导数构造函数问题-含解析

高二下培优提升训练（一）----导数中构造函数问题
一、导数构造函数基本规律
二、典型例题分析
【例 1】已知函数 f (x) 的导函数为 f ′(x)，若满足 xf ′(x) + f (x) > 0对 x∈ (0,+∞) 恒成立，则下列不等式一
定成立的是 ( ) A． f (π ) f (e) B． f (π ) f (e)< > C．π f (π ) < ef （e） D．π f (π ) > ef （e）
π e π e
【例 2】已知函数 f (x) 的导数为 f ′(x)， f (x) xf ′(x) > 0对 x∈ (0,+∞) 恒成立，则下列不等式中一定成立
的是 ( ) A． f (π ) > f （e） B． f (π ) < f （e） C． f (π ) f (e) D． f (π ) f (e)> <
π e π e
【例 3】设函数 f (x) 是定义在 (0,+∞)上的可导函数，其导函数为 f ′(x) ，且有 2 f (x) + xf ′(x) > 0 ，则不等
式 (x 2021)2 f (x 2021) f （1） > 0的解集为 ( )
A． (2020,+∞) B． (0,2022) C． (0,2020) D． (2022,+∞)
【例 4】定义在 (0,+∞)上的函数 f (x) 满足：2 f (x) < xf f (1)′(x) < 3 f (x)，其中 f ′(x) 为 f (x) 的导函数，则 的
f (2)
取值范围为 ( ) A． ( 1 ， 1) B． (1 ， 1) C． (1 ， 1) D． (1 ， 1)
16 8 8 4 4 3 3 2
【例5】已知定义在 R 上的函数 f (x) 关于 y 轴对称，其导函数为 f ′(x) ，当 x 0时，不等式 xf ′(x) >1 f (x) ．若
对 x∈R ，不等式 ex f (ex ) ex + ax axf (ax) > 0 恒成立，则正整数 a 的最大值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例 6】已知定义在 R 上的可导函数 f (x) 的导函数为 f ′(x)，满足 f ′(x) < f (x) 且 f (x + 2)为偶函数，若 f
（4） =1，则不等式 f (x) < ex 的解集为 ( ) A． ( 3,+∞) B． (1,+∞) C． (0,+∞) D． (6,+∞)
【例 7】已知定义在 R 上的可导函数 f (x) 的导函数为 f ′(x)，满足 f ′(x) < f (x) 且 f (x + 3)为偶函数，f (x +1)
为奇函数，若 f （9） + f （8） =1，则不等式 f (x) < ex 的解集为 ( )
A． ( 3,+∞) B． (1,+∞) C． (0,+∞) D． (6,+∞)
【例 8】已知函数 y = f (x)(x∈R)导函数为 f ′(x) ， f (0) = 2，且 f (x) + f ′(x) >1，则不等式 ex f (x) > ex +1
的解集为 ( ) A．{x | x > 0} B．{x | x < 0} C．{x | x < 1或 0 < x <1} D．{x | x < 1或 x >1}
【例 9】已知 f (x) 是定义在 ( ∞， 0)∪ (0 ， +∞) 上的奇函数， f ′(x)是 f (x) 的导函数， f （1） ≠ 0，且
满足当 x > 0 时， f ′(x)lnx f (x)+ < 0，则不等式 (x 1) f (x) < 0的解集为 ( )
x
A． (1,+∞) B． (0,1) C． ( ∞,1) D． ( ∞， 0)∪ (1， +∞)
【例 10】已知函数 f (x) 的定义域为 R ，导函数为 f ′(x)，对任意的实数 x，lnf (x) lnf ( x) = 2x ，且当 x > 0
时， f ′(x) > f (x) ，则满足不等式 f (3a 1) > e4a 2 f (1 a)的实数 a的取值范围是 ( )
A． ( ∞,0) (0, 1) B． (1 , 1 1+∞) C． ( ∞,0) ( ,+∞) D． ( ∞, )
2 2 2 2
三、达标巩固训练
1、已知定义在 R 上的可导函数 f (x) 满足： f (0) = 2 ，且对 x∈R 有 f (x) + f ′(x) >1 ，则不等式
ex f (x) > ex +1的解集为 ( ) A．{x | x > 0} B．{x | x < 0} C．{x | x < 1或 x >1} D．{x | x < 1或 0 < x <1}
2．设函数 f (x) 是定义在 ( ∞,0) 上的可导函数，其导函数为 f ′(x) ，且有 2 f (x) + xf ′(x) > 0 ，则不等式
(x + 2023)2 f (x + 2023) 4 f ( 2) < 0 的解集为 ( )
A． ( 2023, 2021) B． ( 2025,0) C． ( 2025, 2021) D． ( 2025, 2023)
3 x、定义在 R 上的奇函数 f (x) ，其导函数为 f ′(x) ，当 x 0时，恒有 f ′(x) f ( x) 0，若 g(x) = x3 f (x) ，
3
则不等式 g(2x) > g(1 3x)的解集为 ( ) A． (1 ,1) B ( , 1) C (1． ∞ ． ,+∞) D．( ∞, 1) (1,+∞)
5 5 5 5
4．定义域为 R 的可导函数 f (x) 的导函数为 f ′(x)，满足 f ′(x) 2 f (x) < 0，且 f (0) =1，则不等式 f (x) > e2x
的解集为 ( ) A． ( ∞,0) B． (2,+∞) C． (0,+∞) D． ( ∞, 2)
5、设函数 f (x) 在 R 上存在导函数 f ′(x)， x∈R ，有 f (x) f ( x) = x3 ，在 (0,+∞)上有 2 f ′(x) 3x2 > 0 ，
若 f (m 2) f (m) 3m2 + 6m 4 ，则实数m 的取值范围为 ( )
A． [ 1，1] B． ( ∞，1] C． [1， +∞) D． ( ∞， 1] [1， +∞)

6、已知函数 f (x) 的定义域为 R ，其导函数为 f ′(x) ，且满足 f ′(x) + f (x) = e x ， f (0) = 0 ，则不等式
(e2x 1) f (x) 1 1 1< e 的解集为 ( ) A． ( 1, ) B． ( ,e) C． ( 1,1) D． ( 1,e)
e e e
高二下培优提升训练（一）----导数中构造函数问题
一、导数构造函数基本规律
二、典型例题分析
【例 1】已知函数 f (x) 的导函数为 f ′(x)，若满足 xf ′(x) + f (x) > 0对 x∈ (0,+∞) 恒成立，则下列不等式一
定成立的是 ( ) A． f (π ) f (e) B． f (π ) f (e)< > C．π f (π ) < ef （e） D．π f (π ) > ef （e）
π e π e
解：令 g(x) = xf (x) ，则 g′(x) = xf ′(x) + f (x) > 0，故 g(x) 在 (0,+∞)递增，故 g(π ) > g （e），
故π f (π ) > ef （e），故选：D ．
【例 2】已知函数 f (x) 的导数为 f ′(x)， f (x) xf ′(x) > 0对 x∈ (0,+∞) 恒成立，则下列不等式中一定成立的
是 ( ) A． f (π ) > f （e） B． f (π ) < f （e） C． f (π ) f (e) D． f (π ) f (e)> <
π e π e
′
解：设 g(x) f (x) ，则 g′(x) xf (x) f (x)= = ， f (x) xf ′(x) > 0对 x∈ (0,+∞) 恒成立，
x x2
∴g′(x) < 0，即 g(x) 在 (0,+∞)上单调递减， π > e，∴g(π ) < g （e），即 f (π ) f (e) < ．故选：D ．
π e
【例 3】设函数 f (x) 是定义在 (0,+∞)上的可导函数，其导函数为 f ′(x) ，且有 2 f (x) + xf ′(x) > 0 ，则不等
式 (x 2021)2 f (x 2021) f （1） > 0的解集为 ( )
A． (2020,+∞) B． (0,2022) C． (0,2020) D． (2022,+∞)
2
解：令 g(x) = x f (x) ，∴g′(x) = 2xf (x) + x2 f ′(x)， 2 f (x) + xf ′(x) > 0 ，∴g′(x) > 0，在 (0,+∞)恒成立，
∴g(x) 在 (0,+∞)为增函数，
(x 2021)2 f (x 2021) f （1） > 0，∴(x 2021)2 f (x 2021) > f （1），
g （1） = f （1），∴g(x 2021) > g （1），∴ x 2021>1，∴ x > 2022，故选：D ．
【例 4】定义在 (0,+∞)上的函数 f (x) 满足：2 f (x) < xf ′(x) < 3 f (x)，其中 f ′(x) 为 f (x) f (1)的导函数，则 的
f (2)
取值范围为 ( ) A． ( 1 ， 1) B． (1 ， 1) C． (1 ， 1) D． (1 ， 1)
16 8 8 4 4 3 3 2
2 2
解：根据题意，设 g(x) f (x)
f ′(x)(x ) f (x) (x )′ xf ′(x) 2 f (x)
= ， x∈ (0,+∞) ，其导数 g′(x) = =
x2 x4 x3
，
又由 x∈ (0,+∞)， 2 f (x) < xf ′(x) < 3 f (x)恒成立，则有 g′(x) > 0 ，则函数 g(x) 在 (0,+∞)上单调递增，
则有 g （2） （1），即 f (2) f (1)
f (1) 1
> g > ，变形可得 < ；
22 12 f (2) 4
3 3
再设 h(x) f (x)= ， x∈ (0,+∞) ，则导数 h (x)
f ′(x)(x ) f (x) (x )′ f ′(x) x 3 f (x)
′ = 6 = 4 ， x3 x x
又由 x∈ (0,+∞)， 2 f (x) < xf ′(x) < 3 f (x)恒成立，则有 h′(x) < 0 ，则函数 h(x)在 (0,+∞)上单调减函数，
f (1) 1 1 f (1) 1
则有 h （1） > h（2），则有 f (2) f (1) ，变形可得 > ；综合可得： < < ，
23
>
13 f (2) 8 8 f (2) 4
f (1)
则 的取值范围为 (1 ， 1)；故选： B ． f (2) 8 4
【例5】已知定义在 R 上的函数 f (x) 关于 y 轴对称，其导函数为 f ′(x) ，当 x 0时，不等式 xf ′(x) >1 f (x) ．若
对 x x x x∈R ，不等式 e f (e ) e + ax axf (ax) > 0 恒成立，则正整数 a 的最大值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：定义在 R 上的函数 f (x) 关于 y 轴对称，∴函数 f (x) 为 R 上的偶函数．
令 g(x) = xf (x) x ，则 g(x) 为奇函数． g′(x) = xf ′(x) + f (x) 1．
当 x 0时，不等式 xf ′(x) >1 f (x) ．∴g′(x) > 0，g(x) 在 [0，+∞) 单调递增．∴函数 g(x) 在 R 上单调递增．
对 x∈R ，不等式 ex f (ex ) ex + ax axf (ax) > 0 恒成立，
ex f (ex ) ex > axf (ax) ax g(ex ) > g(ax) ．∴ex > ax ．
ex ex (x 1)
当 x > 0 时，a < = h(x)，则 h′(x) = 2 ，可得 x =1时，函数 h(x)取得极小值即最小值，h（1）= e ． x x
∴a < e ．
此时正整数 a 的最大值为 2． xa = 2对于 x 0时， e > ax 恒成立．综上可得：正整数 a 的最大值为 2．
故选： B ．
【例 6】已知定义在 R 上的可导函数 f (x) 的导函数为 f ′(x)，满足 f ′(x) < f (x) 且 f (x + 2)为偶函数，若 f
（4） =1，则不等式 f (x) < ex 的解集为 ( )
A． ( 3,+∞) B． (1,+∞) C． (0,+∞) D． (6,+∞)
解：设 g(x) f (x) ， f ′(x) < f (x) ，∴ g (x) f ′(x) f (x)= x ′ = x < 0 ∴g(x) 在定义 R 上单调递减；① e e
又 f (x + 2)为偶函数，∴ f (2 + x) = f (2 x)，∴ f (0) = f （4） =1，∴ g(0) f (0)= =1，
e0
则不等式 f (x) < ex f (x) f (0) < ，即 g(x) < g(0)，由①得 x > 0 ，故选：C ．
ex e0
【例 7】已知定义在 R 上的可导函数 f (x) 的导函数为 f ′(x)，满足 f ′(x) < f (x) 且 f (x + 3)为偶函数，f (x +1)
为奇函数，若 f （9） + f （8） =1，则不等式 f (x) < ex 的解集为 ( )
A． ( 3,+∞) B． (1,+∞) C． (0,+∞) D． (6,+∞)
解：因为 f (x + 3)为偶函数， f (x +1)为奇函数，所以 f (x + 3) = f ( x + 3) ， f (x +1) + f ( x +1) = 0．
所以 f (x) = f ( x + 6) ， f (x) + f ( x + 2) = 0 ，所以 f ( x + 6) + f ( x + 2) = 0．
令 t = x + 2，则 f (t + 4) + f (t) = 0 ．令上式中 t 取 t 4，则 f (t) + f (t 4) = 0 ，所以 f (t + 4) = f (t 4) ．
令 t 取 t + 4，则 f (t) = f (t + 8) ，所以 f (x) = f (x + 8)．所以 f (x) 为周期为 8 的周期函数．
因为 f (x +1)为奇函数，所以 f (x +1) + f ( x +1) = 0，令 x = 0 ，得： f （1）+ f （1）= 0，所以 f （1）= 0，
所以 f（9）+ f（8）=1，即为 f（1）+ f (0) =1，所以 f (0) =1．记 g(x) f (x)= ，所以 g (x) f ′(x) f (x)′ = ．因
ex ex
f x
f ( )为 ′(x) < f (x) ，所以 g′(x) < 0 ，所以 g(x) f (x)= 在 R 上单调递减．不等式 f (x) < ex可化为 x <1，即ex e
为 g(x) < g(0)．所以 x > 0 ．故选：C ．
【例 8】已知函数 y = f (x)(x∈R)导函数为 f ′(x) ， f (0) = 2，且 f (x) + f ′(x) >1，则不等式 ex f (x) > ex +1
的解集为 ( ) A．{x | x > 0} B．{x | x < 0} C．{x | x < 1或 0 < x <1} D．{x | x < 1或 x >1}
解：令 g(x) = ex f (x) ex 1，则 g′(x) = ex f (x) + ex f ′(x) ex = ex[ f (x) + f ′(x) 1]，
f (x) + f ′(x) >1，∴ f (x) + f ′(x) 1> 0，∴g′(x) > 0，即 g(x) 在 R 上单调递增，
又 f (0) = 2，∴g(0) = e0 f (0) e0 1= 2 1 1= 0 ，故当 x > 0 时，g(x) > g(0) ，即 ex f (x) ex 1> 0，整理
得 ex f (x) > ex +1，∴ex f (x) > ex +1的解集为{x | x > 0}．故选： A．
【例 9】已知 f (x) 是定义在 ( ∞， 0)∪ (0 ， +∞) 上的奇函数， f ′(x)是 f (x) 的导函数， f （1） ≠ 0，且
满足当 x > 0 时， f ′(x)lnx f (x)+ < 0，则不等式 (x 1) f (x) < 0的解集为 ( )
x
A． (1,+∞) B． (0,1) C． ( ∞,1) D． ( ∞， 0)∪ (1， +∞)
解： [ f (x)lnx] 1′ = f (x) + f ′(x)lnx < 0 ，∴g(x) = f (x)lnx 在 (0,+∞)上为减函数，而 g （1） = 0，
x
∴在 (0,1) 上， lnx < 0， g(x) > 0 ，在 (1,+∞)上， lnx > 0， g(x) < 0 ，而 f （1）< 0，
∴在 (0,+∞)上， f (x) < 0，又 f (x) 是奇函数，∴在 ( ∞,0)上， f (x) > 0 ，
x >1 x <1
不等式 (x 1) f (x) < 0 等价于 或 ，解得： x >1或 x < 0 ，故不等式的解集是 ( ∞ ，
f (x) < 0 f (x) > 0
0)∪ (1， +∞) ，故选：D ．
【例 10】已知函数 f (x) 的定义域为 R ，导函数为 f ′(x)，对任意的实数 x，lnf (x) lnf ( x) = 2x ，且当 x > 0
时， f ′(x) > f (x) ，则满足不等式 f (3a 1) > e4a 2 f (1 a)的实数 a的取值范围是 ( )
A． ( 1 1 ∞,0) (0, ) B． ( ,+∞) C． ( ∞,0) (1 ,+∞) D ( 1． ∞, )
2 2 2 2
′ x x ′
解：令 g(x) f (x) g ′(x) f (x) e f (x) (e )′ f (x) f (x)= x ，则 = x 2 = ， e (e ) ex
′
因为 x > 0 时， f ′(x) > f (x) ，所以 g ′(x) f (x) f (x)= x > 0 ，所以 g(x)在 (0,+∞)上单调递增． e
f (x) f (x)
因为对任意的实数 x， lnf (x) lnf ( x) = 2x ，所以 ln = 2x，所以 = e2x ，
f ( x) f ( x)
f (x) f ( x)
所以 x = x ，所以 g(x) = g( x) ，所以 g(x) 是偶函数，所以 g(x)图像关于 y 轴对称． e e
由 f (3a 1) > e4a 2 f (1 a)得 f (3a 1) > e4a 2 f (1 a) = e3a 1 ea 1 f (1 a) ，
f (3a 1) f (1 a)
即
e3a 1
> 1 a ，所以 g(3a 1) > g(1 a)，所以 | 3a 1|>|1 a |， e
1
解不等式得 a < 0 或 a > ，即实数 a的取值范围是 ( ∞,0) (1 ,+∞) ．故选：C ．
2 2
三、达标巩固训练
1、已知定义在 R 上的可导函数 f (x) 满足： f (0) = 2 ，且对 x∈R 有 f (x) + f ′(x) >1 ，则不等式
ex f (x) > ex +1的解集为 ( )
A．{x | x > 0} B．{x | x < 0} C．{x | x < 1或 x >1} D．{x | x < 1或 0 < x <1}
解：令 g(x) = ex[ f (x) 1]，因为 f (0) = 2，所以 g(0) =1，因为对 x∈R 有 f (x) + f ′(x) >1，
所以 g′(x) = ex[ f (x) + f ′(x) 1] > 0 ．即 g(x) 在 R 上单调递增，则不等式 ex f (x) > ex +1 可转化为
g(x) >1= g(0) ，所以 x > 0 ．故选： A．
2．设函数 f (x) 是定义在 ( ∞,0) 上的可导函数，其导函数为 f ′(x) ，且有 2 f (x) + xf ′(x) > 0 ，则不等式
(x + 2023)2 f (x + 2023) 4 f ( 2) < 0 的解集为 ( )
A． ( 2023, 2021) B． ( 2025,0) C． ( 2025, 2021) D． ( 2025, 2023)
解：由题意，函数 f (x) 是定义在 ( ∞,0)上的可导函数，且有 2 f (x) + xf ′(x) > 0 ，所以有 2xf (x) + x2 f ′(x) < 0 ，
令 g(x) = x2 f (x) ， x∈ ( ∞,0) ，则 g′(x) = 2xf (x) + x2 f ′(x) < 0 ，所以 g(x)在 ( ∞,0)上单调递减，
所以 (x + 2023)2 f (x + 2023) 4 f ( 2) < 0 ，即为 (x + 2023)2 f (x + 2023) < 4 f ( 2) ，所以有 g(x + 2023) < g( 2) ，
所以 2 < x + 2023 < 0 ，解得 2025 < x < 2023，所以不等式的解集为 ( 2025, 2023) ．故选： D ．
3 x、定义在 R 上的奇函数 f (x) ，其导函数为 f ′(x) ，当 x 0时，恒有 f ′(x) f ( x) 0，若 g(x) = x3 f (x) ，
3
1
则不等式 g(2x) > g(1 3x)的解集为 ( ) A． ( ,1) B ( , 1) C (1． ∞ ． ,+∞) D．( ∞, 1) (1,+∞)
5 5 5 5
解： f (x)为 R 上的奇函数，∴ f ( x) = f (x)，又 g(x) = x3 f (x) ，∴g( x) = ( x)3 f ( x) = x3 f (x) = g(x) ，
∴g(x) 为 R x x上的偶函数；又当 x 0时，恒有 f ′(x) f ( x) = f ′(x) + f (x) 0 ，
3 3
∴当 x 0时， g′(x) = 3x2 f (x) + x3 f ′(x) = 3x2 ( x f ′(x) + f (x)) 0，
3
∴g(x) 在 ( ∞， 0]上为增函数，而 g(x)为 R 上的偶函数，∴g(x) 在 (0,+∞)上为减函数．
∴不等式 g(2x) > g(1 3x) | 2x |<|1 3x | 1，两端平方，有5x2 6x +1> 0，解得： x < 或 x >1，
5
1
∴原不等式的解集为 ( ∞， )∪ (1， +∞) ，故选： D ．
5
4．定义域为 R 的可导函数 f (x) 的导函数为 f ′(x)，满足 f ′(x) 2 f (x) < 0，且 f (0) =1，则不等式 f (x) > e2x
的解集为 ( ) A． ( ∞,0) B． (2,+∞) C． (0,+∞) D． ( ∞, 2)
g(x) f (x)解：令 = 2x 1，则 g(0) = 0，因为 f ′(x) 2 f (x) < 0， e
e2xg (x) f (x) 2e
2x f ′(x) f (x) 2 f ′(x)
所以 ′ = 4x = 2x < 0，故 g(x)在 R 上单调递减，由 f (x) > e
2x f (x)的可得 2x >1， e e e
即 g(x) f (x)= 2x 1> 0，所以 x < 0 ．故选： A． e
5、设函数 f (x) 在 R 上存在导函数 f ′(x)， x∈R ，有 f (x) f ( x) = x3 ，在 (0,+∞)上有 2 f ′(x) 3x2 > 0 ，
若 f (m 2) f (m) 3m2 + 6m 4 ，则实数m 的取值范围为 ( )
A． [ 1，1] B． ( ∞，1] C． [1， +∞) D． ( ∞， 1] [1， +∞)

解：令 g(x) = f (x) 1 x3 ，∴g(x) g( x) = f (x) 1 x3 f ( x) 1 x3 = 0，
2 2 2
3
∴函数 g(x)为偶函数， x∈ (0,+∞)时， g′(x) = f ′(x) x2 > 0 ，∴函数 g(x)在 (0,+∞)上是增函数，
2
∴函数 g(x)在 ( ∞,0)上是减函数，
∴ f (m 2) f (m) = g(m 2) 1+ (m 2)3 g(m) 1 m3 = g(m 2) g(m) 3m2 + 6m 4 3m2 + 6m 4 ，
2 2
∴g(m 2) g(m) ，∴| m 2 | | m |，解得：m 1，∴实数m 的取值范围 ( ∞，1]，故选： B ．
6、已知函数 f (x) 的定义域为 R ，其导函数为 f ′(x) ，且满足 f ′(x) + f (x) = e x ， f (0) = 0 ，则不等式
(e2x 1) f (x) < e 1 的解集为 ( )
e
A． ( 1 1 1, ) B． ( ,e) C． ( 1,1) D． ( 1,e)
e e
解：由 f ′(x) + f (x) = e x 得 ex f ′(x) + ex f (x) =1，即[ex f (x)]′ =1，
可设 ex f (x) = x + m，当 x = 0 时，因 f (0) = 0得m = 0，所以 f (x) = xe x ，
(e2x 1) f (x) e 1< 可化为 xe x (e2x 1) e 1< ，即 xex xe x < e 1 ，
e e e
设 g(x) = xex xe x ，因 g( x) = xe x + xex = g(x)，故 g(x)为偶函数 g′(x) = ex + xex + xe x e x ，
当 x 0时，因 xex + xe x 0， ex e x 0 ，故 g′(x) = ex + xex + xe x e x 0，所以 g(x)在区间[0 ，+∞) 上单
调递增，因 g （1） = e e 1，所以当 x 0时 g(x) = xex xe x 1< e 的解集为 [0 ，1) ，又因为 g(x) 为偶函
e
数，故 g(x) < e 1 的解集为 ( 1,1)．故选：C ．
e