第二章二次函数同步练习（含解析） 北师大版数学九年级下册
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| 名称 | 第二章二次函数同步练习（含解析） 北师大版数学九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-29 00:00:00 | ||
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文档简介
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第二章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（ ）
A．19 B．16 C．15 D．12
4．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论：
①S与x之间的函数关系式为；
②x的取值范围是；
③的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为．
其中，正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①
5．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（ ）
A． B． C． D．
6．若是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A． B．或1 C．1 D．0
7．已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数的图象开口向上，则“□”可能是（ ）
A． B． C． D．5
9．已知抛物线，，是常数，，经过点，其对称轴是直线，有下列结论：
；关于的方程有两个不等的实数根；③．
其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．下列二次函数的图象，对称轴是y轴的二次函数的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
11．将抛物线沿轴向左平移4个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
12．函数是关于的二次函数，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．不存在
二、填空题
13．已知二次函数，若时，当 时，随的增大而增大．
14．将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接如果是等边三角形，那么点B的坐标是 ．
15．二次函数图象的对称轴为 ．
16．把二次函数化为的形式： ．
17．在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．则 ；若平移抛物线，使其顶点仍在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值是 ．
三、解答题
18．已知二次函数的图像经过点．
(1)求的值；
(2)点在该二次函数图像上，当时，求的值．
19．禧爱花店以元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，调查了附近五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，并记录如下：
售价（元/盒） 18 20 22 26 30
日销售量（盒） 54 50 46 38 30
(1)分析表格中数据的变化规律，可知日销售量是售价的一次函数，求日销售量与售价之间的关系式；
(2)根据以上信息，禧爱花店将售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少？
20．已知二次函数．
(1)用配方法将其化为的形式；
(2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标．
21．在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点与点是关于点对称点．过点的直线 其中与轴相交于点，过点作直线平行于轴，是直线上一点，且．
(1)填空：点的坐标为 ；点的坐标为 用含的式子表示；
(2)求线段的长用含的式子表示)；
(3)点是否一定在抛物线上？说明理由．
22．如图，一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
23．某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个14.45元售出，求每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．
①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？
②若要使用甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？
24．如图，已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标；
(3)点（其中）与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标．
《第二章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D D A D D C B
题号 11 12
答案 A C
1．D
【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可判断大致图像．
【详解】解：二次函数的顶点式为，
，顶点坐标为，
二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线，
故选：D．
2．D
【分析】本题主要考查二次函数的定义“一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可．
【详解】解：.A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意；
B、不是二次函数，故选项B不符合题意；
C、 不是二次函数，故选项C不符合题意；
D、是二次函数，故选项D符合题意
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值．
【详解】解：在中，，，，
，
设运动时间为，则，，
当时，四边形的面积取最小值，最小值为．
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，，列不等式组，解不等式组即可求出自变量的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求的值，可以判断③．
【详解】解：根据题意得：，故①正确；
设这个菜园垂直于墙的一边的长为．则的长为，
墙长为，，
解得，
的取值范围为，故②错误；
根据题意得：，
解得，，
，
，
的长有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③错误．
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案．
【详解】解：由题意得，点A的横坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴点C的纵坐标为，
在中，当时，解得或，
∴，
∴，
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴且，
解得：．
故选：A
7．D
【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④．
【详解】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点，
，两个函数的对称轴均为直线，
即，
解得：，故①正确；
②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，
，
由函数的对称性可知，
在和中，
，
，
，故正确②；
③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，
由①可知两个函数的解析式分别为，，
，，
，
点，
，
，
由，
此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确；
④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为，
点的横坐标为，
，点的横坐标为，
，，
，，
周长的最小值为，故正确④；
故选：D．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
8．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，小于零开口向下．
【详解】解：设“□”为，
∵二次函数的图象开口向上，
∴为大于0的实数，
则D选项符合题意，
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，由题意得到抛物线的开口向下，对称轴判断，与的关系，得到即可判断；根据题意得到抛物线开口向下，顶点在轴上方，即可判断；根据抛物线经过点以及，得到，即可判断，熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，故错误；
∵抛物线开口向下，与轴有两个交点，
∴顶点在轴的上方，
∵，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于的方程有两个不等的实数根，故正确；
∵抛物线经过点，
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线，即，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确，
故选：．
10．B
【分析】根据函数解析式，求出每个函数的对称轴即可得出答案．
【详解】解：A、的对称轴是直线，故A不合题意；
B、的对称轴是y轴，故B符合题意；
C、的对称轴是直线，故C不合题意；
D、，对称轴是直线，故D不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的对称轴，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴为直线．
11．A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先配方为顶点式，然后根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：，
将抛物线沿轴向左平移4个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为．
故选：A．
12．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数．
【详解】解：由题意得，解得：，
故选：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的性质．直接根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特征，根据题意得到关于的方程是解题的关键．由题意设点坐标为，根据等边三角形的性质得到，解出的值即可得到答案．
【详解】解：点A在抛物线上，
设点坐标为，
是等边三角形，
，，
或（舍），
．
故答案为：．
15．直线
【分析】（方法1）令，求出两个对称的点的坐标，利用抛物线上对称的点的坐标求出对称轴；（方法2）利用先将二次函数的表达式化成一般形式，再利用求对称轴的公式求解即可．
【详解】（方法1）∵令，
则，，
∴该二次函数图象上两个对称的点的坐标分别为，，
∴该二次函数图象的对称轴为直线．
故答案为：直线．
（方法2）∵，
∴该二次函数图象的对称轴为直线．
故答案为：直线．
【点睛】本题考查了二次函数图象的对称轴，熟记二次函数图象的对称轴公式是解题的关键．
16．
【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
17． 1
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点在直线上；因为直线经过、和点，所以经过点的抛物线不同时经过、点，即可判断抛物线只能经过、两点，根据待定系数法即可求得、；设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，，根据题意得出，由抛物线与轴交点的纵坐标为，即可得出，从而得出的最大值．
【详解】解：直线经过点，
，解得，
直线为，
把代入得，
点在直线上；
直线经过点，直线与抛物线都经过点，∴点，，在直线上，
∵直线与抛物线不可能有三个交点，
，两点的横坐标相同，
抛物线只能经过、两点，
把，代入，得
．
解得，．
．
抛物线的解析式为，
设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为，，
顶点仍在直线上，
，
，
抛物线与轴的交点的纵坐标为，
，
当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为．
故答案为：1；．
18．(1)2
(2)
【分析】（1）把点代入即可求出的值；
（2）令，求出函数的值即为的值．
【详解】（1）解：二次函数的图像经过点，
，
解得 ：；
（2）由（1）可知，
二次函数为，
点在该二次函数图像上，当时，
．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，求函数的值，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键．
19．(1)
(2)售价定为30元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式及二次函数求最值的方法是解题的关键．
（1）根据变量变化规律判断函数类型，并利用待定系数法求其函数关系式即可；
（2）根据“每天的利润=（售价进价）日销售量”将每天的利润表示出来，并确定当x为何值时每天的利润取最大值即可．
【详解】（1）解：由题意可设，
把，代入得：，
解得：，
；
（2）设每天获得的利润为元，
由题意得，
，当时，取最大值450，
售价定为30元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元．
20．(1)
(2)抛物线与轴的交点是，，与轴交点是
【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，二次函数的性质：
（1）利用配方法把解析式化为顶点式即可；
（2）根据和求出对应的、值，即可得到与坐标轴交点的坐标．
【详解】（1）解：
；
（2）解：当时，，解得：，；
当时，，
故抛物线与轴的交点是，，与轴交点是
21．(1)；
(2)
(3)点一定在抛物线上，理由见解析
【分析】（1）由抛物线解析式可求得点坐标，再利用对称可求得点坐标，然后用表示出点坐标，；
（2）过作于点，条件可知点在轴上方，设点纵坐标为，可表示出、的长．在中，利用勾股定理可求得，则可求出的长，
（3）根据（2）得出点坐标，代入抛物线解析式可判断点在抛物线上．
【详解】（1）的顶点的坐标为，
原点关于点的对称点的坐标为
点坐标为，
直线解析式为，
解得：，
．
故答案为；
（2）解：点坐标为，
直线解析式为，
令，解得，
，
点只能在轴上方，
过作于点，
设，
则，，
．
在，由勾股定理可得，
即，解得，
．
（3），
点坐标为，
当时，代入抛物线解析式可得，
点一定在抛物线上．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有轴对称的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的性质等．在（2）中构造直角三角形，利用勾股定理得到关于的长的方程是解题的关键．
22．．
【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，表示出剩余面积的长和宽，结合面积关系列出式子，即可作答
【详解】解：∵一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，
∴剩余面积的长和宽分别为
∴
23．(1)每次降价的百分率是
(2)①每个应降价3元；②每个应降价2元，利润有最大值，最大利润为360元
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）①设下调 元，则售价为元，销售量为个，利用销售总额=销售单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，再根据售价不低于进价进行选择即可求出结论；
②设下调 元后，利润为W元，列出二者之间的函数关系式，再根据求出二次函数的最值即可．
【详解】（1）设每次降价的百分率为，依题意得：
，
解得，（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是；
（2）①假设下调元，依题意得：
．
整理得：
解得或．
∵，故舍去，
答：每个应降价3元．
②设下调元后，利润为W元，则：
W=
，
∵，
∴当时，利润有最大值，最大利润为360元
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程．
24．(1)
(2)该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为
(3) ， 点的坐标为
【分析】（1）用待定系数法（将图像上两点坐标代入解析式即可）；
（2）由（1）得出的抛物线解析式，配方确定出对称轴和顶点坐标；
（3）将点代入二次函数解析式求出m的值，由于点C和点D关于抛物线的对称轴对称即可求得．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点，
得：，
解得：，
二次函数的解析式为：；
（2）解：，
二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（3）解：点函数图象上，
，
解得：，
，
舍去，
，
点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及二次函数的性质，正确求出二次函数的表达式是解题关键．
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第二章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（ ）
A．19 B．16 C．15 D．12
4．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论：
①S与x之间的函数关系式为；
②x的取值范围是；
③的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为．
其中，正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①
5．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（ ）
A． B． C． D．
6．若是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A． B．或1 C．1 D．0
7．已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数的图象开口向上，则“□”可能是（ ）
A． B． C． D．5
9．已知抛物线，，是常数，，经过点，其对称轴是直线，有下列结论：
；关于的方程有两个不等的实数根；③．
其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．下列二次函数的图象，对称轴是y轴的二次函数的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
11．将抛物线沿轴向左平移4个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
12．函数是关于的二次函数，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．不存在
二、填空题
13．已知二次函数，若时，当 时，随的增大而增大．
14．将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接如果是等边三角形，那么点B的坐标是 ．
15．二次函数图象的对称轴为 ．
16．把二次函数化为的形式： ．
17．在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．则 ；若平移抛物线，使其顶点仍在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值是 ．
三、解答题
18．已知二次函数的图像经过点．
(1)求的值；
(2)点在该二次函数图像上，当时，求的值．
19．禧爱花店以元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，调查了附近五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，并记录如下：
售价（元/盒） 18 20 22 26 30
日销售量（盒） 54 50 46 38 30
(1)分析表格中数据的变化规律，可知日销售量是售价的一次函数，求日销售量与售价之间的关系式；
(2)根据以上信息，禧爱花店将售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少？
20．已知二次函数．
(1)用配方法将其化为的形式；
(2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标．
21．在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点与点是关于点对称点．过点的直线 其中与轴相交于点，过点作直线平行于轴，是直线上一点，且．
(1)填空：点的坐标为 ；点的坐标为 用含的式子表示；
(2)求线段的长用含的式子表示)；
(3)点是否一定在抛物线上？说明理由．
22．如图，一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
23．某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个14.45元售出，求每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．
①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？
②若要使用甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？
24．如图，已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标；
(3)点（其中）与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标．
《第二章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D D A D D C B
题号 11 12
答案 A C
1．D
【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可判断大致图像．
【详解】解：二次函数的顶点式为，
，顶点坐标为，
二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线，
故选：D．
2．D
【分析】本题主要考查二次函数的定义“一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可．
【详解】解：.A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意；
B、不是二次函数，故选项B不符合题意；
C、 不是二次函数，故选项C不符合题意；
D、是二次函数，故选项D符合题意
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值．
【详解】解：在中，，，，
，
设运动时间为，则，，
当时，四边形的面积取最小值，最小值为．
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，，列不等式组，解不等式组即可求出自变量的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求的值，可以判断③．
【详解】解：根据题意得：，故①正确；
设这个菜园垂直于墙的一边的长为．则的长为，
墙长为，，
解得，
的取值范围为，故②错误；
根据题意得：，
解得，，
，
，
的长有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③错误．
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案．
【详解】解：由题意得，点A的横坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴点C的纵坐标为，
在中，当时，解得或，
∴，
∴，
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴且，
解得：．
故选：A
7．D
【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④．
【详解】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点，
，两个函数的对称轴均为直线，
即，
解得：，故①正确；
②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，
，
由函数的对称性可知，
在和中，
，
，
，故正确②；
③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，
由①可知两个函数的解析式分别为，，
，，
，
点，
，
，
由，
此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确；
④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为，
点的横坐标为，
，点的横坐标为，
，，
，，
周长的最小值为，故正确④；
故选：D．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
8．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，小于零开口向下．
【详解】解：设“□”为，
∵二次函数的图象开口向上，
∴为大于0的实数，
则D选项符合题意，
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，由题意得到抛物线的开口向下，对称轴判断，与的关系，得到即可判断；根据题意得到抛物线开口向下，顶点在轴上方，即可判断；根据抛物线经过点以及，得到，即可判断，熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，故错误；
∵抛物线开口向下，与轴有两个交点，
∴顶点在轴的上方，
∵，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于的方程有两个不等的实数根，故正确；
∵抛物线经过点，
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线，即，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确，
故选：．
10．B
【分析】根据函数解析式，求出每个函数的对称轴即可得出答案．
【详解】解：A、的对称轴是直线，故A不合题意；
B、的对称轴是y轴，故B符合题意；
C、的对称轴是直线，故C不合题意；
D、，对称轴是直线，故D不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的对称轴，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴为直线．
11．A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先配方为顶点式，然后根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：，
将抛物线沿轴向左平移4个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为．
故选：A．
12．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数．
【详解】解：由题意得，解得：，
故选：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的性质．直接根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特征，根据题意得到关于的方程是解题的关键．由题意设点坐标为，根据等边三角形的性质得到，解出的值即可得到答案．
【详解】解：点A在抛物线上，
设点坐标为，
是等边三角形，
，，
或（舍），
．
故答案为：．
15．直线
【分析】（方法1）令，求出两个对称的点的坐标，利用抛物线上对称的点的坐标求出对称轴；（方法2）利用先将二次函数的表达式化成一般形式，再利用求对称轴的公式求解即可．
【详解】（方法1）∵令，
则，，
∴该二次函数图象上两个对称的点的坐标分别为，，
∴该二次函数图象的对称轴为直线．
故答案为：直线．
（方法2）∵，
∴该二次函数图象的对称轴为直线．
故答案为：直线．
【点睛】本题考查了二次函数图象的对称轴，熟记二次函数图象的对称轴公式是解题的关键．
16．
【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
17． 1
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点在直线上；因为直线经过、和点，所以经过点的抛物线不同时经过、点，即可判断抛物线只能经过、两点，根据待定系数法即可求得、；设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，，根据题意得出，由抛物线与轴交点的纵坐标为，即可得出，从而得出的最大值．
【详解】解：直线经过点，
，解得，
直线为，
把代入得，
点在直线上；
直线经过点，直线与抛物线都经过点，∴点，，在直线上，
∵直线与抛物线不可能有三个交点，
，两点的横坐标相同，
抛物线只能经过、两点，
把，代入，得
．
解得，．
．
抛物线的解析式为，
设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为，，
顶点仍在直线上，
，
，
抛物线与轴的交点的纵坐标为，
，
当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为．
故答案为：1；．
18．(1)2
(2)
【分析】（1）把点代入即可求出的值；
（2）令，求出函数的值即为的值．
【详解】（1）解：二次函数的图像经过点，
，
解得 ：；
（2）由（1）可知，
二次函数为，
点在该二次函数图像上，当时，
．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，求函数的值，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键．
19．(1)
(2)售价定为30元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式及二次函数求最值的方法是解题的关键．
（1）根据变量变化规律判断函数类型，并利用待定系数法求其函数关系式即可；
（2）根据“每天的利润=（售价进价）日销售量”将每天的利润表示出来，并确定当x为何值时每天的利润取最大值即可．
【详解】（1）解：由题意可设，
把，代入得：，
解得：，
；
（2）设每天获得的利润为元，
由题意得，
，当时，取最大值450，
售价定为30元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元．
20．(1)
(2)抛物线与轴的交点是，，与轴交点是
【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，二次函数的性质：
（1）利用配方法把解析式化为顶点式即可；
（2）根据和求出对应的、值，即可得到与坐标轴交点的坐标．
【详解】（1）解：
；
（2）解：当时，，解得：，；
当时，，
故抛物线与轴的交点是，，与轴交点是
21．(1)；
(2)
(3)点一定在抛物线上，理由见解析
【分析】（1）由抛物线解析式可求得点坐标，再利用对称可求得点坐标，然后用表示出点坐标，；
（2）过作于点，条件可知点在轴上方，设点纵坐标为，可表示出、的长．在中，利用勾股定理可求得，则可求出的长，
（3）根据（2）得出点坐标，代入抛物线解析式可判断点在抛物线上．
【详解】（1）的顶点的坐标为，
原点关于点的对称点的坐标为
点坐标为，
直线解析式为，
解得：，
．
故答案为；
（2）解：点坐标为，
直线解析式为，
令，解得，
，
点只能在轴上方，
过作于点，
设，
则，，
．
在，由勾股定理可得，
即，解得，
．
（3），
点坐标为，
当时，代入抛物线解析式可得，
点一定在抛物线上．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有轴对称的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的性质等．在（2）中构造直角三角形，利用勾股定理得到关于的长的方程是解题的关键．
22．．
【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，表示出剩余面积的长和宽，结合面积关系列出式子，即可作答
【详解】解：∵一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，
∴剩余面积的长和宽分别为
∴
23．(1)每次降价的百分率是
(2)①每个应降价3元；②每个应降价2元，利润有最大值，最大利润为360元
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）①设下调 元，则售价为元，销售量为个，利用销售总额=销售单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，再根据售价不低于进价进行选择即可求出结论；
②设下调 元后，利润为W元，列出二者之间的函数关系式，再根据求出二次函数的最值即可．
【详解】（1）设每次降价的百分率为，依题意得：
，
解得，（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是；
（2）①假设下调元，依题意得：
．
整理得：
解得或．
∵，故舍去，
答：每个应降价3元．
②设下调元后，利润为W元，则：
W=
，
∵，
∴当时，利润有最大值，最大利润为360元
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程．
24．(1)
(2)该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为
(3) ， 点的坐标为
【分析】（1）用待定系数法（将图像上两点坐标代入解析式即可）；
（2）由（1）得出的抛物线解析式，配方确定出对称轴和顶点坐标；
（3）将点代入二次函数解析式求出m的值，由于点C和点D关于抛物线的对称轴对称即可求得．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点，
得：，
解得：，
二次函数的解析式为：；
（2）解：，
二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（3）解：点函数图象上，
，
解得：，
，
舍去，
，
点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及二次函数的性质，正确求出二次函数的表达式是解题关键．
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