13.3 三角形的内角与外角
【题型1】三角形内角和定理的证明 1
【题型2】利用三角形内角和定理求角度 7
【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 9
【题型4】折叠中的三角形内角和问题 11
【题型5】三角形内角和定理的应用 14
【题型6】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 17
【题型7】直角三角形定义 20
【题型8】直角三角形的两个锐角互余 24
【题型9】三角形外角的概念 26
【题型10】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 29
【题型11】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 32
【题型12】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 37
【题型1】三角形内角和定理的证明
【典型例题】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A项，由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意；
B项，由于点D，则，无法证得“三角形内角和是”，该选项符合题意；
C项，由，得，．由，得，，所以．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意；
D项，由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意．
【举一反三1】定理：三角形的内角和是180°．
已知：是的三个内角．
求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A.①② B.②③ C.②④ D.①③
【答案】C
【解析】证明：如图，过点E作直线，
使得，
∴（两直线平行，内错角相等），故①不符合题意；
∴，故②符合题意；
∴．
上述证明得到的结论，适用于任何三角形．
故③不符合题意；④符合题意．
【举一反三2】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（ ）
A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义
【答案】D
【解析】证明：如图，过点C作．
∵（已知），
∴1，2（两直线平行，内错角相等）．
∵（平角定义），
∴（等量代换）．
【举一反三3】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（ ）
A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义
【答案】D
【解析】证明：如图，过点C作．
∵（已知），
∴1，2（两直线平行，内错角相等）．
∵（平角定义），
∴（等量代换）．
【举一反三4】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A项，由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意；
B项，由于点D，则，无法证得“三角形内角和是”，该选项符合题意；
C项，由，得，．由，得，，所以．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意；
D项，由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意．
【举一反三5】在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小虎给出了下列证法．
证明：在中，作（如图），
∵（已知）
∴（直角定义）
∴，（直角三角形两锐角互余）
∴（等式的性质）
∴．
请你判断上述小虎同学的证法是否正确，如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法．
【答案】解：小虎的做法不正确，
过点作直线，使，
∵，
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵（平角定义）
∴（等量代换）
【举一反三6】在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，有如下两种实验方法．
小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下：
请你参考小明的思路，写出实验方法2的证明过程．
【答案】解：如图所示，过点A作，
∴，
∵，
∴．
【题型2】利用三角形内角和定理求角度
【典型例题】如果一个三角形的两个内角分别为50°和30°，则这个三角形的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断
【答案】C
【解析】解：∵一个三角形的两个内角分别为50°和30°，
∴第三个内角的度数为180°﹣50°﹣30°＝100°，
∴这个三角形的是钝角三角形．
【举一反三1】已知∠A：∠B：∠C＝5：2：7，则△ABC的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定形状
【答案】B
【解析】解：设∠A、∠B、∠C分别为5k、2k、7k，
则5k+2k+7k＝180°，
解得7k＝90°，
即∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
【举一反三2】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，则∠A的度数为( )
A.20° B.40° C.60° D.80°
【答案】B
【解析】∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，
∴设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+3x+4x=180°，
解得x=20°，
∴∠A=2x=40°.
【举一反三3】在△ABC中，∠C=90°，若∠A=3∠B-10°，则∠B的度数为 .
【答案】25°
【解析】∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∠C=90°，∠A=3∠B-10°，
∴3∠B-10°+∠B+90°=180°，
解得∠B=25°.
【举一反三4】如图，在三角形ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝ °．
【答案】40．
【解析】解：在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
故答案为：40．
【举一反三5】新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则△ABC称为“n倍角三角形”.例如，在△ABC中，若∠A=90°，∠B=60°，则∠C=30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A=3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”.
(1)在△DEF中，若∠D=20°，∠E=60°，则△DEF为“ 倍角三角形”；
(2)如图，在△ABC中，∠C=44°，∠BAC，∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“4倍角三角形”，请求出∠ABD的度数.
【答案】解 (1)在△DEF中，∠E=60°，∠D=20°，
则∠F=180°-∠E-∠D=100°，
∴∠F最大，∠D最小，且∠F=5∠D，
∴△DEF为“5倍角三角形”.
(2)∵∠C=44°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-44°=136°，
∵∠BAC，∠ABC的角平分线相交于点D，
∴∠DAB=∠BAC，∠DBA=∠ABC，
∴∠DAB+∠DBA=×136°=68°，
∴∠ADB=180°-68°=112°，
∵△ABD为“4倍角三角形”，
∴∠ADB=4∠ABD或∠ADB=4∠BAD，
当∠ADB=4∠ABD时，∠ABD=28°，
当∠ADB=4∠BAD时，∠BAD=28°，则∠ABD=180°-112°-28°=40°，
综上所述，∠ABD的度数为28°或40°.
【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题
【典型例题】如图，已知直线l1∥l2，AB⊥CD于点D，∠1=50°，则∠2的度数是
A.40° B.45° C.50° D.60°
【答案】A
【解析】∵l1∥l2，∠1=50°，
∴∠ABC=∠1=50°，
∵AB⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠2=180°-90°-50°=40°，故A正确.
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（ ）
A.30° B.35° C.40° D.45°
【答案】A
【解析】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，
∴∠A＝40°，
∵DF∥EB，∠D＝70°，
∴∠D＝∠CEB＝70°，
∴∠ACD＝∠CEB﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，
故选：A．
【举一反三2】如图所示为一辆婴儿车的平面示意图，其中，，，则 ．
【答案】
【解析】解：，
，
，且，
．
【举一反三3】如图，已知，，，，那么 ．
【答案】
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【举一反三4】如图，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，如果，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若是的平分线，，求的度数．
【答案】解：（1），理由如下：
，
，
，
，
.
（2），，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
．
【题型4】折叠中的三角形内角和问题
【典型例题】如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ，，
，
．
【举一反三1】如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵沿直线折叠后，点C落到点E处，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
【举一反三2】如图，在△ABC中，，沿图中虚线翻折，使得点落在上的点处，则等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
，
由翻折可知，
，，
，
．
【举一反三3】如图甲所示的三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 ．
【答案】72
【解析】设，根据翻折不变性可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【举一反三4】探究：
(1)如图①，与有什么关系？为什么？
(2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）；
(3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______．
猜想三个角存在的等量关系为______．
【答案】解：（1） ，理由如下：
由题意知，，
∴.
（2）由题意知，，
∴.
（3）∵，，
∴，
由折叠与平角的性质，可知，，
∴，
由题意知，，
∴三个角存在的等量关系为.
【题型5】三角形内角和定理的应用
【典型例题】中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”，如图①，其工作方法主要利用了光的反射原理．如图②，呈水平状态，为法线，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【举一反三1】潍坊红木嵌银漆器是山东潍坊特有的传统手工艺品，最早可追溯到战国时代在一些铜器上镶嵌金银丝花纹；如图为某嵌银厂制作的传统工艺红木嵌银靠背马扎，其侧面图如图所示，，与地面平行，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
，
，
，
，
.
【举一反三2】如图，点B在点A的西南方向，点C在点A的南偏东方向，点C在B的北偏东方向，则 ．
【答案】
【解析】如图所示，由题意得，，，
∴，
∴，
∴.
【举一反三3】健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中平分．若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，平分，
∴，
∴.
【举一反三4】如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，且．
(1)在处测得灯塔应在什么方向；
(2)求从灯塔观测两处的视角的度数．
【答案】解：（1）如图，过点B作，
由题可得，
∴，
∴，
∴在处测得灯塔在北偏东.
（2）．
【题型6】与角平分线、高有关的三角形内角和问题
【典型例题】如图，在中，，，和分别是的高和角平分线，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：在中，
，，，
．
是的角平分线，
．
是的高，
，
，
．
【举一反三1】如图，△ABC中，平分，．，．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵平分，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即，
解得．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F，∠EFC＝50°，则∠A的度数为 ．
【答案】80°
【解析】解：∵∠EFC＝50°，
∴∠BFC＝180°﹣∠EFC＝130°，
∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝50°，
∵∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F，
∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝100°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝80°．
【举一反三3】如图，在中，平分，则的度数是 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∵平分，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
【举一反三4】如图，平分，点在的延长线上，于点，，，请用含的代数式表示．
【答案】解：因为，，
所以．
因为平分，
所以，
所以
．
因为，
所以，
所以．
【题型7】直角三角形定义
【典型例题】满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A项，，是直角三角形，不符合题意；
B项，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意；
C项，，则，是直角三角形，不符合题意；
D项，，则∠B=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意．
【举一反三1】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②＝，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝2∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【解析】①
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②由条件可设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+3x＝6x＝180°，
∴x＝30°，
∴∠C＝3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∠A＝∠B＝2∠C，
设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+2x+x＝5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝∠B＝2x＝72°，∠C＝x＝36°，
∴△ABC不是直角三角形；
⑤由条件可知，，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴，
∴，
∴△ABC不是直角三角形；
综上，能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③，共3个.
【举一反三2】如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点A在直线a上，∠BAC＝55°，若∠2＝35°，∠1=70°，则△ABC为 三角形（填写“直角”“锐角”“钝角”）．
【答案】直角．
【解析】解：如图，过点C做DE∥a.
∵a∥b，DE∥a.
∴DE∥b.
∴∠3＝∠2＝35°，∠4＝∠5，
∵∠5=180°-∠1-∠BAC＝180°-70°-55°=55°，
∵∠ACB=∠3+∠4＝35°+55°=90°，
∴△ABC直角三角形，
故答案为：直角．
【举一反三3】在△ABC中，∠A+∠B＝90°，那么△ABC是 （填“直角三角形”，“钝角三角形”或“锐角三角形”）．
【答案】直角三角形
【解析】∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
【举一反三4】如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，△ABC的外角∠BAG的平分线AF交CD的延长线于点F，AF的反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝40°，∠E=25°.求证：△ABC为直角三角形．
【答案】解：∵∠B＝40°，∠E＝25°，
∴∠BAE＝180°-40°-25°＝115°，
∴∠BAF=180°-∠BAE=180°-115°=65°
∵AF平分∠BAG，
∴∠GAF＝∠BAF＝65°，
∴∠CAE=∠GAF=65°
∵∠E=25°
∴在△ACE中，∠ACE＝180°-65°﹣25°＝90°．
∴∠ACB=90°
∴△ABC为直角三角形.
【举一反三5】如图，在中，，是的高．
(1)图中有几个直角三角形？是哪几个？
(2)和有什么数量关系？并说明理由．
【答案】解：（1） ，是高，
，
图中有个直角三角形，分别是，，.
（2） ，，是直角三角形，且是直角，
，，
．
【题型8】直角三角形的两个锐角互余
【典型例题】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数是（ ）
A.60° B.65° C.70° D.75°
【答案】D
【解析】解：在图中标上∠2，∠3，∠4，如图所示．
∵45°+∠2＝90°，30°+∠3＝90°，
∴∠2＝45°，∠3＝60°，
∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
∵直尺的对边平行，
∴∠1＝∠4＝75°．
故选：D．
【举一反三1】根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是
A.∠B=50°，∠C=40° B.∠B=∠C=45° C.∠A，∠B，∠C的度数比为5∶3∶2 D.∠A-∠B=90°
【答案】D
【解析】A项，是直角三角形，因为∠B+∠C=90°，根据有两个角互余的三角形是直角三角形，可知△ABC是直角三角形；
B项，是直角三角形，因为∠B+∠C=90°，根据有两个角互余的三角形是直角三角形，可知△ABC是直角三角形；
C项，是直角三角形，因为∠A∶∠B∶∠C=5∶3∶2，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=90°，故△ABC是直角三角形；
D项，由∠A-∠B=90°无法判断哪个角是直角.
【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝4∠A，则∠A的度数为（ ）
A.21° B.18° C.15° D.11.25°
【答案】B
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝4∠A，
∴∠A+∠B＝∠A+4∠A＝90°，
∴∠A＝18°.
【举一反三3】如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠ACD＝35°，则∠ABC的度数是 ．
【答案】35°
【解析】解：∵CD⊥AB于点D，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ABC＝∠ACD＝35°，
故答案为：35°．
【举一反三4】在直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠A＝2∠C，则∠C的度数为 ．
【答案】30°
【解析】∵∠B＝90°，∠A＝2∠C，
∴∠A+∠C＝90°，
∴3∠C＝90°
∴∠C＝30°.
【举一反三5】如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF的度数．
【答案】解：∵∠AFD＝152°，
∴∠DFC＝28°，
∴∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠DFC＝28°，
∴∠EDF＝180°﹣∠EDB﹣∠FDC＝180°﹣90°﹣28°＝62°．
【题型9】三角形外角的概念
【典型例题】如图，点D在BC的延长线上，连接AD，则∠EAD是
A.△ABC的外角 B.△ACD的外角 C.△ABD的外角 D.以上都不对
【答案】C
【解析】∵∠EAD是由△ABD的边AD与边BA的延长线组成的角，
∴∠EAD是△ABD的外角.
【举一反三1】如图，则下列各角中，是三角形外角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
又∵∠AFC是中的一边AF与另一边EF的延长线组成的角；
∴∠AFC是三角形的外角.
【举一反三2】如图，在中，D为上一点，图中标有，则的外角为 ；的外角为 ；
【答案】
【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角，
又∵∠4是中的一边AD与另一边BD的延长线组成的角；∠ADB是中的一边AD与另一边CD的延长线组成的角；
∴的外角为；的外角为.
【举一反三3】如图，以∠AOD为外角的三角形是 .
【答案】△AOB和△COD
【举一反三4】如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则∠β、∠γ分别是哪个三角形的外角？
【答案】△ABD；△ABC、△ADC.
【解析】解：根据三角形外角的定义可知，∠β是△ABD的外角；∠γ是△ACD的外角，也是△ABC的外角.
故答案为：△ABD；△ABC、△ADC.．
【举一反三5】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠A与∠BOC有什么数量关系？并说明理由；
（2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由．
（3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
【答案】（1）解：∠A＝2∠BOC﹣180°，理由如下：
∵O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
在△ABC中，∠A+2∠OBC+2∠OCB＝180°，
∴∠A+2（∠OBC+∠OCB）＝180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，
∴∠A+2（180°﹣∠BOC）＝180°，
∴∠A＝2∠BOC﹣180°；
（2）解：∠A＝2∠BOC，理由如下：
∵O是∠ABC和∠ACD的平分线的交点，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACD＝2∠OCD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC＝∠A+2∠OBC，∠OCD＝∠BOC+∠OBC，
∴2（∠BOC+∠OCB）＝∠A+2∠OBC．
∴∠A＝2∠BOC．
（3）解：∠A＝180°﹣2∠BOC，理由如下：
∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线的交点，
∴∠CBD＝2∠OBC，∠BEC＝2∠OCB，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBD＝180°﹣2∠CBO，∠ACB＝180°﹣∠BCE＝180°﹣2∠BCD，
∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣2（∠CBO+∠BCO），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴2（∠CBO+∠BCO）＝∠A+180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，
∴2（180°﹣∠BOC）＝∠A+180°，
∴∠A＝180°﹣2∠BOC．
【题型10】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算
【典型例题】如图，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A的度数为（ ）
A.30° B.50° C.60° D.70°
【答案】C
【解析】∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝2×20°＝40°，
∠ACM＝2∠ACP＝2×50°＝100°，
∵∠ACM是△ABC的外角，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝100°﹣40°＝60°．
【举一反三1】如图，AB和CD相交于点O，则下列结论不正确的是( )
A.∠1=∠2 B.∠1=∠B C.∠2>∠D D.∠A+∠D=∠B+∠C
【答案】B
【解析】∵∠1与∠2互为对顶角，∴∠1=∠2，故选项A不符合题意；
∵∠1=∠B+∠C，∴∠1>∠B，故选项B符合题意；
∵∠2=∠D+∠A，∴∠2>∠D，故选项C不符合题意；
∵∠A+∠D=∠1，∠B+∠C=∠1，∴∠A+∠D=∠B+∠C，故选项D不符合题意.
【举一反三2】如图，在中，，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，，
，
，
.
【举一反三3】如图，中的外角的平分线与的平分线相交于点P，，则的度数是 ．
【答案】
【解析】解：如图，∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴.
【举一反三4】如图所示，已知直线，，，则的度数为 ．
【答案】48°
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴．
【举一反三5】已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2．
【答案】证明：∵∠1是△ABC的一个外角，
∴∠1＞∠3，
∵∠3是△DEC的一个外角，
∴∠3＞∠2，
∴∠1＞∠2．
【题型11】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合
【典型例题】已知，将直角三角尺按如图所示放置得到，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：延长，交直线于点，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【举一反三1】数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图所示，
和是一副三角板叠放，
∴，，，
是的一个外角，
∴．
【举一反三2】我们将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则 ．
【答案】
【解析】解：如图，
由图可得，
∴，
∴，，
∴．
【举一反三3】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 ．
【答案】105°．
【解析】解：如图，
∵∠3＝90°﹣60°＝30°，∠4＝90°﹣45°＝45°，
∴∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴∠1＝∠2＝105°，
故答案为：105°．
【举一反三4】如图，把一副三角板如图1摆放，，点C在边上，将图中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向匀速旋转一周，在旋转的过程中，旋转的时间为秒．
(1)如图2，求当t为多少秒时，；（注：要写出求解过程）
(2)如图3，当___________秒时，；（注：直接写出结果）
【答案】解：（1）如图，记的交点为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）如图，延长交于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
【举一反三5】如图，将一副三角尺中的直角顶点叠放在一起．，，，当且点E在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，求的度数．（画出符合条件的图形，并直接写出相应的的度数．）
【答案】解：依题意，分五种情况：
当时，如图1，
，
，
；
当时，如图2，
；
当时，如图3，
；
当时，如图4，
，
，
；
当时，
如图5，延长交于点，
，
是的一个外角，
.
综上所述,的度数为或或或或．
【题型12】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用
【典型例题】如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，，，
∴，
∵，
∴.
【举一反三1】如图是一款手推车的示意图，其中，，，则∠3度数为（ ）
A.104° B.127° C.137° D.154°
【答案】B
【解析】解：如图：
∵，
∴,
∵,
∴
∴.
故选: .
【举一反三2】如图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，已知，则图2中的度数为 ．
【答案】．
【解析】解：∵，
∴.
【举一反三3】如图1，将扳手中某些部位抽象成点，并画出如图2所示的平面图形，其中， ，若，，，则 ．
【答案】28
【解析】解：如图，延长交于点K，延长交于点M，延长交于点N，
∵，，∴，
∵，∴，
∵，，，
∴，
∵，∴．
【举一反三4】实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
(1)如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且则______， ______；
(2)在（1）中，若，则______；若，则______；
(3)由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a，b的夹角______时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．
【答案】解：（1）入射角和反射角相等
即，
根据邻补角的定义
根据
根据三角形内角和为，可知
．
（2）
同理可得当时，
，
，
∴．
（3）由（1）、（2）猜想，当两平面镜的夹角时，总有．
证明：，
，
，
，
，
，
．
13.3 三角形的内角与外角
【题型1】三角形内角和定理的证明 1
【题型2】利用三角形内角和定理求角度 4
【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 5
【题型4】折叠中的三角形内角和问题 6
【题型5】三角形内角和定理的应用 8
【题型6】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 9
【题型7】直角三角形定义 10
【题型8】直角三角形的两个锐角互余 11
【题型9】三角形外角的概念 12
【题型10】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 14
【题型11】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 15
【题型12】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 16
【题型1】三角形内角和定理的证明
【典型例题】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】定理：三角形的内角和是180°．
已知：是的三个内角．
求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A.①② B.②③ C.②④ D.①③
【举一反三2】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（ ）
A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义
【举一反三3】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（ ）
A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义
【举一反三4】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三5】在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小虎给出了下列证法．
证明：在中，作（如图），
∵（已知）
∴（直角定义）
∴，（直角三角形两锐角互余）
∴（等式的性质）
∴．
请你判断上述小虎同学的证法是否正确，如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法．
【举一反三6】在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，有如下两种实验方法．
小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下：
请你参考小明的思路，写出实验方法2的证明过程．
【题型2】利用三角形内角和定理求角度
【典型例题】如果一个三角形的两个内角分别为50°和30°，则这个三角形的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断
【举一反三1】已知∠A：∠B：∠C＝5：2：7，则△ABC的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定形状
【举一反三2】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，则∠A的度数为( )
A.20° B.40° C.60° D.80°
【举一反三3】在△ABC中，∠C=90°，若∠A=3∠B-10°，则∠B的度数为 .
【举一反三4】如图，在三角形ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝ °．
【举一反三5】新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则△ABC称为“n倍角三角形”.例如，在△ABC中，若∠A=90°，∠B=60°，则∠C=30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A=3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”.
(1)在△DEF中，若∠D=20°，∠E=60°，则△DEF为“ 倍角三角形”；
(2)如图，在△ABC中，∠C=44°，∠BAC，∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“4倍角三角形”，请求出∠ABD的度数.
【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题
【典型例题】如图，已知直线l1∥l2，AB⊥CD于点D，∠1=50°，则∠2的度数是
A.40° B.45° C.50° D.60°
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（ ）
A.30° B.35° C.40° D.45°
【举一反三2】如图所示为一辆婴儿车的平面示意图，其中，，，则 ．
【举一反三3】如图，已知，，，，那么 ．
【举一反三4】如图，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，如果，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若是的平分线，，求的度数．
【题型4】折叠中的三角形内角和问题
【典型例题】如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在△ABC中，，沿图中虚线翻折，使得点落在上的点处，则等于
A. B. C. D.
【举一反三3】如图甲所示的三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 ．
【举一反三4】探究：
(1)如图①，与有什么关系？为什么？
(2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）；
(3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______．
猜想三个角存在的等量关系为______．
【题型5】三角形内角和定理的应用
【典型例题】中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”，如图①，其工作方法主要利用了光的反射原理．如图②，呈水平状态，为法线，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】潍坊红木嵌银漆器是山东潍坊特有的传统手工艺品，最早可追溯到战国时代在一些铜器上镶嵌金银丝花纹；如图为某嵌银厂制作的传统工艺红木嵌银靠背马扎，其侧面图如图所示，，与地面平行，，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，点B在点A的西南方向，点C在点A的南偏东方向，点C在B的北偏东方向，则 ．
【举一反三3】健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中平分．若，则的度数为 ．
【举一反三4】如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，且．
(1)在处测得灯塔应在什么方向；
(2)求从灯塔观测两处的视角的度数．
【题型6】与角平分线、高有关的三角形内角和问题
【典型例题】如图，在中，，，和分别是的高和角平分线，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，△ABC中，平分，．，．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F，∠EFC＝50°，则∠A的度数为 ．
【举一反三3】如图，在中，平分，则的度数是 ．
【举一反三4】如图，平分，点在的延长线上，于点，，，请用含的代数式表示．
【题型7】直角三角形定义
【典型例题】满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②＝，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝2∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三2】如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点A在直线a上，∠BAC＝55°，若∠2＝35°，∠1=70°，则△ABC为 三角形（填写“直角”“锐角”“钝角”）．
【举一反三3】在△ABC中，∠A+∠B＝90°，那么△ABC是 （填“直角三角形”，“钝角三角形”或“锐角三角形”）．
【举一反三4】如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，△ABC的外角∠BAG的平分线AF交CD的延长线于点F，AF的反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝40°，∠E=25°.求证：△ABC为直角三角形．
【举一反三5】如图，在中，，是的高．
(1)图中有几个直角三角形？是哪几个？
(2)和有什么数量关系？并说明理由．
【题型8】直角三角形的两个锐角互余
【典型例题】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数是（ ）
A.60° B.65° C.70° D.75°
【举一反三1】根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是
A.∠B=50°，∠C=40° B.∠B=∠C=45° C.∠A，∠B，∠C的度数比为5∶3∶2 D.∠A-∠B=90°
【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝4∠A，则∠A的度数为（ ）
A.21° B.18° C.15° D.11.25°
【举一反三3】如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠ACD＝35°，则∠ABC的度数是 ．
【举一反三4】在直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠A＝2∠C，则∠C的度数为 ．
【举一反三5】如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF的度数．
【题型9】三角形外角的概念
【典型例题】如图，点D在BC的延长线上，连接AD，则∠EAD是
A.△ABC的外角 B.△ACD的外角 C.△ABD的外角 D.以上都不对
【举一反三1】如图，则下列各角中，是三角形外角的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，D为上一点，图中标有，则的外角为 ；的外角为 ；
【举一反三3】如图，以∠AOD为外角的三角形是 .
【举一反三4】如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则∠β、∠γ分别是哪个三角形的外角？
【举一反三5】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠A与∠BOC有什么数量关系？并说明理由；
（2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由．
（3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
【题型10】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算
【典型例题】如图，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A的度数为（ ）
A.30° B.50° C.60° D.70°
【举一反三1】如图，AB和CD相交于点O，则下列结论不正确的是( )
A.∠1=∠2 B.∠1=∠B C.∠2>∠D D.∠A+∠D=∠B+∠C
【举一反三2】如图，在中，，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，中的外角的平分线与的平分线相交于点P，，则的度数是 ．
【举一反三4】如图所示，已知直线，，，则的度数为 ．
【举一反三5】已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2．
【题型11】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合
【典型例题】已知，将直角三角尺按如图所示放置得到，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】我们将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则 ．
【举一反三3】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 ．
【举一反三4】如图，把一副三角板如图1摆放，，点C在边上，将图中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向匀速旋转一周，在旋转的过程中，旋转的时间为秒．
(1)如图2，求当t为多少秒时，；（注：要写出求解过程）
(2)如图3，当___________秒时，；（注：直接写出结果）
【举一反三5】如图，将一副三角尺中的直角顶点叠放在一起．，，，当且点E在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，求的度数．（画出符合条件的图形，并直接写出相应的的度数．）
【题型12】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用
【典型例题】如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图是一款手推车的示意图，其中，，，则∠3度数为（ ）
A.104° B.127° C.137° D.154°
【举一反三2】如图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，已知，则图2中的度数为 ．
【举一反三3】如图1，将扳手中某些部位抽象成点，并画出如图2所示的平面图形，其中， ，若，，，则 ．
【举一反三4】实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
(1)如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且则______， ______；
(2)在（1）中，若，则______；若，则______；
(3)由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a，b的夹角______时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．
