第六章 一次方程组【章末复习】 课件（共55张PPT）-华东师大版数学七年级下册（新教材）

(共55张PPT)
华东师大版数学7年级下册培优精做教学课件章末复习第六章一次方程组授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.实际问题
数学问题
(二元或三元一次方程组)
实际问题的答案
数学问题的解
(二元或三元一次方程组的解)
设未知数、列方程组
转化
检验
解方程组
代入法
加减法
(消元)
1.什么是二元一次方程？什么是二元一次方程的解？什么是二(三)元一次方程组？什么是二(三)元一次方程组的解？
2.举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组 .
“代入”与“加减”的目的是什么？
3.解三元一次方程组与解二元一次方程组有什么联系与区别？你能说一说“消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗？
4.提出一个实际问题，并用二元或三元一次方程组解决它，你能说一说用方程组解决实际问题的基本思路吗？
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
(二元一次方程的解有无数个)
例如: x=4，y=2 是方程 x+y=6 的一个解.
记作
x=4，
y=2 .
你还能找到其他的解吗？
下列方程组中是二元一次方程组的是( )
A.
B.
C.
D.
3x+4y=6
5z-6y=4
x+4=2
x-y=4
x+y=2
x2-y2=8
x+y=2
- =
方程组中含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是 1，并且一共有两个整式方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
B
一般地，使二元一次方程组中两个方程的左、右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
(一般来说解是唯一的)
若 是关于x，y的方程组 的解，
则a+b的值为( )
ax+by=2，
bx+ay=7
x =2，
y =1
A.3
B.-3
C.2
D.-2
A
2a+b=2，
2b+a=7
解析：
3a+3b=9
a+b=3
知识点二：二元一次方程组的解法
二元一次方程组
消元思想
代入消元法
加减消元法
知识点三：二元一次方程组的应用
①审
②设
③列
④解
⑤验
⑥答
审题，找题目中的__________
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设未知数
根据等量关系，列出相应的方程组
用“________法”或“________法”解方程组
检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义
写出答案(包括单位名称)
等量关系
代入消元
加减消元
知识点四：三元一次方程组
三元一次方程组
概念
含未知数的项的次数都是 1
方程组中一共含有 3 个未知数
解法
化“三元”为“二元”
含有三个整式方程
消元
代入消元法
加减消元法
二元一次方程组
A 组
1. 填空：
（1）在 y = x－4 中，如果 x = 1.5，那么 y =______；
如果 y = 0，那么 x = ________.
（2）由 3x－2y = 5，得到用 x 表示 y 的式子为 y =________.
2
3
－3
6
3x－5
2
2. 解下列方程组：
3x－13y = －16，
x + 3y = 2；
（1）
①
②
解：由方程②，得 x = 2－3y ③
将③代入①，得 3(2－3y)－13y = －16
y = 1
将 y = 1 代入③，得 x = －1
x = －1，
y = 1.
所以
x + 2y + 2 = 0，
7x － 4y = －41；
（2）
①
②
解：①×2 + ②，得 9x + 4 = －41
x = －5
将 x = －5 代入①，得 y =
3
2
x = －5，
y = .
所以
3
2
3t － 4s = 14，
5t + 4s = 2；
（3）
①
②
解：① + ②，得 8t = 16
t = 2
将 t = 2 代入①，得 s = －2
t = 2，
s = －2.
所以
5x + 6y = 15.2，
3x － 2y = －0.4；
（4）
①
②
解：① + ②×3，得 14x = 14
x = 1
将 x = 1 代入①，得 y = 1.7
x = 1，
y = 1.7.
所以
2m + 9n = 4.8，
3m － 5n = －15；
（5）
①
②
解：①×3 － ②×2，得 37n = 44.4
n = 1.2
将 n = 1.2 代入②，得 m = －3
m = －3，
n = 1.2.
所以
x + 3y = ，
（6）
x － y = － .
①
②
1
2
3
4
2
3
29
12
解：①×6，得 3x + 18y = 4.
②×12，得 12x－9y = －29.
③④
③ + ④×2，得 27x = －54.
x = －2.
将 x = －2 代入①，得 y =
5
9
x = －2，
y = .
所以
5
9
3. 解下列方程组：
3x －2y = 8， ①
2y + 3z = 1， ②
x + 5y－z = －4. ③
（1）
解 ② + ③×3，得 3x + 17y = －11 . ④
④－①，得 19y = －19，解得 y = －1.
把 y = －1 代入①，得 x = 2.
把 x = 2 代入③，得 z = 1.
所以原方程组的解是
x = 2，
y = －1，
z = 1 .
2x －3y －z = －4， ①
x + 2y + 2z = 6， ②
3x + 2y + z = 11. ③
（2）
解 ① + ③，得 5x － y = 7.
①×2 + ②，得 5x － 4y = －2.
得方程组
5x － y = 7，
5x－4y = －2.
解得
x = 2，
y = 3.
2x －3y －z = －4， ①
x + 2y + 2z = 6， ②
3x + 2y + z = 11. ③
（2）
把 x = 2，y = 3 代入方程③，得 z = －1.
所以原方程组的解是
x = 2，
y = 3，
z = －1 .
4. 在等式 y = kx + b 中，当 x = 1 时，y = －2；当 x = －1 时，
y = －4. 求 k、b 的值.
解：由题意，得
－2 = k + b，
－4 = －k + b.
解得
k = 1，
b = －3.
5. 小明与爸爸一起做“投篮球”游戏. 两人商定规则为：
小明投中 1 个得 3 分，爸爸投中 1 个得 1 分. 结果两人
一共投中了 20 个，经计算，发现两人的得分恰好相等.
你能知道他们两人各投中几个吗？
解：设小明投中 x 个，小明爸爸投中 y 个.
答：小明投中 5 个，小明爸爸投中 15 个.
由题意，得
x + y = 20，
3x = y.
解得
x = 5，
y = 15.
6. 今年，小亮的年龄是爷爷年龄的 . 小亮发现，12 年之后，
1
5
他的年龄将变成爷爷年龄的 . 试求出小亮今年的年龄.
1
3
解：设小亮今年的年龄为 x 岁，他爷爷今年的年龄为 y 岁.
由题意，得
x = y，
x + 12 = (y + 12).
1
5
1
3
解得
x = 12，
y = 60.
答：小亮今年的年龄为 12 岁.
7. 某检测站计划在规定时间内检测一批仪器，如果每天检测 30 台，那么在规定时间内只能检测计划数的 .现在每天实际检测 40 台，结果不但比原计划提前了一天完成任务，还多检测了 25 台. 问：规定时间是多少天？原计划检测多少台？
4
5
解：设规定时间是 x 天，原计划检测 y 台.
由题意，得
30x = y，
40(x － 1) = y + 25.
4
5
解得
x = 26，
y = 975.
答：规定时间是 26 天，原计划检测 975 台.
B 组
8. 解下列方程组：
（1）
x + y
2
2x － y
3
= = x + 2；
解：由原方程组得
= x + 2， ①
x + y
2
= x + 2. ②
2x － y
3
整理，得
x － y = －4，③
x + y = －6. ④
③ + ④，得 2x = －10，解得 x = －5.
B 组
8. 解下列方程组：
（1）
x + y
2
2x － y
3
= = x + 2；
④－③ ，得 2y = －2，解得 y = －1.
所以
x = －5，
y = －1.
（2）
2x － 1
5
3y － 2
4
+ = 2，
3x + 1
5
3y + 2
4
－ = 0.
①
②
整理，得
4(2x －1) + 5(3y－2) = 40，
4(3x + 1) －5(3y + 2) = 0.
即
8x + 15y = 54，
12x －15y = 6.
解得
x = 3，
y = 2.
所以
x = 3，
y = 2.
9. A、B 两地相距 3 km. 甲从 A 地出发步行到 B 地，乙从 B 地出发步行到 A 地. 两人同时出发，20 min 后相遇，又经过 10 min 后，甲所余路程为乙所余路程的 2 倍. 求两人的速度.
解：设甲、乙两人的速度分别为 x km/h 和 y km/h.
由题意，得
x + y = 3，
3－ x = 2(3－ y).
20
60
20
60
30
60
30
60
解得
x = 4，
y = 5.
答：甲、乙两人的速度分别为 4 km/h 和 5 km/h.
10. 甲、乙两人同时加工一批零件，前 3 小时两人共加工 126 件，后 5 小时中甲先花了 1 小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工 10 件，结果在后 5 小时内，甲比乙多加工了 10 件. 甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
解：设甲、乙两人原来每小时分别加工 x 件、y 件.
由题意，得
3x + 3y = 126，
(5－1)(x + 10) = 5y + 10.
解得
x = 20，
y = 22.
答：甲、乙两人原来每小时分别加工 20 件、22 件.
11. 已知三角形的周长为 18 cm，其中两条边长之和等于第三条边长的 2 倍，而它们的差等于第三条边长的 ，求这个三角形三边的长.
1
3
解: 设这个三角形其中两条边的长分别为 x cm、y cm (x > y)，则第三条边的长为（18－x－y）cm.
由题意，得
x + y = 2(18－x－y)，
x － y = (18－x－y).
1
3
解得
x = 7，
y = 5.
则第三条边的长为 18－7－5 = 6（cm）.
答：三角形三边的长分别为 5 cm、6 cm、7 cm.
12. 二果问价（源自我国古代算书《四元玉鉴》）:
九百九十九文钱 甜果苦果买一千 甜果九个十一文
苦果七个四文钱 试问甜苦果几个 又问各该几个钱
解: 设买甜果 x 个，苦果 y 个.
由题意，得
x + y = 1000，
x + y = 999.
11
9
4
7
解得
x = 657，
y = 343.
买甜果用钱 657× = 803（文）；
11
9
12. 二果问价（源自我国古代算书《四元玉鉴》）:
九百九十九文钱 甜果苦果买一千 甜果九个十一文
苦果七个四文钱 试问甜苦果几个 又问各该几个钱
买苦果用钱 999－803 = 196（文）.
答: 买甜果 657 个，苦果 343个；买甜果用钱 803 文，买苦果用钱 196 文.
C 组
13. 客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长 450 m，货车长 600 m. 如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需 21 s；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需 1min 45 s. 求两车的速度.
解: 设客车、货车的速度分别为 x m/s、y m/s .
由题意，得
21(x + y) = 450 + 600，
105x － 105y = 450 + 600.
解得
x = 30，
y = 20.
答: 客车、货车的速度分别为 30 m/s、20 m/s .
14. 李老师去一家文具店给美术小组的 30 名同学买铅笔和橡皮. 到了商店后
发现，按商店规定，如果给全组每人都买 2 支铅笔和 1 块橡皮，那么按
零售价计算，共需付 150 元；如果给全组每人都买 3支铅笔和 2 块橡皮，
那么可以按批发价计算，共需付 202.50 元. 已知每支铅笔的批发价比零
售价低 0.25 元，每块橡皮的批发价比零售价低 0.50 元. 问：这家文具店
每支铅笔和每块橡皮的批发价各是多少元？
解: 设这家文具店每支铅笔和每块橡皮的批发价分别为 x 元、y 元.
由题意，得
30×[2(x + 0.25) + (y + 0.5)] = 150，
30×(3x + 2y) = 202.5.
解得
x = 1.25，
y = 1.5.
答: 这家文具店每支铅笔和每块橡皮的批发价分别为 1.25 元、1.5 元.
15. 一张方桌由 1 个桌面、4 条桌腿组成. 如果 1 m3 木料可以做方桌的桌面 50 个或做桌腿 300 条，现有 5 m3 木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌？能配成多少张方桌？
解法一：设需做桌面 x 个，桌腿 y 条.
由题意，得
x + y = 5，
4x = y.
1
50
1
300
解得
x = 150，
y = 600.
所以 x = 3， y = 2.
1
50
1
300
答：用 3 m3 木料做桌面，2 m3 木料做桌腿，能配成 150 张方桌.
15. 一张方桌由 1 个桌面、4 条桌腿组成. 如果 1 m3 木料可以做方桌的桌面 50 个或做桌腿 300 条，现有 5 m3 木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌？能配成多少张方桌？
解法二：设用 x m3 木料做桌面，y m3 木料做桌腿.
由题意，得
4×50x = 300y，
x + y = 5.
解得
x = 3，
y = 2.
所以 50x = 150.
答：用 3 m3 木料做桌面，2 m3 木料做桌腿，能配成 150 张方桌.
考点1 二元一次方程（组）的相关概念
1. 下列方程组： 其中是二元一次方程组的是________.
①②④
2. 已知是关于, 的二元一次方程，
则 ___.
3. 如果是方程组 的解，则
的值为___.
0
3
考点2 解二（或三）元一次方程组
4. 解下列方程组：
（1）
【解】把①代入②,得 ,解
得.把代入①，得, 方程组的解
为
（2）
原方程组整理得
得 ，③
得，解得 .
把代入②得，解得 ，
所以原方程组的解为
（3）
由得 ，④
把④代入③得，解得 .
把代入①②得解得
所以方程组的解为
5. 已知 是一个方程组.圆圆说：“这个方程组
的解是而我由于看错了第二个方程中 的系数，求出
的解是 ”请你根据以上信息，把方程组复原出来.
【解】设 为， 为， 为， 这个方程组的解是
圆圆看错了第二个方程
中的系数，求出的解是
联立解得 所以原方程组为
考点3 二元一次方程（组）的应用
6. 已知单项式与是同类项，那么， 的
值分别是( )
C
A. 2， B. ， C. 2，1 D. ，1
【点拨】 单项式与 是同类项，
解得
7. 我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一
术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中
“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五
数之剩三 ，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，
每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…….问这些物体
共有多少个？设3个一数共数了次，5个一数共数了 次，其
中， 为正整数，依题意可列方程为( )
A
A. B.
C. D.
8. 系文物考古研究院用 复原的青铜蒸
馏器进行了蒸馏酒实验.用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋
头酒，需要的原材料与出酒率 如
下表：#1
类别 原材料 出酒率
粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、 大曲和蒸馏水）
芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏 水）
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二
次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食
糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍.
（1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅；
【解】设第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是
公斤, 公斤，则第二次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分
别是公斤, 公斤，
由题意可得解得
答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40公斤,
20公斤.
（2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约
为现代复原品的.若粮食糟醅中大米占比约为 ，请问，
在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备
多少公斤大米？
两次实验得到的粮食酒总量为
（公斤），设需要准备公斤大米，则粮食糟醅的质量为
公斤，由题意可得，解得 .
答：需要准备37.5公斤大米.
思想1 建模思想
9. [上海嘉定区期末] 在课余
活动中，小杰、小明和小丽一
起玩飞镖游戏，其落点如图所
30
示，飞镖盘上区域所得分值和 区域所得分值不同，每人各
投4次飞镖，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是32分和34
分.则小丽的4次飞镖总分是____分.
思想2 整体思想
10. 若方程组的解是 求方程组
的解.
【解】 方程组的解是
在方程组中 解得
即所求方程组的解为
思想3 数形结合思想
11. 如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做
长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁
剪掉的部分.沿图中实线折叠做成的长方体纸
盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折
叠后粘贴或封盖.用长为，宽为 的长方形厚纸片，
恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘 ，
三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？
【解】设长方体纸盒的底面边长为 ，三处“接口”的宽度
为，则长方体纸盒的高为 ，
由题意得解得
所以 .
所以该茶叶盒的容积是 .