13.2 与三角形有关的线段
【题型1】构成三角形的条件 1
【题型2】确定第三边的取值范围 3
【题型3】三角形三边关系的应用 5
【题型4】三角形三边关系与非负性的综合 7
【题型5】三角形的稳定性 9
【题型6】三角形中线的定义 11
【题型7】利用三角形的中线求长度 13
【题型8】利用三角形的中线求面积 16
【题型9】三角形的重心 20
【题型10】三角形的角平分线 23
【题型11】三角形高的定义 25
【题型12】三角形的垂心 27
【题型13】三角形的中线、角平分线、高的综合 29
【题型14】利用网格求三角形的面积 31
【题型1】构成三角形的条件
【典型例题】下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）
A.2，3，4 B.3，4，6 C.5，6，11 D.5，12，13
【答案】C
【解析】A选项，由可知该三条边能构成三角形，故不符合题意；
B选项，由可知该三条边能构成三角形，故不符合题意；
C选项，由可知该三条边不能构成三角形，故符合题意；
D选项，由可知该三条边能构成三角形，故不符合题意．
【举一反三1】下列各组数都表示线段的长度，试判断以这些线段为边能组成三角形的是（ ）
A.a，a﹣3，3（a＞3） B.a，a+5，a+6（a＞0） C.a，b，a+b（a＞0，b＞0） D.a+1，a+1，2a（a＞0）
【答案】D
【解析】A，a﹣3+3＝a，不满足三角形两边之和大于第三边，故A不能组成三角形；
B，a+a+5不一定大于a+6，不满足三角形两边之和大于第三边，故B不能组成三角形；
C，a+b＝a+b，不满足三角形两边之和大于第三边，故C不能组成三角形；
D，a+1+a+1＝2a+2＞2a，且a+1+2a=3a+1＞a+1，满足三角形三边关系，故D可组成三角形．
【举一反三2】以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A选项，，故不能组成三角形；
B选项，，故能组成三角形；
C选项，，故不能组成三角形；
D选项，，故不能组成三角形．
【举一反三3】(1)4条线段的长度分别是3 cm，7 cm，9 cm和11 cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，共可作 个不同的三角形.
【答案】3
【解析】①当选择的三条线段为3 cm，7 cm，9 cm时，
∵3+7=10>9，9-3=6<7，故能构成三角形；
②当选择的三条线段为3 cm，7 cm，11 cm时，
∵3+7=10<11，故不能构成三角形；
③当选择的三条线段为3 cm，9 cm，11 cm时，
∵3+9=12>11，11-3=8<9，故能构成三角形；
④当选择的三条线段为7 cm，9 cm，11 cm时，
∵7+9=16>11，11-7=4<9，故能构成三角形.
综上所述，共可作3个不同的三角形.
【举一反三4】用一条长为25 cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中一边长为6 cm，求等腰三角形的另外两边长.
【答案】解 ①当6 cm是腰长时，底边长为25-6×2=13(cm)，
∵6+6<13，
∴13 cm，6 cm，6 cm不能组成三角形；
②当6 cm是底边长时，腰长为×(25-6)=9.5(cm)，
6 cm，9.5 cm，9.5 cm能够组成三角形，
综上所述，另外两边的长分别为9.5 cm，9.5 cm.
【题型2】确定第三边的取值范围
【典型例题】有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为3和7，则这组三角形最多有（ ）
A.2个 B.3个 C.5个 D.7个
【答案】C
【解析】设第三条边长为c，
由三边关系得，
解得，
所以整数c为5，6，7，8，9，
所以这组三角形最多有5个．
【举一反三1】若有四根木棒，长度分别为3，6，8，10（单位：cm），从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，下列不能围成三角形的是（ ）
A.6，8，10 B.3，6，8 C.3，8，10 D.3，6，10
【答案】D
【解析】解：A、∵6+8＞10，∴6，8，10能围成三角形，该选项不合题意；
B、∵3+6＞8，∴3，6，8能围成三角形，该选项不合题意；
C、∵3+8＞10，∴3，8，10能围成三角形，该选项不合题意；
D、∵3+6＜10，∴3，6，10不能围成三角形，该选项符合题意；
故选：D．
【举一反三2】已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m的最大值是 ．
【答案】9
【解析】三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则，即，因此整数m的最大值是9．
【举一反三3】若三角形的两边长是和，且满足，则这个三角形的第三边的取值范围是 ．
【答案】
【解析】解：解方程组，
得：，
这个三角形的第三边的取值范围是，
．
【举一反三4】已知的两边长为，
(1)求的取值范围；
(2)若的周长为偶数，求的长.
【答案】（1）∵的两边长为，
∴，即；
（2）由（1）可得，，
∵的值为7，8，9，
∴（舍），
，
（舍），
∴．
【举一反三5】已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数.
(1)若a=2，b=5，且c为偶数.求△ABC的周长；
(2)化简：-+.
【答案】解 (1)∵a=2，b=5，
∴5-2由于c是偶数，则c=4或6，
当c=4时，△ABC的周长为a+b+c=2+5+4=11；
当c=6时，△ABC的周长为a+b+c=2+5+6=13.
综上所述，△ABC的周长为11或13.
(2)∵△ABC的三边长为a，b，c，
∴a+c>b，
∴|a-b+c|-|b-c-a|+|a+b+c|
=a+c-b-(a+c-b)+a+b+c
=a+b+c.
【题型3】三角形三边关系的应用
【典型例题】一个等腰三角形的两边长分别是3 cm和7 cm，则它的周长是
A.17 cm B.13 cm C.14或17 cm D.13或17 cm
【答案】A
【解析】若3 cm为腰，7 cm为底边，
此时3+3<7，不能构成三角形，
故3 cm不能为腰；
若3 cm为底边，7 cm为腰，
此时三角形的三边分别为3 cm，7 cm，7 cm，
周长为3+7+7=17(cm)，
综上，三角形的周长为17 cm.
【举一反三1】如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是（ ）
A.m＜n B.m＝n C.m＞n D.m，n的大小无法确定
【答案】A
【解析】解：如图：
根据“两点之间，线段最短”判断EC+DC＞DE，
∵m＝AE+ED+DB+AB，n＝AE+EC+CD+DB+AB，
∴m＜n，
故选：A．
【举一反三2】如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是 ．
【答案】16
【解析】∵，
∴，
∴，
∴当B，C，D在同一直线上时，有最小值，最小值为，，
∴的最小值为．
【举一反三3】小刚准备用一段长32米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米．
（1）请用含m的式子表示第三条边长；
（2）第一条边长能否为10米？为什么？
【答案】解：（1）∵第一条边长为m米，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米
∴第二条边长为（2m﹣3）米，
∴32﹣m﹣（2m﹣3）＝（35﹣3m）米；
∴第三条边长为（35﹣3m）米；
（2）不能，
因为当m＝10时，三边长分别为10，17，5，
由于10+5＜17，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为10米．
【举一反三4】某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表所示．某校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经选好了两根长度分别为和的钢管（钢管不可截断使用），还需要再选一根．
(1)有哪几种规格的钢管可供选择？
(2)若要求做成的三角形支架的周长为偶数，求做成三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？
【答案】（1）设第三根钢管的长度为，
则，即：，
∴长度为的钢管可供选择；
（2）∵三角形支架的周长为偶数，
∴三边长分别为，
则花的钱数为（元），
故做成三角形支架一共需要花75元购买钢管．
【题型4】三角形三边关系与非负性的综合
【典型例题】已知，，是△ABC的三条边长，化简的结果为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：、、为△ABC的三条边长，
，，
原式
．
【举一反三1】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（ ）
A.c＞4 B.c＜12 C.4＜c＜12 D.4≤c≤12
【答案】C
【解析】解：∵a，b满足，
∴a﹣4＝0，b﹣8＝0，
即a＝4，b＝8，
∵实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，
∴8﹣4＜c＜8+4，
即4＜c＜12，
故选：C．
【举一反三2】已知，，是一个三角形的三边，且，满足．则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意得，，，
解得，，
，，
．
【举一反三3】已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|＝ ．
【答案】8
【解析】解：∵三角形的三边长分别是3、x、9，
∴6＜x＜12，
∴x﹣5＞0，x﹣13＜0，
∴|x﹣5|+|x﹣13|＝x﹣5+13﹣x＝8，
故答案为：8．
【举一反三4】已知a，b，c是的三边长，且a，b满足，求第三边c的取值范围．
【答案】∵，且，
∴，
∴，
∵a，b，c是的三边长，
∴，
即．
【举一反三5】已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长．
（2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|．
【答案】解：（1）∵a＝2，b＝5，
∴5﹣2＜c＜5+2，
∴3＜c＜7，
∵c为偶数，
∴c＝4或6，
当c＝4时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+4＝11；
当c＝6时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+6＝13，
综上所述，△ABC的周长为11或13；
（2）∵△ABC的边长为a，b，c，
∴a+c＞b，
∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|
＝a+c﹣b﹣（a+c﹣b）+a+b+c
＝a+c﹣b﹣a﹣c+b+a+b+c
＝a+b+c．
【题型5】三角形的稳定性
【典型例题】下列图形具有稳定性的是（ ）
A.梯形 B.正方形 C.正五边形 D.等边三角形
【答案】D
【解析】解：梯形，正方形，正五边形，等边三角形中具有稳定性的是等边三角形．
故选：D．
【举一反三1】平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（ ）
A.两点之间，线段最短 B.三角形内角和等于180度 C.三角形具有稳定性 D.两边之和大于第三边
【答案】C
【解析】这是利用了三角形的稳定性．
【举一反三2】造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了 ．
【答案】三角形的稳定性
【解析】造房子时屋顶常用三角结构，即是利用了三角形的稳定性．
故答案为三角形的稳定性．
【举一反三3】如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的 ．
【答案】稳定性
【解析】由题意可知运用的数学原理是三角形的稳定性．
【举一反三4】为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？
【答案】解：哥哥的如图①那样钉上两根木条能使木架不变形，
因为三角形具有稳定性．
【题型6】三角形中线的定义
【典型例题】如图，若CD是△ABC的中线，AB＝20，则BD＝（ ）
A.12 B.10 C.16 D.8
【答案】B
【解析】解：∵CD是△ABC的中线，AB＝20，
∴BD=AB，
故选：B．
【举一反三1】如图，下面是某同学的折纸示意图，则是的（ ）
A.高线 B.角平分线 C.中线 D.垂直平分线
【答案】C
【解析】根据折叠的性质得，
是的中线．
【举一反三2】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形
【答案】B
【举一反三3】如图，D为AC上一点，AD＝DC，E为BC上一点，BE＝EC，则下列说法不正确的是（ ）
A.DE是△BDC的中线 B.BD是△ABC的中线 C.D为AC中点，E为BC中点 D.图中∠C的对边是DE
【答案】D
【举一反三4】如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A.∠BAD＝∠CAD B.BD＝CD C.AB＝AC D.AC＝AD
【答案】B
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
故选：B．
【举一反三5】如图，是的三条中线，若的周长是．则的长为 cm．
【答案】5
【解析】∵是的三条中线，
∴，
∴，
∵的周长是，
∴．
【举一反三6】如图，是的中线，，则的长为 ．
【答案】3
【解析】∵是的中线，，
∴．
【举一反三7】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AE是△ADC的边DC上的中线，则有BD= CE.
【答案】2
【解析】∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
∵AE是△ADC的中线，∴CD=2CE，
∴BD=2CE.
【举一反三8】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AE是△ADC的边DC上的中线，则有BD= CE.
【答案】2
【解析】∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
∵AE是△ADC的中线，∴CD=2CE，
∴BD=2CE.
【题型7】利用三角形的中线求长度
【典型例题】如图，在中，，，为边上的中线，若的周长为15，则的周长为（ ）
A.12 B.13 C.14 D.15
【答案】C
【解析】∵是边上的中线，
∴，
∵的周长为15，，
∴，
∴，
∵，
∴的周长．
【举一反三1】若是的中线，已知比的周长大，则与的差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，
∵是的中线，
∴，
∵比的周长大，
∴．
【举一反三2】如图，是的中线，，若 的周长比 的周长多2，则 的长为 ．
【答案】8
【解析】∵ 是的中线，
∴，
∵ 的周长比 的周长多 2，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
【答案】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．
∴AC﹣AB＝5cm．
又∵AB+AC＝13cm，
∴AC＝9cm．
即AC的长度是9cm．
【举一反三4】如图，在中，分别是边上的中线，的周长比的周长长2，若，．
(1)求，的长；
(2)求的周长．
【答案】（1）∵分别是边上的中线，
∴点分别为的中点．
∵，，
∴，．
（2）∵的周长比的周长长2，
∴，
由（1）得，
∴，
∴的周长为．
【题型8】利用三角形的中线求面积
【典型例题】如图，在△ABC中，D，E分别是的中点．若△BDE的面积是1，则△ACD的面积是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】∵E为的中点，
∴，
∵D为的中点，
∴．
【举一反三1】如图，面积为，，，则的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设的面积为，则的面积为，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴的面积为，的面积为，
∴．
【举一反三2】如图，的面积为18，为的中线，E，F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.9
【答案】B
【解析】是的中线，
，
，
为的两个三等分点，
又∵与共高，与共高，
，，
．
【举一反三3】如图，的三条中线，，交于点．若，，则图中阴影部分的面积和为 ．
【答案】
【解析】是的中线，
，
，
，，
又是的中线，
点分别是的中点，
，，
．
【举一反三4】如图，在中，点分别是边的中点，若，则 ．
【答案】
【解析】设，
∵点是边的中点，即是边上的中线，
∴，
∴，
∵点是边的中点，即是边上的中线，
∴，
∵点是边的中点，即是边上的中线，
∴，
∵点是边的中点，即是边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【举一反三5】在中，，，，已知的面积是平方厘米，那么的面积是多少平方厘米？
【答案】∵ ，，
∴ ，
∵ ，
∴，
∵ ，
∴，
∴平方厘米，
∴（平方厘米）．
【题型9】三角形的重心
【典型例题】如图，已知F是的重心，连接并延长交，连接并延长交，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.无法确定
【答案】A
【解析】∵F是的重心，
∴，
∴，
∴.
【举一反三1】已知点G是的重心，如果连接AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（ ）
A.BD＝CD B. C. D.BC＝2BD
【答案】B
【解析】解：连接、
∵点G是△ABC的重心，
∴AD为BC边上的中线，
∴BD=CD，BC=2BD，∴选项A、D正确；
∵△ABD和△ACD等底同高，
∴，∴选项C正确；
∵△BGD和△CGD等底同高，
∴，
∴，∴选项B错误；
故选：B．
【举一反三2】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则的重心是（ ）
A.点D B.点E C.点F D.点G
【答案】A
【解析】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，
∴点是的重心．
【举一反三3】如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是 ．
【答案】10
【解析】是的重心，
为三角形的中线，，，
，
，，
图中阴影部分面积．
【举一反三4】如图，点是的重心．
(1)________；
(2)若，求长．
【答案】（1）∵点为的重心，
∴，则.
（2）∵点为的重心，
∴由三角形中线性质可得，，，
，，
∴，，
∴，
则，即，
∵，
∴.
【举一反三5】（2023·江苏南京·三模）如图，已知△ABC，AD为边BC上的中线，求作△ABC的重心M．
【答案】解：作AB的垂直平分线EF交AB于点N，连接CN交AD于点M，即为所求．
【题型10】三角形的角平分线
【典型例题】如图△中，已知，平分，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，平分，
∴．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，错误的是（ ）
A.AD是△ABE的角平分线 B.AE是△ABC的角平分线 C.AF是△ACE的的角平分线 D.AE是△DAC的角平分线
【答案】D
【解析】解：∵∠1＝∠2，
∴AD是△ABE的角平分线，故A不符合题意.
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
即∠BAE＝∠CAE，
∴AE是△ABC的角平分线，故B不符合题意.
∵∠3＝∠4，
∴AF是△ACE的角平分线，故C不符合题意.
所以错误选项是D.
故选：D．
【举一反三2】如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°，则∠EAD的度数是( )
A.20° B.30° C.45° D.60°
【答案】A
【解析】∵∠BAC=80°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=40°，
∵AE是△ABD的角平分线，
∴∠EAD=∠BAD=20°.
【举一反三3】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．
【答案】30
【解析】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AD 平分∠BAC,且 AD⊥BC，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD．
【答案】证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠BAD．
【题型11】三角形高的定义
【典型例题】画中边上的高，下列画法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点C作边的垂线，正确的是D．
【举一反三1】画的边上的高，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】的边上的高是过点作的垂线，只有C选项正确．
【举一反三2】已知△ABC中，为边上的高，若，，，则△ABC的面积为 ．
【答案】28或8
【解析】当高在三角形内时，如图，
∵，，
∴，
∴；
当高在三角形外时，如图，
则，
∴；
综上，△ABC的面积为28或8．
【举一反三3】如图，以为高的三角形有 个．
【答案】10
【解析】由图可得，一共有（个）三角形，且都以A为顶点，
又交于D，
以为高的三角形有10个．
【举一反三4】如图，在中，．
(1)指出图中边上的高；
(2)作出边上的高；
(3)在（2）的条件下，图中有几个直角三角形？分别列举出来；
(4)若，，，求边上的高的长．
【答案】（1）边上的高是，边上的高是.
（2）如图，即为所求作.
（3）在（2）的条件下，图中有个直角三角形，分别是.
（4），
．
【题型12】三角形的垂心
【典型例题】如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定
【答案】C
【解析】解：A.锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；
B.钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；
C.直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；
D.能确定C正确，故错误．
【举一反三1】三条高的交点一定在三角形内部的是( )
A.任意三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
【答案】B
【举一反三2】下列说法不正确的是（ ）
A.同角的余角相等
B.对顶角相等
C.三角形三条高所在的直线一定交于一点，并且该点位于三角形内部
D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【解析】A选项，同角的余角相等，说法正确，不符合题意；
B选项，对顶角相等，说法正确，不符合题意；
C选项，钝角三角形三条高所在的直线交于一点，但该点位于三角形外部，故原说法不正确，符合题意；
D选项，平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，不符合题意．
【举一反三3】如图，已知△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H．△ACH的三条高是 ，这三条高所在直线交于点 ．
【答案】CD，HE，AF；B．
【解析】由三角形的高可知，△ACH的三条高是CD，HE，AF，这三条高所在直线交于点B，
故答案为：CD，HE，AF；B．
【举一反三4】若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【答案】钝角
【解析】解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形，
故答案为：钝角．
【举一反三5】(1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线．
(2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？
【答案】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．
【题型13】三角形的中线、角平分线、高的综合
【典型例题】在△ABC中，BD是△ABC的高线，CE平分∠ACB，交BD于点E，BE＝6，DC＝3，则△BCE的面积等于（ ）
A.3 B.5 C.9 D.12
【答案】C
【解析】解：∵CD⊥BD
∴线段CD是△BCE中BE边上的高
∴，
故选：C．
【举一反三1】如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( )
A.BA＝2BF B.∠ACE＝∠ACB C.AE＝BE D.CD⊥AB
【答案】C
【举一反三2】如图，AD是△ABC的中线，E为线段AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F．则BC=2 =2 ；AE= = ; S△ABD＝ ＝S△ABC.
【答案】BD，DC；DE，AD；S△ACD，S△ABC.
【解析】解：∵线段AD是△ABC的中线，
∴BC=2BD=2DC.
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵E为线段AD的中点，
∴线段BE是△ABD的中线，
∴AE=DE=AD
故答案为：BD，DC；DE，AD；S△ACD，S△ABC.
【举一反三3】在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B<∠C.
(1)如图1，AE是△ABC边BC上的高，∠B=30°，∠C=70°，直接写出∠DAE的度数；
(2)如图2，点E在AD上，EF⊥BC于F，猜想∠DEF与∠B，∠C的数量关系，并证明你的结论.
【答案】解 (1)∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAC，
∵AE是△ABC边BC上的高，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAE=90°-∠C，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=∠BAC-(90°-∠C)=(180°-∠B-∠C)-(90°-∠C)=∠C-∠B=(∠C-∠B)，
∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠DAE=×=20°.
(2)∠DEF=(∠C-∠B)，证明如下：
如图，过A作AG⊥BC于G，
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG=∠DEF，
由(1)得∠DAG=(∠C-∠B)，
∴∠DEF=(∠C-∠B).
【题型14】利用网格求三角形的面积
【典型例题】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】∵的面积为4，
∴边上的高为，
∴点C的位置如图所示，共有3个．
【举一反三1】如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（ ）个．
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】D
【解析】根据题意画出，
则满足条件的格点有6个．
【举一反三2】如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】．
【举一反三3】图中每个小正方形的边长为1，把从格点到与它相邻的格点，的直线运动形成的线段分别记为1，2，3，4，5，6，7，8，如以点为出发点，2表示线段，5表示线段，从点出发，按1753运动可得到正方形．从点出发，按1112445668运动的轨迹形成的图形面积为 ．
【答案】10
【解析】轨迹图形如图所示，
图形面积为．
【举一反三4】如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于 ．
【答案】4.5
【解析】解：由图可知：四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4.5．
【举一反三5】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1．
(1)过点C画的平行线m；
(2)过点C画的垂线，垂足是D；
(3)线段的长度是点C到直线 的距离；
(4)的面积 ．
【答案】（1）如图所示，直线m即为所求.
（2）如图所示，即为所求.
（3），
∴线段的长度是点C到直线的距离.
（4）．
【举一反三6】如图为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在格点上．按要求画图：
(1)画出的边上的高线和中线；
(2)若的长为13，点M在的边上，直接写出线段的最小值．
【答案】（1）的边上的高线和中线如图所示.
（2）线段的最小值即为点C到的垂直距离，
由（1）可得，，
∵，
即，
∴．13.2 与三角形有关的线段
【题型1】构成三角形的条件 1
【题型2】确定第三边的取值范围 2
【题型3】三角形三边关系的应用 2
【题型4】三角形三边关系与非负性的综合 3
【题型5】三角形的稳定性 4
【题型6】三角形中线的定义 5
【题型7】利用三角形的中线求长度 7
【题型8】利用三角形的中线求面积 8
【题型9】三角形的重心 9
【题型10】三角形的角平分线 10
【题型11】三角形高的定义 11
【题型12】三角形的垂心 12
【题型13】三角形的中线、角平分线、高的综合 13
【题型14】利用网格求三角形的面积 14
【题型1】构成三角形的条件
【典型例题】下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）
A.2，3，4 B.3，4，6 C.5，6，11 D.5，12，13
【举一反三1】下列各组数都表示线段的长度，试判断以这些线段为边能组成三角形的是（ ）
A.a，a﹣3，3（a＞3） B.a，a+5，a+6（a＞0） C.a，b，a+b（a＞0，b＞0） D.a+1，a+1，2a（a＞0）
【举一反三2】以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】(1)4条线段的长度分别是3 cm，7 cm，9 cm和11 cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，共可作 个不同的三角形.
【举一反三4】用一条长为25 cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中一边长为6 cm，求等腰三角形的另外两边长.
【题型2】确定第三边的取值范围
【典型例题】有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为3和7，则这组三角形最多有（ ）
A.2个 B.3个 C.5个 D.7个
【举一反三1】若有四根木棒，长度分别为3，6，8，10（单位：cm），从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，下列不能围成三角形的是（ ）
A.6，8，10 B.3，6，8 C.3，8，10 D.3，6，10
【举一反三2】已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m的最大值是 ．
【举一反三3】若三角形的两边长是和，且满足，则这个三角形的第三边的取值范围是 ．
【举一反三4】已知的两边长为，
(1)求的取值范围；
(2)若的周长为偶数，求的长.
【举一反三5】已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数.
(1)若a=2，b=5，且c为偶数.求△ABC的周长；
(2)化简：-+.
【题型3】三角形三边关系的应用
【典型例题】一个等腰三角形的两边长分别是3 cm和7 cm，则它的周长是
A.17 cm B.13 cm C.14或17 cm D.13或17 cm
【举一反三1】如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是（ ）
A.m＜n B.m＝n C.m＞n D.m，n的大小无法确定
【举一反三2】如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是 ．
【举一反三3】小刚准备用一段长32米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米．
（1）请用含m的式子表示第三条边长；
（2）第一条边长能否为10米？为什么？
【举一反三4】某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表所示．某校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经选好了两根长度分别为和的钢管（钢管不可截断使用），还需要再选一根．
(1)有哪几种规格的钢管可供选择？
(2)若要求做成的三角形支架的周长为偶数，求做成三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？
【题型4】三角形三边关系与非负性的综合
【典型例题】已知，，是△ABC的三条边长，化简的结果为
A. B. C. D.
【举一反三1】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（ ）
A.c＞4 B.c＜12 C.4＜c＜12 D.4≤c≤12
【举一反三2】已知，，是一个三角形的三边，且，满足．则的取值范围是
A. B. C. D.
【举一反三3】已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|＝ ．
【举一反三4】已知a，b，c是的三边长，且a，b满足，求第三边c的取值范围．
【举一反三5】已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长．
（2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|．
【题型5】三角形的稳定性
【典型例题】下列图形具有稳定性的是（ ）
A.梯形 B.正方形 C.正五边形 D.等边三角形
【举一反三1】平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（ ）
A.两点之间，线段最短 B.三角形内角和等于180度 C.三角形具有稳定性 D.两边之和大于第三边
【举一反三2】造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了 ．
【举一反三3】如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的 ．
【举一反三4】为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？
【题型6】三角形中线的定义
【典型例题】如图，若CD是△ABC的中线，AB＝20，则BD＝（ ）
A.12 B.10 C.16 D.8
【举一反三1】如图，下面是某同学的折纸示意图，则是的（ ）
A.高线 B.角平分线 C.中线 D.垂直平分线
【举一反三2】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形
【举一反三3】如图，D为AC上一点，AD＝DC，E为BC上一点，BE＝EC，则下列说法不正确的是（ ）
A.DE是△BDC的中线 B.BD是△ABC的中线 C.D为AC中点，E为BC中点 D.图中∠C的对边是DE
【举一反三4】如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A.∠BAD＝∠CAD B.BD＝CD C.AB＝AC D.AC＝AD
【举一反三5】如图，是的三条中线，若的周长是．则的长为 cm．
【举一反三6】如图，是的中线，，则的长为 ．
【举一反三7】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AE是△ADC的边DC上的中线，则有BD= CE.
【举一反三8】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AE是△ADC的边DC上的中线，则有BD= CE.
【题型7】利用三角形的中线求长度
【典型例题】如图，在中，，，为边上的中线，若的周长为15，则的周长为（ ）
A.12 B.13 C.14 D.15
【举一反三1】若是的中线，已知比的周长大，则与的差为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，是的中线，，若 的周长比 的周长多2，则 的长为 ．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
【举一反三4】如图，在中，分别是边上的中线，的周长比的周长长2，若，．
(1)求，的长；
(2)求的周长．
【题型8】利用三角形的中线求面积
【典型例题】如图，在△ABC中，D，E分别是的中点．若△BDE的面积是1，则△ACD的面积是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】如图，面积为，，，则的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，的面积为18，为的中线，E，F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.9
【举一反三3】如图，的三条中线，，交于点．若，，则图中阴影部分的面积和为 ．
【举一反三4】如图，在中，点分别是边的中点，若，则 ．
【举一反三5】在中，，，，已知的面积是平方厘米，那么的面积是多少平方厘米？
【题型9】三角形的重心
【典型例题】如图，已知F是的重心，连接并延长交，连接并延长交，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.无法确定
【举一反三1】已知点G是的重心，如果连接AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（ ）
A.BD＝CD B. C. D.BC＝2BD
【举一反三2】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则的重心是（ ）
A.点D B.点E C.点F D.点G
【举一反三3】如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是 ．
【举一反三4】如图，点是的重心．
(1)________；
(2)若，求长．
【举一反三5】（2023·江苏南京·三模）如图，已知△ABC，AD为边BC上的中线，求作△ABC的重心M．
【题型10】三角形的角平分线
【典型例题】如图△中，已知，平分，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，错误的是（ ）
A.AD是△ABE的角平分线 B.AE是△ABC的角平分线 C.AF是△ACE的的角平分线 D.AE是△DAC的角平分线
【举一反三2】如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°，则∠EAD的度数是( )
A.20° B.30° C.45° D.60°
【举一反三3】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AD 平分∠BAC,且 AD⊥BC，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD．
【题型11】三角形高的定义
【典型例题】画中边上的高，下列画法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】画的边上的高，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知△ABC中，为边上的高，若，，，则△ABC的面积为 ．
【举一反三3】如图，以为高的三角形有 个．
【举一反三4】如图，在中，．
(1)指出图中边上的高；
(2)作出边上的高；
(3)在（2）的条件下，图中有几个直角三角形？分别列举出来；
(4)若，，，求边上的高的长．
【题型12】三角形的垂心
【典型例题】如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定
【举一反三1】三条高的交点一定在三角形内部的是( )
A.任意三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
【举一反三2】下列说法不正确的是（ ）
A.同角的余角相等
B.对顶角相等
C.三角形三条高所在的直线一定交于一点，并且该点位于三角形内部
D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【举一反三3】如图，已知△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H．△ACH的三条高是 ，这三条高所在直线交于点 ．
【举一反三4】若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【举一反三5】(1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线．
(2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？
【题型13】三角形的中线、角平分线、高的综合
【典型例题】在△ABC中，BD是△ABC的高线，CE平分∠ACB，交BD于点E，BE＝6，DC＝3，则△BCE的面积等于（ ）
A.3 B.5 C.9 D.12
【举一反三1】如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( )
A.BA＝2BF B.∠ACE＝∠ACB C.AE＝BE D.CD⊥AB
【举一反三2】如图，AD是△ABC的中线，E为线段AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F．则BC=2 =2 ；AE= = ; S△ABD＝ ＝S△ABC.
【举一反三3】在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B<∠C.
(1)如图1，AE是△ABC边BC上的高，∠B=30°，∠C=70°，直接写出∠DAE的度数；
(2)如图2，点E在AD上，EF⊥BC于F，猜想∠DEF与∠B，∠C的数量关系，并证明你的结论.
【题型14】利用网格求三角形的面积
【典型例题】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（ ）个．
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【举一反三2】如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】图中每个小正方形的边长为1，把从格点到与它相邻的格点，的直线运动形成的线段分别记为1，2，3，4，5，6，7，8，如以点为出发点，2表示线段，5表示线段，从点出发，按1753运动可得到正方形．从点出发，按1112445668运动的轨迹形成的图形面积为 ．
【举一反三4】如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于 ．
【举一反三5】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1．
(1)过点C画的平行线m；
(2)过点C画的垂线，垂足是D；
(3)线段的长度是点C到直线 的距离；
(4)的面积 ．
【举一反三6】如图为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在格点上．按要求画图：
(1)画出的边上的高线和中线；
(2)若的长为13，点M在的边上，直接写出线段的最小值．
