14.3 角的平分线
【题型1】角平分线的性质 1
【题型2】角平分线的判定 5
【题型3】角平分线性质与判定的综合 8
【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合 12
【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 15
【题型6】角平分线性质与判定的实际应用 19
【题型1】角平分线的性质
【典型例题】如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：连接，过作于，
平分，，
，
，
，
在与中，
，
，
在与中，
，
，
与的差为，
，
．
【举一反三1】如图，射线OC是∠AOB的平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP=8，若点Q是射线OB上一点，OQ=6，则△ODQ的面积是
A.6 B.12 C.24 D.48
【答案】C
【解析】过点D作DH⊥OB于点H，如图，
∵OC是∠AOB的平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，
∴DH=DP=8，
∴△ODQ的面积=OQ·DH=×6×8=24.
【举一反三2】如图，AD是的角平分线，于点E，ABC的面积是10，CD∶BD=2∶3，DE=2，则AC的长是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】过D作于F，如图所示，
∵AD是△ABC的角平分线，，，
∴DF=DE=2，
∵ABC的面积是10，CD∶BD=2∶3，
∴
∴，
解得AC=4．
【举一反三3】如图，将一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，BC,BD为折痕，点E′在A′B上，则∠CBD的度数为 ．
【答案】90°
【解析】根据折叠的性质可得,
∠ABC=∠A′BC=∠ABA′，
∠EBD=∠E′BD=∠EBE′，
所以∠CBD=∠A′BC+∠E′BD
=(∠ABA′+∠EBE′)
＝180°=90°．
【举一反三4】已知：如图，∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.
证明：PC=PD.
【答案】证明 如图，过点P作PE⊥OB于点E，作PF⊥OC于点F.
∵PE⊥OB，PF⊥OC，
∴∠PED=∠PFC=90°.
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF.
∵∠AOB=90°，
∴∠FPE=90°，
∴∠DPE+∠DPF=∠FPE=90°.
∵∠CPF+∠DPF=∠CPD=90°，
∴∠DPE=∠CPF.
又∵PE=PF，∠PED=∠PFC=90°，
∴△DPE≌△CPF(ASA)，
∴PC=PD.
【题型2】角平分线的判定
【典型例题】如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图，过点D作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴的度数为．
【举一反三1】数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法，小旭说：我用两块含30°角的直角三角板就可以画角平分线，如图，取OM=ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.HL
【答案】D
【解析】由题意可得∠PMO=∠PNO=90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO中，
∴Rt△PMO≌Rt△PNO，
∴∠MOP=∠NOP，
∴射线OP是∠AOB的平分线.
【举一反三2】如图，已知，P为内部一点，过点P作于点A，于点B，，C为上一点，于点D，且，则点C到的距离是 ．
【答案】7
【解析】解：∵P为内部一点，，，，
∴平分，
∵，
∴C到的距离．
【举一反三3】如图，在中，D到和距离相等，，，则度数为 ．
【答案】
【解析】解：∵在中，D到和距离相等，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【举一反三4】如图所示，BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F，E，BD=CD.求证：点D在∠BAC的平分线上.
【答案】证明 ∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS).
∴DE=DF.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上.
【举一反三5】（教材改编）如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF.求证：FD平分∠BFE.
【答案】证明：AB⊥CD，CE⊥AD，
，
在和中，
，
，
在Rt和Rt中，
，
∴，
∴FD平分∠BFE．
【题型3】角平分线性质与判定的综合
【典型例题】如图所示，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S．连接AP,若AQ=PQ，PR=PS，下列结论：①AS=AR；②AP平分∠BAC；③△BRP△CSP；④PQ∥AR，其中正确的是（ ）
A.①③ B.②③ C.①②④ D.①②③④
【答案】C
【解析】∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴△APR△APS，
∴AS=AR，故①②正确；
∵AQ=PQ，
∴∠BAP=∠QAP=∠QPA，
∴PQ∥AR，故④正确；
根据已知条件无法判断③成立，故③不成立．
【举一反三1】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB=10cm，AC=BC=7cm，则△DBE的周长等于（ ）
A.10cm B.9cm C.8cm D.6cm
【答案】A
【解析】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，在Rt△ACD与Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE=AC=BC，∴DE+BD=CD+BD=BC，∵AC=BC，∴BD+DE=AC=AE，∴△BDE的周长是BD+DE+BE=AE+BE=AB=10．故选A．
【举一反三2】如图，在中，，为边上两点，连接，，于点F，若，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，，，
∴是的平分线，
∵，
∴，
∴，
∴．
【举一反三3】(1)如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM=ON，则∠ABO= °.
【答案】15
【解析】∵OM⊥AB，ON⊥BC，
且OM=ON，
∴BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠ABC=×30°=15°.
【举一反三4】如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
【答案】（1）解：∵∠ACB＝110°，
∴∠ACD＝180°﹣110°＝70°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝55°，
∴∠ECH＝90°﹣55°＝35°，
∴∠ACE＝180°﹣35°﹣110°＝35°；
（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；
（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝AC EN+CD EH＝（AC+CD） EM＝21，
即，
解得EM＝3，
∵AB＝8.5，
∴S△ABE＝AB EM＝．
【举一反三5】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．
【答案】证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合
【典型例题】如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C
【解析】解：（1）证明：作PH⊥AB于H，
∵AP是∠CAB的平分线，
∴∠PAE＝∠PAH，
在△PEA和△PHA中，
，
∴△PEA≌△PHA（AAS），
∴PE＝PH，
∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，
∴PF＝PH，
∴PE＝PF，
∴（1）正确；
（2）与（1）可知：PE＝PF，
又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，
∴点P在∠COD的平分线上，
∴（2）正确；
（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，
又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，
∴∠O+∠EPF＝180°，
即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，
由（1）知：△PEA≌△PHA，
∴∠EPA＝∠HPA，
同理：∠FPB＝∠HPB，
∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，
即∠O+2∠APB＝180°，
∴∠APB＝90°﹣，
∴（3）错误；
故选：C．
【举一反三1】如图，是的外角，，和的平分线相交于点，连接，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：过点E作交延长线于F，作于G，作于H，如图，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∴．
【举一反三2】如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的外角∠ACG的平分线CF相交于点F.过F作DF∥BC，交AB于D,交AC于E，若BD＝8，DE＝3，则CE的长度为________.
【答案】5
【解析】∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACG.
∴∠ABF=∠CBF,∠ACF=∠FCG，
∵DF∥BC,
∴∠CBF=∠BFD,∠GCF=∠EFC，
∴∠ABF=∠BFD,∠ACF=∠EFC，
∴BD＝DF，CE＝EF，
∴CE＝EF=DF-DE＝BD-DE=8-3=5.
【举一反三3】如图，BD是△ABC的外角∠ABP的角平分线，DA=DC，DE⊥BP于点E，若AB=5，BC=3，求BE的长.
【答案】解：如图，过点D作DF⊥AB于F，
∵BD是∠ABP的角平分线，
∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△BDF中，，
∴△BDE≌△BDF（HL），∴BE=BF，在Rt△ADF和Rt△CDE中，，
∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），
∴AF=CE，
∵AF=AB-BF，CE=BC+BE，
∴AB-BF=BC+BE，∴2BE=AB-BC，
∵AB=5，BC=3，
∴2BE=5-3=2，解得BE=1．
【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定
【典型例题】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若，的面积是40，则的长为（ ）
A.5 B.8 C.16 D.17
【答案】C
【解析】解：如图，过点D作于点E，
由作图可知，为的平分线，
，
，
的面积，
解得．
【举一反三1】观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A.OE是∠AOB的平分线
B.OC=OD
C.点C、D到OE的距离不相等
D.∠AOE=∠BOE
【答案】C
【解析】解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．
A.OE是∠AOB的平分线，A正确；
B.OC=OD，B正确；
C.点C、D到OE的距离相等，C不正确；
D.∠AOE=∠BOE，D正确．
故选C．
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A.15 B.30 C.45 D.60
【答案】B
【解析】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=AB DE=×15×4=30．故选B．
【举一反三3】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，的面积是30，则的长为 ．
【答案】3
【解析】解：如图，过点作，则，
∵，
∴，
由作图可知，平分，
又∵，，
∴．
【举一反三4】如图，在中，．
(1)尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等；
(2)在（1）的条件下，若，，，求的长．
【答案】解：（1）如图所示．
（2）如图所示，过点作于点，
是的平分线，，，
，
设，
在中， ，，，
，
，
解得，
即的长为3．
【举一反三5】已知，如图，点C在的内部，且，是的角平分线．
(1)尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若射线分别表示从点O出发的正东、正北两个方向，则射线表示的方向是___________；
(3)在图中找出互补的角是___________．
【答案】解：（1）如图，射线即为所求．
（2）∵，
∴射线表示南偏东的方向上，
故答案为：南偏东；
（3）∵，平分，
∴，
∴与互补的角是
故答案为：．
【题型6】角平分线性质与判定的实际应用
【典型例题】如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，过分别作于，于，
是的平分线，
，
，的面积为，
，
的面积．
【举一反三1】小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.
如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是( )
A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.以上均不正确
【答案】A
【解析】如图所示，过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上).
【举一反三2】三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 处．
【答案】4
【解析】解：∵三条公路两两相交，要求加油站到这三条公路的距离都相等，
∴加油站在角平分线的交点处，画出加油站位置如图所示，共4处．
【举一反三3】如图，l1，l2，l3三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有 处.
【答案】4
【解析】如图所示，这个超市可以在△ABC三条角平分线的交点P1处及任意两外角的平分线的交点P2，P3，P4处，共4个地方.
【举一反三4】图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．
（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长．
【答案】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下：
在△ADF和△AEF中，
，
∴△ADF≌△AEF（SSS）．
∴∠DAF＝∠EAF，
∴AP平分∠BAC．
（2）如图，过点P作PG⊥AC于点G．
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，
∴PG＝PQ＝6．
∵S△ABC＝S△ABP+S△APC＝AB PQ+AC PG，
∴AB×6+×9×6＝60．
∴AB＝11．14.3 角的平分线
【题型1】角平分线的性质 1
【题型2】角平分线的判定 2
【题型3】角平分线性质与判定的综合 4
【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合 5
【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 6
【题型6】角平分线性质与判定的实际应用 8
【题型1】角平分线的性质
【典型例题】如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，射线OC是∠AOB的平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP=8，若点Q是射线OB上一点，OQ=6，则△ODQ的面积是
A.6 B.12 C.24 D.48
【举一反三2】如图，AD是的角平分线，于点E，ABC的面积是10，CD∶BD=2∶3，DE=2，则AC的长是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三3】如图，将一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，BC,BD为折痕，点E′在A′B上，则∠CBD的度数为 ．
【举一反三4】已知：如图，∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.
证明：PC=PD.
【题型2】角平分线的判定
【典型例题】如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法，小旭说：我用两块含30°角的直角三角板就可以画角平分线，如图，取OM=ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.HL
【举一反三2】如图，已知，P为内部一点，过点P作于点A，于点B，，C为上一点，于点D，且，则点C到的距离是 ．
【举一反三3】如图，在中，D到和距离相等，，，则度数为 ．
【举一反三4】如图所示，BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F，E，BD=CD.求证：点D在∠BAC的平分线上.
【举一反三5】（教材改编）如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF.求证：FD平分∠BFE.
【题型3】角平分线性质与判定的综合
【典型例题】如图所示，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S．连接AP,若AQ=PQ，PR=PS，下列结论：①AS=AR；②AP平分∠BAC；③△BRP△CSP；④PQ∥AR，其中正确的是（ ）
A.①③ B.②③ C.①②④ D.①②③④
【举一反三1】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB=10cm，AC=BC=7cm，则△DBE的周长等于（ ）
A.10cm B.9cm C.8cm D.6cm
【举一反三2】如图，在中，，为边上两点，连接，，于点F，若，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】(1)如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM=ON，则∠ABO= °.
【举一反三4】如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
【举一反三5】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．
【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合
【典型例题】如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【举一反三1】如图，是的外角，，和的平分线相交于点，连接，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的外角∠ACG的平分线CF相交于点F.过F作DF∥BC，交AB于D,交AC于E，若BD＝8，DE＝3，则CE的长度为________.
【举一反三3】如图，BD是△ABC的外角∠ABP的角平分线，DA=DC，DE⊥BP于点E，若AB=5，BC=3，求BE的长.
【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定
【典型例题】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若，的面积是40，则的长为（ ）
A.5 B.8 C.16 D.17
【举一反三1】观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A.OE是∠AOB的平分线
B.OC=OD
C.点C、D到OE的距离不相等
D.∠AOE=∠BOE
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A.15 B.30 C.45 D.60
【举一反三3】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，的面积是30，则的长为 ．
【举一反三4】如图，在中，．
(1)尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等；
(2)在（1）的条件下，若，，，求的长．
【举一反三5】已知，如图，点C在的内部，且，是的角平分线．
(1)尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若射线分别表示从点O出发的正东、正北两个方向，则射线表示的方向是___________；
(3)在图中找出互补的角是___________．
【题型6】角平分线性质与判定的实际应用
【典型例题】如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.
如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是( )
A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.以上均不正确
【举一反三2】三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 处．
【举一反三3】如图，l1，l2，l3三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有 处.
【举一反三4】图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．
（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长．
