18.1.2 矩形的判定 课件（共29张PPT）-2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

(共29张PPT)
华东师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件18.1.2矩形的判定第18章矩形、菱形与正方形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.复习引入
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
思考 工人师傅在做矩形门窗或零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题
是否成立.
矩形是特殊的平行四边
形.
有三个角是直角的四边形是矩形
返回
1．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是(　　)
A
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立.
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有两个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
证一证
返回
2．如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是(　　)
A．一组对边平行而另一组对边不平行
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
C
矩形的判定定理1：
有三个角是直角的四边形是矩形.
归纳总结
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
返回
3．如图，已知平行四边形ABCD，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB，对于下列条件：①AB＝BE；②CE⊥DE；③∠ADB＝90°；④BE⊥DC．不能判定四边形DBCE为矩形的个数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
D
思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形.
例1 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形．
证明：在□ ABCD 中，AD∥BC，
∴∠DAB +∠ABC = 180°.
∵ AE 与 BG 分别为∠DAB、
∠ABC 的平分线，
A
B
D
C
H
E
F
G
∴ 四边形 EFGH 为矩形．
同理可得∠FEH =∠EHG = 90°，
∴∠AFB = 90°.
∴∠GFE = 90°.
∴∠BAF +∠ABF = ∠DAB + ∠ABC = 90°.
例2 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形．
∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM.
＝ (∠BAC＋∠CAM )＝90°.
证明：在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.
又∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°.
∴ 四边形 ADCE 为矩形．
返回
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连结AE，BF．当∠ACB＝________时，四边形ABFE为矩形．
60°
问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
思考 你能证明这一猜想吗？
我猜想：对角线相等的四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
对角线相等的平行四边形是矩形
已知：如图，在□ABCD中，AC，DB 是它的两条对角线，且 AC = DB. 求证：□ABCD 是矩形.
证明：∵ AB = DC，BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC = ∠DCB.
∵ AB∥CD，
∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC = 90°.
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
证一证
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为________．
4.8
矩形的判定定理1：
对角线相等的平行四边形是矩形.
归纳总结
几何语言描述：
在平行四边形 ABCD 中，∵ AC = BD，
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
A
D
C
B
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，其中一种方法就是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线的长相等，那么窗框一定是矩形，
你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
　例3 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC = AC，
OB = OD = BD.
又∵ OA = OD，
∴ AC = BD.
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形.
∴∠BAD = 90°.
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 40°.
典例精析
例4 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等)，
AO = BO = CO = DO（矩形的对角线互相平分）.
∵ AE = BF = CG = DH，
∴ OE = OF = OG = OH.
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形，
且 EG = FH.
∴ 四边形 EFGH 是矩形.
6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
(1)求证：FA＝BD；
【证明】∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.
又∵E为AD的中点，∴AE＝DE.
∴△AEF≌△DEC.∴AF＝DC.
又∵D为BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝BD.
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(2)连结BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．
【证明】∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形．
∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.
∴四边形ADBF是矩形．
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【答案】A
8．[西安高新区模拟]如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(0，8)，(－6，0)，P为线段AO上的一动点，以PB，PA为边构造平行四边形APBQ，则使对角线PQ的值最小的点Q的坐标为(　　)
A．(－3，4)
B．(－4，3)
C．(－6，4)
D．(－6，3)
【答案】C
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有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理