参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D 2. B. 3. B 4. A． 5. C. 6. C. 7. C 8. A.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. ABD.
10. BCD
11. ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13.
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）不等式，解得，即，
当时，，则，即，
所以.
（2）由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
综上，，
所以实数m的取值范围是.
16. （1）因为，在中，（米），
故（米），
在中，则（米）.
（2）因为四边形是矩形，可得，
所以在中，，，
在中，，则，
于是，
则矩形的面积
，
所以
由，得，
则当时，即时，，
所以当时，取得最大值，最大值为平方米.
17. （1）由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减，
由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适，
把，，代入，
得，所以，所以，
显然，也满足函数的解析式，
所以；
（2），
当，时，
，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时最小值为，
当，时，
，
此时函数单调递减，当时函数值最小，最小值为，
综上所述：函数的最小值为元.
18. （1）因为，可知函数的定义域为，
若函数为偶函数，则，
即，可得，即，
此时，
则，即函数为偶函数，
所以.
（2）因为，即，
可得，
即对于任意实数x恒成立，
因为，则，可得，
所以实数t的取值范围为.
（3）由（1）可知：，
若存在，使得成立，
即，
整理可得，
则，
令，当且仅当，即时，等号成立，
可得，
构建，可知在内存在零点，
因为的图象开口向上，对称轴为，
若，可知在内单调递增，
则，解得；
若，可知在内单调递减，在内单调递增，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
19. （1）因为，即，
所以，
故
.
（2）当时，若，即，
整理得，
令函数，则函数为上单调递增的奇函数，
由得，，
化简得，解得，，
故不等式的解集为，.
（3）因为，所以，
所以，即.
设，则，，恒有，
即在上单调递增.
由（1）可知，
.
令，
则可转化为函数，
因为为增函数，
由复合函数的单调性法则知在上递增，
注意到的单调递增区间为，，
因此，即，
解得，，
注意到，因此当时，；当时，，即；
当时，，此时无解.
综上可知，.长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试
数学试题
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D. 1
2. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
5. 若对定义域内的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，则“”是“为偶函数”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 若，，并且均为锐角，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知曲线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线
B. 把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到曲线
C. 把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到曲线
D. 把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线
11. 已知函数有两个零点，，函数有两个零点，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数单调递增区间是__________．
13. 化简的值为______．
14. 已知函数，若方程有4个根，，，，且，则实数取值范围是____，的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，
（1）求集合；
（2）若，，求实数m取值范围．
16. 近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.
（1）若，求的长；
（2）若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
17. 某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克的销售价格（单位:元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位:千克）关于第天的部分数据如下表所示:
9 14 18 22 29
54 59 63 59 52
（1）给出以下四种函数模型:①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式:
（2）设该工艺品的日销售收入为函数（单位:元）:求函数的最小值.
18. 已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）若对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围；
（3）若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围．
19. 设，其中，.
（1）若，求的值；
（2）若，求不等式的解集；
（3）若对任意，，恒有，求实数的取值范围.
