15.3 等腰三角形
【题型1】等腰三角形的概念 1
【题型2】两腰相等 3
【题型3】等边对等角 5
【题型4】三线合一 8
【题型5】等腰三角形性质与折叠 11
【题型6】等腰三角形的性质与尺规作图 15
【题型7】等腰三角形性质的实际应用 18
【题型8】用定义判定等腰三角形 23
【题型9】用定义判定格点中的等腰三角形 25
【题型10】等角对等边 29
【题型11】用等角对等边证明边相等 32
【题型12】用等角对等边求边长、周长或面积 38
【题型13】尺规作图中的等角对等边 41
【题型14】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数 45
【题型15】等腰三角形性质与判定 51
【题型16】尺规作图——作等腰三角形 54
【题型17】等边三角形的性质 60
【题型18】等边三角形的判定 62
【题型19】等边三角形的性质和判定 65
【题型20】含30°角的直角三角形的性质 69
【题型21】等腰直角三角形的性质与判定 71
【题型1】等腰三角形的概念
【典型例题】如图，AB=AC，DE=DC，则等腰△DEC的底角是（ ）.
A.∠B B.∠C C.∠B和∠C D.∠DEC和∠C
【答案】D
【解析】解：在等腰三角形中，腰与底边的夹角叫底角
∵DE=DC
∴DE与DC是等腰△DEC的两腰，CE是底边
∴∠DEC和∠C是等腰△DEC的底角.
故选D.
【举一反三1】如图，△ABC中，AB=BC，则图中等腰△ABC的顶角是（ ）
A.∠BAC B.∠B C.∠ACB D.都不对
【答案】B
【解析】解：在等腰三角形，两腰的夹角叫等腰三角形的顶角，所以在等腰△ABC中，它的顶角是∠B.
所以选B.
【举一反三2】如图，它是（ ）三角形.
A.等腰 B.等边 C.不等边 D.直角
【答案】A
【解析】解：根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形，可知，A符合题意.
【举一反三3】如图，在△PMN中，PM=PN，则这个等腰三角形的腰为 ，底边为 ，它的顶角为 ，两个底角分别为 .
【答案】解：根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形，相等两边叫等腰三角形的腰，第三边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫顶角.
所以两腰分别为PM和PN，底边为MN，顶角为∠P，它的底角为∠M和∠N.
【举一反三4】如图，AC=BC.请写出等腰△ABC的腰、底边、顶角和底角.
【答案】解：根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形，相等两边叫等腰三角形的腰，第三边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫顶角.
等腰△ABC的腰为AC和CB，底边为AB，顶角为∠C，底角为∠CAB和∠CBA.
【题型2】两腰相等
【典型例题】如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则x的值是（ ）
A.5 B.8 C.9 D.16
【答案】D
【解析】解：A、当x=5时，5+5＜16，5，5，16不能组成三角形，不符合题意；
B、当x=8时，5+8＜16，5，8，16不能组成三角形，不符合题意；
C、当x=9时，5+9＜16，5，9，16不能组成三角形，不符合题意；
D、当x=16时，5+16＞16，8+9＞16，符合题意；
故选：D．
【举一反三1】边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【答案】B
【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则其底边长为：21﹣2x．∵21﹣2x﹣x＜x＜21﹣2x+x，∴5.25＜x＜10.5，∵边长为整数，∴x的取值为：6，7，8，9，10，∴这样的等腰三角形共有5个，故选B．
【举一反三2】若方程组的解恰为等腰△ABC的两边长，则△ABC的周长为 ．
【答案】12
【解析】解方程组
得
∴等腰三角形的两边长为2，5．
若腰长为2，底边长为5．
∵2+2＜5，
∴不能构成三角形．
若腰长为5，底边长为2，则三角形的周长为5+5+2＝12．
∴这个等腰三角形的周长为12．
【举一反三3】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？为什么？
【答案】解：（1）设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为，
依题意得，
解得，
这个等腰三角形的各边长分别为，，；
（2）能围成有一边的长是的等腰三角形，理由如下：
依题意分两种情况讨论如下：
①当腰长为时，则底边长为，
此时该等腰三角形的三边为，，，
，符合构成三角形的条件；
②当底边长为时，则腰长为，
此时该等腰三角形的三边为，，，
，符合构成三角形的条件，
综上所述：能围成有一边的长是的等腰三角形．
【举一反三4】用一根长度为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果底边长是腰长的1.5倍，那么各边长是多少？
(2)如果所围成的等腰三角形的一边长为，那么另外两边长是多少？
(3)设所围成的等腰三角形的腰长为，请直接写出a的取值范围．
【答案】解：（1）设等腰三角形的腰长为，则底边长为．根据题意，得．
解得．
所以三角形三边长分别为．
（2）当底边长为时，设腰长为．根据题意，得．解得．
当腰长为时，设底边长为．根据题意，得．解得．因为，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长为的等腰三角形．故三角形另外两边长都是．
（3）因为等腰三角形的腰长为，
所以等腰三角形的底边长为．根据三角形的三边关系，
得
解得．
【题型3】等边对等角
【典型例题】如图，直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA=CB．若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A.40° B.50° C.60° D.70°
【答案】D
【解析】解：∵CA=CB，
∴∠1=∠ABC=70°，
∵a∥b,
∴∠2=∠ABC=70°，
故选：D．
【举一反三1】等腰三角形的一个外角是95°，则它底角的度数是( )
A.85° B.47.5°或95° C.85°或47.5° D.无法确定
【答案】C
【解析】如果等腰三角形底角的外角是95°，
∴它底角的度数是180°-95°=85°；
如果等腰三角形顶角的外角是95°，
∴它底角的度数是×95°=47.5°，
∴等腰三角形底角的度数是47.5°或85°.
【举一反三2】如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝ °．
【答案】44．
【解析】解：如图，连接OA、OC，
∵OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD（SSS），
∴∠ABO＝∠CBO，
∵∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，
∴∠ABO+∠OBD＝116°，∠CDO﹣∠ODB＝28°，
∴∠ABO＝72°，∠OBD＝44°，
故答案为：44．
【举一反三3】若等腰三角形中一个角的度数是另一个角的两倍，求底角的度数.
【答案】解 当顶角度数是底角的两倍时，设底角度数是x，则顶角度数是2x，
∴2x+x+x=180°，
解得x=45°，
∴底角的度数为45°；
当底角度数是顶角的两倍时，设顶角度数是a，则底角度数是2a，
∴a+2a+2a=180°，
解得a=36°，
∴2a=2×36°=72°，
∴底角的度数为72°.
综上，底角的度数为45°或72°.
【举一反三4】如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点为上一点，且在内部，连接，，，已知．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵是的垂直平分线，点为上一点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是的垂直平分线，点，在上，
∴，，
∴，，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
【题型4】三线合一
在“桥梁博物馆”的贵州有一座在云端行走的桥——北盘江大桥．如图，索塔的顶端，拉索与桥面围成的图形可看作等腰三角形，，当固定点B，C到D的距离相等，且B，D，C在同一直线上时，AD就垂直于BC．这个依据是( )
【典型例题】
A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形“三线合一”
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
【答案】C
【解析】∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC.
【举一反三1】如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交BC于点E，若周长为16，，则为（ ）
A.5 B.8 C.9 D.10
【答案】A
【解析】解：∵周长为16，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【举一反三2】下列各线中，不属于等腰三角形“三线合一”的线是（ ）
A.顶角的平分线 B.底边上的中线 C.底边上的中垂线 D.底边上的高线
【答案】C
【解析】解：等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故选项C不符合条件，故选C．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16 cm，则BD＝ cm.
【答案】8
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，且AD＝AE，∠BAD＝30°，则∠CAD＝ ，∠EDC＝ ．
【答案】30° 15°
【解析】由AB＝AC，D为BC的中点，
得∠CAD＝∠BAD＝30°，AD⊥BC，
由AD＝AE，
得∠ADE＝∠AED＝(180°﹣30°)÷2＝75°，
得∠EDC＝90°﹣75°＝15°.
【举一反三5】如图，在中，平分，E是上一点，，且．
(1)如果，则的度数为______；
(2)探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：，
，
∵平分，
，
∵，即，
，
故答案为．
（2）解：．
证明：过点作于点，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
【题型5】等腰三角形性质与折叠
【典型例题】如图，在中，，点是上一点，的垂直平分线交于点，将沿折叠，点恰好与点重合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵将沿折叠，点恰好与点重合，
∴，
∵，
∴，
解得，．
【举一反三1】如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则是度数为（ ）
A. B. C.或 D.或
【答案】D
【解析】解：当时，则，
由折叠的性质可得，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
∵，
∴不存在；
综上所述，或．
【举一反三2】如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．则∠BEC的度数是 ．
【答案】72°
【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB==72°，
∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，
∴∠ECD=∠A=36°，
∴∠ECB=∠BCD-∠ECD=72°-36°=36°，
∴∠BEC=180°-36°-72°=72°
故答案为：72°．
【举一反三3】数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为 ．
【答案】．
【解析】解：如图，标注三角形的三个顶点、、．
．
图案是由一张等宽的纸条折成的，
，
又纸条的长边平行，
，
．
【举一反三4】将长方形纸片沿折叠，边与边的交点为E，将纸片展开铺平（图①）．然后过E点将纸片进行折叠，使被折痕分成的两部分重合，记折痕所在直线与的交点为G（图②），将纸片展开铺平．再过D点将纸片进行折叠，使被折痕分成的两部分重合，记折痕所在直线与的交点为H（图③），将纸片展开铺平．连接图④）．
(1)折痕与有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)若，求的度数．
【答案】解：（1），理由如下：
由折叠的性质得，，
，
，
，
，
，
．
（2）∵，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
由（1）得，
，
，
．
【题型6】等腰三角形的性质与尺规作图
【典型例题】如图，已知中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由作图可得，
∵，
∴，
∴．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD等于( )
A.60° B.45° C.40° D.30°
【答案】B
【解析】∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB(180°﹣∠A)(180°﹣30°)＝75°，
∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，
∴BC＝BD，
∴∠CBD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C=78°，分别以点A、B为圆心，以大于AB
的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A= 度．
【答案】34
【解析】解：在△ABC中，∠C=78°，
∴∠A+∠ABC=180°-78°=102°，
根据作图过程可知：DM是AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，
∵DM是AB的垂直平分线，
∴DB=DA，
∴∠DBA=∠A，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBA=∠DBC，
∴∠A=∠DBA=∠DBC，
∴3∠A=102°，
∴∠A=34°．
故答案为：34．
【举一反三3】如图，在中，，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】解：∵在中，，，
∴，
根据作图痕迹，得平分，
∴，
∴．
【举一反三4】（1）如图1，在中，尺规作图：画出的角平分线和的角平分线，的角平分线交于点，交的角平分线于点（保留作图痕迹，不写作法，标出点F和点D）
（2）如图2，在（1）的基础上，已知，点在上且，求的大小．
【答案】解：（1）如图所示，图形即为所求：
（2）是的角平分线，是的角平分线，
，，，
，
，
，
，
，
．
【举一反三5】如图，在中．
(1)尺规作图：在边上找到一点D，使得，连接．（保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．
【答案】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）由作图可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型7】等腰三角形性质的实际应用
【典型例题】《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨同“蝶”），如图为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵点与点关于直线对称，，
∴，，
∵和为两个全等的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，即是等腰三角形，
∴．
【举一反三1】如图，是某平板电脑支架，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小，若增大．则的变化情况是（ ）
A.增大 B.减小 C.增大 D.减小
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴当增加时，和各增加，
∵，
∴当增加时，减小．
【举一反三2】如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【举一反三3】如图，在点处用钉子将木条，钉在一起，是木条上一点，用橡皮筋连接，，固定木条，把木条绕转动．若是的中点，当的面积最大时，与之间存在的数量关系为 ．
【答案】
【解析】解：设在中，边上的高为，
，
是的中点，
当的面积最大时，垂直平分线段，
，
．
【举一反三4】综合与实践：
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD.
(1)[操作应用]如图1，将“筝形功能器”上的点A与∠PRQ的顶点R重合，AB，AD分别放置在角的两边RP，RQ上，并过点A，C画射线AE，求证：AE是∠PRQ的平分线；
(2)[实践拓展]实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平.如图2，在仪器上的点A处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B，D紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点C，即判断门框是水平的.实践小组的判断对吗？请说明理由.
【答案】(1)证明 在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AE是∠PRQ的平分线.
(2)解 实践小组的判断对，理由如下：
∵△ABD是等腰三角形，AB=AD，
由(1)知，AC平分∠BAD，
∴AC⊥BD，
∵AC是铅锤线，
∴BD是水平的，
∴门框是水平的，
∴实践小组的判断对.
【举一反三5】观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”．如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：
①木条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接AB；
②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）；
③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在CB延长线上的落点记为点D；
④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的∠DAC是直角．
操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法．如图2，BA＝BC．请画出以点A为顶点的直角，记作∠DAC；
推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：
证明：∵AB＝BC＝BD，
∴△ABC与△ABD是等腰三角形．
∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD．（依据1）
∴∠BCA+∠BDA＝∠BAC+∠BAD＝∠DAC．
∵∠DAC+∠BCA+∠BDA＝180°，（依据2）
∴2∠DAC＝180°．
∴∠DAC＝90°．
依据1： ；依据2： ；
拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作∠POQ，使得直角边OP（或OQ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：（1）
；
（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理；
故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；
（3）．
【题型8】用定义判定等腰三角形
【典型例题】下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是（ ）
A.1，1，2 B.2，2，5 C.3，3，5 D.3，4，5
【答案】C
【解析】解：A.∵1+1=2，无法构成三角形，故此选项错误；
B.∵2+2＜5，无法构成三角形，故此选项错误；
C.∵3+3＞5，3=3，故组成等腰三角形，此选项正确；
D.∵3，4，5没有相等的边，不是等腰三角形，故此选项错误．故选：C．
【举一反三1】下列各组线段中，能构成等腰三角形的是（ ）
A.1，1，2 B.2，2，4 C.3，3，5 D.3，4，5
【答案】C
【解析】解：对于选项A，
∵1+1＝2，
∴长度为1，1，2的三条线段不能构成三角形，
故选项A不符合题意；
对于选项B，
∵2+2＝4，
∴长度为2，2，4的三条线段不能构成三角形，
故选项B不符合题意；
对于选项C，
∵3+3＞5，
∴长度为3，3，5的三条线段能构成等腰三角形，
故选项C符合题意；
对于选项D，
∵3+4＞5，3≠4≠5，
∴长度为3，4，5的三条线段不能构成等腰三角形，
故选项D不符合题意．
故选：C．
【举一反三2】已知的周长为16，，当的值为 时，是等腰三角形．
【答案】4 或 5 或 6
【解析】解： 的边，周长为16，
当时，则 符合三角形的三边关系，
当时，则 符合三角形的三边关系，
当时，符合三角形的三边关系，
所以为6或5或4．
故答案为4 或5或6．
【举一反三3】如图，在△ABC中，已知边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线交于点P，连接PA、PB、PC，则图中有 个等腰三角形．
【答案】3．
【解析】解：∵边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线交于点P，
∴AP＝PB，PB＝PC，
∴AP＝PC，
∴△ABP，△BPC，△APC都是等腰三角形；
故答案为：3．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AD延长线上一点，且∠ACE＝∠B．求证：△CDE是等腰三角形．
【答案】证明 在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，
在△ACE中，∠ACE+∠CAE+∠E＝180°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠ACE＝∠B，
∴∠ADB＝∠E，
∵∠ABD＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠E，
∴△CDE是等腰三角形．
【题型9】用定义判定格点中的等腰三角形
【典型例题】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C
【解析】如图，当△ABC为等腰三角形时有两种情况：AB为腰和AB为底.
当AB为腰时，符合条件的点C有4个，即C1，C2，C3，C4；
当AB为底时，符合条件的点C也有4个，即C5，C6，C7，C8，
所以满足题意的点C的个数是8.
【举一反三1】如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（ ）个
A.2个 B.5个 C.3个 D.1个
【答案】B
【解析】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个.
如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个.
综上所述，使为等腰三角形的点有个．
【举一反三2】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ．
【答案】5
【解析】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如；
∴共有5个．
【举一反三3】平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为2．
(1)在坐标系中描出点A的位置，并写出点A的坐标；
(2)作点A关于y轴的对称点B，并写出点B的坐标；
(3)在x轴上找一点C使为等腰三角形，写出符合要求的所有点C的坐标．
【答案】解：（1）∵点A在第二象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，
∴点A的坐标为，
如图，在坐标系中描出点A的位置；
（2）如图，点B的坐标为；
（3）如图，点或或．
【举一反三4】在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，把顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点、，请在所给的网格区域（含边界）内按要求画出整点三角形．
(1)在图中画出以为一条直角边的等腰直角三角形；
(2)在图中画出一个，使得的面积等于，且使点在的内部．
【答案】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求．
【题型10】等角对等边
【典型例题】如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，点D是AC上一点，且∠DBC=36°，则图中等腰三角形的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，则∠ABC=72°，
∵∠DBC=36°，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠CDB=∠BCD=72°，
则等腰三角形的个数为3，分别是△ABC，△BDC，△DAB.
【举一反三1】如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中等腰三角形有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】D
【举一反三2】下面几个三角形中，不可能是等腰三角形的是( )
A.有两个内角分别为75°，75°的三角形 B.有两个内角分别为110°和40°的三角形 C.有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形 D.有一个外角为80°，一个内角为100°的三角形
【答案】B
【举一反三3】如图，已知中，，平分交于点D，是的外角的平分线，交于点G．以下结论：①；②是等腰三角形；③．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③/③②
【解析】解：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形，故②正确，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，故③正确，
但是证明不出，只能得到，故①错误，
∴正确的为②③．
【举一反三4】推理填空：如图，已知，作的平分线，将直角尺如图摆放，使边与边重合，顶点落在边上，边与交于点，猜想是等腰三角形．
证明：平分（已知）
（①__________）
，
②__________（③__________）
④__________⑤__________（⑥__________）
（⑦__________）
是等腰三角形．
【答案】证明：平分（已知）
（角平分线的定义）
，
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
（等角对等边）
是等腰三角形．
【举一反三5】将一张长方形纸条ABCD按如图所示的方式折叠，求证：△GEF是等腰三角形.
【答案】证明 ∵将一张长方形纸条ABCD折叠，∴∠2＝∠1，
∵AD∥BC，∴∠3＝∠1，
∴∠2＝∠3，
∴△GEF是等腰三角形.
【举一反三6】已知：如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE∥BC．求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】证明：∵AE∥BC，∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C，
∵AE是△ABC外角的平分线，
∴∠DAE=∠EAC，∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
【题型11】用等角对等边证明边相等
【典型例题】如图，在中，是斜边上的高，角平分线交于，于，则下列结论中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵在中，是斜边上的高，，
∴，
∴，
∴，故选项A结论正确，不符合题意；
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，故选项C结论正确，不符合题意；
∵，
∴，又，
∴，
∴，，故选项D结论正确，不符合题意；
由图得，
∴，故选项B结论错误，符合题意．
【举一反三1】如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（ ）
A.是等腰三角形， B.和一定是全等三角形 C.折叠后得到的图形是轴对称图形 D.折叠后和一定相等
【答案】D
【解析】解：∵四边形是长方形，
∴，，，，
∴，
由折叠的性质得，
∴，，，
∴，
∴是等腰三角形，则选项A正确；
在和中，
∴，则选项B正确；
∴如图，折叠后得到的图形是轴对称图形，则选项C正确；
假设，
∴，由已知条件不能得出这个结论，所以假设不成立，选项D错误；
．
【举一反三2】如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论．①；②；③点到各边的距离相等；④设，则，正确的结论有（ ）个．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】解：①是的平分线，
，
，
，
，
，
同理：，
，
故结论①正确；
②和的平分线相交于点，
，，
，
，
，
，
故结论②正确；
③过点作于，于，连接，如图所示.
是的平分线，
，
是的平分线，，
，
，
点到各边的距离相等，
故结论③正确；
④，，
由③正确得，
，，
．
故结论④正确．
【举一反三3】如图，的内角和外角的角平分线交于点O．交于点F，过点O作交延长线于点E，交延长线于点G，连接，有以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有
【答案】①③④
【解析】解：如图，
对于①，∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
故①正确；
对于②，条件不足，证明不出，
故②错误；
对于③，过点作，垂足分别为，
∵平分，
∴，
∴，
故③正确；
对于④，过点作于点，
同上可得，
∵，
∴，
∵，，
∴平分，则，
设，
设，
∴，
∴，
∴，，
在中，∴，
故④正确．
【举一反三4】如图，四边形中，，点E为上一点，连接、，且、分别平分、．求证：．
【答案】证明：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
．
【举一反三5】如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，求证AB=AD.
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AB=AD.
【题型12】用等角对等边求边长、周长或面积
【典型例题】如图，在中，，分别交于点，连接，且．若，则的长为（ ）
A.16.5 B.15.5 C.14 D.13
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
【举一反三1】如图，的平分线与外角的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，，，则的值为（ ）
A.2 B.9 C.6 D.
【答案】A
【解析】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴．
【举一反三2】如图，中，是角平分线，交于E，交于D，若，，则 ．
【答案】
【解析】解：∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是 .
【答案】4
【解析】∵∠B＝∠ADB，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DC＝AD＝4.
【举一反三4】一条船从海岛出发，以25海里/时的速度向正东方向航行，2小时后到达海岛处，从、望灯塔，测得， ，求海岛与灯塔的距离．
【答案】解：∵一条船从海岛出发，以25海里/时的速度向正东方向航行，2小时后到达海岛处，
∴海里，
∵， ，
∴，
∴，
∴海里，
∴海岛与灯塔的距离为50海里．
【举一反三5】如图，在和中，，．
(1)求证：平分；
(2)过点作交于点，若，，求的长．
【答案】（1）证明：在和中，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型13】尺规作图中的等角对等边
【典型例题】已知△ABC的三条边长分别为3，5，7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A.5条 B.4条 C.3条 D.2条
【答案】B
【解析】解：如图所示，当AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG，都能得到符合题意的等腰三角形．故选B．
【举一反三1】如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
是的平分线；
；
；
若，则点到的距离是；
.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据作图的过程可以判定是的角平分线，故正确；
如图，
∵在中，，，
∴，
又∵是的平分线，
∴，
∴，即，故正确；
∵，
∴，
∴点在的中垂线上，故正确；
如图，作于，
∵，，，
∴，
在中，，
∴则点到的距离是，故正确，
在中，∵，
∴，
∴，故正确，
综上所述，正确的结论是：，共有个．
【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由作法知AD＝AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；
由作法知，所作图形是线段BC的垂直平分线，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；
由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由作法知，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝30°＝∠B，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意.
【举一反三3】已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C．②以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为 ．
【答案】
【解析】解：由作法得，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【举一反三4】如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则 ．
【答案】110°．
【解析】解：根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°，
∵∠BCM=∠MAN+∠ABC，
∴∠BCM=110°．
故答案为：110°
【举一反三5】在和中，与相交于点，，．
(1)求证：；
(2)利用尺规作图，在线段上确定点，使（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）证明：在和中，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图所示．
【题型14】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数
【典型例题】点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（ ）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【答案】A
【解析】解：如图，点为所作，
故答案为A．
【举一反三1】直角坐标系中，点．，点B在轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点B共有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C
【解析】解：如图，
①以为底边时，
点坐标为，
；
②以为腰时，，，，
综上，点的坐标为或或或，共4个．
【举一反三2】在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】D
【解析】解：如图，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点，，交轴于点，，
以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点，，
故另一个顶点有，，，，，，共个．
【举一反三3】如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，在x轴上确定一点B，使是等腰三角形，这样的B点有 个．
【答案】4
【解析】解：如图，
当时，符合条件的B有一个，
当时，符合条件的B有两个，
当时，符合条件的B有一个
综上所述，符合条件的点B共有4个．
【举一反三4】在平面直角坐标系内点A，点B的坐标是分别为（0，3），（4，3），在坐标轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是 ．
【答案】7
【解析】解：如图所示：以为底边的等腰三角形有1个，则满足条件的点为，有1个点；
以为底边的等腰三角形有2个，则满足条件的点为，，共有2个点；
以为底边的等腰三角形4个，则满足条件的点为，，，，共有4个点；
则所有满足条件的点C共有7个，分别是，，，，，，这7个点．
【举一反三5】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．
（1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）；
（2）直接写出，，三点的坐标：（ ），（ ），（ ）．
（3）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有___________个．
【答案】解：（1）如图，即为所求．
（2）点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，
，
；
（3）如图，以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以BC为腰的等腰三角形，
以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以BC为腰的等腰三角形，
将两圆的交点连接可得的垂直平分线，交坐标轴于两个点，所以有2个以BC为底的等腰三角形，
综上，所有符合条件的点有10个，
故答案为10．
【举一反三6】如图，由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上(正方形的顶点).
(1)画出△ABC关于直线l的轴对称图形△AB1C1；
(2)在网格图中画出点Q，使△QAB与△ABC全等；
(3)直线l上总共存在 个点P，使△PAC为等腰三角形.
【答案】解 (1)如图，△AB1C1即为所求.
(2)如图，点Q1，Q2均满足题意.
(3)当以AC为底时，直线l上存在1个点P，使△PAC为等腰三角形；
当以AP为底时，直线l上存在1个点P，使△PAC为等腰三角形；
当以CP为底时，直线l上存在2个点P，使△PAC为等腰三角形.
综上所述，直线l上总共存在4个点P，使△PAC为等腰三角形.
【题型15】等腰三角形性质与判定
【典型例题】如图，在△ABC，∠A=36°，∠B=72°，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【解析】解：∵∠A=36°，∠B=72°，∴∠ACB=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠ACB=∠B，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴△ACE是等腰三角形，∴∠AEC=180°﹣36°﹣36°=108°，∴∠BEC=72°．∴∠BEC=∠B，∴CE=BC．∴△BEC是等腰三角形，∴等腰三角形有△ABC，△ABE，△BEC，故选：B．
【举一反三1】如图，AC，BD相交于点O，∠A=∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（ ）
A.OA=OD B.AB=CD C.∠ABO=∠DCO D.∠ABC=∠DCB
【答案】C
【解析】解：A.补充AO=DO，可利用ASA证明△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质可得BO=CO，进而证明出△BOC是等腰三角形；
B.补充AB=CD，可利用AAS证明△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质可得BO=CO，进而证明出△BOC是等腰三角形；
C.补充∠ABO=∠DCO，不能证明△AOB≌△DOC，进而不能证明出△BOC是等腰三角形；
D.补充∠ABC=∠DCB，可利用AAS证明△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠OCB=∠OBC，进而证明出△BOC是等腰三角形，
故选：C．
【举一反三2】如图，把两个全等的含30°角的直角三角板，按如图所示的方式拼在一起，其中等腰三角形有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】解：根据题意△ABE，△ACD都是等腰三角形，又由已知∠ACE=∠ADB=60°，∴∠DAE=∠CAB=30°，已知∠B=∠E=30°，∴得等腰三角形：△ACB，△ADE，所以等腰三角形4个．故选D．
【举一反三3】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝69°，若点P是等腰三角形ABC的腰AC上的一点，则当△EDP为等腰三角形时，∠EDP的度数是 ．
【答案】100°或142°
【解析】解：连接AD，
∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵点P是等腰△ABC的腰AC上的一点，AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DH⊥AC，DG⊥AB，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，
，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝69°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠EDP2＝142°，
同理可得Rt△DEG≌Rt△DP1H，
∴∠EDG＝∠P1DH，
∴∠EDP1＝∠GDH＝100°.
【举一反三4】如图，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，下列结论正确有 ．
①BD=CE；②△BDF，△CEF都是等腰三角形；
③BD+CE=DE；④△ADE的周长为AB+AC.
【答案】②③④
【解析】∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF=∠BFD，
∴∠ABF=∠BFD，
∴BD=FD，
同理可得CE=FE，
∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；①不正确，②正确；
∴BD+CE=FD+FE=DE，③正确；
△ADE的周长=AD+FD+FE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC，④正确.
【举一反三5】如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由：
（1）AD∥FG；
（2）△AEF是等腰三角形．
【答案】解：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵FG⊥BC，
∴AD∥FG．
（2）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD∥FG，
∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE，
即△AEF是等腰三角形．
【题型16】尺规作图——作等腰三角形
【典型例题】由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
【答案】C
【解析】解：①根据作图得，故，符合题意；
②根据作图得，不符合题意；
③根据作图得
平分，，
∴，
∴，
∴，
因此③符合题意；
④根据作图得，不符合题意，
∴符合题意的有①③．
【举一反三1】以下尺规作图能得到平分的是（ ）
A.只有① B.只有② C.①② D.①②③
【答案】D
【解析】解：如图，根据作图，得到，
∴，
∴，
即平分，
故①正确；
如图，根据作图，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分，
故②正确；
如图，根据作图，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分，
故③正确．
【举一反三2】以下尺规作图能得到平分的是（ ）
A.只有① B.只有② C.①② D.①②③
【答案】D
【解析】解：如图，根据作图，得到，
∴，
∴，
即平分，
故①正确；
如图，根据作图，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分，
故②正确；
如图，根据作图，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分，
故③正确．
【举一反三3】下列尺规作图分别表示：I.作一个角等于已知角；Ⅱ.作一条线段的垂直平分线；Ⅲ.作一个角的平分线，其中对应作法正确的是（ ）
A.I→①；Ⅱ→②；Ⅲ→③ B.I→①； Ⅱ→③；Ⅲ→② C.I→②；Ⅱ→③；Ⅲ→① D.I→③；Ⅱ→①；Ⅲ→②
【答案】B
【解析】解：①是作一个角等于已知角的方法；②是作一个角的平分线的作法；③是作一条线段的垂直平分线方法．
【举一反三4】在中，，直线经过点，且与平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图①，在直线l上作出一点P，使得；
(2)如图②，在直线上作出所有的点，使得．
【答案】解：（1）如图：点即为所求；
（2）如图：点，即为所求．
【举一反三5】操作与实践
(1)学习了尺规作图之后，小桂按以下步骤进行了尺规作图的练习：
第一步：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点；
第二步：过点，作直线．
根据以上作图，可知小桂作的直线是线段的________．
(2)小桂的尺规作图笔记里有这么一道题目：
如图，已知线段，，求作，使，且，高．
请你帮助小桂完成尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
【答案】解：（1）由线段垂直平分线的尺规作图可知，小桂作的直线是线段的垂直平分线，
故答案为垂直平分线．
（2）如图，即为所作．
．
【题型17】等边三角形的性质
【典型例题】如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（ ）
A.△ABD≌△EBC B.△NBC≌△MBD C.DM=DC D.∠ABD=∠EBC
【答案】C
【解析】解：A.可以利用SAS验证，正确；
B.可以利用AAS验证，正确；
C.可证∠MBN=60°，若DM=DC=DB，则△DMB为等边三角形，即∠BDM=60°，∵∠EAB=∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM=∠EAD=60°．与已知不符，错误；
D.可由∠ABE，∠DBC同加一个∠DBE得到，正确．所以错误的是第三个．故选C．
【举一反三1】如图，△ABC为等边三角形，AM∥CN．若∠BAM＝25°，则∠BCN等于（ ）
A.65° B.60° C.45° D.35°
【答案】D
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵AM∥CN，
∴∠MAC+∠ACN＝180°，
∴∠BAM+∠BAC+∠ACB+∠BCN＝180°，
即25°+60°+60°+∠BCN＝180°，
∴∠BCN＝35°．
【举一反三2】如图，将边长为7个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
【答案】27．
【解析】解：∵将边长为7个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，
∴BE＝AD＝3，EF＝BC＝7，DF＝AC＝7，
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BE+EF+FD＝3+7+3+7+7＝16．
故答案为：27．
【举一反三3】如图，木工师傅从边长为30 cm的正三角形ABC木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的边长为 cm．
【答案】10
【解析】解：图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，
所以正六边形的周长是正三角形的周长的，正六边形的周长为30×360(cm)，
所以正六边形的边长是60÷6＝10（cm）．
【举一反三4】如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，以AD为边作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°．
（Ⅰ）求∠CAE的度数；
（Ⅱ）求∠FDC的度数．
【答案】解：（Ⅰ）∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°，
∵∠DAE＝80°，
∴∠CAE＝80°﹣45°＝35°；
（Ⅱ）∵∠DAE＝80°，AD＝AE，
∴∠ADE＝（180°﹣80°）＝50°，
∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+60°＝75°，
又∵∠ADE＝50°
∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣50°＝25°．
【题型18】等边三角形的判定
【典型例题】在△ABC中，AB＝AC，添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A.∠A＝60° B.AC＝BC C.∠B与∠C互余 D.AB边上的高也是AB边上的中线
【答案】C
【解析】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
当∠A＝60°时，△ABC是等边三角形，故A不符合题意；
当AC＝BC时，△ABC是等边三角形，故B不符合题意；
当∠B与∠C互余时，即∠B+∠C＝90°，△ABC不一定是等边三角形，故C符合题意；
当AB边上的高也是AB边上的中线时，得到CA＝CB，△ABC是等边三角形，故D不符合题意．
【举一反三1】以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（ ）
A.2，2，3． B.2，3，3 C.2，4，5 D.4，4，4
【答案】D
【解析】解：A、2，2，3是等腰三角形，不是等边三角形，不符合题意；
B、2，3，3是等三角形，不符合题意；
C、2，4，5是直角三角形，不是等边三角形，不符合题意；
D、4，4，4是等腰三角形，是等边三角形，符合题意；
故选：D．
【举一反三2】根据下列条件，不能得到等边三角形的是（ ）
A.有两个角是60°的三角形 B.有一个角是60°的等腰三角形 C.有两个角相等的等腰三角形 D.腰长和底边长相等的等腰三角形
【答案】C
【解析】解：A、有两个角是60°的三角形，那么第三个角也是60°，故是等边三角形，正确；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确；
C、有两个角相等的等腰三角形，不一定是等边三角形，故错误；
D、腰长和底边长相等的等腰三角形是等边三角形，正确；
故选：C．
【举一反三3】如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= 时，△AOP为等边三角形．
【答案】a
【解析】解：∵∠AON=60°，∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．故答案是：a．
【举一反三4】如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是 ．
【答案】等边三角形
【解析】解：∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形；又∵∠BAC=∠CAD=30°，∴∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形；故答案是：等边三角形．
【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E，∠E＝60°，求证：△ECD为等边三角形．
【答案】证明：∵AD∥CB，
∴∠A＝∠ABE，∠ADE＝∠E＝60°，
∵∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E，
∴∠ADE＝∠CDE＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠E＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠C＝∠CDE＝∠E＝60°．
∴△ECD为等边三角形．
【举一反三6】如图，△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过点A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD．
求证：△ECB是等边三角形．
【答案】证明：∵AD∥CE，
∴∠A＝∠CEB＝60°．
∵∠CEB＝∠B，
∴CE＝CB．
∴△CEB是等腰三角形．
又∵∠CEB＝60°，
∴△CEB是等边三角形．
【题型19】等边三角形的性质和判定
【典型例题】下列关于等边三角形的说法正确的有（ ）
①等边三角形的三个角相等，并且每一个角都是60°；
②三边相等的三角形是等边三角形；
③三角相等的三角形是等边三角形；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
【答案】D
【解析】解：根据等边三角形的每个角都是60°；故①正确．根据等边三角形的概念：三边相等的三角形是等边三角形． 故②正确；根据等边对等角；故③正确；根据等边三角形的判定；故④正确．故选D．
【举一反三1】如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A，C之间的距离为（ ）
A.60海里 B.40海里 C.30海里 D.20海里
【答案】B
【解析】解：如图，连接AC，
甲、乙两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，得
AB＝BC＝2×20＝40（海里），∠ABC＝20°+40°＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝40（海里），
∴两艘货船A，C之间的距离为40海里．
【举一反三2】在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】∵AB＝AC＝5，
∴∠C＝∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝5．
【举一反三3】如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当长为半径画一条弧交两直角边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA长为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠BOC等于 .
【答案】30°
【解析】由作法得OA＝OC＝AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝90°－∠AOC＝30°.
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点B，C，D，E在同一直线上，点F在AC上，且CF＝CD，DF＝DE，若∠E＝15°，则∠A＝ ．
【答案】60°．
【解析】解：∵DF＝DE，
∴∠DFE＝∠E＝15°，
∴∠CDF＝∠E+∠DFE＝30°，
∵CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝30°，
∴∠ACB＝∠CDF+∠CFD＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°．
故答案为：60°．
【举一反三5】如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
【答案】解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形
∴AC＝BC，EC＝DC
∠ACB＝∠ECD＝60°
∴∠ACD＝∠ECB
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE；
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CBH＝∠CAG
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上
∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
又∵AC＝BC
∴△ACG≌△BCH；
（3）△CGH是等边三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH
∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等）
又∵∠ACG＝60°
∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；
【举一反三6】已知：如图所示，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【答案】解：（1）由题意可知AP＝2t，BQ＝1.5t，则BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，
当△PBQ为等边三角形时，
则有BP＝BQ，即6﹣2t＝1.5t，
解得，
即当时，△PBQ为等边三角形；
（2）当∠BQP＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴在Rt△PBQ中，BP＝2BQ，
即6﹣2t＝3t，
解得；
当∠BPQ＝90°时，
同理可得BQ＝2BP，
即1.5t＝2（6﹣2t），
解得，
综上可知当t为或时，△PBQ为直角三角形．
【题型20】含30°角的直角三角形的性质
【典型例题】如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A.6米 B.9米 C.12米 D.15米
【答案】B
【举一反三1】如图是某房屋顶框架的示意图，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5 m，则AB的长为( )
A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m
【答案】B
【解析】解：AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠BAC＝60°，∠ADB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝7(m)．
【举一反三2】钱塘轮滑中心为杭州第19届亚运会轮滑、滑板比赛场馆，由亚运轮滑馆和亚运滑板公园两部分组成．如图，一名轮滑学生在轮滑训练馆沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，若 米，则这名轮滑学生的高度下降了 米．
【答案】
【解析】解：根据题意是直角三角形，
米，
∴(米)，
则这名轮滑学生的高度下降了2米．
【举一反三3】如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=BC.
【答案】证明：∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=12 (180°-120°)=30°.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.在Rt△BDE中，∵∠B=30°,∴DE=BD.
同理，在Rt△CDF中，DF=CD.∴DE+DF=BD+CD= (BD+CD)=BC.
【题型21】等腰直角三角形的性质与判定
【典型例题】如图，在中，，直线分别与边，交于点D，E，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵在中，，
∴，
由三角形的外角性质得，
∴.
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝10，现将△ABC沿着CB方向平移到△A′B′C′的位置，若平移距离为4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.18 B.32 C.36 D.40
【答案】B
【解析】解：设A'C'与AB交于点D，如下图所示：
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝10，
∴∠ABC＝45°，
根据平移的性质得：∠C'＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝B'C'＝BC＝10，CC'＝4，
∴△BC'D为等腰直角三角形，C'B＝BC﹣CC'＝10﹣4＝6，
∴C'D＝C'B＝6，
∴S△A'B'C'＝A'C' B'C'＝×10×10＝50，S△DC'B＝C'D C'B＝×6×6＝18，
∴S阴影＝S△A'B'C'﹣S△DC'B＝50﹣18＝32．
故选：B．
【举一反三2】如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】阴影部分的面积为：
故答案为：
【举一反三3】如图，在等腰直角三角形中，，为的中点，，垂足为，过点作，交的延长线于点，连接，与交于点 ．
(1)求证：；
(2)连接，试判断 是否为等腰三角形，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即.
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
由（）得，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【举一反三4】如图，已知都是等腰直角三角形，连接．
(1)求证：；
(2)若延长交于点F，试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵都是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：， 理由如下：
如图，设与交于点G，
∵，
∴，
∵
∴，
∴ ．15.3 等腰三角形
【题型1】等腰三角形的概念 1
【题型2】两腰相等 2
【题型3】等边对等角 3
【题型4】三线合一 4
【题型5】等腰三角形性质与折叠 5
【题型6】等腰三角形的性质与尺规作图 7
【题型7】等腰三角形性质的实际应用 8
【题型8】用定义判定等腰三角形 11
【题型9】用定义判定格点中的等腰三角形 12
【题型10】等角对等边 13
【题型11】用等角对等边证明边相等 15
【题型12】用等角对等边求边长、周长或面积 17
【题型13】尺规作图中的等角对等边 18
【题型14】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数 20
【题型15】等腰三角形性质与判定 21
【题型16】尺规作图——作等腰三角形 23
【题型17】等边三角形的性质 25
【题型18】等边三角形的判定 26
【题型19】等边三角形的性质和判定 27
【题型20】含30°角的直角三角形的性质 29
【题型21】等腰直角三角形的性质与判定 30
【题型1】等腰三角形的概念
【典型例题】如图，AB=AC，DE=DC，则等腰△DEC的底角是（ ）.
A.∠B B.∠C C.∠B和∠C D.∠DEC和∠C
【举一反三1】如图，△ABC中，AB=BC，则图中等腰△ABC的顶角是（ ）
A.∠BAC B.∠B C.∠ACB D.都不对
【举一反三2】如图，它是（ ）三角形.
A.等腰 B.等边 C.不等边 D.直角
【举一反三3】如图，在△PMN中，PM=PN，则这个等腰三角形的腰为 ，底边为 ，它的顶角为 ，两个底角分别为 .
【举一反三4】如图，AC=BC.请写出等腰△ABC的腰、底边、顶角和底角.
【题型2】两腰相等
【典型例题】如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则x的值是（ ）
A.5 B.8 C.9 D.16
【举一反三1】边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【举一反三2】若方程组的解恰为等腰△ABC的两边长，则△ABC的周长为 ．
【举一反三3】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？为什么？
【举一反三4】用一根长度为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果底边长是腰长的1.5倍，那么各边长是多少？
(2)如果所围成的等腰三角形的一边长为，那么另外两边长是多少？
(3)设所围成的等腰三角形的腰长为，请直接写出a的取值范围．
【题型3】等边对等角
【典型例题】如图，直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA=CB．若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A.40° B.50° C.60° D.70°
【举一反三1】等腰三角形的一个外角是95°，则它底角的度数是( )
A.85° B.47.5°或95° C.85°或47.5° D.无法确定
【举一反三2】如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝ °．
【举一反三3】若等腰三角形中一个角的度数是另一个角的两倍，求底角的度数.
【举一反三4】如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点为上一点，且在内部，连接，，，已知．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
【题型4】三线合一
在“桥梁博物馆”的贵州有一座在云端行走的桥——北盘江大桥．如图，索塔的顶端，拉索与桥面围成的图形可看作等腰三角形，，当固定点B，C到D的距离相等，且B，D，C在同一直线上时，AD就垂直于BC．这个依据是( )
【典型例题】
A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形“三线合一”
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
【举一反三1】如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交BC于点E，若周长为16，，则为（ ）
A.5 B.8 C.9 D.10
【举一反三2】下列各线中，不属于等腰三角形“三线合一”的线是（ ）
A.顶角的平分线 B.底边上的中线 C.底边上的中垂线 D.底边上的高线
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16 cm，则BD＝ cm.
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，且AD＝AE，∠BAD＝30°，则∠CAD＝ ，∠EDC＝ ．
【举一反三5】如图，在中，平分，E是上一点，，且．
(1)如果，则的度数为______；
(2)探究与的数量关系，并说明理由．
【题型5】等腰三角形性质与折叠
【典型例题】如图，在中，，点是上一点，的垂直平分线交于点，将沿折叠，点恰好与点重合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则是度数为（ ）
A. B. C.或 D.或
【举一反三2】如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．则∠BEC的度数是 ．
【举一反三3】数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为 ．
【举一反三4】将长方形纸片沿折叠，边与边的交点为E，将纸片展开铺平（图①）．然后过E点将纸片进行折叠，使被折痕分成的两部分重合，记折痕所在直线与的交点为G（图②），将纸片展开铺平．再过D点将纸片进行折叠，使被折痕分成的两部分重合，记折痕所在直线与的交点为H（图③），将纸片展开铺平．连接图④）．
(1)折痕与有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)若，求的度数．
【题型6】等腰三角形的性质与尺规作图
【典型例题】如图，已知中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD等于( )
A.60° B.45° C.40° D.30°
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C=78°，分别以点A、B为圆心，以大于AB
的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A= 度．
【举一反三3】如图，在中，，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，则的度数为 ．
【举一反三4】（1）如图1，在中，尺规作图：画出的角平分线和的角平分线，的角平分线交于点，交的角平分线于点（保留作图痕迹，不写作法，标出点F和点D）
（2）如图2，在（1）的基础上，已知，点在上且，求的大小．
【举一反三5】如图，在中．
(1)尺规作图：在边上找到一点D，使得，连接．（保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．
【题型7】等腰三角形性质的实际应用
【典型例题】《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨同“蝶”），如图为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，是某平板电脑支架，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小，若增大．则的变化情况是（ ）
A.增大 B.减小 C.增大 D.减小
【举一反三2】如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在点处用钉子将木条，钉在一起，是木条上一点，用橡皮筋连接，，固定木条，把木条绕转动．若是的中点，当的面积最大时，与之间存在的数量关系为 ．
【举一反三4】综合与实践：
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD.
(1)[操作应用]如图1，将“筝形功能器”上的点A与∠PRQ的顶点R重合，AB，AD分别放置在角的两边RP，RQ上，并过点A，C画射线AE，求证：AE是∠PRQ的平分线；
(2)[实践拓展]实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平.如图2，在仪器上的点A处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B，D紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点C，即判断门框是水平的.实践小组的判断对吗？请说明理由.
【举一反三5】观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”．如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：
①木条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接AB；
②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）；
③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在CB延长线上的落点记为点D；
④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的∠DAC是直角．
操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法．如图2，BA＝BC．请画出以点A为顶点的直角，记作∠DAC；
推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：
证明：∵AB＝BC＝BD，
∴△ABC与△ABD是等腰三角形．
∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD．（依据1）
∴∠BCA+∠BDA＝∠BAC+∠BAD＝∠DAC．
∵∠DAC+∠BCA+∠BDA＝180°，（依据2）
∴2∠DAC＝180°．
∴∠DAC＝90°．
依据1： ；依据2： ；
拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作∠POQ，使得直角边OP（或OQ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）
【题型8】用定义判定等腰三角形
【典型例题】下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是（ ）
A.1，1，2 B.2，2，5 C.3，3，5 D.3，4，5
【举一反三1】下列各组线段中，能构成等腰三角形的是（ ）
A.1，1，2 B.2，2，4 C.3，3，5 D.3，4，5
【举一反三2】已知的周长为16，，当的值为 时，是等腰三角形．
【举一反三3】如图，在△ABC中，已知边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线交于点P，连接PA、PB、PC，则图中有 个等腰三角形．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AD延长线上一点，且∠ACE＝∠B．求证：△CDE是等腰三角形．
【题型9】用定义判定格点中的等腰三角形
【典型例题】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是
A.6 B.7 C.8 D.9
【举一反三1】如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（ ）个
A.2个 B.5个 C.3个 D.1个
【举一反三2】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ．
【举一反三3】平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为2．
(1)在坐标系中描出点A的位置，并写出点A的坐标；
(2)作点A关于y轴的对称点B，并写出点B的坐标；
(3)在x轴上找一点C使为等腰三角形，写出符合要求的所有点C的坐标．
【举一反三4】在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，把顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点、，请在所给的网格区域（含边界）内按要求画出整点三角形．
(1)在图中画出以为一条直角边的等腰直角三角形；
(2)在图中画出一个，使得的面积等于，且使点在的内部．
【题型10】等角对等边
【典型例题】如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，点D是AC上一点，且∠DBC=36°，则图中等腰三角形的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中等腰三角形有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【举一反三2】下面几个三角形中，不可能是等腰三角形的是( )
A.有两个内角分别为75°，75°的三角形 B.有两个内角分别为110°和40°的三角形 C.有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形 D.有一个外角为80°，一个内角为100°的三角形
【举一反三3】如图，已知中，，平分交于点D，是的外角的平分线，交于点G．以下结论：①；②是等腰三角形；③．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【举一反三4】推理填空：如图，已知，作的平分线，将直角尺如图摆放，使边与边重合，顶点落在边上，边与交于点，猜想是等腰三角形．
证明：平分（已知）
（①__________）
，
②__________（③__________）
④__________⑤__________（⑥__________）
（⑦__________）
是等腰三角形．
【举一反三5】将一张长方形纸条ABCD按如图所示的方式折叠，求证：△GEF是等腰三角形.
【举一反三6】已知：如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE∥BC．求证：△ABC是等腰三角形．
【题型11】用等角对等边证明边相等
【典型例题】如图，在中，是斜边上的高，角平分线交于，于，则下列结论中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（ ）
A.是等腰三角形， B.和一定是全等三角形 C.折叠后得到的图形是轴对称图形 D.折叠后和一定相等
【举一反三2】如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论．①；②；③点到各边的距离相等；④设，则，正确的结论有（ ）个．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】如图，的内角和外角的角平分线交于点O．交于点F，过点O作交延长线于点E，交延长线于点G，连接，有以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有
【举一反三4】如图，四边形中，，点E为上一点，连接、，且、分别平分、．求证：．
【举一反三5】如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，求证AB=AD.
【题型12】用等角对等边求边长、周长或面积
【典型例题】如图，在中，，分别交于点，连接，且．若，则的长为（ ）
A.16.5 B.15.5 C.14 D.13
【举一反三1】如图，的平分线与外角的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，，，则的值为（ ）
A.2 B.9 C.6 D.
【举一反三2】如图，中，是角平分线，交于E，交于D，若，，则 ．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是 .
【举一反三4】一条船从海岛出发，以25海里/时的速度向正东方向航行，2小时后到达海岛处，从、望灯塔，测得， ，求海岛与灯塔的距离．
【举一反三5】如图，在和中，，．
(1)求证：平分；
(2)过点作交于点，若，，求的长．
【题型13】尺规作图中的等角对等边
【典型例题】已知△ABC的三条边长分别为3，5，7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A.5条 B.4条 C.3条 D.2条
【举一反三1】如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
是的平分线；
；
；
若，则点到的距离是；
.
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C．②以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为 ．
【举一反三4】如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则 ．
【举一反三5】在和中，与相交于点，，．
(1)求证：；
(2)利用尺规作图，在线段上确定点，使（保留作图痕迹，不写作法）．
【题型14】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数
【典型例题】点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（ ）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【举一反三1】直角坐标系中，点．，点B在轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点B共有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三2】在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个
【举一反三3】如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，在x轴上确定一点B，使是等腰三角形，这样的B点有 个．
【举一反三4】在平面直角坐标系内点A，点B的坐标是分别为（0，3），（4，3），在坐标轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是 ．
【举一反三5】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．
（1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）；
（2）直接写出，，三点的坐标：（ ），（ ），（ ）．
（3）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有___________个．
【举一反三6】如图，由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上(正方形的顶点).
(1)画出△ABC关于直线l的轴对称图形△AB1C1；
(2)在网格图中画出点Q，使△QAB与△ABC全等；
(3)直线l上总共存在 个点P，使△PAC为等腰三角形.
【题型15】等腰三角形性质与判定
【典型例题】如图，在△ABC，∠A=36°，∠B=72°，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三1】如图，AC，BD相交于点O，∠A=∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（ ）
A.OA=OD B.AB=CD C.∠ABO=∠DCO D.∠ABC=∠DCB
【举一反三2】如图，把两个全等的含30°角的直角三角板，按如图所示的方式拼在一起，其中等腰三角形有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝69°，若点P是等腰三角形ABC的腰AC上的一点，则当△EDP为等腰三角形时，∠EDP的度数是 ．
【举一反三4】如图，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，下列结论正确有 ．
①BD=CE；②△BDF，△CEF都是等腰三角形；
③BD+CE=DE；④△ADE的周长为AB+AC.
【举一反三5】如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由：
（1）AD∥FG；
（2）△AEF是等腰三角形．
【题型16】尺规作图——作等腰三角形
【典型例题】由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
【举一反三1】以下尺规作图能得到平分的是（ ）
A.只有① B.只有② C.①② D.①②③
【举一反三2】以下尺规作图能得到平分的是（ ）
A.只有① B.只有② C.①② D.①②③
【举一反三3】下列尺规作图分别表示：I.作一个角等于已知角；Ⅱ.作一条线段的垂直平分线；Ⅲ.作一个角的平分线，其中对应作法正确的是（ ）
A.I→①；Ⅱ→②；Ⅲ→③ B.I→①； Ⅱ→③；Ⅲ→② C.I→②；Ⅱ→③；Ⅲ→① D.I→③；Ⅱ→①；Ⅲ→②
【举一反三4】在中，，直线经过点，且与平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图①，在直线l上作出一点P，使得；
(2)如图②，在直线上作出所有的点，使得．
【举一反三5】操作与实践
(1)学习了尺规作图之后，小桂按以下步骤进行了尺规作图的练习：
第一步：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点；
第二步：过点，作直线．
根据以上作图，可知小桂作的直线是线段的________．
(2)小桂的尺规作图笔记里有这么一道题目：
如图，已知线段，，求作，使，且，高．
请你帮助小桂完成尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
【题型17】等边三角形的性质
【典型例题】如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（ ）
A.△ABD≌△EBC B.△NBC≌△MBD C.DM=DC D.∠ABD=∠EBC
【举一反三1】如图，△ABC为等边三角形，AM∥CN．若∠BAM＝25°，则∠BCN等于（ ）
A.65° B.60° C.45° D.35°
【举一反三2】如图，将边长为7个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
【举一反三3】如图，木工师傅从边长为30 cm的正三角形ABC木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的边长为 cm．
【举一反三4】如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，以AD为边作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°．
（Ⅰ）求∠CAE的度数；
（Ⅱ）求∠FDC的度数．
【题型18】等边三角形的判定
【典型例题】在△ABC中，AB＝AC，添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A.∠A＝60° B.AC＝BC C.∠B与∠C互余 D.AB边上的高也是AB边上的中线
【举一反三1】以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（ ）
A.2，2，3． B.2，3，3 C.2，4，5 D.4，4，4
【举一反三2】根据下列条件，不能得到等边三角形的是（ ）
A.有两个角是60°的三角形 B.有一个角是60°的等腰三角形 C.有两个角相等的等腰三角形 D.腰长和底边长相等的等腰三角形
【举一反三3】如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= 时，△AOP为等边三角形．
【举一反三4】如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是 ．
【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E，∠E＝60°，求证：△ECD为等边三角形．
【举一反三6】如图，△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过点A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD．
求证：△ECB是等边三角形．
【题型19】等边三角形的性质和判定
【典型例题】下列关于等边三角形的说法正确的有（ ）
①等边三角形的三个角相等，并且每一个角都是60°；
②三边相等的三角形是等边三角形；
③三角相等的三角形是等边三角形；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
【举一反三1】如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A，C之间的距离为（ ）
A.60海里 B.40海里 C.30海里 D.20海里
【举一反三2】在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三3】如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当长为半径画一条弧交两直角边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA长为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠BOC等于 .
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点B，C，D，E在同一直线上，点F在AC上，且CF＝CD，DF＝DE，若∠E＝15°，则∠A＝ ．
【举一反三5】如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
【举一反三6】已知：如图所示，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【题型20】含30°角的直角三角形的性质
【典型例题】如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A.6米 B.9米 C.12米 D.15米
【举一反三1】如图是某房屋顶框架的示意图，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5 m，则AB的长为( )
A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m
【举一反三2】钱塘轮滑中心为杭州第19届亚运会轮滑、滑板比赛场馆，由亚运轮滑馆和亚运滑板公园两部分组成．如图，一名轮滑学生在轮滑训练馆沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，若 米，则这名轮滑学生的高度下降了 米．
【举一反三3】如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=BC.
【题型21】等腰直角三角形的性质与判定
【典型例题】如图，在中，，直线分别与边，交于点D，E，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝10，现将△ABC沿着CB方向平移到△A′B′C′的位置，若平移距离为4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.18 B.32 C.36 D.40
【举一反三2】如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为 ．
【举一反三3】如图，在等腰直角三角形中，，为的中点，，垂足为，过点作，交的延长线于点，连接，与交于点 ．
(1)求证：；
(2)连接，试判断 是否为等腰三角形，并说明理由．
【举一反三4】如图，已知都是等腰直角三角形，连接．
(1)求证：；
(2)若延长交于点F，试判断与的位置关系，并说明理由．
