北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2等腰三角形第3课时课件(共22张PPT)
文档属性
| 名称 | 北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2等腰三角形第3课时课件(共22张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 552.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-29 00:00:00 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理，并能加以运用；（重点）
2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.（难点）
1.等边三角形是怎样定义的？
复
习
回
顾
三条边相等的三角形,叫做等边三角形.
2.等腰三角形有哪些性质和推论？
（1）等边三角形的三边都相等；
（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；
（3）各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等；
（4）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的高（中线、对应的角平分线）所在的直线.
知识点1 等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
之前我们学过等边三角形的性质：三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
猜想：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
猜想是否正确呢，需要通过证明进行判断.
已知：如右图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形.
C
B
A
证明：∵∠A =∠B，∠B =∠C ，
∴AC =BC， AB=AC（等角对等边）．
∴AB =BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
那一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，说一说哪些方面比较特殊.
等边三角形的角都是60°.
猜想：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
这个角可能是顶角，也可能是底角，证明时需要分类讨论.
已知：如右图，在△ABC中，AB=AC，且∠A，∠B，∠C中有一个角为60°.
求证：△ABC是等边三角形.
C
B
A
证明：①当∠A=60°时，
∵AB=AC，
∴∠B＝∠C，
∵在△ABC中，∠A= 60 °，
∴∠B＝∠C＝ （180。-∠A） = 60°.
∴∠A= ∠ B =∠C.
∴△ABC是等边三角形.
1
2
已知：如右图，在△ABC中，AB=AC，且∠A，∠B，∠C中有一个角为60°.
求证：△ABC是等边三角形.
C
B
A
②当∠B=60°（或∠C=60°）时，
∵AB=AC，
∴∠B＝∠C=60°，
∴∠A（180。-∠B-∠C） = 60°.
∴∠A= ∠ B =∠C.
∴△ABC是等边三角形.
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
总结归纳
等边三角形的判定方法：
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
1.下列条件中,不能得到等边三角形的是 ( )
A.有两个内角是60°的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是60°的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
D
2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D，E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB.求证：△ADE为等边三角形.
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C= （180°-∠BAC）=30°.
∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠BAE=∠CAD=90°.
∴∠DEA=∠EDA=60°，
∴∠DAE=60°,
∴△ADE为等边三角形.
1
2
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
用两个含30°角的全等三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
做一做
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
等边三角形
30°
2a
2a
a
结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
还需要证明这个结论.
C
B
A
已知：如右图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°.
求证：BC= AB.
1
2
证明：延长BC至点D，使CD=BC，连接AD．
D
∵∠ACB=90°，∠BAC=30° ，
∴∠ACD=90°，∠B =60°.
∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（ SAS ）.
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）.
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.
∴BC= BD= AB.
1
2
1
2
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
通过上面的证明，我们可以得到以下定理.
这个定理的条件有两个：
（1）是在直角三角形中；
（2）一个角是30°.
求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半．
已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高.
求证：CD= AB
1
2
C
B
A
D
证明：在△ABC中，∵AB=AC ，∠B=15°，
∴∠ACB=∠B=15°（等边对等角）.
∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC=90°.
∴CD= AC.
∴CD= AB.
1
2
1
2
总结归纳
含30°角的直角三角形的性质：
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为 （ ）
A．BD＝CD
B．BD＝2CD
C．BD＝3CD
D．BD＝4CD
B
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B＝60°， CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的长.
C
B
A
D
解：因为CD是△ABC的高，所以∠BDC=90°.
又因为∠B=60°，
所以∠BCD=30°. 所以BC=2BD=2.
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，
所以∠A=30°. 所以AB=2BC=4.
所以AD=AB-BD=4-1=3.
1.如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E，如果AD=1，BC=6，那么CE等于 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
B
2.如图，在△ABC中，∠B=60°，D是BC延长线上一点，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，若CD=CF。
求证：△ABC是等边三角形
证明：∵DE⊥AB，∴∠BED=∠AEF=90°，
∵∠B=60°，∴∠D=30°.
∵CD=CF，∴∠D=∠CFD=30°（等边对等角），
∴∠C=∠CFD+∠D=30°+30°=60°，
∴∠A=60°，∴△ABC是等边三角形.
等边三角形的判定方法：
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
含30°角的直角三角形的性质：
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理，并能加以运用；（重点）
2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.（难点）
1.等边三角形是怎样定义的？
复
习
回
顾
三条边相等的三角形,叫做等边三角形.
2.等腰三角形有哪些性质和推论？
（1）等边三角形的三边都相等；
（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；
（3）各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等；
（4）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的高（中线、对应的角平分线）所在的直线.
知识点1 等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
之前我们学过等边三角形的性质：三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
猜想：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
猜想是否正确呢，需要通过证明进行判断.
已知：如右图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形.
C
B
A
证明：∵∠A =∠B，∠B =∠C ，
∴AC =BC， AB=AC（等角对等边）．
∴AB =BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
那一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，说一说哪些方面比较特殊.
等边三角形的角都是60°.
猜想：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
这个角可能是顶角，也可能是底角，证明时需要分类讨论.
已知：如右图，在△ABC中，AB=AC，且∠A，∠B，∠C中有一个角为60°.
求证：△ABC是等边三角形.
C
B
A
证明：①当∠A=60°时，
∵AB=AC，
∴∠B＝∠C，
∵在△ABC中，∠A= 60 °，
∴∠B＝∠C＝ （180。-∠A） = 60°.
∴∠A= ∠ B =∠C.
∴△ABC是等边三角形.
1
2
已知：如右图，在△ABC中，AB=AC，且∠A，∠B，∠C中有一个角为60°.
求证：△ABC是等边三角形.
C
B
A
②当∠B=60°（或∠C=60°）时，
∵AB=AC，
∴∠B＝∠C=60°，
∴∠A（180。-∠B-∠C） = 60°.
∴∠A= ∠ B =∠C.
∴△ABC是等边三角形.
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
总结归纳
等边三角形的判定方法：
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
1.下列条件中,不能得到等边三角形的是 ( )
A.有两个内角是60°的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是60°的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
D
2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D，E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB.求证：△ADE为等边三角形.
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C= （180°-∠BAC）=30°.
∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠BAE=∠CAD=90°.
∴∠DEA=∠EDA=60°，
∴∠DAE=60°,
∴△ADE为等边三角形.
1
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知识点2 含30°角的直角三角形的性质
用两个含30°角的全等三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
做一做
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
等边三角形
30°
2a
2a
a
结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
还需要证明这个结论.
C
B
A
已知：如右图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°.
求证：BC= AB.
1
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证明：延长BC至点D，使CD=BC，连接AD．
D
∵∠ACB=90°，∠BAC=30° ，
∴∠ACD=90°，∠B =60°.
∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（ SAS ）.
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）.
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.
∴BC= BD= AB.
1
2
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2
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
通过上面的证明，我们可以得到以下定理.
这个定理的条件有两个：
（1）是在直角三角形中；
（2）一个角是30°.
求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半．
已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高.
求证：CD= AB
1
2
C
B
A
D
证明：在△ABC中，∵AB=AC ，∠B=15°，
∴∠ACB=∠B=15°（等边对等角）.
∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC=90°.
∴CD= AC.
∴CD= AB.
1
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总结归纳
含30°角的直角三角形的性质：
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为 （ ）
A．BD＝CD
B．BD＝2CD
C．BD＝3CD
D．BD＝4CD
B
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B＝60°， CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的长.
C
B
A
D
解：因为CD是△ABC的高，所以∠BDC=90°.
又因为∠B=60°，
所以∠BCD=30°. 所以BC=2BD=2.
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，
所以∠A=30°. 所以AB=2BC=4.
所以AD=AB-BD=4-1=3.
1.如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E，如果AD=1，BC=6，那么CE等于 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
B
2.如图，在△ABC中，∠B=60°，D是BC延长线上一点，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，若CD=CF。
求证：△ABC是等边三角形
证明：∵DE⊥AB，∴∠BED=∠AEF=90°，
∵∠B=60°，∴∠D=30°.
∵CD=CF，∴∠D=∠CFD=30°（等边对等角），
∴∠C=∠CFD+∠D=30°+30°=60°，
∴∠A=60°，∴△ABC是等边三角形.
等边三角形的判定方法：
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
含30°角的直角三角形的性质：
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
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