1.5三角函数的应用同步练习（含解析） 北师大版数学九年级下册

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1.5三角函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在坡角为的山坡FB上有一座信号塔AB，其右侧有一堵防护墙CD，测得BD的长度是30米，当光线AC与水平地面的夹角为时，测得信号塔落在防护墙上的影子DE的长为19米，则信号塔AB的高度约为（ ）
参考数据：
A．米 B．米 C．米 D．米
2．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度为(结果精确到0.1m，≈1.73)( )
A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m
3．某水坝的坡度 i ＝1∶，坡长AB＝20 m，则坝的高度为( )
A．10 m B．20 m C．40 m D．2m
4．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度是（坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是 （ ）
A．米 B．米 C．15米 D．10米
5．如图，岛位于岛的正西方，两岛间的距离为海里，由岛分别测得船位于南偏东和南偏西方向上，则船到岛的距离为（　　）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里
6．如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点A的高AE＝a米，水平赛道BC＝b米，赛道AB，CD的坡角均为θ，则点D与点A的水平距离DE为( )
A．米 B．( b)米 C．(a-b)sinθ米 D．(a﹣b)cosθ米
7．位于松花江上的临江门大桥是我国桥梁史上的第一座独塔斜拉桥，其示意图如图．为测量桥塔的高，在桥下地面上点处测得桥塔最高点的仰角，然后沿方向移动米到达点处（点、、在同一水平线上），并测出点的仰角，设桥塔的高为米，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
9．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是，测得斜坡的坡角为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是（ ）．
A． B．
C． D．
10．2024年5月3日17时27分，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭在海南文昌航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面O处竖直向上发射，当火箭到达A处时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为；当火箭到达B处时，从位于地面C处的雷达站测得仰角为，则从A处到B处的飞行距离为（ ）

A．4km B．km C．km D．km
11．如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东的方向上；小明向东走20米到达点处，测得建筑物在北偏东方向上．则建筑物到公路的距离为（ ）
A．10米 B．米 C．15米 D．米
12．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．若AC=2，则BD 的长为（ ）

A． B．4 C． D．2
二、填空题
13．光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线斜射到液面发生折射，折射光线为，折射角为，测得，，，则线段的长是 ．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点M、N分别在AD，BC上，且AM＝CN，点P在CD上（且不与点D，C重合），当MP+PN最小时，tan∠MPN的值是 ．
15．如图，河岸AD，BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A，B，夹角∠BCA＝60°，测得BC＝7 m，则桥长AB＝ m (结果精确到1 m)．
16．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，线段、可分别绕点A，B转动，已知．当转动到，转动到与垂直，点C恰好落在上；当转动到，转动到，点C到的距离为 ．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，）
17．某人沿坡角为的斜坡前进，则他上升的最大高度是 米（参考数据：）．
三、解答题
18．图1是某学校的教学楼，共五层，每个楼层的高度相等．为了安全，在此楼顶装有铁围栏，小明同学想通过所学知识测出铁围栏的高度(的长)．图2是平面示意图，小明同学站在教学楼对面的教师楼二楼走廊A处，观测正对面教学楼五楼楼顶C 处的仰角为 测完又走到教师楼三楼走廊 B 处，观测正对面铁围栏顶部 D的仰角为 ．教师楼每一层的高度和教学楼每一层高度相等，且在同一水平高度．已知教师楼和教学楼之间的水平距离 约为，请问小明同学测得铁围栏的高度约为多少米？(参考数据： )

19．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．(结果用含有根号的式子表示)
20．如图，在一次实践活动中，小兵从A地出发，沿北偏东方向行进了千米到达B地，然后再沿北偏西方向行进了5千米到达目的地点C.

(1)求A、C两地之间的距离；
(2)试确定目的地C在点A的什么方向？
21．一个长方体箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3ｍ，已知木箱高BE=，斜面坡角为300，求木箱端点E距地面AC的高度．

22．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，）
23．如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小．
（温馨提示：，，，结果精确到0.1牛）
24．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12米处，测得∠BAC＝30°，求BC的长．(结果保留根号)
《1.5三角函数的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A A A B A A D C
题号 11 12
答案 B A
1．C
【详解】试题解析：如图，作EG⊥AB于点G，BP⊥DE于点P，
则∠DBP=∠BFG=30°，
∵BD=30，
∴DP=BD=15，BP=BDcos∠DBP=30×=15，
∵DE=19，
∴PE=BG=DE-DP=4，
∵∠AEG=∠H=53°，
∴∠EAG=37°
∴AG=，
则AB=AG+BG=+4≈38.6，
故选C．
2．D
【详解】如图，设CD＝xm，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝30°，∴（m）．在Rt△ECD中，∵∠DEC＝60°，∴（m）．∵AE＝4m，∴，解得．
∴（m）．故选D．
3．A
【详解】如图，因为tanA=，又tanA=，所以=，设BC=x，则AC=x，由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即（x）2+x2=202，解得x=10，故选A.
4．A
【分析】Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【详解】解：Rt△ABC中，BC＝5米，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝米．
故答案选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用 坡度坡角问题，考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，解题的关键是熟练运用勾股定理．
5．A
【分析】要求的长，需要构造直角三角形，作辅助线，然后根据题目中的条件利用特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：如图，作于点，
海里,，，，
，，，
，
解得：海里，
海里，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用特殊角的三角函数值进行解答．
6．B
【分析】如图，过B作，过C作，解直角三角形，根据进行计算即可．
【详解】解：过B作，过C作
由题意得：，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加合适的辅助线构造直角三角形．
7．A
【分析】本题考查三角函数的定义，根据题意逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：依题意，，，
设桥塔的高为米，
∴，
∴，，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据题意得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：假设一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，到达点D位置，过点D作交于点H，，
则，
∴，
∴，
则小球下降的高度是，
故选：A．
9．D
【分析】根据坡度和坡角的定义可得cosα=，代入字母即可求得坡面距离AC的长度．
【详解】在Rt△ABC中，如图，
∵cosα=，
即cosα=，
解得：AC=．
故选D．
【点睛】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．
10．C
【分析】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．根据含30度角的直角三角形可得，在中，根据直角三角形的性质得出，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】解：在中，
，，，
．
在中，
，
在中，
，，
．
．
故选C
11．B
【分析】本题考查了解直角三角形的知识，解决此题的关键是弄清直角三角形的三边与其锐角的关系，进而列出有关的等式，解之即可．
分别在两个直角三角形中由锐角三角函数的定义用分别表示出、，利用两线段的差等于20 列出关于线段的式子，求得即可．
【详解】解：过点C作，，
∵在中，，
，
∵在 中，，
，
∵米，
米，
解得：米．
故选：B．
12．A
【分析】根据菱形的性质知：AC垂直平分BD，由已知条件得出△ABC是等边三角形，再利用三角函数求出BO，即可求出BD的长．
【详解】∵四边形ABCD菱形，
∴AC⊥BD，BD＝2BO，AB＝BC，
∵AB＝AC＝2，
∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴BO＝sin60° AB＝，
∴BD＝2BO＝2
故选A．
【点睛】本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分，本题难度一般．
13．
【分析】本题考查了解直角三角形．在中，利用直角三角形的边角间关系可得结论．
【详解】解：，
，
在中，
，
故答案为：．
14．．
【分析】作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，过点M作MF⊥BC于F，利用矩形的判定方法证出四边形ABFM是矩形，再利用矩形的性质求出线段和的长，利用三角函数的比值关系即可得到∠E＝∠PNE＝30°，利用三角形外角的性质可得出∠MPN＝，再根据三角函数特殊值求解即可．
【详解】如图，作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，此时MP+PN有最小值，过点M作MF⊥BC于F，
∴NC＝CE，PN＝PE，
∵∠A＝∠B＝∠MFB＝90°，
∴四边形ABFM是矩形，
∴AB＝MF＝2，AM＝BF，
∵AM＝CN，
∴BF＝AM＝CN＝CE，
∴BC＝EF＝，
∵
∴∠E＝30°，
∵PN＝PE，
∴∠E＝∠PNE＝30°，
∴∠MPN＝60°，
∴tan∠MPN＝，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了最短路径问题，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数值等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．
15．12
【详解】由题意得，∠ABC=90°，则tan∠BCA=，所以=，所以AB=7≈12，故答案为12.
16．7.1
【分析】当转动到，转动到与垂直时，点C恰好落在上，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，当转动到，转动到时，过点B作，垂足为F，过点C作，垂足为G，过点C作，垂足为E，根据题意可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【详解】解：当转动到，转动到与垂直时，点C恰好落到上，如图：
在中，，
当转动到，转动到时，
过点B作，垂足为F，过点C作，垂足为G，过点C作，垂足为E，
则，，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴点C到的距离为，
故答案为：7.1．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．120
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，画出图形，，，，则，代入数据进行计算即可．
【详解】解：如图，
，
由题意得：，，，
，
他上升的最大高度是120米，
故答案为：120．
18．小明同学测得铁围栏的高度约为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，分别过点A，B作，则，解求出，则每一层高度为，据此可得；再解中，得到，则．
【详解】解：如图，分别过点A，B作．

由题可知．
在中，，
，
，
∴每一层高度为，
∴．
在中，，
，
，
∴．
答：小明同学测得铁围栏的高度约为．
19．建筑物BC的高为m．
【分析】过点D作DH⊥BC于点H，设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x﹣5）m，根据Rt△DHB和Rt△ACB的三角函数值得出答案．
【详解】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：
则四边形DHCE是矩形，DH=EC，DE=HC=5，
设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x﹣5）m，
在Rt△DHB中，∠BDH=30°，
∴DH=（x﹣5），
∴AC=EC﹣EA=（x﹣5）﹣30，
在Rt△ACB中，∠BAC=60°，tan∠BAC=，
∴= 解得：x=，
答：建筑物BC的高为m．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，属于中等难度的题型．通过做辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．(1)10千米 ；
(2)C在点A的北偏东15°
【分析】（1）根据题意画出图形，进一步可得出，然后利用勾股定理即可求出的长；
（2）利用（1）中所求得出，即可得出目的地C与A的方向．
【详解】（1）解：根据题意,可知，

∵，，
∴千米.
（2）在中，==，
∴.
∴C在点A的北偏东．
21．木箱端点E距地面AC的高度是3ｍ．
【分析】连接AE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AF的长，利用三角函数即可求得，然后在Rt△AEF中，利用三角函数求得的长．
【详解】解：连接AE，在Rt△ABE中，已知AB=3ｍ，BE=，
∴根据勾股定理得．

又∵，∴．
在Rt△AEF中，，
∴．
答：木箱端点E距地面AC的高度是3ｍ．
22．(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为
(2)线段的长度为
【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
（1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案；
（2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可．
【详解】（1）解：过点作于点，如下图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为；
（2）解：如图，过点作于点H，于点，过点作于点，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
23．该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据题意求出，再根据余弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：，，
，
在中，，牛，
，
（牛），
答：该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛．
24． 米
【详解】解：∵BC⊥AC，
∴∠BCA=90°
在直角△ABC中，tan∠BAC=,
∴BC=AC tan∠BAC=12tan30°==（米）．
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