18.3正方形 课件（共42张PPT）-2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

(共42张PPT)
华东师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件18.3正方形第18章矩形、菱形与正方形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.
观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
情景引入
你还能举出其他的例子吗？
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢
你有什么发现？
问题引入
正方形
正方形的性质
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么
发现？
正方形
一组邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形的定义：
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
归纳总结
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义).
又∵ 正方形是平行四边形，
∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)，
正方形是菱形 (菱形的定义).
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，
AB = BC = CD = AD.
证一证
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形，
∴ AO = BO = CO = DO.
∵ 正方形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
返回
1．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是(　　)
A．AC⊥BD
B．AD＝AO
C．DO＝CO
D．∠DAO＝∠BAC
B
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等；
2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
归纳总结
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.
四边形
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：
知识要点
A
B
C
D
返回
2．[自贡中考]如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0，－2)．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A′B′C′D′.则点D′的坐标为(　　)
A．(－3，5) B．(5，－3)
C．(－2，5) D．(5，－2)
A
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方
形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知: 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰
直角三角形.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC = BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都
是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
典例精析
返回
3．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB，BC于点E，F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为________．
5
例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形，
求证： ∠EAD = ∠EDA = 15°.
证明：∵△BEC 是等边三角形，
∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°.
∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°.
∴△ABE，△DCE 是等腰三角形.
∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°.
∴∠EAD =∠EDA = 90° - 75° = 15°.
返回
4．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连结BF，则∠AFB的度数为________．
22.5°
例3 如图，在正方形 ABCD 中，P 为 BD上一点，PE⊥BC 于 E，PF⊥DC 于 F. 试说明：AP = EF.
A
B
C
D
P
E
F
解：
连结 PC，AC.
又∵ PE⊥BC，PF⊥DC，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠FCE = 90°，BD 垂直平分 AC.
∴ 四边形 PECF 是矩形.
∴ PC = EF.
∴ AP = PC.
∴ AP = EF.
在正方形的背景下证明两条线段相等：通常连结对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线、角平分线、等腰三角形等图形的性质来推导.
归纳
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等/
对角线互相垂直
正方形的判定
已知：如图，在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.
∵ AC⊥DB，
∴ AD = AB = BC = CD.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
证一证
对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角/
对角线相等
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵ AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
证一证
对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角/
一组邻边相等/
总结归纳
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等，
且一内角是直角
在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD
B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD
C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
D．AO = CO，BO = DO，AB = BC
练一练
C
A
B
C
D
O
例4 在正方形 ABCD 中，点 E、F、M、N 分别在各边上，且 AE = BF = CM = DN．求证：四边形 EFMN 是正方形．
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD = DA，∠A =∠B =∠C =∠D = 90°.
∵ AE = BF = CM = DN，∴ AN = BE = CF = DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌
△CMF≌△DNM，得四边形 EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可.
典例精析
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM 中，
AE = BF = CM = DN，
∠A =∠B =∠C =∠D，
AN = BE = CF = DM，
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM.
∴ EN = FE = MF = NM，∠ANE =∠BEF.
∴ 四边形 EFMN 是菱形.
又∠NEF = 180° - (∠AEN +∠BEF )
= 180° - (∠AEN +∠ANE) = 180° - 90° = 90°.
∴ 四边形 EFMN 是正方形.
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC =∠DFC = 90°.
又∵∠C = 90°，
∴ 四边形 CEDF 是矩形.
过点 D 作 DG⊥AB 于点 G.
∵ AD 是∠CAB 的平分线，
∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF.
∴ 四边形 CEDF 为正方形.
例5 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B 的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
5．[广安中考]如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连结AE，AF，CE，CF．
(1)求证：△ADE≌△CBF．
返回
例6 如图，EG，FH 过正方形 ABCD 的对角线交点 O，且 EG⊥FH. 求证：四边形 EFGH 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ OB = OC，∠ABO =∠BCO = 45°，
∠BOC = 90° =∠COH +∠BOH.
∵ EG⊥FH，
∴∠BOE +∠BOH = 90°.
∴∠COH =∠BOE.
∴△CHO≌△BEO. ∴ OE = OH.
同理可证：OE = OF = OG.
B
A
C
D
O
E
H
G
F
∴ OE = OF = OG = OH，
即 EG 与 FH 互相垂直平分.
∴ 四边形 EFGH 为菱形.
∵ EO + GO = FO + HO，即 EG = HF，
∴ 四边形 EFGH 是正方形.
B
A
C
D
O
E
H
G
F
例7 如图，正方形 ABCD 中，动点 E 在 AC 上，AF⊥AC，垂足为 A，AF = AE．
（1）求证：BF = DE；
（2）当点 E 运动到 AC 中点时 (其他条件都保持不变)，
问四边形 AFBE 是什么特殊四边形？说明理由.
（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = AD，∠BAD = 90°.
∵ AF⊥AC，∴∠EAF =∠BAD = 90°.
∴∠BAF =∠DAE.
在△ABF 和△ADE 中，
AB = AD，∠BAF =∠DAE，AF = AE，
∴△ABF≌△ADE (S.A.S.). ∴ BF = DE.
（2）解：当点 E 运动到 AC 的中点时，四边形 AFBE 是正方形.
理由：∵ 点 E 运动到 AC 的中点，AB = BC，
∴ BE⊥AC，BE = AE = AC.
∵ AF = AE，∴ BE = AF = AE.
又∵ BE⊥AC，∠FAE =∠BEC = 90°，
∴ BE∥AF.
∵ BE = AF，
∴ 四边形 AFBE 是平行四边形.
∵∠FAE = 90°，AF = AE，
∴ 四边形 AFBE 是正方形．
6．如图，E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连结AE交BD于点F，连结CF，若∠CDE＝40°，则∠DCF的度数为(　　)
A．23°
B．24°
C．25°
D．26°
返回
【答案】B
8．[东营期中]如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝
S四边形DEOF．其中正确的有________(填序号)．
①②④
(1)求证：AE＝EP．
【证明】∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD，
∠B＝∠BCD＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE＋∠BEA＝90°.∵∠AEP＝90°，
∴∠BEA＋∠CEP＝90°.∴∠BAE＝∠CEP.
如图①，在BA上截取BN＝BE，连结EN.
(2)在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请画出图形并给予证明；若不存在，请说明理由．
【解】存在点M使得四边形DMEP是
平行四边形．如图②，过点D作DM∥
PE，交AE于点K，交AB于点M，连结
ME，DP，此时四边形DMEP是平行四边形．
返回
1. 四个角都是直角
2. 四条边都相等
3. 对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形