2.4二次函数的应用同步练习（含解析） 北师大版数学九年级下册

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2.4二次函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（ ）

A．1 B． C．2 D．4
2．新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元 若设每台电视降价元，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在边长为10的正方形中，E，F，C，H分别是边，，，上的点，且．设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（）
A． B．
C． D．
4．“燎原书店”销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
5．如图，是边长为的等边三角形，，垂足为点 D，点 P 从点 B 出发，沿的路径运动，运动到点C停止，过点 P 作 ，，分别交边于点 E．交边于点F，若点 P 运动的路程为，四边形的面积为，则关于的函数图象为（ ）

A． B．
C． D．
6．已知一个直角三角形两直角边长之和为10 cm，则这个直角三角形的最大面积为（　　）
A．6.25 cm2 B．12.5 cm2 C．25 cm2 D．31.25 cm2
7．某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论：
①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个；
②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元；
③宾馆每天的最大利润为12250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ）
A．5 B．10 C．1 D．2
9．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．758元 B．1508元 C．1556元 D．1558元
10．如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，GH的总长为，且隔断EF，GH分别与矩形的两条邻边平行．设BC的长为，矩形ABCD的面积为，y关于x的函数图象如图②，则下列说法正确的是（ ）
A．矩形ABCD的最大面积为 B．当时，矩形ABCD的面积最大
C．a的值为12 D．以上说法均错误
11．某商店销售某种商品所获得的利润（元）关于所卖的件数的函数解析式是，则当时的最大利润为（ ）
A．2500元 B．47500元 C．50000元 D．250000元
12．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，平移后的抛物线的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ．

14．如图1，在中，，，动点D从点A出发，沿的方向运动，当点D到达点C时停止运动，将线段绕点A逆时针旋转到达点E，连接，，设点D的运动路程为x．的面积为y，图2表示的是y关于x的函数图象，已知点D在的运动过程中，y有最大值．则当点D停止运动时，函数图象中a的值为 ．
15．某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天能卖出40个．若销售单价每上涨1元/个，则每天的销量就减少1个．设该商品的销售单价上涨元/个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为 ．
16．如图，矩形的两边长，，点M、N分别从A、B同时出发．M在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，N在边上沿方向以每秒的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．当运动时间 秒时，的面积最大，最大值为 ．

17．某西瓜经营户以元千克的价格购进一批西瓜，以元千克售出，每天可售出千克，经调查，售价每降元，每天多卖千克，当定价为 元能获得最大利润．
三、解答题
18．如图，抛物线经过三点，直线经过点A，交抛物线于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在线段上，且满足，点F在x轴下方的抛物线上，设点F的横坐标为t，当t为何值时，的面积最大？请求出最大值．
19．某工厂生产某种体育器材，生产这种体育器材每件的成本（元）与产量（件）之间满足一次函数关系，且当时，；当时，．
(1)求与之间的函数解析式．
(2)该工厂计划生产这种体育器材不超过300件，且每件的成本不超过800元，已知这种体育器材每件的售价为1200元，且全部售出，求当产量为多少件时，该工厂生产这种体育器材的利润最大，并求出最大利润．
20．2024年10月26日下午，云南玉溪高原体育运动中心体育馆内，球迷们身穿玉昆队的球衣，手持旗帜和标语，为玉昆队加油助威．在本赛季最后一场主场比赛中，云南玉昆队以2∶0的比分战胜大连英博队，捍卫了“高体”主场不败的记录．某网店专门销售2024赛季云南玉昆队球衣，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，下图是y与x的函数关系图象，设网店每天的销售利润为w元．
(1)求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
21．已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点．
(1)求抛物线的函数解析式及点C的坐标；
(2)平移抛物线得到抛物线，抛物线经过点C，且与x轴交于两点，连接，．点P是抛物线上的点，连接，若，请求出所有符合条件的点P的坐标．
22．如图，用一根长为的铁丝折成由两个小矩形组成的大矩形，设大矩形的宽为．
(1)求出大矩形的面积与之间的表达式和自变量x的取值范围，并指出y是x的什么函数．
(2)当时，求大矩形的面积．
23．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点且以为边的四边形是矩形，求满足条件的点的坐标．
24．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米．
(1)求花园的面积S与x的函数关系式；
(2)在P处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内；（含边界，不考虑树的粗细）
①若花园的面积为，求x的值；
②求花园面积S的最大值．
《2.4二次函数的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C B B B D C C
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果．
【详解】解：由题意得修改后的花园面积
，
∵，
∴当时，修改后的花园面积达到最大，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式．
2．B
【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，能够表示出一台电视的利润和销售量增加的部分是解题的关键．根据利润问题公式：总利润单台利润销售数量，单台利润为原售价减进价再减去降价，销售数量随降价增加，即可列出方程．
【详解】解：设每台电视降价元，
降价后单台利润是元，卖出的台数是台，
商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，
可列方程为，
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查了二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
本题需先设正方形的边长为，然后得出与是二次函数关系，从而得出函数的图象．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
∴与的函数图象是A．
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握把二次函数化为顶点式，求二次函数的最值是解题的关键．
每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为，设日利润为，求二次函数的最大值即可．
【详解】解：每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为，
设日利润为，
∴，
∴最大利润为：元，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了本动点问题的函数图象，得到不同范围内的函数解析式是解题的关键．
根据是等边三角形，，根据所给选项判断出点在线段及上，那么分别计算出对应范围的解析式即可求解．
【详解】解：①当时，点在线段上，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
∵，
∴，
同理：是等边三角形，
∵，
∴，
∵四边形的面积为,
∴
，
∴此段函数图象是开口向下的二次函数图象；
②当时，点在线段上，
∵，是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点运动的路程为，
∴，
作于点，

∴，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
观察的二次项系数为正数，那么该范围内的函数图象为开口向上的二次函数图象．
故选：B ．
6．B
【分析】本题考查二次函数的应用．设一条直角边长为为，则另一条直角边长为，然后列出三角形的面积与a的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：设一条直角边长为，则另一条直角边长为，
∴，
∵，
∴当时，面积的最大值为，
故选：B．
7．B
【分析】根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲列式即可判断①；
设定价增加元，则定价为元，房间数为个，根据题意列出方程求解即可；设利润为w，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】结论①：定价增加30元，即定价为元，
每增加10元，空闲房间数增加1个，
故增加30元对应空闲3个，居住房间数为个，故①结论正确；
结论②：设定价增加元，则定价为元，房间数为个．
根据题意得，
解得或．
当时，对应定价为元（超过360元上限），
∴，故②结论错误；
结论③：设利润为w，根据题意得，
∵
∴抛物线开口向下，对称轴为，
∵
∴
∴当，
∴最大利润为：元，故③结论错误．
综上，仅结论①正确，正确个数为1．
选B．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，有理数运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握以上知识点．
8．D
【分析】根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：球弹起后又回到地面时，即，
解得（不合题意，舍去），，
∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2，
故选：D
【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查二次函数的应用，将二次函数关系式化为顶点式，找出对称轴，根据二次函数图象的增减性即可求解．
【详解】解：，
二次函数的对称轴为，开口向下，
当时，y随x的增大而增大，
，
时，y取最大值，此时，
即一周可获得最大利润是1556元，
故选C．
10．C
【分析】本题考查二次函数图象和性质，解题的关键是识别函数图象，确定自变量的取值为何值时函数取得最大值．
观察图2，得出当时，函数值最大，可判断A、B错误；根据题意确定，即判断C正确，进而可判断D．
【详解】解：由题图②可知，矩形ABCD的最大面积为，此时，故A，B选项错误；
当时，矩形ABCD的面积取最大值4，
，
，
故C选项正确，D选项错误．
故选：C．
11．B
【分析】利用二次函数的对称轴公式可得：对称轴为：，再利用二次函数的图象及性质可得当时，y有最大值，将其带入解析式即可求解．
【详解】解：二次函数的对称轴为：，
，且，
二次函数的图象在时，y随x的增大而增大，
当时，y有最大值，最大值为：，
当时的最大利润为：47500元，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
12．B
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据所建坐标系及图形特点，结合，可得，设抛物线的解析式为，根据题意可求出点的坐标为，代入，即可求出抛物线解析式，令，求出，即为门高的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴点，，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∵，
∴点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
∴门高为，
故选：B．
13．4
【分析】确定出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：如图，，
平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，
．
故答案为：4．

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．
14．
【分析】本题考查等腰直角三角形性质、勾股定理及二次函数的性质，根据点D在的运动过程中，y有最大值结合二次函数最值求出，根据勾股定理求出，表示出函数解析式求最值即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵当点D在的运动过程中，y有最大值，
∵绕点A逆时针旋转到达点E，
∴，
设，
∴，
∴当时y最大，即点D运动到中点时y最大，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），
当点D在上运动时，由函数图像得，点D到点C时最大如图，
，
∵绕点A逆时针旋转到达点E，
∴，，三点共线，，，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】根据销售问题中数量关系：建立函数式．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查销售问题的数量关系，列函数关系式，理解销售问题的数量关系是解题的关键．
16． 4 20
【分析】，，根据，结合得出当时，的面积最大，且最大值为．
【详解】解：∵N在边上沿方向以每秒的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动，
∴，
∵M在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，N在边上沿方向以每秒的速度的匀速运动，
∴，，
∴
，
∴当时，的面积最大，且最大值为：
．
故答案为：4；20．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是根据题意得出．
17．
【分析】此题考查了列二次函数的应用，二次函数的性质，设每千克定价为元，每天利润为元，则每千克西瓜的利润为元，那么每天的西瓜销售量可表示为千克，然后列出二次函数关系式，再通过二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设每千克定价为元，每天利润为元，则每千克西瓜的利润为元，那么每天的西瓜销售量可表示为千克，
∴
，
∵，
∴当每千克定价为元时，每天利润最大，
故答案为：．
18．(1)
(2)当时，的面积最大，最大值为
【分析】本题考查二次函数与几何的综合．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
（1）根据题意可设抛物线的解析式为，再将代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式；
（2）根据题意可求出的值，即得出直线的解析式．联立两个解析式即可求出D点坐标，从而可求出的值．设点，根据，即可求出，由此可列出关于m的等式，解出m，即得出E点坐标．从而可求出直线的解析式．如图，过点F作轴交直线于点G，设点，则．即可用t表示出的长，再设点B的横坐标为，点E的坐标为，分类讨论①当时，利用，结合二次函数的性质即可求出结果； ②当时，利用，结合二次函数的性质即可求出结果．
【详解】（1）∵抛物线的图象经过点，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）∵直线经过点
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴点，
∵，
∴，
∴，
设点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点．
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点F作轴交直线于点G，
∵点，
∴．
∴，
设点B的横坐标为，点E的坐标为，
①如图1，当时，
∴当 时，有最大值为．
②如图2，当时，
∴当时，有最大值，最大值为，
综上所述，当时，的最大面积为．
19．(1)
(2)当产量为300件时，利润最大，最大利润为240000元
【分析】本题考查二次函数在实际生活中的应用以及用待定系数法求一次函数的解析式：
（1）根据已知条件用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）根据题意写出利润关于产量的解析式，然后根据，根据二次函数的性质求出利润的最大值．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式，依题意得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由（1）知；，
设该工厂生产这种体育器材的总利润为，则：
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴
∵的取值范围在对称轴的右侧，
∴随的增大而增大，
∴当时，最大，
此时，，
故当产量为300件时，利润最大，最大利润为240000元．
20．(1)
(2)销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元．
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象和性质：
（1）采用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可得，据此即可求得答案．
【详解】（1）设，将、代入，得
解得
∴ 与之间的函数关系式为：．
（2）根据题意，得
)
∵，
∴有最大值．
当时，．
答：销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元．
21．(1)，
(2)点P的坐标为或
【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数与角度问题，二次函数的平移；
（1）把代入计算即可；
（2）先求出抛物线的解析式和所在直线的函数解析式，再根据①当点P在上方时，②当点P在下方时两种情况分别画出图形后计算即可．
【详解】（1）解：把代入中，得
解得
解得，
抛物线的解析式为．
令，则
．
（2）解：∵平移抛物线得到抛物线，抛物线经过点C，
∴设抛物线的解析式为，
将点代入，解得，
∴抛物线的解析式为．
设所在直线的函数解析式为，
将代入得，解得
∴所在直线的函数解析式为，
①当点P在上方时，将沿x轴向右平移2个单位，此时点B与点N重合，得到线段，则所在直线的函数解析式为，
设所在直线与抛物线的另一交点为，
由平移的性质可得，，
∴，
令，解得（舍），，
．
②当点P在下方时．取的中点E，连接，交于点F，连接并延长交抛物线于点，
，，
∴是等腰直角三角形，所在直线的函数解析式为，
是的垂直平分线，
∴，
∴，
令，解得，
，
设所在直线的函数解析式为，
将代入得，解得，
∴所在直线的函数解析式为．
令，解得（舍），．
．
综上，点P的坐标为或．
22．(1)，，y是x的二次函数
(2)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题关键是根据矩形周长与边长的关系表示出长，再结合面积公式建立函数表达式，同时确定自变量取值范围．
（1）先由铁丝总长和矩形宽x，算出大矩形长（用含x的式子表示），再根据矩形面积公式列函数式，整理成二次函数形式，最后依据边长为正列不等式组，确定自变量取值范围 ．
（2）把代入小问1所得二次函数表达式，直接计算出对应面积值 ．
【详解】（1）大矩形的宽为，则长为，
所以，
整理，得，
∴y是x的二次函数．
因为，
所以．
（2）当时，．
23．(1)
(2)点的坐标为或
【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）分两种情况，分别根据等腰三角形的判定和性质、平移和矩形的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）∵将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵，，
∴，，
①如图，当为矩形一边，且点在轴的下方，过作轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在的对称轴直线上，，
∴，，
∴，
∴，
∴点，
∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到点，
∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到；
②当为矩形一边，且点在轴的上方，的对称轴直线与轴交于点，
∴，，
∵在的对称轴直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点，
∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点；
综上所述，点的坐标为或时，以，为顶点，且以为边的四边形是矩形．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质及图像的平移，平移的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，两点间距离等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的性质是解题的关键．
24．(1)
(2)①x的值为12；②花园面积S的最大值为195平方米．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
（1）设米，则米，再根据矩形的面积公式即可得出S与x的函数关系式；
（2）①根据要将这棵树围在花园内，且含边界，不考虑树的粗细，可求出x的取值范围为，再根据花园的面积为，即可列出关于x的一元二次方程，解出x，再结合x的取值范围取值即可；②根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设米，则米，
∴；
（2）解：①∵要将这棵树围在花园内，且含边界，不考虑树的粗细，
∴，，
∴，
解得：．
∵花园的面积为，
∴，
解得：（舍），
∴x的值为12；
②∵，
又∵，，
∴当时，S最大，最大值为平方米，
∴花园面积S的最大值为195平方米．
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