6.3.3 余角和补角 课件(共52张PPT)-2025-2026学年人教版七年级数学上册

(共52张PPT)
6.3 角
七年级数学上册 第六章 几何图形初步
6.3.3 余角和补角
目录/CONTENTS
数学活动
考点梳理
知识导图
课本复习题
学习目标
1.认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质.
2.通过简单的推理，归纳出余角和补角的性质，并能用规范的语言描述性质.
情景导入
O
A
C
B
你能说说图中角的和差关系吗？
∠AOC=∠AOB+_______
∠AOB=∠AOC-_______
∠BOC=∠AOC-_______
∠BOC
∠BOC
∠AOB
新知探究
在一副三角尺中，每个三角尺都有一个角是90°，而其他两个角的和是90°（ 30°+ 60°= 90°， 45° +45° =90° ）
一般地，如图，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角.
新知探究
如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角.
思 考
∠1 与∠2，∠3 都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
解：因为 ∠1 与∠2，∠3 都互为余角，
所以 ∠2 = 90° - ∠1，∠3 = 90° - ∠1.
所以 ∠2 = ∠3 .
若 ∠1 与∠2，∠3 都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
解：因为∠1 与∠2，∠3 都互为补角，
所以∠2 = 180° - ∠1，∠3 = 180° - ∠1.
所以∠2 =∠3.
类似地，与同一个角互补的两个角的大小有什么关系？
概念归纳
同角（等角）的余角相等.
同角（等角）的补角相等.
余角的一个性质：
对于补角也有类似的性质：
课本例题
例4 如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
A
O
B
C
D
E
分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角.
解：因为点 A，O，B 在同一条直线上，
所以∠AOC 和∠BOC 互为补角．
A
O
B
C
D
E
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD +∠COE = ∠AOC + ∠BOC
= (∠AOC +∠BOC )
= 90°
所以∠COD 和∠COE 互为余角，
同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角．
课堂练习
1. 图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
解：互为余角的角是 10°和 80°、30°和 60°，
互为补角的角是10°和 170°、30°和 150°、60°和 120°、
80°和 100°.
2. 一个角是70°39'，求它的余角和补角.
解：它的余角是 19°21′，补角是 109°21′.
3. ∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？
解：设∠α= x.则 3x=180°-x，解得 x=45°.
所以∠α是 45°
4. 如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？
解：先将其一边 OA 反向延长为 OC，便可测出∠BOC 的度数，
而 ∠AOB与∠BOC互为补角，
故 ∠AOB=180°-∠BOC
C
习题 6.3
1. 图中以 OC 为边的角有几个？请把它们表示出来.
解：以 OC 为边的角有3个，分别是∠COD，∠BOC，∠AOC.
2. 判断题.
（1）两条射线组成的图形叫作角；
（2）平角是一条直线；
（3）互补且相等的两个角都是直角；
（4）一个锐角的补角比这个角的余角大90°；
（5）在同一平面内，∠AOB=60°，∠COB=30°，则∠AOC=90°.
×
×
×
√
√
3. 填空题.
（1）0.4°=_______′；
（2）12″=______′；
（3）57°31′+17°39′=______°______′；
（4）25°36′×4=______°______′；
（5）46.8°÷6=_____°=______°______′
24
0.2
75
10
102
24
7.8
7
48
4. 一个角的补角是 150°，这个角的余角是多度？
解：这个角的余角是 60°.
5. 按照上北下南、左西右东的规定，画出表示东、南、西、北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线：
（1）北偏西30°；（2）南偏东75°；
（3）北偏东40°；（4）西南 （南偏西 45°）.
解：如图所示（1）射线 OA；
（2）射线 OB；
（3）射线 OC；
（4）射线 OD.
6. （1）时钟的时针1h旋转多少度？
（2）时钟的分针1min旋转多少度？
（3）3时25分，时钟的时针与分针所成的角是多少度？
解：（1）30°；（2）6°；（3）47.5°.
7. 如图，∠AOC=∠BOD=90°.比较∠AOB 与∠COD的大小，并说明理由.
解：∠AOB=∠COD.
理由如下:
因为∠AOC=∠BOD，
所以∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，
即∠AOB=∠COD.
8. 如图，∠COD=35°，OC平分∠AOB，OD 平分∠AOC.
求∠AOB 的度数.
解：因为 OD 平分∠AOC，
所以∠AOC=2∠COD=2×35°=70°
因为 OC平分∠AOB，
所以∠AOB=2∠AOC=2×70°=140°.
9. 已知∠AOB=70°，以 OA 为边画∠AOC=32°.求∠BOC 的度数.
解：当 OC 在∠AOB 内部时，
如图①，∠BOC=∠AOB-∠AOC=
70°-32°=38°；
当OC在∠AOB 外部时，
如图②，∠BOC= ∠AOB+ ∠AOC=70°+32°=102°
综上所述， ∠BOC 的度数为 38°或 102°.
10. 如图，在∠AOB内部任意画一条射线OC，OD平分∠AOC，
OE平分∠BOC，根据图形填空：
（1）∠AOB= ∠AOC+_______；
（2）∠COD=_______= _______；
（3）∠DOE=_______+______= ______；
（4）若∠DOE=60°，则∠AOB=_____°；
若∠AOB=n°，则∠DOE =______°.
∠BOC
∠AOD
∠COE
∠COD
∠AOC
∠AOB
120
11. 如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？
解：在第（1）种摆放方式中∠α与∠β互余，在第（4）种摆放方式中∠α与∠β 互补，在第（2）（3）种摆放方式中∠α与∠β相等.
12. 如图，一个齿轮有24个齿，每相邻两齿中心线的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？
解：因为有 24 个齿，
所以这个夹角是 360°÷24=15°；
如果是 22 个齿，
那么这个夹角是 360°÷22≈16°22′.
13. 如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向上有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°方向上.试在图中确定这艘船的位置.
60°
30°
P
解：如图，点P位置即为这艘船的位置.
14. 画几个不同的四边形，使每个四边形中都有30°，90°，105°的角.量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？
解：画图略.
这些四边形中另一角的度数均为135°，
可以的规律：四边形的内角和为360°.
15. （1）如图（1），射线 AD，BE，CF 构成∠1，∠2，∠3，量出∠1，∠2，∠3的度数，并计算∠1十∠2+∠3.画出几个类似的图，计算相应的三个角的和，你有什么发现？
解：（1）图（1）中，
∠1+∠2+∠3= 360°，
画图略，
可以发现类似的这样三个角的和均为360°；
（2） 类似地，量出图（2）中∠1，∠2，∠3，∠4的度数，计算∠1+∠2+∠3+∠4.再换几个类似的图试试，你有什么发现？
解：（2）图（2）中，
∠1+∠2+∠3+∠4= 360° ，
画图略，
可以发现类似的这样四个角的和也均为360°.
（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？
解：（3）猜想：多边形的外角和都是360°.
分层练习-基础
1. 如图，点 O 在直线 AB 上，∠ BOC ＝90°，则∠ AOE 的
余角是(　A　)
A. ∠ COE B. ∠ BOC
C. ∠ BOE D. ∠ AOE
A
2. 将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，图中锐角∠1
的度数为(　C　)
A. 58° B. 59°
C. 60° D. 61°
C
3. [2024北京]如图，∠ AOC ＝∠ BOD ＝90°，∠ AOD ＝
126°，则∠ BOC 的大小为(　C　)
A. 36° B. 44°
C. 54° D. 63°
C
4. [2024广安期末]已知一个角比它的补角小30°，则这个角
的大小为 (　C　)
A. 30° B. 60°
C. 75° D. 105°
C
5. [教材P177例4变式]如图， O 为直线 AB 上一点， OM 平分
∠ AOC ，∠ MON ＝90°，则图中互余的角有(　A　)
A. 4对 B. 3对
C. 2对 D. 1对
A
6. 已知∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，则
∠1 ∠3(填写“＞”“＜”或“＝”)，理由是
.
＝　
同
角的补角相等　
7. 如图，点 O 在直线 DB 上，已知∠1＝28°，∠ AOC ＝
90°，则∠2的度数是 .
118°　
8. 如图，∠ AOC ＝90°， OC 平分∠ BOD ，且∠ AOB ＝
40°，则∠ AOD ＝ .
140°　
9. [教材P177练习T3变式]如果一个角的余角等于这个角的补
角的 ，求这个角.
解：设这个角是 x °，
根据题意，得90－ x ＝ (180－ x )，
解得 x ＝60.
所以这个角是60°.
分层练习-巩固
10. 【教材 P 179习题 T 11变式2024山东聊城期末】如图，一
副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β
互余的是(　A　)
A
B
A
C
D
11. 【新考法·折叠法】如图，将长方形纸片 ABCD 的角 C 沿
着 GF 折叠(点 F 在 BC 上，不与 B ， C 重合)，使点 C 落
在长方形内部点 E 处，若 FH 平分∠ BFE ，则∠ GFH 的
度数α是(　C　)
C
A. 90°＜α＜180°
B. 0°＜α＜90°
C. α＝90°
D. α随折痕 GF 位置的变化而变化
12. 如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余
角的式子中：①90°－∠β；②∠α－90°；③ (∠α＋
∠β)；④ (∠α－∠β)，正确的有 .(填序号，
多选)
①②④　
13. [2024广州白云区期末]如图，已知∠ AOB ＝140°，∠ AOC ＝30°， OE 是∠ AOB 内部的一条射线，且 OF 平分∠ AOE .
(1)若∠ COF ＝20°，求∠ EOB 的度数.
解：(1)因为∠ COF ＝20°，∠ AOC ＝30°，
所以∠ AOF ＝50°.
因为 OF 平分∠ AOE ，
所以∠ AOE ＝100°.
因为∠ AOB ＝140°，
所以∠ EOB ＝∠ AOB －∠ AOE ＝140°－100°＝40°.
(2)若∠ COF ＝ x °，请直接写出∠ EOB 的度数(用含 x
的式子表示).
解：(2)80°－2 x °.
14. 【新视角·操作实践题】已知：∠ AOB ＝50°，∠ AOC
＝ ∠ AOB ，反向延长 OC 至 D .
(1)请用半圆仪(量角器)和直尺画出图形；
解：(1)画出图形，如图①、如图②所示.
(2)求∠ BOD 的度数.
解：(2)如图①.因为∠ AOC ＝ ∠ AOB ，
所以∠ BOC ＝∠ AOB －∠ AOC ＝∠ AOB － ∠ AOB ＝ ∠ AOB ＝25°.
所以∠ BOD ＝180°－∠ BOC ＝180°－25°＝155°.
如图②.因为∠ AOC ＝ ∠ AOB ，
所以∠ BOC ＝∠ AOB ＋∠ AOC ＝ ∠ AOB ＝75°.
所以∠ BOD ＝180°－∠ BOC ＝180°－75°＝105°.
综上所述，∠ BOD 的度数为155°或105°.
15. 【新视角·新定义题】定义：从∠ MPN 的顶点 P 引一条
射线 PQ (不与 PM 重合)，若∠ QPN ＋∠ MPN ＝180°，
则称射线 PQ 为∠ MPN 关于边 PN 的补线.
(1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；
②一个角关于某边的补线一定有2条；
③一个角关于某边的补线有1条或2条，
其中正确的是 .(填序号)
③　
(2)如图， O 是直线 AB 上一点，射线 OC ， OD 在 AB 同侧， OD 是∠ BOC 的平分线，则 OC 是∠ AOD 关于边 OD 的补线吗？为什么？
解：(2) OC 是∠ AOD 关于边 OD 的补线，理由如下：
因为 OD 是∠ BOC 的平分线，
所以∠ BOD ＝∠ COD .
因为∠ BOD ＋∠ AOD ＝180°，
所以∠ COD ＋∠ AOD ＝180°.
又因为 OC 不与 OA 重合，
所以 OC 是∠ AOD 关于边 OD 的补线.
分层练习-拓展
16. [教材P188复习题T11变式]如图，把一张长方形纸片的一
角任意折向长方形内，使点 B 落在点B'的位置，折痕为
EF ，再把 CF 折叠，使点 C 落在点C'的位置，折痕为
GF ，C'F与FB'在同一条直线上.
(1)分别直接写出∠1与∠ CFE 、∠2与∠ BFG 之间所满
足的等量关系；
解：(1)∠1＋∠ CFE ＝180°，∠2＋∠ BFG ＝180°.
(2)直接写出∠1与∠2之间的数量关系；
解：(2)∠1＋∠2＝90°.
(3)直接写出∠ EFG 是什么角.
解：(3)∠ EFG 是直角.
课堂小结
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
4
3
1
2
∠1 +∠2 = 90°
或∠1 = 90° -∠2
∠1 +∠2 = 180°
或∠1 = 180° -∠2
同角或等角的
补角相等
同角或等角的
余角相等
谢谢观看
Thank you