1.4解直角三角形同步练习（含解析） 北师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 1.4解直角三角形同步练习（含解析） 北师大版数学九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-29 00:00:00 | ||
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文档简介
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1.4解直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．有一个长为的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，则这个圆形纸片的半径最小是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，于点D，，点B到OA的距离为2，则AB长为（ ）
A．2 B． C． D．3
3．如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（ ）
A． B． C． D．
4．为测一河两岸相对两电线杆A、B间距离，在距A点15m的C处，（AC⊥AB），测得∠ACB=50°，则A、B间的距离应为( )m
A．15sin50° B．15cos50° C．15tan50° D．15cot50°
5．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列等式：①b=ccosB；②b=atanB；③a=csinA；④a=ccosB；⑤a=btanA，其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．如图，在中，，，，于D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
8．如图，△AOB是等边三角形，B（2，0），将△AOB绕O点逆时针方向旋转90°到△A′OB′位置，则A′坐标是（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣，1） C．（，﹣1） D．（1，﹣）
9．如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
10．在中，，，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
11．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，直线AB经过点P（1，2），且与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．若sin∠BAO=，则点B的坐标为 ．
14．如图，在中，，且是内一点，若的最小值为，则 ．
15．如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线，分别交，于点D，E，连接，则的值为 ．
16．今年，某县境内跨湖高速进入施工高峰期，交警队为提醒出行车辆，在一些主要路口设立了交通路况警示牌（如图）．已知立杆AD高度是4m，从侧面C点测得警示牌顶端点A和底端B点的仰角（∠ACD和∠BCD）分别是60°，45°．那么路况警示牌AB的高度为 ．
17．如图，已知在长方形纸条中，点G在边上，，将该纸条沿着过点G的直线翻折后，点C、D分别落在边下方的点E、F处，且点E、F、B在同一条直线上，折痕与边交于点H，与交于点M．设，那么的周长为 （用含t的代数式表示）
三、解答题
18．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E．
求证：；
若，连接OE，求的值．
19．如图，已知直线AB与x轴，y轴分别交于A，B两点，它的解析式为y=－x+，角α的一边为OA，另一边OP⊥AB于P，求cosα的值．
20．（1）问题发现如图1，在和中，，，，连接交于点.填空：①的值为______；②的度数为______．
（2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点.请判断的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点在同一条直线上时的长．
21．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
22．【问题情境】
小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习．
【探究感悟】
如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ；
【深入探究】
小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长；
【拓展延伸】
如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长．
23．如图，已知锐角△ABC
（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长．
24．如图，在△ABC中，sin B=，∠A=105°，AB=2，求△ABC的面积.
《1.4解直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A C C D A B C C
题号 11 12
答案 C D
1．B
【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．
【详解】如图所示，正六边形的边长为12cm，OG⊥BC．
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=（）°=60°；
∵OB=OC，OG⊥BC，∴∠BOG=∠COG=（）°=30°．
∵OG⊥BC，OB=OC，BC=12cm，∴BG=BC=×12=6cm，∴OB===12cm．
故选B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．
2．C
【分析】先过B点作BE⊥OA于E，再根据角平分线的性质得到BE=BD=2，最后再解直角△ABE，求出AB即可．
【详解】解：如图，过B点作BE⊥OA于E，
∵OF是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC，
∴BE=BD=2
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠A=45°
∴AB=BE=2．
故答案为C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和解直角三角形，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键．
3．A
【分析】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，x+3），得出DN=x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°=，求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（x+3）2+（-x）2=()2，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠AON=求出即可．
【详解】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，
∵N在直线y=x+3上，
∴设N的坐标是（x，x+3），
则DN=x+3，OD=-x，
y=x+3，
当x=0时，y=3，
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
即OA=4，OB=3，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，
∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，
∴3×4=5OC，
OC=，
∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，
∴sin45°=，
∴ON=，
在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2，
即（x+3）2+（-x）2=()2，
解得：x1=-，x2=，
∵N在第二象限，
∴x只能是-，
x+3=，
即ND=，OD=，
tan∠AON=．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．
4．C
【分析】根据已知，利用已知角的正切函数求解即可．
【详解】如图，
因为AC=15，∠ACB=50°，在直角△ABC中tan50°=，
所以AB=15 tan50°．
故选C．
【点睛】正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
5．C
【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，则利用锐角三角函数的定义分别代入求解即可．
【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，
则cosA=，sinA=，tanB=，cosB=，tanA=，cotA=．
因而b=ccosA=atanB，a=csinA=ccosB=btanA=，
故正确的是：②，③，④共3个．
故选C．
【点睛】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．
6．D
【分析】在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出BC的长，再分别在与中利用即可得出答案
【详解】解：，，，
.
在与中，，
即，.故选D.
【点睛】本题考查了勾股定理和解直角三角形，解题关键是利用的不同表示形式得出比例式
7．A
【详解】∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，，
∴AB=4，
∴AC==2．
∴DE=．
∴四边形BCDE的面积为：2×=2．故选A．
8．B
【分析】过点A′作A′C⊥x轴于C，根据点B的坐标求出等边三角形的边长，再求出∠A′OC＝30 ，然后求出OC、A′C，再根据点A′在第二象限写出点A′的坐标即可．
【详解】如图，过点A′作A′C⊥x轴于C，
∵B（2，0），
∴等边△AOB的边长为2，
又∵∠A′OC＝90 60 ＝30 ，
∴OC＝2×cos30 =2×＝，A′C＝2×＝1，
∵点A′在第二象限，
∴点A′（﹣，1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化 旋转，等边三角形的性质，根据旋转的性质求出∠A′OC＝30，然后解直角三角形求出点A′的横坐标与纵坐标的长度是解题的关键．
9．C
【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．
【详解】解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得,
过点D作于点E，如图，
∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴,
在中,
∴
∵
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．
10．C
【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知锐角三角函数是解题的关键．
【详解】解：在中，，，
∴，
故选C．
11．C
【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，然后求出sinA、tanA、cosB、tanB的值，进行判断．
【详解】解：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB= ，
则sinA=，tanA=，cosB=，tanB=
故选C
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握三角函数的定义．
12．D
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据折叠的性质得到，，，，得到，根据勾股定理求出，得到，即可得到答案．
【详解】解：，
，
由折叠可得，，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
13．（0，）
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得点B的坐标．
【详解】作PC⊥OA于点C，
∵点P（1，2），sin∠BAO=，
∴PC=2，，tan∠BAO=，
∴AP=2，
∴AC=，
∴OA=1+4=5，
∴，
解得，OB=，
∴点B的坐标为（0，），
故答案为：（0，）．
【点睛】本题考查解直角三角形、坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．
【分析】如图将绕点顺时针旋转得到．连接．首先证明当共线时，的值最小，最小值为线段的长，由等腰直角三角形求得的长，进而求得，由勾股定理求得结果．
【详解】解：如图将绕点顺时针旋转得到．连接，
则，
是等边三角形，
，
，
∴当共线时，的值最小，最小值为线段的长，
的最小值为，
，
，
，
，
作于．则
故答案为：
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题，属于中考常考题型．
15．
【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，进而可得，，，在中，根据三角函数的定义可得，，进而可得．在中，根据三角函数的定义可求得的值，
本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，以及利用三角函数的定义解直角三角形．熟练掌握相关的三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
，
，
∴
，
在中，，，
，
，．
在中，
．
故答案为： ．
16．m
【分析】由特殊角的正切值即可得出线段CD的长度，在Rt△BDC中，由∠BCD=45°，得出CD=BD，求出BD长度，再利用线段间的关系即可得出结论．
【详解】在Rt△ADC中,∠ACD=60°，AD=4
∴tan60°==
∴CD=
∵在Rt△BCD中,∠BAD=45 ，CD=
∴BD=CD=.
∴AB=AD-BD=4-=
路况警示牌AB的高度为m．
故答案为m．
【点睛】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
17．
【分析】
过点作，连接，利用矩形和折叠的性质，推出为等边三角形，求出，即可得解．
【详解】如图，过点作，连接；
∵点E、F、B在同一条直线上，
∴点在上，
∵将长方形纸条沿翻折，
∴，，；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是矩形，
∴．
∴；
∴ ，
∴为等边三角形；
∵，
∴四边形为矩形，
∴；
∵，
∴，
∴的周长；
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解直角三角形，等边三角形的判定和性质．熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明为等边三角形，是解决本题的关键．
18．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AE=BD，从而得证；
（2）如图，过点O作OF⊥CD于点F，欲求tan∠OEC的值，只需在直角△OEF中求得OF、FE的值即可．OF结合三角形中位线求得，EF结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可．
【详解】解：四边形ABCD是矩形，
，
又，
四边形ABDE是平行四边形，
，
；
如图，过点O作于点F，
四边形ABCD是矩形，
．
，
．
OC=OD
，
．
在直角中，由勾股定理可得：．
，
为的中位线，
，
在直角中，．
19．
【分析】由直线AB解析式可求出BO和AO长度，再利用勾股定理求出AB的长度，从而计算出cos∠ABO，cosα=cos∠ABO.
【详解】解：由直线AB解析式可求A（1,0），B（0，），
则AO=1，BO=，
∴AB=，
∴cos∠ABO=，
∵∠α与∠ABO均为∠BAO的余角，
∴cosα=cos∠ABO ；
故cosα的值为 .
【点睛】本题考查了三角函数的定义，运用了等角进行替换，减少了运算量.
20．（1）①1；②；（2），．理由见解析；（3）2或4．
【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1；
②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，然后根据三角形的内角和定理先求∠OAB+∠OBA的值，再求∠AMB的值即可；
（2）根据锐角三角比可得，根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，根据相似撒尿性的性质求解即可；
（3）当点与点在同一条直线上，有两种情况：如图3和图4，然后根据旋转的性质和勾股定理，可得AD的长．
【详解】（1）①∵，
∴∠BOD=∠AOC，
又∵，，
∴△BOD≌△AOC，
∴BD=AC，
∴=1；
②∵，
∴∠OAB+∠OBA=140°，
∵△BOD≌△AOC，
∴∠CAO=∠DBO，
∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°，
∴∠AMB=；
（2）如图2，
，．理由如下：
中，，，
，
同理得：，
，
，
，
，
，∠CAO=∠DBO，
∵∠BEO+∠DBO=90°，
∴∠CAE+∠AEM=90°，
∴∠AMB=90°；
（3） ∵∠A=30°，，
∴OA==3．
如图3，当点D和点A在点O的同侧时，
∵，
∴AD=3-2=2；
如图4，当点D和点A在点O的两侧时，
∵，，OA=3
∴AD=3+1=4．
综上可知，AD的长是2或4．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
21．.
【分析】首先根据Rt△ABD的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度，从而得出∠C的正弦值.
【详解】∵在直角△ABD中，tan∠BAD=，
∴BD=AD tan∠BAD=12×=9，
∴CD=BC-BD=14-9=5，
∴AC==13，
∴sinC=．
【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
22．（1）（2）或（3）
【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出为等腰直角三角形，进而求出的长即可；
（2）分和两种情况进行讨论求解即可；
（3）连接，，作，易得四边形为矩形，根据折叠性质得到，证明，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，得到当点在上时，即点与点重合时，，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则：，在中，由勾股定理，得：，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵正方形，边长为4，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）当时，如图，作于点，延长交于点，
则：四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵折叠，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴；
②当时，如图：作于点，延长交于点，作于点，则：，四边形为矩形，四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴；
综上：或；
（3）连接，，交于点，作，则：四边形为矩形，
∴，，
∵折叠，
∴，，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，，
∴，
∴当点在上时，即点与点重合时，，值最小；
如图：
∵，，，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，利用轴对称解决线段和最短问题等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点位置，是解题的关键．
23．（1）画图见解析；（2）CD=2.
【分析】（1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD；
（2）先在Rt△ABD中利用∠BAD的正切计算出BD，然后利用BC-BD求CD的长．
【详解】（1） 如图所示，MN为所作；
（2） 在Rt△ABD中，tan∠BAD=， ∴， ∴BD=3，
∴DC=BC﹣BD=5﹣3=2.
24．S△ABC=+1.
【详解】试题分析:本题考查利用三角函数解决非直角三角形,通常我们根据已知条件,通过作高构造构造直角三角形进行解决,根据题意,过点A作AD⊥BC,根据已知条件在Rt△ABD中,利用正弦三角函数和勾股定理可求出AD,BD, ∠BAD=45°,继而求出∠CAD=60°再在Rt△ADC中,根据已知条件,利用正切三角函数求出CD,继而求出BC,最后根据三角形面积公式求三角形面积.
解:过A作AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中，易得∠B=45°，又AB=2，∴∠DAB=∠B=45°，AD=BD=2×=，∴∠CAD=105°-45°=60°.
在Rt△CAD中，tan∠CAD=，
∴CD=AD·tan∠CAD=×tan 60°=.
∴BC=CD+BD=+.
∴S△ABC=·BC·AD=(+)×=+1.
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1.4解直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．有一个长为的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，则这个圆形纸片的半径最小是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，于点D，，点B到OA的距离为2，则AB长为（ ）
A．2 B． C． D．3
3．如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（ ）
A． B． C． D．
4．为测一河两岸相对两电线杆A、B间距离，在距A点15m的C处，（AC⊥AB），测得∠ACB=50°，则A、B间的距离应为( )m
A．15sin50° B．15cos50° C．15tan50° D．15cot50°
5．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列等式：①b=ccosB；②b=atanB；③a=csinA；④a=ccosB；⑤a=btanA，其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．如图，在中，，，，于D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
8．如图，△AOB是等边三角形，B（2，0），将△AOB绕O点逆时针方向旋转90°到△A′OB′位置，则A′坐标是（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣，1） C．（，﹣1） D．（1，﹣）
9．如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
10．在中，，，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
11．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，直线AB经过点P（1，2），且与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．若sin∠BAO=，则点B的坐标为 ．
14．如图，在中，，且是内一点，若的最小值为，则 ．
15．如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线，分别交，于点D，E，连接，则的值为 ．
16．今年，某县境内跨湖高速进入施工高峰期，交警队为提醒出行车辆，在一些主要路口设立了交通路况警示牌（如图）．已知立杆AD高度是4m，从侧面C点测得警示牌顶端点A和底端B点的仰角（∠ACD和∠BCD）分别是60°，45°．那么路况警示牌AB的高度为 ．
17．如图，已知在长方形纸条中，点G在边上，，将该纸条沿着过点G的直线翻折后，点C、D分别落在边下方的点E、F处，且点E、F、B在同一条直线上，折痕与边交于点H，与交于点M．设，那么的周长为 （用含t的代数式表示）
三、解答题
18．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E．
求证：；
若，连接OE，求的值．
19．如图，已知直线AB与x轴，y轴分别交于A，B两点，它的解析式为y=－x+，角α的一边为OA，另一边OP⊥AB于P，求cosα的值．
20．（1）问题发现如图1，在和中，，，，连接交于点.填空：①的值为______；②的度数为______．
（2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点.请判断的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点在同一条直线上时的长．
21．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
22．【问题情境】
小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习．
【探究感悟】
如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ；
【深入探究】
小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长；
【拓展延伸】
如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长．
23．如图，已知锐角△ABC
（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长．
24．如图，在△ABC中，sin B=，∠A=105°，AB=2，求△ABC的面积.
《1.4解直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A C C D A B C C
题号 11 12
答案 C D
1．B
【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．
【详解】如图所示，正六边形的边长为12cm，OG⊥BC．
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=（）°=60°；
∵OB=OC，OG⊥BC，∴∠BOG=∠COG=（）°=30°．
∵OG⊥BC，OB=OC，BC=12cm，∴BG=BC=×12=6cm，∴OB===12cm．
故选B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．
2．C
【分析】先过B点作BE⊥OA于E，再根据角平分线的性质得到BE=BD=2，最后再解直角△ABE，求出AB即可．
【详解】解：如图，过B点作BE⊥OA于E，
∵OF是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC，
∴BE=BD=2
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠A=45°
∴AB=BE=2．
故答案为C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和解直角三角形，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键．
3．A
【分析】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，x+3），得出DN=x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°=，求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（x+3）2+（-x）2=()2，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠AON=求出即可．
【详解】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，
∵N在直线y=x+3上，
∴设N的坐标是（x，x+3），
则DN=x+3，OD=-x，
y=x+3，
当x=0时，y=3，
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
即OA=4，OB=3，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，
∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，
∴3×4=5OC，
OC=，
∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，
∴sin45°=，
∴ON=，
在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2，
即（x+3）2+（-x）2=()2，
解得：x1=-，x2=，
∵N在第二象限，
∴x只能是-，
x+3=，
即ND=，OD=，
tan∠AON=．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．
4．C
【分析】根据已知，利用已知角的正切函数求解即可．
【详解】如图，
因为AC=15，∠ACB=50°，在直角△ABC中tan50°=，
所以AB=15 tan50°．
故选C．
【点睛】正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
5．C
【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，则利用锐角三角函数的定义分别代入求解即可．
【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，
则cosA=，sinA=，tanB=，cosB=，tanA=，cotA=．
因而b=ccosA=atanB，a=csinA=ccosB=btanA=，
故正确的是：②，③，④共3个．
故选C．
【点睛】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．
6．D
【分析】在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出BC的长，再分别在与中利用即可得出答案
【详解】解：，，，
.
在与中，，
即，.故选D.
【点睛】本题考查了勾股定理和解直角三角形，解题关键是利用的不同表示形式得出比例式
7．A
【详解】∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，，
∴AB=4，
∴AC==2．
∴DE=．
∴四边形BCDE的面积为：2×=2．故选A．
8．B
【分析】过点A′作A′C⊥x轴于C，根据点B的坐标求出等边三角形的边长，再求出∠A′OC＝30 ，然后求出OC、A′C，再根据点A′在第二象限写出点A′的坐标即可．
【详解】如图，过点A′作A′C⊥x轴于C，
∵B（2，0），
∴等边△AOB的边长为2，
又∵∠A′OC＝90 60 ＝30 ，
∴OC＝2×cos30 =2×＝，A′C＝2×＝1，
∵点A′在第二象限，
∴点A′（﹣，1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化 旋转，等边三角形的性质，根据旋转的性质求出∠A′OC＝30，然后解直角三角形求出点A′的横坐标与纵坐标的长度是解题的关键．
9．C
【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．
【详解】解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得,
过点D作于点E，如图，
∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴,
在中,
∴
∵
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．
10．C
【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知锐角三角函数是解题的关键．
【详解】解：在中，，，
∴，
故选C．
11．C
【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，然后求出sinA、tanA、cosB、tanB的值，进行判断．
【详解】解：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB= ，
则sinA=，tanA=，cosB=，tanB=
故选C
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握三角函数的定义．
12．D
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据折叠的性质得到，，，，得到，根据勾股定理求出，得到，即可得到答案．
【详解】解：，
，
由折叠可得，，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
13．（0，）
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得点B的坐标．
【详解】作PC⊥OA于点C，
∵点P（1，2），sin∠BAO=，
∴PC=2，，tan∠BAO=，
∴AP=2，
∴AC=，
∴OA=1+4=5，
∴，
解得，OB=，
∴点B的坐标为（0，），
故答案为：（0，）．
【点睛】本题考查解直角三角形、坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．
【分析】如图将绕点顺时针旋转得到．连接．首先证明当共线时，的值最小，最小值为线段的长，由等腰直角三角形求得的长，进而求得，由勾股定理求得结果．
【详解】解：如图将绕点顺时针旋转得到．连接，
则，
是等边三角形，
，
，
∴当共线时，的值最小，最小值为线段的长，
的最小值为，
，
，
，
，
作于．则
故答案为：
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题，属于中考常考题型．
15．
【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，进而可得，，，在中，根据三角函数的定义可得，，进而可得．在中，根据三角函数的定义可求得的值，
本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，以及利用三角函数的定义解直角三角形．熟练掌握相关的三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
，
，
∴
，
在中，，，
，
，．
在中，
．
故答案为： ．
16．m
【分析】由特殊角的正切值即可得出线段CD的长度，在Rt△BDC中，由∠BCD=45°，得出CD=BD，求出BD长度，再利用线段间的关系即可得出结论．
【详解】在Rt△ADC中,∠ACD=60°，AD=4
∴tan60°==
∴CD=
∵在Rt△BCD中,∠BAD=45 ，CD=
∴BD=CD=.
∴AB=AD-BD=4-=
路况警示牌AB的高度为m．
故答案为m．
【点睛】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
17．
【分析】
过点作，连接，利用矩形和折叠的性质，推出为等边三角形，求出，即可得解．
【详解】如图，过点作，连接；
∵点E、F、B在同一条直线上，
∴点在上，
∵将长方形纸条沿翻折，
∴，，；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是矩形，
∴．
∴；
∴ ，
∴为等边三角形；
∵，
∴四边形为矩形，
∴；
∵，
∴，
∴的周长；
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解直角三角形，等边三角形的判定和性质．熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明为等边三角形，是解决本题的关键．
18．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AE=BD，从而得证；
（2）如图，过点O作OF⊥CD于点F，欲求tan∠OEC的值，只需在直角△OEF中求得OF、FE的值即可．OF结合三角形中位线求得，EF结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可．
【详解】解：四边形ABCD是矩形，
，
又，
四边形ABDE是平行四边形，
，
；
如图，过点O作于点F，
四边形ABCD是矩形，
．
，
．
OC=OD
，
．
在直角中，由勾股定理可得：．
，
为的中位线，
，
在直角中，．
19．
【分析】由直线AB解析式可求出BO和AO长度，再利用勾股定理求出AB的长度，从而计算出cos∠ABO，cosα=cos∠ABO.
【详解】解：由直线AB解析式可求A（1,0），B（0，），
则AO=1，BO=，
∴AB=，
∴cos∠ABO=，
∵∠α与∠ABO均为∠BAO的余角，
∴cosα=cos∠ABO ；
故cosα的值为 .
【点睛】本题考查了三角函数的定义，运用了等角进行替换，减少了运算量.
20．（1）①1；②；（2），．理由见解析；（3）2或4．
【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1；
②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，然后根据三角形的内角和定理先求∠OAB+∠OBA的值，再求∠AMB的值即可；
（2）根据锐角三角比可得，根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，根据相似撒尿性的性质求解即可；
（3）当点与点在同一条直线上，有两种情况：如图3和图4，然后根据旋转的性质和勾股定理，可得AD的长．
【详解】（1）①∵，
∴∠BOD=∠AOC，
又∵，，
∴△BOD≌△AOC，
∴BD=AC，
∴=1；
②∵，
∴∠OAB+∠OBA=140°，
∵△BOD≌△AOC，
∴∠CAO=∠DBO，
∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°，
∴∠AMB=；
（2）如图2，
，．理由如下：
中，，，
，
同理得：，
，
，
，
，
，∠CAO=∠DBO，
∵∠BEO+∠DBO=90°，
∴∠CAE+∠AEM=90°，
∴∠AMB=90°；
（3） ∵∠A=30°，，
∴OA==3．
如图3，当点D和点A在点O的同侧时，
∵，
∴AD=3-2=2；
如图4，当点D和点A在点O的两侧时，
∵，，OA=3
∴AD=3+1=4．
综上可知，AD的长是2或4．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
21．.
【分析】首先根据Rt△ABD的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度，从而得出∠C的正弦值.
【详解】∵在直角△ABD中，tan∠BAD=，
∴BD=AD tan∠BAD=12×=9，
∴CD=BC-BD=14-9=5，
∴AC==13，
∴sinC=．
【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
22．（1）（2）或（3）
【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出为等腰直角三角形，进而求出的长即可；
（2）分和两种情况进行讨论求解即可；
（3）连接，，作，易得四边形为矩形，根据折叠性质得到，证明，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，得到当点在上时，即点与点重合时，，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则：，在中，由勾股定理，得：，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵正方形，边长为4，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）当时，如图，作于点，延长交于点，
则：四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵折叠，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴；
②当时，如图：作于点，延长交于点，作于点，则：，四边形为矩形，四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴；
综上：或；
（3）连接，，交于点，作，则：四边形为矩形，
∴，，
∵折叠，
∴，，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，，
∴，
∴当点在上时，即点与点重合时，，值最小；
如图：
∵，，，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，利用轴对称解决线段和最短问题等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点位置，是解题的关键．
23．（1）画图见解析；（2）CD=2.
【分析】（1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD；
（2）先在Rt△ABD中利用∠BAD的正切计算出BD，然后利用BC-BD求CD的长．
【详解】（1） 如图所示，MN为所作；
（2） 在Rt△ABD中，tan∠BAD=， ∴， ∴BD=3，
∴DC=BC﹣BD=5﹣3=2.
24．S△ABC=+1.
【详解】试题分析:本题考查利用三角函数解决非直角三角形,通常我们根据已知条件,通过作高构造构造直角三角形进行解决,根据题意,过点A作AD⊥BC,根据已知条件在Rt△ABD中,利用正弦三角函数和勾股定理可求出AD,BD, ∠BAD=45°,继而求出∠CAD=60°再在Rt△ADC中,根据已知条件,利用正切三角函数求出CD,继而求出BC,最后根据三角形面积公式求三角形面积.
解:过A作AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中，易得∠B=45°，又AB=2，∴∠DAB=∠B=45°，AD=BD=2×=，∴∠CAD=105°-45°=60°.
在Rt△CAD中，tan∠CAD=，
∴CD=AD·tan∠CAD=×tan 60°=.
∴BC=CD+BD=+.
∴S△ABC=·BC·AD=(+)×=+1.
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