2.5二次函数与一元二次方程同步练习（含解析） 北师大版数学九年级下册

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2.5二次函数与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于二次函数的三个结论：
①对任意实数，都有与对应的函数值相等；
②若，对应的的整数值有4个，则
③若抛物线与轴交于不同两点，，且，则．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）　　
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．抛物线（a为常数且），过点，且，下列结论：①；②；③；④若关于x的方程有实数根，则．其中正确的结论有（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．②④
4．如图，已知抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．点均在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如果将抛物线向下平移个单位，那么平移后抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数的部分图象如图，由图象可知关于x的一元二次方程的两个根分别是和（　　）
A． B．
C． D．
9．根据抛物线与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线与轴没有交点，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
11．根据下列表格的对应值：
判断方程（，、、为常数）的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C． D．或
二、填空题
13．如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根．
14．已知二次函数的部分图象如图，则关于x的一元二次方程的解为 ．
15．若抛物线与轴有公共点，则的取值范围为 ．
16．是锐角三角形的一个内角，已知关于的函数图像与轴没有交点，则的取值范围是 ．
17．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ．
三、解答题
18．已知二次函数
(1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)设该图象交轴于、两点，点在左侧，交轴于点，点为顶点，求四边形的面积．
19．已知二次函数．
(1)用配方法将其化为的形式；
(2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标．
20．已知二次函数．
(1)若二次函数的图象经过点，求t的值；
(2)当时，求y的最小值（用含t的代数式表示）；
(3)若x可取全体实数，当时，y的最小值为．设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，求线段的长度．
21．设二次函数（，是常数）．
(1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由；
(2)若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标；
(3)若，在这个函数的图象上，且．这个二次函数图象与轴的一个交点的横坐标，求的取值范围．
22．已知抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与x轴的交点A，B的坐标；
(3)求的面积．
23．已知，，取什么值时，与相等？
24．小亮利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为2；输入x的值为1时，输出y的值为2；输入x的值为3时，输出y的值为6．
(1)直接写出的值；
(2)小亮在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象，如图（2）；
①当随的增大而增大时，求的取值范围；
②若关于的方程（为实数），在时无解，求的取值范围；
③若在函数图象上有点（与不重合）．的横坐标为，的横坐标为．小亮对之间（含两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围．
《2.5二次函数与一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D B B B B D A A
题号 11 12
答案 C D
1．A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将交点，线段长度转化为方程和不等式是求解本题的关键．根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为：，
．
与关于对称轴对称．
对任意实数，都有与对应的函数值相等．
①正确．
当时，若，则随的增大而增大，
当时，，
当时，．
．
的整数值有4个，
．
．
②正确．
设，且．
是方程数的根．
，．
．
．
．
或（舍去）．
又抛物线与轴有两个不同的交点，
．
或（舍去）．
综上：，
③不正确．
故答案为：A．
2．B
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是掌握二次函数的性质；
一元二次方程的根即为二次函数的图像与x轴的交点的横坐标，结合图像即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程的根即为二次函数的图像与直线x轴的交点的横坐标，
结合图像，可知二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
根据及过点，且，结合二次函数的性质与判别式条件，逐一分析各结论的正确性．
【详解】解：①∵抛物线（a为常数且），过点，
∴抛物线可表示为，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，结论①错误；
②将代入，得
∵，
∴，
∵，
∴，结论②正确；
③∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴，结论③错误；
④∵
∴
∴
∴
∴
∵，
∵，结论④正确．
综上，正确结论为②④，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置判断①②，对称轴，特殊点判断③，与轴的交点个数判断④，最值判断⑤．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，
∴，
∴，；故①②正确；
由图象可知，当时，；故③错误；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故④正确；
∵时，函数有最大值为，
∴，
∴；故⑤错误；
故选B．
5．B
【分析】已知抛物线的对称轴，可求出m=4，进而求出抛物线的解析式；把关于x的一元二次方程有解的问题，转化为抛物线与直线y=t的交点问题，可求出t的取值范围；最后将所给的四个选项逐一与t的范围加以对照，即可得出正确答案．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线,
∴，
解得，．
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为．
当时，
当时，
∵关于x的一元二次方程是，
∴．
∵方程在的范围内有解，
∴抛物线与直线在范围内有公共点，如图所示．
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴、顶点坐标、与一元二次方程的关系等知识点，熟知二次函数的对称轴、顶点坐标的计算方法是解题的基础，解题的关键是熟知二次函数与一元二次方程的互相转化．
6．B
【分析】本题主要考查了求二次函数的值，
分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案．
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，．
∴
故选：B．
7．B
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则写出新抛物线解析式，然后令，通过解解方程求解．
【详解】解：把抛物线的图象向下平移2个单位，则平移后的抛物线的表达式为，
令，则．
所以所得抛物线与y轴的交点的坐标为．
故选B．
8．D
【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，二次函数与一元二次方程的关系，先求出对称轴，再根据二次函数与一元二次方程的关系得出答案即可．
【详解】二次函数的图象的对称轴是直线．
由与对应的点关于对称轴对称，
所以，
即，
解得．
故选：D．
9．A
【分析】根据抛物线与x轴交点的坐标与对应的一元二次方程的解的关系进行解答即可．
【详解】解：要求与x轴的交点的坐标，令，解出x写出坐标即可，即一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点横坐标相对应，所以根据抛物线与x轴的交点的横坐标，可以求出的近似解．
故选：A.
【点睛】此题考查了二次函数的图象和一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点横坐标相对应是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．由抛物线与轴没有交点可求得，即可求解．
【详解】∵抛物线与轴没有交点，
∴没有实数根，
∴
∴
∴函数的图象在第一、第三象限，
故选：A．
11．C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：根据表格可知，当时，；当时，，
∴ 当时，一个解的范围是，
故选：．
12．D
【分析】本题考查二次函数与不等式的解集，解题的关键是当函数图象在轴的上方时，，即可得到答案．
【详解】由函数图象可知，当或时，函数图象在轴的上方，即，
∴的解集为：或，
故选：D．
13．3
【分析】本题考查函数与方程的关系，根据函数图象交点的个数即为两解析式联立方程的解得个数解答即可．
【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出与的图象，结合图像可得有三个交点，
∴方程有3个实数根．
故答案为：3．
14．
【分析】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，根据图象可知，二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线，根据对称性求得另一个解，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线，
∴二次函数经过点
∴关于x的一元二次方程的解为，
故答案为：．
15．
【分析】
根据抛物线与轴有公共点，可知，从而可以求得的取值范围．
【详解】解：抛物线与轴有公共点，
，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．
【分析】本题考查三角函数，二次函数的图象与轴的交点问题，解利用二次函数解二次不等式，熟练掌握三角函数的性质和应用、二次函数的图象与轴的交点个数是解题的关键．先利用是锐角三角形的一个内角，确定，再利用函数图像与轴没有交点，结合，得关于的不等式，求解即可．
【详解】解：∵是锐角三角形的一个内角，
∴，
∴，
∵函数图像与轴没有交点，
∴，
∵，
∴，
即，
对于，看作关于的二次函数，
∵，
∴的图象开口向上，
又时，
解得：或，
利用二次函数与不等式的关系，
得的解为：或（舍），
∴，
则的取值范围是，
故答案为：．
17．，
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，
抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：．
∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：．
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为．
即或2时，．
∴一元二次方程的解为，．
故答案为：，．
18．(1)，对称轴为直线，顶点坐标；
(2)
【分析】（）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标；
（）令求出与轴交点坐标，令求出与轴交点坐标，然后求面积即可；
本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握配方法和顶点式的相关性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴对称轴为直线，顶点坐标；
（2）根据题意画图，
令，则，
∴点，则，
令，则，解得，，
∴，，
∴，
由（）得：，
∴，
，
．
19．(1)
(2)抛物线与轴的交点是，，与轴交点是
【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，二次函数的性质：
（1）利用配方法把解析式化为顶点式即可；
（2）根据和求出对应的、值，即可得到与坐标轴交点的坐标．
【详解】（1）解：
；
（2）解：当时，，解得：，；
当时，，
故抛物线与轴的交点是，，与轴交点是
20．(1)
(2)若，y的最小值为3；若，y的最小值为；若，y的最小值为
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握二次函数对称性和增减性，一元二次方程的根与系数的关系，用分类讨论的数学思想，是解答本题的关键．
（1）把代入二次函数解析式，解方程即得；
（2）根据图象开口向上，对称轴是直线和，分，，三种情况解答；
（3）根据，结合（2）的后两种情况，运用一元二次方程根与系数的关系解答并验证即得．
【详解】（1）∵经过点，
∴，
解得，；
（2）∵，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线的对称轴为直线，
①若，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最小值，为3；
②若，
∴当时，y取得最小值，为;
③若，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最小值，即．
综上可知，若，y的最小值为3；若，y的最小值为；若，y的最小值为．
（3）由（2）知，当时，y取最小值，解得，．
，
．
由题意，可知为一元二次方程的两个根．
由韦达定理，得，
．
当时，y取得最小值，即，解得，，不合．
综上，．
21．(1)二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个，见解析
(2)，
(3)或且
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的图像和性质等知识．
（1）根据函数的交点与一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式求解即可．
（2）由对称轴得出，代入函数解析式即可求出次函数为，然后求出当时，必的值即可得到函数图象与x轴交点的坐标；
（3）由已知可知二次函数与x轴交点为、，根据一元二次方程根与系数的关系可得，结合．得，在分类讨论，即可得出结论．
【详解】（1）解：设 ∴，
∵
∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
∴二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个．
（2）解：∵二次函数图象的对称轴是直线，
∴，
∴，
∴二次函数为，
令，则，
解得，，
∴这个函数图象与轴交点的坐标为，
（3）解：∵，在这个函数的图象上，且．
∴，即，
当时，，得二次函数与轴交点为、，
∴
当时，由，得，即，即．
当时，由，得，即，即．
∴或且．
22．(1)
(2)点，点
(3)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与图形面积综合．
（1）将点和点代入即可求出解析式；
（2）令，解出的x的值即可得到点A、B的坐标；
（3）根据点坐标求得，代入面积公式计算即可．
【详解】（1）解：把点和点代入得
解得，
所以抛物线的解析式为：．
（2）把代入，
得，
解得，
∵点A在点B的左边，
∴点，点．
（3）解：连接，
由题意得，
23．当为1或4时，与相等
【分析】本题考查了求一次函数与二次函数的交点问题,解一元二次方程，根据题意，列方程，按照因式分解法解一元二次方程即可得到答案，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键
【详解】解：根据题意得：，
整理得：，即，解得：，
当为1或4时，与相等．
24．(1)，，
(2)①或②或③或
【分析】（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方程组即可；
（2）①可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，当时，，对称为直线，开口向上，故时，y随着x的增大而增大；当时，，，故时，y随着x的增大而增大；
②问题转化为抛物线与直线在时无交点，考虑两个临界状态，当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点；当，，故当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点，当或时，抛物线与直线在时没有交点，即方程无解；
③ 可求点P、Q关于直线对称，当，，当时，，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，，故当，由题意得：，则；当，由题意得：，则，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴将，代入，
得：，
解得：，
∵，
∴将，代入
得：，
解得：；
（2）解：①∵，
∴一次函数解析式为：，二次函数解析式为：
当时，，对称为直线，开口向上，
∴时，y随着x的增大而增大；
当时，，，
∴时，y随着x的增大而增大，
综上，x的取值范围：或；
②∵，
∴，在时无解，
∴问题转化为抛物线与直线在时无交点，
∵对于，当时，
∴顶点为，如图：
∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点，
∴当时，抛物线与直线在时没有交点；
当，，
∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点，
∴当时，抛物线与直线在时没有交点，
∴当或时，抛物线与直线在时没有交点，
即：当或时，关于x的方程（t为实数），在时无解；
③∵，
∴，
∴点P、Q关于直线对称，
当，，当时，，
∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，，
∴当，如图：
由题意得：，
∴；
当，如图：
由题意得：，
∴，
综上：或．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
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