北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2等腰三角形第1课时课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
1.理解掌握等腰三角形的性质定理；（重点）
2.理解掌握等边三角形的性质定理；（重点）
3.能够运用等腰三角形、等边三角形的性质定理解决问题（难点）
（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？回忆一下.
议一议
定理：等腰三角形的两底角相等.（简述为：等边对等角）
（2）你能用已有的公理和定理证明这个结论吗？
适用条件：必须在同一个三角形中.
定理：等腰三角形的两底角相等.（简述为：等边对等角）
已知：如下图，在△ABC 中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
证明：取BC的中点D，连接AD.
D
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
证法1
知识点1 等腰三角形的性质定理及推论
已知：如下图，在△ABC 中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
证明：在△ABC和△ACB中，
∵AB=AC，∠A=∠A，AC=AB，
∴△ABC≌△ACB（SAS） .
∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等） .
证法2
你还有其他证明方法吗？
已知：如下图，在△ABC 中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
证明：作∠A的角平分线，交BC于点D.
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC，∠BAD =∠CAD，AD=AD ,
∴△ABD≌△ACD （ SAS ）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
证法3
你还有其他证明方法吗？
D
想一想
在左图中，线段AD除是底边上的中线外还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
A
B
C
D
由△ABC≌△ACB，可知
∵∠BAD =∠CAD，∴AD是等腰三角形顶角的平分线；
∵∠BDA =∠CDA，∴∠BDA =∠CDA=90°，AD是等腰三角形底边上的高线.
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一）
总结归纳
等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一）
知识点2 等边三角形的性质定理
等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
回忆一下，怎样的三角形叫做等边三角形？
等边三角形与等腰三角形有什么关系呢，它又有哪些性质呢？
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
想一想
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
这个定理是否正确呢？试着用学过的公理或定理证明一下吧.
证明：等边三角形三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
已知：如下图，在△ABC中，AB=BC=AC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）.
又∵AC=BC，
∴∠A=∠B（等边对等角）.
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）.
∴∠A=∠B=∠C=60°.
A
B
C
知识拓展
等边三角形是特殊的等腰三角形，把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
（3）等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边高、中线、对应的角平分线所在的直线.
（1）等边三角形的三条边都相等，是一种特殊的等腰三角形.所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质.
（2）等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.
总结归纳
等边三角形的性质
（1）定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
（2）等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.
（3）等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边高、中线、对应的角平分线所在的直线.
1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
A
2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，下列说法错误的是(　　)
A. BC边上的高和中线互相重合
B. AB，AC边上的中线相等
C. 在△ABC中，顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等
D. AB，BC边上的高相等
D
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为 （ ）
A.25° B.60°　
C.85° D.95°
D
4.如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为(　　)
A．(1，1)　
B．( ，1)　
C．( ， )　
D．(1， )
D
5.等腰三角形有一个角是96°，则另两个角分别是____________.
42°、42°
6.在△ABC中，AB＝AC.
（1）若∠A＝40°，则∠C等于多少度？
（2）若∠B＝72°，则∠A等于多少度？
A
B
C
解：（1）∵∠A=40°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°.
∵AB＝AC，∴∠B=∠C=140°÷2=70°.
（2）∵AB＝AC，∴∠B=∠C=72°.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-72°-72°=36°.
7.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.
解：如图，在等边三角形ABC中，中线BD，CE相交与点F，
A
B
C
D
E
F
∴CE⊥AB，BD平分∠ABC.
∴∠CEB=90°，∠ABD= ∠ABC= ×60°=30°.
在△EFB中，
∠EFB=180°-∠CEB-∠ABD=180°-90°-30°=60°.
∴等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°.
1
2
1
2
8.如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC＝BC＝CD.
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BAD的度数.
A
B
C
D
（1）证明：∵AC⊥BD，
∴∠ACB =∠ACD=90°.
∵AC =AC，BC =DC，
∴△ACB≌△ACD（SAS）.
∴AB=AD.
∴△ABD是等腰三角形.
（2）解：∵AC =BC，∠ACB =90°，
∴∠B =∠BAC=45°.
同理，∠D=∠DAC=45°.
∴∠BAD =∠BAC+∠DAC=45°+45°=90°.
9.如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
解：∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=∠AED=60°.
又∵E是BC的三等分点，∴BD=DE=EC.
∴AD=BD，∴∠DBA=∠BAD.
又∵∠DBA＋∠BAD=∠ADE＝60°，
∴∠BAD=30°.同理可得，∠CAE=30°，
∴∠BAC=∠BAD＋∠DAE＋∠CAE=30°+60°+30°=120°.
10.如图，AB=AC，BD=DC，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别是F，E.
求证:DE=DF.
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BFD=∠CED=90°，
在△BDF和△CDE中，
BD=DC，∠B=∠C， ∠BFD=∠CED，
∴△BDF≌△CDE（AAS），∴DE=DF.
11.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AB上的一点，且DE∥AC.若DE=3，则AB等于多少？
解：∵AC =AC，AD是BC边上的中线，
∴∠EAD =∠CAD，∠B =∠C，
∵DE∥AC,
∴∠EDA =∠CAD，∠EDB =∠C，
∴∠EAD =∠EDA ，∠EDB =∠B，
∴DE=AE，DE=BE，
∴AB=2DE=6.
12.如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.
（1）求证：AD=BE；
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，
又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
（2）求∠AEB的度数.
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ADC=120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一）
等边三角形的性质
（1）定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
（2）等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.
（3）等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边高、中线、对应的角平分线所在的直线.