北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.4线段的垂直平分线第1课时课件(共17张PPT)
文档属性
| 名称 | 北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.4线段的垂直平分线第1课时课件(共17张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 502.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-29 00:00:00 | ||
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文档简介
(共17张PPT)
1.探索证明线段垂直平分线的性质和判定；（重点）
2.能运用线段垂直平分线性质和其判定解决实际问题；（难点）
复
习
回
顾
1.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
B
2.什么叫线段的垂直平分线？
3.线段的垂直平分线有什么性质？
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，这条线段的垂直平分线(中垂线).
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
你能证明这个性质吗？
知识点 垂直平分线的性质与判定
已知：如下图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
N
A
P
B
C
M
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∵AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）.
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
如果点P与点C重合，那么结论显然成立.
你能写出上面这个定理的逆命题吗？
做一做
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
这个命题是真命题还是假命题呢？
已知：线段AB，点 P 是平面内一点且PA=PB.
求证：点P在AB的垂直平分线上.
B
P
A
C
证明：如右图，过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C，则PC是△PAB的高.
∵PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形.
∴PC是△PAB的中线.
∴AC=BC，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线.
即点P在AB的垂直平分线上.
还可以过P点作AB的中线或∠APB的角平分线.
所以，“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”这个命题是真命题.
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
互为逆定理
已知：如下图，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
用尺规作线段的垂直平分线
已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．
作法：1.分别以点A和B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧，两弧相交于点C和D；
2.连接直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．
D
C
B
A
知识拓展
1.已知：如图，AB是CD的垂直平分线， E， F是AB上两点.
求证：∠ECF=∠EDF.
A
B
C
D
E
F
证明：∵AB是CD的垂直平分线，
∴EC=ED，FC=FD.
又∵EF=EF，
∴△ECF≌△EDF.
∴∠ECF=∠EDF.
2. 已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.
求证：PB=PC .
P
B
D
C
A
证明：如右图，连接B，C.
∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线上.
同理， D在线段BC的垂直平分线上.
∴ AD是线段BC的垂直平分线.
∵P是AD上一点 ，
∴PB=PC.
1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为D，BE=6 cm，∠AEC=30°，则AC等于 （ ）
A. 6 cm B. 5 cm C. 4 cm D.3 cm
D
2.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16 cm,则△BCE的周长是 cm.
A
B
C
D
E
16
3.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线,EF垂直平分BD.
求证:AB∥DF.
证明:∵EF垂直平分BD，
∴FB=FD，
∴∠FBD=∠BDF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠FBD，
∴∠ABD=∠BDF，
∴AB∥DF.
4.如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE.
（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数.
∴AE=CE，
∴∠C=∠EAC，
∵∠AEB=∠EAC+∠C=70°，
∴∠C=35°.
（1）证明：∵AD⊥BC，点E在BC上，
∴AD⊥BE，又∵BD=DE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB= （180°-∠BAE）=70°，
∵EF垂直平分AC，
1
2
4.如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE.
（2）若△ABC的周长为14 cm，AC=6 cm，求DC的长.
（2）解：∵△ABC的周长为14 cm，AC=6 cm，
∴AB+BC+AC=14 cm，
∴AB+BC=8 cm，
∴AB+BD+DE+CE=8 cm，
∵BD=DE，AB=AE，AE=CE，
∴2DE+2CE=8 cm，∴DE+CE=4 cm，即DC=4 cm.
垂直平分线的性质定理：
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
垂直平分线的判定定理：
1.探索证明线段垂直平分线的性质和判定；（重点）
2.能运用线段垂直平分线性质和其判定解决实际问题；（难点）
复
习
回
顾
1.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
B
2.什么叫线段的垂直平分线？
3.线段的垂直平分线有什么性质？
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，这条线段的垂直平分线(中垂线).
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
你能证明这个性质吗？
知识点 垂直平分线的性质与判定
已知：如下图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
N
A
P
B
C
M
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∵AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）.
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
如果点P与点C重合，那么结论显然成立.
你能写出上面这个定理的逆命题吗？
做一做
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
这个命题是真命题还是假命题呢？
已知：线段AB，点 P 是平面内一点且PA=PB.
求证：点P在AB的垂直平分线上.
B
P
A
C
证明：如右图，过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C，则PC是△PAB的高.
∵PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形.
∴PC是△PAB的中线.
∴AC=BC，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线.
即点P在AB的垂直平分线上.
还可以过P点作AB的中线或∠APB的角平分线.
所以，“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”这个命题是真命题.
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
互为逆定理
已知：如下图，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
用尺规作线段的垂直平分线
已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．
作法：1.分别以点A和B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧，两弧相交于点C和D；
2.连接直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．
D
C
B
A
知识拓展
1.已知：如图，AB是CD的垂直平分线， E， F是AB上两点.
求证：∠ECF=∠EDF.
A
B
C
D
E
F
证明：∵AB是CD的垂直平分线，
∴EC=ED，FC=FD.
又∵EF=EF，
∴△ECF≌△EDF.
∴∠ECF=∠EDF.
2. 已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.
求证：PB=PC .
P
B
D
C
A
证明：如右图，连接B，C.
∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线上.
同理， D在线段BC的垂直平分线上.
∴ AD是线段BC的垂直平分线.
∵P是AD上一点 ，
∴PB=PC.
1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为D，BE=6 cm，∠AEC=30°，则AC等于 （ ）
A. 6 cm B. 5 cm C. 4 cm D.3 cm
D
2.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16 cm,则△BCE的周长是 cm.
A
B
C
D
E
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3.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线,EF垂直平分BD.
求证:AB∥DF.
证明:∵EF垂直平分BD，
∴FB=FD，
∴∠FBD=∠BDF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠FBD，
∴∠ABD=∠BDF，
∴AB∥DF.
4.如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE.
（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数.
∴AE=CE，
∴∠C=∠EAC，
∵∠AEB=∠EAC+∠C=70°，
∴∠C=35°.
（1）证明：∵AD⊥BC，点E在BC上，
∴AD⊥BE，又∵BD=DE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB= （180°-∠BAE）=70°，
∵EF垂直平分AC，
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4.如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE.
（2）若△ABC的周长为14 cm，AC=6 cm，求DC的长.
（2）解：∵△ABC的周长为14 cm，AC=6 cm，
∴AB+BC+AC=14 cm，
∴AB+BC=8 cm，
∴AB+BD+DE+CE=8 cm，
∵BD=DE，AB=AE，AE=CE，
∴2DE+2CE=8 cm，∴DE+CE=4 cm，即DC=4 cm.
垂直平分线的性质定理：
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
垂直平分线的判定定理：
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