北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.5角平分线第2课时课件(共18张PPT)
文档属性
| 名称 | 北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.5角平分线第2课时课件(共18张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 676.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-29 00:00:00 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
1.利用角平分线的性质和判定探索证明三角形三条角平分线的特殊位置关系及性质；（难点）
2.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.（重点）
复
习
回
顾
之前我们学习了三角形三边上的垂直平分线的性质，你还记得它的内容吗？
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
上节课我们学习了角平分线，这节课我们将一块儿学习三角形角平分线的综合应用以及三角形三个内角的平分线的性质.
知识点1 角平分线的综合应用
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.
（1）已知CD=4 cm，求 AC 的长；
（2）求证：AB=AC+CD.
D
A
B
E
C
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.
（1）已知CD=4 cm，求 AC 的长；
D
A
B
E
C
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE =CD=4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
∵AC=BC，∴∠B=∠BAC（等边对等角）.
∵∠C=90°，∴∠B= ×90°=45°.
∴∠BDE=90°-45°=45°. ∴BE=DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形BDE中， BD = =4 cm （勾股定理）.
∴AC =BC= CD + BD = （4+4 ）cm.
1
2
（2）求证：AB=AC+CD.
（2）证明：由（1）的求解过程可知
Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD.
D
A
B
E
C
知识点2 三角形三条边角平分线的性质
画出下面三角形三个内角的平分线.
画一画
剪下一个三角形，通过折叠找出各角平分线.
做一做
发现：三角形三条角平分线交于一点．并且这一点到三条边的距离相等．
通过这两次动手操作，你发现了什么？
你能证明这个结论吗？
总结归纳
三角形三角平分线的性质定理
三角形的三条角平分线交于一点．并且这一点到三条边的距离相等．
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P。
求证：∠A的平分线经过点P。
解：如图，过点P分别作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。
同理，PE=PF.∴ PD = PE = PF.
∴点P在LA的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即ZA的平分线经过点P。
1.三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在 （ ）
A. 三角形的三条角平分线的交点处
B. 三角形的三条中线的交点处
C. 三角形的三条高的交点处
D. 以上位置都不对
A
2.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ .
4 ∶5 ∶6
（易错题）3.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？（ ）
A. 1处
B. 2处
C. 3处
D. 4处
l1
l2
l3
P1
P2
P3
P4
D
1.如图，在△ABC中，AP平分∠BAC交BC于点P，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且AC=4，PM=2，则△APC的面积是 （ ）
A. 4 B. 2 C. 8 D. 6
A
2.如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°，∠B=40°， D，E分别在边BC，AB上，且 DE⊥AB于E，CD=DE，则∠CAD = ________.
A
C
B
D
E
25°
3.在 Rt△ACB 中，∠BAC =90°，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，DF⊥BC于点F.
（1）求证：AB=BF；
证明：∵DF⊥BC，∴∠DFB=∠BAD =90°，
∵BD平分∠ABC，∴DA=DF，
又∵BD=BD，
∴Rt△ADB≌Rt△FDB（HL）.
∴AB=BF.
3.在 Rt△ACB 中，∠BAC =90°，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，DF⊥BC于点F.
（2）试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由.
（2）AD=AG，理由如下：
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEC=∠DFC =90°，
∴AE∥DF，
∴∠AGD=∠FDG，
又因为Rt△ADB≌Rt△FDB，
∴∠ADB=∠FDB，
∴∠AGD=∠ADG，
∴AD=AG（等角对等边）.
三角形三角平分线的性质定理
三角形的三条角平分线交于一点．并且这一点到三条边的距离相等．
1.利用角平分线的性质和判定探索证明三角形三条角平分线的特殊位置关系及性质；（难点）
2.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.（重点）
复
习
回
顾
之前我们学习了三角形三边上的垂直平分线的性质，你还记得它的内容吗？
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
上节课我们学习了角平分线，这节课我们将一块儿学习三角形角平分线的综合应用以及三角形三个内角的平分线的性质.
知识点1 角平分线的综合应用
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.
（1）已知CD=4 cm，求 AC 的长；
（2）求证：AB=AC+CD.
D
A
B
E
C
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.
（1）已知CD=4 cm，求 AC 的长；
D
A
B
E
C
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE =CD=4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
∵AC=BC，∴∠B=∠BAC（等边对等角）.
∵∠C=90°，∴∠B= ×90°=45°.
∴∠BDE=90°-45°=45°. ∴BE=DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形BDE中， BD = =4 cm （勾股定理）.
∴AC =BC= CD + BD = （4+4 ）cm.
1
2
（2）求证：AB=AC+CD.
（2）证明：由（1）的求解过程可知
Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD.
D
A
B
E
C
知识点2 三角形三条边角平分线的性质
画出下面三角形三个内角的平分线.
画一画
剪下一个三角形，通过折叠找出各角平分线.
做一做
发现：三角形三条角平分线交于一点．并且这一点到三条边的距离相等．
通过这两次动手操作，你发现了什么？
你能证明这个结论吗？
总结归纳
三角形三角平分线的性质定理
三角形的三条角平分线交于一点．并且这一点到三条边的距离相等．
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P。
求证：∠A的平分线经过点P。
解：如图，过点P分别作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。
同理，PE=PF.∴ PD = PE = PF.
∴点P在LA的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即ZA的平分线经过点P。
1.三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在 （ ）
A. 三角形的三条角平分线的交点处
B. 三角形的三条中线的交点处
C. 三角形的三条高的交点处
D. 以上位置都不对
A
2.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ .
4 ∶5 ∶6
（易错题）3.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？（ ）
A. 1处
B. 2处
C. 3处
D. 4处
l1
l2
l3
P1
P2
P3
P4
D
1.如图，在△ABC中，AP平分∠BAC交BC于点P，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且AC=4，PM=2，则△APC的面积是 （ ）
A. 4 B. 2 C. 8 D. 6
A
2.如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°，∠B=40°， D，E分别在边BC，AB上，且 DE⊥AB于E，CD=DE，则∠CAD = ________.
A
C
B
D
E
25°
3.在 Rt△ACB 中，∠BAC =90°，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，DF⊥BC于点F.
（1）求证：AB=BF；
证明：∵DF⊥BC，∴∠DFB=∠BAD =90°，
∵BD平分∠ABC，∴DA=DF，
又∵BD=BD，
∴Rt△ADB≌Rt△FDB（HL）.
∴AB=BF.
3.在 Rt△ACB 中，∠BAC =90°，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，DF⊥BC于点F.
（2）试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由.
（2）AD=AG，理由如下：
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEC=∠DFC =90°，
∴AE∥DF，
∴∠AGD=∠FDG，
又因为Rt△ADB≌Rt△FDB，
∴∠ADB=∠FDB，
∴∠AGD=∠ADG，
∴AD=AG（等角对等边）.
三角形三角平分线的性质定理
三角形的三条角平分线交于一点．并且这一点到三条边的距离相等．
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