绥化市中考数学模拟8（含答案）
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绥化市中考数学模拟8
一．选择题
1．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6 B．a2a3＝a6 C．a2﹣a＝a D．a8÷a4＝a2
4．太阳是太阳系的中心天体，离地球最近的恒星．太阳从中心向外可分为核反应区、辐射区、对流层和大气层，太阳的年龄约50亿年现正处于“中年阶段”．半径为696000千米，是地球半径的109倍，696000千米用科学记数法表示为（ ）
A．6.96×105米 B．6.96×108米 C．7.0×105米 D．7.0×108米
5．如图，直线a∥b，直线AC与a，b相交．若∠A＝21°，∠1＝39°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．39° C．21° D．18°
6．下列命题属于真命题的是（ ）
A．同一平面内，两条直线的位置关系是垂直和相交
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两直线平行，同旁内角的角平分线互相平行
D．平移前后对应点所连线段的关系是平行（或共线）且相等
7．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AD边上的一动点，点F是CD边上的一动点，且AE＝DF，AF与BE相交于点P，连接PD，在F运动的过程中，PD的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．为积极响应曲靖市政府“举全市之力，集全民之智，力争2020年夺得全国文明城市桂冠”的号召，麒麟区某校举办了一次创文知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了甲、乙两组学生成绩作为样本进行统计，绘制了如下统计图表：
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 6.8 a 3.76 90% 30%
乙组 b 7.5 1.96 80% 20%
则下列说法错误的是（ ）
A．a＝6，b＝7.2 B．甲组的众数是5，乙组的众数是3
C．小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中上游略偏上观察上面的表格可以判断，小英属于甲组
D．从平均数来看，乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高：从方差来看，乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．所以从平均数和方差两方面来看，乙组成绩好于甲组成绩
第5题图 第8题图 第9题图
10．过新年贴春联，是中国传统的过年习俗，既增添了喜庆的节日气氛，又寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．某超市计划购进A，B两种规格的春联进行零售，其中A种春联的进价比B种春联的进价低5元，用1500元购进A种春联的数量是用1000元购进B种春联数量的2倍，求A种春联的进价．若设A种春联的进价为x元，则根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC＝BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B． C．D．
12．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠FAE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．则下列结论中：①AF＝AE；②∠EGC＝2∠BAG；③DE+BG＝EG；④AD+DE＝DH；⑤若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题
13．函数中，自变量x的取值范围是 ．
14．因式分解：a2（x﹣y）+（y﹣x）＝ ．
15．一个盒子里放有草莓味、柠檬味的两种糖各1块，另一个盒子里放有草莓味、柠檬味、葡萄味的三种糖各1块，糖的外形相同．小亮从两个盒子中各随机取出一块糖，则两块糖是不同味的概率是 ．
16．已知m，n是x2﹣4x+2＝0的两个根，则m2﹣3m+n＝ ．
17．已知，则的值为 ．
18．对两个不相等的实数根a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定：方程max{x，﹣x}＝的解为 ．
19．在平面直角坐标系中，已知，将点N绕原点O逆时针旋转45°得到N′，则点N′的坐标为 ．
20．如图，⊙O与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F．若AB＝2，则⊙O的半径长为 ．
21．如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y＝﹣x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2023＝ ．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点E是AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°，连结EF，作点D关于直线EF的对称点P，直线PE交BD于点Q，当△DEQ是直角三角形时，DF的长为 ．
第20题图 第21题图 第22题图
三．解答题
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，
（1）请作出经过点A，圆心在AB上且与BC边相切于点D的⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）；
（2）若（1）中所作⊙O与边AB交于点E（异于点A），DE＝，AC＝4，求CD的长．
24．如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
25．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝2．
（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．
①连接AC，求△ABC的面积；
②在图上连接OC交AB于点D，求的值．
26．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接DE并延长交AB的延长线于点F，点P在AF上，且∠PEF＝∠DCE，连接AE，CE分别交OD，OB于点M，N，连接AC，设⊙O的半径为r．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）当∠DCE＝15°时，求证：AM＝2ME；
（3）在点E的移动过程中，判断AN CM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
27．在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．
（1）如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；
（2）如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；
（3）如图3，AB＝1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．
①求PE+EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．
一．选择题
1．D．2．D．3．A．4．B．5．A．6．D．7．A．8．A．9．B．10．D．11．D．12．D．
二．填空题
13．x＞2．14．（x﹣y）（a+1）（a﹣1）．15．．16．2．17．．18．﹣1或1+
19．（2，6）．20．．21．．22．1或3或3﹣．
三．解答题
23．解：（1）作∠BAC的平分线交BC于D，作AD的垂直平分线交AB于O，以O为圆心，OA为半径作⊙O．
（2）过D作DF⊥AB交AB于F，设DF＝x，EF＝y．
∵∠DAC＝∠DAF，∠ACD＝∠AFD＝90°，AD＝AD，
∴△ADC≌△ADF（AAS），
∴AF＝AC＝4，CD＝DF，
∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°，
∵DF⊥AE，
∴△AFD∽△DFE，
∴DF2＝AF EF，
∴x2＝4y，
∵x2+y2＝（）2，
∴x＝2，y＝1，
∴CD＝DF＝2．
24．解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由题意得：∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，∠BCF＝30°，AB∥FG，
∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACG﹣∠BCF＝90°，
∵AB＝24千米，
∴AC＝AB＝12（千米），BC＝AC＝12（千米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝45°，
∴CD＝AC tan45°＝12（千米），
∴BD＝BC﹣CD＝（12﹣12）千米，
在Rt△BDE中，∠ABC＝30°，
∴DE＝BD＝（6﹣6）千米，
∴输油管道的最短长度是（6﹣6）千米．
25．解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝BH＝OB＝2，
∴AH＝＝＝6，
∴点A的坐标为（2，6）．
∵A为反比例函数y＝图象上的一点，
∴k＝2×6＝12；
（2）①∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，
∴BC＝＝3．
∵AH⊥OB，
∴AH∥BC，
∴点A到BC的距离＝BH＝2，
∴S△ABC＝×3×2＝3；
②∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，
∴BC＝＝3．
∵AH∥BC，OH＝BH，
∴MH＝BC＝，
∴AM＝AH﹣MH＝．
∵AM∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴＝．
26．（1）证明：连接OE，如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，
∴∠OED+∠OEC＝90°．
∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴∠OCE+∠OED＝90°．
∵∠PEF＝∠DCE，
∴∠PEF+∠OED＝90°，
∴∠OEP＝180°﹣∠OED﹣∠PEF＝180°﹣90°＝90°，
∴OE⊥PE．
∵OE为⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠DCE＝15°，
∴∠DOE＝2∠DCE＝30°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AOE＝120°．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝＝30°，
∴OM＝AM，∠AMO＝90°﹣∠OAE＝60°．
∵∠OMA＝∠DOE+∠OEM，
∴∠OEM＝30°，
∴∠OEM＝∠DOE＝30°，
∴OM＝ME，
∴AM＝2ME；
（3）解：在点E的移动过程中，AN CM为定值，该定值为2r2．理由：
∵AB⊥CD，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AEC＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵∠AMC＝∠AEC+∠DCE＝45°+∠DCE，∠ACN＝∠ACO+∠DCE＝45°+∠DCE，
∴∠AMC＝∠ACN，
∴△CAM∽△ACN，
∴，
∴AC2＝CM AN．
∵⊙O的半径为r，
∴OA＝OC＝r，
∴AC2＝OA2+OC2＝r2+r2＝2r2．
∴CM AN＝2r2．
∴AN CM为定值，该定值为2r2．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵DG⊥AE，BF⊥AE，
∴∠AFB＝∠DGA＝90°，
∴∠FAB+∠DAG＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，
∴∠BAF＝∠ADG，
在△AFB和△DGA中，
，
∴△AFB≌△DGA（AAS）；
（2）证明：过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAH＝∠ADE＝90°，AB＝AD＝CD，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABH，
在△ABH和△DAE中，
，
∴△ABH≌△DAE（ASA），
∴AH＝DE，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝EC＝CD，
∴AH＝DH，
∴DE＝DH，
∵DJ⊥BJ，DK⊥AE，
∴∠J＝∠DKE＝∠KFJ＝90°，
∴四边形DKFJ是矩形，
∴∠JDK＝∠ADC＝90°，
∴∠JDH＝∠KDE，
在△DJH和△DKE中，
，
∴△DJH≌△DKE（AAS），
∴DJ＝DK，JH＝EK，
∴四边形DKFJ是正方形，
∴FK＝FJ＝DK＝DJ，
∴DF＝FJ，
∴FH+FE＝FJ﹣HJ+FK+KE＝2FJ＝DF；
（3）．
28．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）①当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴点C（0，﹣3）．
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3．
∵OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°．
过点E作EK⊥y轴于点K，
∵EG⊥AC，
∴∠KEG＝∠KGE＝45°，
∴EG＝＝EK＝OD，
设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），
∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
由题意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0，
当m＝﹣时，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值为；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N．
∵EK⊥y轴，PD⊥x轴，∠KEG＝45°，
∴∠DEG＝∠DNE＝45°，
∴DE＝DN．
∵∠KGE＝∠ONG＝45°，
∴OG＝ON．
∵y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴MF＝1，
∵∠KGF＝45°，
∴GF＝＝MF＝．
∵∠FDG＝45°，
∴∠FDN＝∠DEG．
又∵∠FDG＝∠DEG，
∴△DGF∽△EGD，
∴＝，
∴DG2＝FG EG＝×（﹣m）＝﹣2m，
在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|，OD＝﹣m，
在Rt△ODG中，
∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9，
∴5m2+12m+9＝﹣2m，
解得m1＝﹣1，m2＝﹣．
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绥化市中考数学模拟8
一．选择题
1．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6 B．a2a3＝a6 C．a2﹣a＝a D．a8÷a4＝a2
4．太阳是太阳系的中心天体，离地球最近的恒星．太阳从中心向外可分为核反应区、辐射区、对流层和大气层，太阳的年龄约50亿年现正处于“中年阶段”．半径为696000千米，是地球半径的109倍，696000千米用科学记数法表示为（ ）
A．6.96×105米 B．6.96×108米 C．7.0×105米 D．7.0×108米
5．如图，直线a∥b，直线AC与a，b相交．若∠A＝21°，∠1＝39°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．39° C．21° D．18°
6．下列命题属于真命题的是（ ）
A．同一平面内，两条直线的位置关系是垂直和相交
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两直线平行，同旁内角的角平分线互相平行
D．平移前后对应点所连线段的关系是平行（或共线）且相等
7．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AD边上的一动点，点F是CD边上的一动点，且AE＝DF，AF与BE相交于点P，连接PD，在F运动的过程中，PD的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．为积极响应曲靖市政府“举全市之力，集全民之智，力争2020年夺得全国文明城市桂冠”的号召，麒麟区某校举办了一次创文知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了甲、乙两组学生成绩作为样本进行统计，绘制了如下统计图表：
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 6.8 a 3.76 90% 30%
乙组 b 7.5 1.96 80% 20%
则下列说法错误的是（ ）
A．a＝6，b＝7.2 B．甲组的众数是5，乙组的众数是3
C．小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中上游略偏上观察上面的表格可以判断，小英属于甲组
D．从平均数来看，乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高：从方差来看，乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．所以从平均数和方差两方面来看，乙组成绩好于甲组成绩
第5题图 第8题图 第9题图
10．过新年贴春联，是中国传统的过年习俗，既增添了喜庆的节日气氛，又寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．某超市计划购进A，B两种规格的春联进行零售，其中A种春联的进价比B种春联的进价低5元，用1500元购进A种春联的数量是用1000元购进B种春联数量的2倍，求A种春联的进价．若设A种春联的进价为x元，则根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC＝BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B． C．D．
12．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠FAE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．则下列结论中：①AF＝AE；②∠EGC＝2∠BAG；③DE+BG＝EG；④AD+DE＝DH；⑤若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题
13．函数中，自变量x的取值范围是 ．
14．因式分解：a2（x﹣y）+（y﹣x）＝ ．
15．一个盒子里放有草莓味、柠檬味的两种糖各1块，另一个盒子里放有草莓味、柠檬味、葡萄味的三种糖各1块，糖的外形相同．小亮从两个盒子中各随机取出一块糖，则两块糖是不同味的概率是 ．
16．已知m，n是x2﹣4x+2＝0的两个根，则m2﹣3m+n＝ ．
17．已知，则的值为 ．
18．对两个不相等的实数根a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定：方程max{x，﹣x}＝的解为 ．
19．在平面直角坐标系中，已知，将点N绕原点O逆时针旋转45°得到N′，则点N′的坐标为 ．
20．如图，⊙O与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F．若AB＝2，则⊙O的半径长为 ．
21．如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y＝﹣x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2023＝ ．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点E是AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°，连结EF，作点D关于直线EF的对称点P，直线PE交BD于点Q，当△DEQ是直角三角形时，DF的长为 ．
第20题图 第21题图 第22题图
三．解答题
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，
（1）请作出经过点A，圆心在AB上且与BC边相切于点D的⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）；
（2）若（1）中所作⊙O与边AB交于点E（异于点A），DE＝，AC＝4，求CD的长．
24．如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
25．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝2．
（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．
①连接AC，求△ABC的面积；
②在图上连接OC交AB于点D，求的值．
26．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接DE并延长交AB的延长线于点F，点P在AF上，且∠PEF＝∠DCE，连接AE，CE分别交OD，OB于点M，N，连接AC，设⊙O的半径为r．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）当∠DCE＝15°时，求证：AM＝2ME；
（3）在点E的移动过程中，判断AN CM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
27．在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．
（1）如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；
（2）如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；
（3）如图3，AB＝1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．
①求PE+EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．
一．选择题
1．D．2．D．3．A．4．B．5．A．6．D．7．A．8．A．9．B．10．D．11．D．12．D．
二．填空题
13．x＞2．14．（x﹣y）（a+1）（a﹣1）．15．．16．2．17．．18．﹣1或1+
19．（2，6）．20．．21．．22．1或3或3﹣．
三．解答题
23．解：（1）作∠BAC的平分线交BC于D，作AD的垂直平分线交AB于O，以O为圆心，OA为半径作⊙O．
（2）过D作DF⊥AB交AB于F，设DF＝x，EF＝y．
∵∠DAC＝∠DAF，∠ACD＝∠AFD＝90°，AD＝AD，
∴△ADC≌△ADF（AAS），
∴AF＝AC＝4，CD＝DF，
∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°，
∵DF⊥AE，
∴△AFD∽△DFE，
∴DF2＝AF EF，
∴x2＝4y，
∵x2+y2＝（）2，
∴x＝2，y＝1，
∴CD＝DF＝2．
24．解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由题意得：∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，∠BCF＝30°，AB∥FG，
∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACG﹣∠BCF＝90°，
∵AB＝24千米，
∴AC＝AB＝12（千米），BC＝AC＝12（千米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝45°，
∴CD＝AC tan45°＝12（千米），
∴BD＝BC﹣CD＝（12﹣12）千米，
在Rt△BDE中，∠ABC＝30°，
∴DE＝BD＝（6﹣6）千米，
∴输油管道的最短长度是（6﹣6）千米．
25．解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝BH＝OB＝2，
∴AH＝＝＝6，
∴点A的坐标为（2，6）．
∵A为反比例函数y＝图象上的一点，
∴k＝2×6＝12；
（2）①∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，
∴BC＝＝3．
∵AH⊥OB，
∴AH∥BC，
∴点A到BC的距离＝BH＝2，
∴S△ABC＝×3×2＝3；
②∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，
∴BC＝＝3．
∵AH∥BC，OH＝BH，
∴MH＝BC＝，
∴AM＝AH﹣MH＝．
∵AM∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴＝．
26．（1）证明：连接OE，如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，
∴∠OED+∠OEC＝90°．
∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴∠OCE+∠OED＝90°．
∵∠PEF＝∠DCE，
∴∠PEF+∠OED＝90°，
∴∠OEP＝180°﹣∠OED﹣∠PEF＝180°﹣90°＝90°，
∴OE⊥PE．
∵OE为⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠DCE＝15°，
∴∠DOE＝2∠DCE＝30°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AOE＝120°．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝＝30°，
∴OM＝AM，∠AMO＝90°﹣∠OAE＝60°．
∵∠OMA＝∠DOE+∠OEM，
∴∠OEM＝30°，
∴∠OEM＝∠DOE＝30°，
∴OM＝ME，
∴AM＝2ME；
（3）解：在点E的移动过程中，AN CM为定值，该定值为2r2．理由：
∵AB⊥CD，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AEC＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵∠AMC＝∠AEC+∠DCE＝45°+∠DCE，∠ACN＝∠ACO+∠DCE＝45°+∠DCE，
∴∠AMC＝∠ACN，
∴△CAM∽△ACN，
∴，
∴AC2＝CM AN．
∵⊙O的半径为r，
∴OA＝OC＝r，
∴AC2＝OA2+OC2＝r2+r2＝2r2．
∴CM AN＝2r2．
∴AN CM为定值，该定值为2r2．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵DG⊥AE，BF⊥AE，
∴∠AFB＝∠DGA＝90°，
∴∠FAB+∠DAG＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，
∴∠BAF＝∠ADG，
在△AFB和△DGA中，
，
∴△AFB≌△DGA（AAS）；
（2）证明：过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAH＝∠ADE＝90°，AB＝AD＝CD，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABH，
在△ABH和△DAE中，
，
∴△ABH≌△DAE（ASA），
∴AH＝DE，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝EC＝CD，
∴AH＝DH，
∴DE＝DH，
∵DJ⊥BJ，DK⊥AE，
∴∠J＝∠DKE＝∠KFJ＝90°，
∴四边形DKFJ是矩形，
∴∠JDK＝∠ADC＝90°，
∴∠JDH＝∠KDE，
在△DJH和△DKE中，
，
∴△DJH≌△DKE（AAS），
∴DJ＝DK，JH＝EK，
∴四边形DKFJ是正方形，
∴FK＝FJ＝DK＝DJ，
∴DF＝FJ，
∴FH+FE＝FJ﹣HJ+FK+KE＝2FJ＝DF；
（3）．
28．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）①当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴点C（0，﹣3）．
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3．
∵OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°．
过点E作EK⊥y轴于点K，
∵EG⊥AC，
∴∠KEG＝∠KGE＝45°，
∴EG＝＝EK＝OD，
设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），
∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
由题意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0，
当m＝﹣时，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值为；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N．
∵EK⊥y轴，PD⊥x轴，∠KEG＝45°，
∴∠DEG＝∠DNE＝45°，
∴DE＝DN．
∵∠KGE＝∠ONG＝45°，
∴OG＝ON．
∵y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴MF＝1，
∵∠KGF＝45°，
∴GF＝＝MF＝．
∵∠FDG＝45°，
∴∠FDN＝∠DEG．
又∵∠FDG＝∠DEG，
∴△DGF∽△EGD，
∴＝，
∴DG2＝FG EG＝×（﹣m）＝﹣2m，
在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|，OD＝﹣m，
在Rt△ODG中，
∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9，
∴5m2+12m+9＝﹣2m，
解得m1＝﹣1，m2＝﹣．
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