型例题】如图，，和，和是对应边，则的对应角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，
∴∠的对应角是．
【举一反三1】下列说法中，正确的是( )
A.全等的两个三角形的面积相等
B.两个等腰直角三角形全等
C.面积相等的两个三角形是全等三角形
D.周长相等的两个三角形是全等三角形
【答案】A
【举一反三2】如图，已知△ABC≌△ADE，则∠BAC的对应角是（ ）
A.∠AEC B.∠ACB C.∠DAE D.∠ADE
【答案】C
【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴∠B和∠D，∠C和∠E，∠BAC和∠DAE是对应角.
故选：C．
【举一反三3】如图，△ABC≌△ADE，∠B与∠D是对应角，AB与AD是对应边，另外两组对应边为 ，对应角为 .
【答案】AC与AE、BC与DE ∠C与∠E、∠BAC与∠DAE
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∠B与∠D是对应角，AB与AD是对应边，
∴AC与AE、BC与DE是对应边，∠C与∠E、∠BAC与∠DAE是对应角.
【举一反三4】已知：如图，△ABC≌△CED，∠B与∠DEC是对应角，BC与ED是对应边．说出另外两组对应角和对应边．
【答案】解：∵△ABC≌△CED，∠B与∠DEC是对应角，BC与ED是对应边，
∴AB＝CE，AC＝CD，∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D．
【举一反三5】如图，已知△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个全等三角形的对应边和对应角．
【答案】解：∵△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，
∴这两个三角形的对应边是：BC和EF，AB和DE，AC和DF；
对应角是：∠ABC和∠DEF，∠ACB和∠DFE，∠BAC和∠EDF．
【题型3】全等三角形的性质
【典型例题】如图，△AOB≌△COD，点A，O，C在一条直线上，已知AC长为8 cm，OD长为2 cm，AB的长不可能为( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
【答案】D
【解析】解：由全等三角形的性质和三角形三边关系定理可得结论.
∵△AOB≌△COD，
∴AO＝CO，OB＝OD＝2 cm，
∵AC＝8 cm，
∴AO＝4 cm，
∴4－2＜AB＜4＋2，
∴2＜AB＜6.
如图，∠ABC＝50°，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，△BED≌△CED，则∠AEC的度数是（ ）
A.50° B.25° C.80° D.115°
【答案】D
【解析】
因为△BED≌△CED，所以∠EBC=∠C.
因为BE平分∠ABC，所以∠ABC=2∠EBC=50°，所以∠EBC=25°，所以∠C=25°.
所以∠AEC=∠C+∠EDC=25°+90°=115°.
如图，△ABC≌△CDE，且B，C，D三点共线，若AB＝4，DE＝3，则BD长为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B
【解析】
∵△ABC≌△CDE，
∴AB=CD，BC=DE，
∵AB=4，DE=3，
∴BD=BC+CD=DE+AB=7．
【举一反三3】如图，△AOD≌△BOC，∠COD=40°，AD与BC相交于点E，OD与BC相交于点F，则∠DEC的度数为 .
【答案】40°
【解析】∵△AOD≌△BOC，
∴∠C=∠D，
∵∠DFE=∠CFO，
∴∠DEC=∠COD=40°.
【举一反三4】如图，已知，，，则等于 ．
【答案】
【解析】解：∵，，，
∴，
∴．
【举一反三5】（教材改编）如图，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是对应边，∠ACD和∠BCE相等吗？为什么？
【答案】解：∠ACD=∠BCE．
∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，即∠ACD=∠BCE
【举一反三6】如图所示，A ，C，E 三点在同一直线上，且 ．
（1）求证： ；
（2）当 满足什么条件时，？
【答案】（1）证明：∵ ，
∴AE=BC，AC=DE，
又∵，
∴ ．
（2）解：若 ，则 ，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即当 满足 为直角时， ．
【题型4】全等三角形的性质与运动变化问题
【典型例题】如图，已知线段米，于点，米，射线于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（ ）
A. 10
B. 20或10
C. 6
D. 6或10
【答案】A
【解析】解：当 时，，即 ，
解得： ；
当 时，，
此时，（不合题意，舍去），
综上所述：．
故选：A．
【举一反三1】如图，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若在某一时刻，以A，C，P三点构成的三角形与以B，P，Q三点构成的三角形全等，则点的运动速度为（ ）
A. B.或 C. D.或
【答案】D
【解析】解：设点Q的运动速度为，
由题意，
∵，
∴当时，，
即：，
解；
当时，，
∴，解，
∴
解．
【举一反三2】如图，，，，，垂足分别为、，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向点运动；点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线方向运动，点、点同时出发，当以、、为顶点的三角形与全等时，的值为 ．
【答案】2或
【解析】解：当时，则，，
，，
，，
，
，
解得；
当时，则，，．
，，
，，
，
解得；
由上可得的值是2或，
故答案为：2或．
【举一反三3】如图，已知中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段．上以4厘米秒的速度用点向点运动．同时，点在线段上由点以厘米/秒的速度向点运动．设运动的时间为秒．
(1)直接写出：
①___________厘米；
②__________厘米（可用含的代数式表示）；
(2)若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求、的值．
【答案】解：（1）由题意得①，②.
（2）由题意可，
分两种情况：
①若，
则，
所以，
所以；
②若，
则，
所以．
综上所述，的值为6、t的值为2或的值为4、t的值为1．14.1 全等三角形及其性质
【题型1】全等形 1
【题型2】全等三角形的概念 2
【题型3】全等三角形的性质 3
【题型4】全等三角形的性质与运动变化问题 5
【题型1】全等形
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A.形状相同的两个图形一定全等 B.两个长方形是全等图形 C.两个全等图形面积一定相等 D.两个正方形一定是全等图形
【举一反三1】下列各图形中，不是全等形的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有 组．
【举一反三3】如图是由与四边形ACDB全等的6个四边形拼成的图形，若AB＝3cm，CD＝2AB，则AF的长为 cm．
【举一反三4】如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形(要求至少要画出两种方法).
【举一反三5】在下列3个6×6的网格中，画有正方形ABCD，沿网格线把正方形分ABCD分割成两个全等图形，请用三种不同的方法分割，画出分割线．
【题型2】全等三角形的概念
【典型例题】如图，，和，和是对应边，则的对应角是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列说法中，正确的是( )
A.全等的两个三角形的面积相等
B.两个等腰直角三角形全等
C.面积相等的两个三角形是全等三角形
D.周长相等的两个三角形是全等三角形
【举一反三2】如图，已知△ABC≌△ADE，则∠BAC的对应角是（ ）
A.∠AEC B.∠ACB C.∠DAE D.∠ADE
【举一反三3】如图，△ABC≌△ADE，∠B与∠D是对应角，AB与AD是对应边，另外两组对应边为 ，对应角为 .
【举一反三4】已知：如图，△ABC≌△CED，∠B与∠DEC是对应角，BC与ED是对应边．说出另外两组对应角和对应边．
【举一反三5】如图，已知△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个全等三角形的对应边和对应角．
【题型3】全等三角形的性质
【典型例题】如图，△AOB≌△COD，点A，O，C在一条直线上，已知AC长为8 cm，OD长为2 cm，AB的长不可能为( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
如图，∠ABC＝50°，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，△BED≌△CED，则∠AEC的度数是（ ）
A.50° B.25° C.80° D.115°
如图，△ABC≌△CDE，且B，C，D三点共线，若AB＝4，DE＝3，则BD长为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【举一反三3】如图，△AOD≌△BOC，∠COD=40°，AD与BC相交于点E，OD与BC相交于点F，则∠DEC的度数为 .
【举一反三4】如图，已知，，，则等于 ．
【举一反三5】（教材改编）如图，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是对应边，∠ACD和∠BCE相等吗？为什么？
【举一反三6】如图所示，A ，C，E 三点在同一直线上，且 ．
（1）求证： ；
（2）当 满足什么条件时，？
【题型4】全等三角形的性质与运动变化问题
【典型例题】如图，已知线段米，于点，米，射线于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（ ）
A. 10
B. 20或10
C. 6
D. 6或10
【举一反三1】如图，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若在某一时刻，以A，C，P三点构成的三角形与以B，P，Q三点构成的三角形全等，则点的运动速度为（ ）
A. B.或 C. D.或
【举一反三2】如图，，，，，垂足分别为、，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向点运动；点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线方向运动，点、点同时出发，当以、、为顶点的三角形与全等时，的值为 ．
【举一反三3】如图，已知中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段．上以4厘米秒的速度用点向点运动．同时，点在线段上由点以厘米/秒的速度向点运动．设运动的时间为秒．
(1)直接写出：
①___________厘米；
②__________厘米（可用含的代数式表示）；
(2)若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求、的值．
