第九章　静电场--2027山东版高考物理第一轮章节练（含解析）

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2027山东版高考物理第一轮
第九章　静电场
第1节　静电场中力的性质
·电荷守恒定律　库仑定律T3、4、6、9　　·电场　电场强度T2、5、8、10　　·电场线的理解及应用T1、7
五年高考
1.★(2025陕晋青宁,1,4分)某同学绘制了四幅静电场的电场线分布图,其中可能正确的是 (　　)
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
2.★★(2023重庆,3,4分)真空中固定有两个点电荷,负电荷Q1位于坐标原点处,正电荷Q2位于x轴上,Q2的电荷量大小为Q1的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x=x0处产生的合电场强度为0,则Q1、Q2相距 (　　)
A.x0 B.(2-1)x0
C.2x0 D.(2+1)x0
3.★★★(多选)(2025河北,8,6分)如图,真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B,带有等量同种电荷,电荷量为q,两者间距远大于小球直径,两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触,再跟B接触,移走C后,A和B之间的静电力大小仍为F,则Q∶q的绝对值可能是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.5
4.★★★(2023海南,8,3分)如图所示,一光滑绝缘轨道水平放置,直径上有A、B两点,AO=2 cm,OB=4 cm,在A、B两点固定两个带电荷量分别为Q1、Q2的正电荷,现有一个带正电的小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷),已知AP∶BP=n∶1,则Q1∶Q2是 (　　)
A.2n2∶1 B.4n2∶1
C.2n3∶1 D.4n3∶1
5.★★★(多选)(2025安徽,10,5分)如图,两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内,空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球(均可视为质点)在轨道上同一高度保持静止,间距为L,甲、乙所带电荷量分别为q、2q,质量分别为m、2m,静电力常量为k,重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为F1、F2,匀强电场的电场强度大小为E,不计空气阻力,则 (　　)
A.F1=F2
B.E=
C.若将甲、乙互换位置,二者仍能保持静止
D.若撤去甲,乙下滑至底端时的速度大小v=
三年模拟
6.★★(2025届安徽五河一中质检)如图所示,在一个半球形的绝缘光滑球壳内,有M、N两个半径较小(均可视为质点)的均匀带电的绝缘小球。N球固定,M球静止时如图所示,球壳球心为O,OC为过圆心的竖直线,交M、N的连线于Q点。现将M球的电荷量缓慢减小(仍分布均匀),下列说法正确的是 (　　)
A.两小球间的库仑力将增大
B.M球受到的弹力减小
C.OC和MN的交点Q不会移动
D.OC和MN垂直时,库仑力大小等于M球的重力
7.★★(2026届济南开学考)某除尘器模型的集尘板是很长的条形金属板,如图所示,线段ab为该集尘板的截面图,带箭头的线条为电场线。工作时,带电粉尘在静电力作用下从P点由静止开始向带正电的集尘板运动,最后落在集尘板上。Q为轨迹上的另一点。忽略重力和空气阻力,下列说法正确的是 (　　)
A.粉尘带正电
B.P点电场强度大于Q点电场强度
C.P点的电势低于Q点的电势
D.带电粉尘在P点的电势能小于在Q点的电势能
8.★★★(2025届山东师大附中二模)直角三角形ABC中,∠C=30°,D为AC边的中点,在A、D两点分别放置电荷量为-q和+q的点电荷,下列说法正确的是　 (　　)
A.B点场强大于C点场强
B.B点场强等于C点场强
C.B点电势高于C点电势
D.B点电势等于C点电势
9.★★★(2025届菏泽鄄城县一中月考)如图所示,甲、乙、丙三个带电小球用轻质绝缘细线悬挂在水平横杆上,处于静止状态,细线均竖直,且三个小球等高,小球均可视为质点。已知甲、乙间距与乙、丙间距之比为3∶2,乙带电荷量的绝对值为q,下列说法正确的是 (　　)
A.乙受到细线的拉力最小
B.若乙带负电,则甲、丙可能均带负电
C.甲、丙带电荷量大小之比为3∶2
D.甲、丙带电荷量的乘积为q2
10.★★★(多选)(2025届山东师大附中5月考)如图所示,在竖直面内作一个虚线圆,圆心为O点,在圆的最高点A处固定一个带电小球,其所带电荷量为+Q(Q>0),在圆心O处有一个质量为m、带电荷量为-Q的带电小球恰好保持静止。已知重力加速度为g。带电小球均可视为点电荷,静电力常量为k,下列说法正确的是 (　　)
A.虚线圆的半径为k
B.B点和D点的电场强度相同
C.B点和D点的电势相同
D.C点的电场强度大小为
创新风向　挑战思维
巧用正弦定理解决静电场中的力学问题
(多选)(2025山东,11,4分)球心为O、半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上,带电荷量分别为+2q和+q的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点,过O、A、B的截面如图所示,C、D均为圆弧上的点,OC沿竖直方向,∠AOC=45°,OD⊥AB,A、B两点间距离为R,E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是 (　　)
A.甲的质量小于乙的质量
B.C点电势高于D点电势
C.E、F两点电场强度大小相等,方向相同
D.沿直线从O点到D点,电势先升高后降低
微专题16　求解电场强度的几种特殊方法
题组1　矢量叠加法
1.★★(2021湖南,4,4分)如图,在(a,0)位置放置电荷量为q的正点电荷,在(0,a)位置放置电荷量为q的负点电荷,在距P(a,a)为a的某点处放置正点电荷Q,使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为 (　　)
A.(0,2a),q B.(0,2a),2q
C.(2a,0),q D.(2a,0),2q
2.★★(2026届云南师大附中月考)如图所示,已知长为2l的均匀带正电的绝缘棒,在距其中心垂直距离为l处产生的电势为φ,场强大小为E,再取一相同带电绝缘棒,与其一端垂直拼接在一起,P为两棒中垂线的交点,则P点处的电势和场强大小计算正确的是 (　　)
A.φ B.2φ C.2E D.E
3.★★★(2026届安徽A10联盟开学考)如图,A、B、C、D是正方形的四个顶点,O是正方形的中心,在A、D两点固定电荷量都是q的正点电荷,O点的电场强度大小为E,O点的电势为φ。已知场源电荷Q激发的电场中,距离场源电荷r处的电势为φ=k,取无穷远处电势为零。若在C点再固定另一电荷量为-q的点电荷,则 (　　)
A.O点的电场强度大小为E,电势为
B.O点的电场强度大小为E,电势为φ
C.O点的电场强度大小为E,电势为
D.O点的电场强度大小为E,电势为φ
4.★★★(2024贵州,7,4分)如图,A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上,直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时,C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向,则等于 (　　)
A. B. C. D.2
5.★★★(多选)(2025届齐鲁名校联考五)如图所示,粗细均匀的绝缘圆环位于空间直角坐标系xOy平面内,其圆心与坐标原点O重合。圆环的半径为R,圆环上均匀分布着+Q的电荷量,在z轴上有A、B两点,已知A点到O点的距离为B点到O点距离的2倍,且A、O之间的距离远小于R,z轴上A、O之间电场强度的大小满足E=kx,其中k为静电力常量,x为该点到O点的距离,规定圆心O处电势为零。下列判断正确的是 (　　)
A.A、B两点的电势之比为4∶1
B.z轴上关于xOy平面对称的两点电场强度相同
C.从A点静止释放一电子,到达O点时速率为v,仅将圆环上的电荷量增大为原来的2倍,再从A点静止释放一电子,到达O点时速率为2v
D.从圆环最右端处取足够小、带电荷量为q的小段(其他位置处电荷分布不变),将其置于z轴正半轴距O点距离为R处,则O点电场强度大小为k
题组2　对称法、割补法和等效法
1.★★(2025届安徽师大附中质检)如图所示,A、B、C、D为一绝缘圆环上的4等分点,圆弧DABC均匀带正电,圆弧CD不带电,圆心为O。M、N是OA和OC的中点,已知M、N电势分别为φM和φN,O点电场强度大小为E。现撤去圆弧AD段的电荷,则 (　　)
A.O点电场强度方向水平向右
B.O点电场强度大小为2E
C.M点电势变为
D.N点电势变为
2.★★(2022山东,3,3分)半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置,圆心位于O点,环上均匀分布着电荷量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分,取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点,O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变,q为 (　　)
A.正电荷,q=
B.正电荷,q=
C.负电荷,q=
D.负电荷,q=
3.★★★(2025届广东茂名五校联考)已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示,一半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷,在过OO'(OO'=2R)的直线上以R为直径在球内挖一球形空腔。已知静电力常量为k,若在O'处放置一电荷量为Q的点电荷,则该点电荷所受电场力的大小为 (　　)
A.　　B.　　C.　　D.
题组3　微元法和极限法
1.★★★(2025届山东十三校4月联考)如图所示,半径为R的水平固定绝缘圆环上均匀分布着正电荷,O点为圆环的圆心,M点位于O点正上方R处。若从圆环上的A点处取走长为ΔL的小圆弧,剩余电荷分布不变,则剩余电荷在M点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为 (　　)
A. B.
C. D.
2.★★★★(2025届天津南开中学开学考)电场强度是描述电场强弱的物理量,它的定义式为E=,其中E为电场强度,q为试探电荷的带电荷量,单位为C(库仑),F为该电荷在电场中所受的静电力。图示为一个内、外半径分别为R1和R2的圆环状均匀带电平面,其单位面积带电荷量为σ,单位为C/m2。取环面中心O为原点,以垂直于环面的轴线为x轴。设轴上任意点P到O点的距离为x,P点电场强度的大小为E。下面给出E的四个表达式(式中k为静电力常量,单位为N·m2/C2),其中只有一个是合理的。你可能不会求解此处的场强E,但是你可以通过一定的物理分析,对下列表达式的合理性进行判断。根据你的判断,E的合理表达式应为 (　　)
A.E=2πkσx
B.E=2πkσx
C.E=2πkσx
D.E=2πkσx
第2节　静电场中能的性质
第1课时　静电场中能的性质的描述与判断
·描述静电场中能的性质的物理量T2、3、5、6、8、10　　·电势差与电场强度的关系T1、4、7、9
五年高考
1.★★(2025河南,4,4分)如图,在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点,其电势分别为6 V、4 V、2 V;a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向,则正确的是 (　　)
2.★★(多选)(2024广东,8,6分)污水中的污泥絮体经处理后带负电,可利用电泳技术对其进行沉淀去污,基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极,金属圆盘置于容器底部,金属棒插入污水中,形成如图所示的电场分布,其中实线为电场线,虚线为等势面,M点和N点在同一电场线上,M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有 (　　)
A.M点的电势比N点的低
B.N点的电场强度比P点的大
C.污泥絮体从M点移到N点,电场力对其做正功
D.污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
3.★★★(2023河北,7,4分)由点电荷组成的系统的电势能与它们的电荷量、相对位置有关。如图1,a、b、c、d四个质量均为m、带等量正电荷的小球,用长度相等、不可伸长的绝缘轻绳连接,静置在光滑绝缘水平面上,O点为正方形中心,设此时系统的电势能为E0。剪断a、d两小球间的轻绳后,某时刻d小球的速度大小为v,方向如图2,此时系统的电势能为 (　　)
　
A.E0-mv2 B.E0-mv2
C.E0-mv2 D.E0-mv2
4.★★★(多选)(2025湖南,8,5分)一匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为+q、-q和+2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时,电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是 (　　)
A.OA中点的电势为零
B.电场的方向与x轴正方向成60°角
C.电场强度的大小为
D.电场强度的大小为
5.★★★(多选)(2024山东,10,4分)如图所示,带电荷量为+q的小球被绝缘棒固定在O点,右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电荷量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放,滑到与小球等高的B点时加速度为零,滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s,重力加速度大小为g,静电力常量为k,下列说法正确的是 (　　)
A.OB的距离l=
B.OB的距离l=
C.从A到C,静电力对小滑块做功W=-mgs
D.AC之间的电势差UAC=-
6.★★★★(多选)(2023山东,11,4分)如图所示,正六棱柱上下底面的中心为O和O',A、D两点分别固定等量异号的点电荷,下列说法正确的是 (　　)
A.F'点与C'点的电场强度大小相等
B.B'点与E'点的电场强度方向相同
C.A'点与F'点的电势差小于O'点与D'点的电势差
D.将试探电荷+q由F点沿直线移动到O点,其电势能先增大后减小
三年模拟
7.★★(2026届江苏南京第二十九中模拟)高铁站内两段水平钢轨连接处设置有8 mm厚的机械绝缘节,起着电气绝缘和机械连接的作用,拉开后各部分如图甲所示。某次列车经过绝缘节时,钢轨A、B之间产生了约为60 V的电势差,此时绝缘节顶部空间的等势面分布如图乙所示,其中c点位于绝缘节正上方,下列说法正确的是 (　　)
A.a点的电势低于b点电势
B.负电荷在a点的电势能比在c点的电势能大
C.c点场强方向沿着x轴正方向
D.绝缘节顶部的场强约为7.5×103 V/m
8.★★★(多选)(2025届名校联合检测)为除去陶瓷工业所用粘土中的氧化铁,把粘土和水一起搅拌成悬浮液,将涂有绝缘层的金属圆盘吸附在盆底,金属棒插入悬浮液中,接入电源,形成如图所示电场,其中虚线为等势面。某粒子仅在电场力的作用下从P点到Q点的轨迹如图所示,已知粘土粒子带负电荷,氧化铁粒子带正电荷,下列说法正确的是 (　　)
A.a端为电源正极
B.该粒子可能为粘土粒子
C.该粒子在P点受到的电场力大于在Q点受到的电场力
D.该粒子在P点的动能小于在Q点的动能
9.★★★(多选)(2025届烟台三模)如图所示,空间中存在一匀强电场,电场强度的大小和方向均未知,ABCD-A'B'C'D'为处于电场空间内的一个边长为10 cm的正立方体,已知φA=6 V、φD=0、φC'=18 V、φD'=12 V,则下列说法正确的是 (　　)
A.正立方体中心O点(图中未画出)的电势为φO=12 V
B.面AA'D'D中心O'点(图中未画出)的电势为φO'=6 V
C.该匀强电场电场强度的大小为60 V/m
D.将一个电荷量大小为e的电子从C'点沿棱移动到C点,电场力做功为12 eV
10.★★★★(2025届山东名校4月联合检测)如图所示,在O-xyz坐标系中Oa=Oa'=Ob=Ob'=Oc=l,在a、a'两点分别放置两个点电荷q1、q2,且q1=q2=q>0。已知无穷远处电势为0,点电荷产生电场中的电势满足φ=k,其中Q是场源点电荷的电荷量,r是场源点电荷到其产生电场中某点的距离,k是静电力常量。则 (　　)
A.b点与b'点电场强度相同
B.y轴上最大电场强度为
C.沿如图所示虚线,由b到c再到b'过程,电势先增大后减小
D.在xOy平面内只有b点与b'点电势相同
第2课时　电场线、等势面与运动轨迹问题
·等势面　带电粒子在电场中的运动轨迹问题T1~6、9、10　　·静电的防止与利用T7、8
五年高考
1.★★(2025云南,4,4分)某介电电泳实验使用非匀强电场,该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为-2 V、-1 V、1 V、2 V的等势线上,则 (　　)
A.a、b、c、d中a点电场强度最小
B.a、b、c、d中d点电场强度最大
C.一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D.一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
2.★★(2025浙江1月,4,3分)三个点电荷的电场线和等势线如图所示,其中的d、e与e、f两点间的距离相等,则 (　　)
A.a点电势高于b点电势
B.a、c两点的电场强度相同
C.d、 f间电势差为d、e间电势差的两倍
D.从a到b与从f到b,电场力对电子做功相等
3.★★★(2025北京,8,3分)某小山坡的等高线如图,M表示山顶,A、B是同一等高线上两点,MA、MB分别是沿左、右坡面的直滑道。山顶的小球沿滑道从静止滑下,不考虑阻力,则 (　　)
A.小球沿MA运动的加速度比沿MB的大
B.小球分别运动到A、B点时速度大小不同
C.若把等高线看成某静电场的等势线,则A点电场强度比B点的大
D.若把等高线看成某静电场的等势线,则右侧电势比左侧降落得快
4.★★★(多选)(2024甘肃,9,5分)某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示,虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹,M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点。下列说法正确的是 (　　)
A.粒子带负电荷
B.M点的电场强度比N点的小
C.粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D.粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
5.★★★(2024全国甲,18,6分)在电荷量为Q的点电荷产生的电场中,将无限远处的电势规定为零时,距离该点电荷r处的电势为k,其中k为静电力常量;多个点电荷产生的电场中某点的电势,等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和。电荷量分别为Q1和Q2的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示(图中数字的单位是伏特),则 (　　)
A.Q1<0,=-2 B.Q1>0,=-2
C.Q1<0,=-3 D.Q1>0,=-3
三年模拟
6.★★(多选)(2024届济宁三模)如图所示为一电子透镜内电场线的分布情况,正中间的一条电场线为直线,其他电场线关于其对称分布,a、b、c、d为电场中的四个点,其中b、d两点关于中间电场线对称,虚线为一电子仅在电场力作用下从a运动到b的轨迹。下列说法正确的是 (　　)
A.四点电势大小关系为φa>φb=φd>φc
B.b、d两点间连线为等势线,且两点电场强度大小相等
C.电子从a到b电场力做负功,电势能增大
D.若从c点由静止释放一电子,其运动轨迹将与图中c、b两点间的电场线重合
7.★★(2025届湖北武汉华中师范大学第一附属中学月考)如图所示,足够大的金属板A、B平行放置,在两板间放置一不带电的金属球壳,O为球心,a、b为球壳外表面上的两点。闭合开关S,稳定后 (　　)
A.a点的电势比b点的高
B.a点的电场强度和O点的相等
C.向右移动滑片P,a点的电势不变
D.断开开关S,a点的电场强度减小
8.★★★(多选)(2025届菏泽二模)在金属球壳的球心有一个负点电荷,球壳内、外的电场线分布如图所示,下列说法正确的是 (　　)
A.K点的电场强度比L点的大
B.球壳内表面带负电,外表面带正电
C.试探电荷+q在M点的电势能比在N点的小
D.试探电荷+q沿电场线从M点运动到N点,电场力做负功
9.★★★(多选)(2025届潍坊三模)如图所示,无限大接地金属板MN的垂线Od上a、b、c三点恰将Od均分为四段,每段长度均为L。在O点固定一电荷量为Q的正点电荷,虚线分别为过a、b、c三点的等势线,实线为某试探电荷仅在电场力作用下运动的轨迹,轨迹与等势线分别交于e、f、c、g、h点。当该试探电荷运动到c点时,其电势能Epc=-2 eV、动能Ekc=4 eV。已知一个点电荷与无限大金属板间的电场与等量异种点电荷连线中垂面一侧的电场分布相同。单个点电荷Q周围某点的电势φ=,r为该点到点电荷Q的距离,下列说法正确的是 (　　)
A.该试探电荷带负电
B.b点的场强大小为
C.该试探电荷运动到f点时的动能为7 eV
D.该试探电荷分别从e到f和从f到c的运动过程中,电场力做的功相等
10.★★★(多选)(2025届聊城期末)在匀强电场中有一个正六边形区域abcdhf,电场线与六边形所在平面平行,如图所示。已知a、b、h三点的电势分别为9 V、13 V、-3 V,带电荷量为e的粒子(重力不计)以16 eV的初动能从b点沿不同方向射入abcdhf区域,当粒子沿bd方向射入时恰能经过c点,下列判断正确的是 (　　)
A.粒子带正电
B.粒子可以经过正六边形各顶点射出该区域
C.粒子经过f点时动能为4 eV
D.粒子沿bd方向发射后的最小动能为4 eV
创新风向　挑战思维
巧用相对运动+分解思维求解电场中的斜抛问题
(2025江苏,13,8分)如图所示,在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场中,两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出,速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m,电荷量为q,不计重力及粒子间相互作用。求:
(1)a运动到最高点的时间t;
(2)a到达最高点时,a、b间的距离H。
微专题17　静电场中的功能关系及图像问题
题组1　静电场中的功能关系
1.★★(2025甘肃,5,4分)如图,两极板不平行的电容器与直流电源相连,极板间形成非匀强电场,实线为电场线,虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上,N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是 (　　)
A.M点的电势比P点的低
B.M点的电场强度比N点的小
C.负电荷从M点运动到P点,速度增大
D.负电荷从M点运动到P点,电场力做负功
2.★★(2025四川,3,4分)如图所示,由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内,管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q(Q>0)的带电小球。另一个电荷量为q(q>0且q Q)的带电小球以一定初速度从a点进入管道,沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力。则 (　　)
A.小球在e 点所受库仑力大于在b点所受库仑力
B.小球从c点到e 点电势能先不变后减小
C.小球过f 点的动能等于过d 点的动能
D.小球过b点的速度大于过a 点的速度
3.★★★(2025福建,4,4分)角分辨光电子能谱仪是现代科学研究的先进仪器,其核心装置中有两个同心半球极板,垂直半球底面且过球心O的截面如图所示。极板间存在一径向电场,其等势线为一系列以O为圆心的半圆。电子a以初动能Ek从入口M点垂直半球底面入射,从N点射出;电子b也从M点垂直半球底面入射,经P点后从Q点射出。两电子的运动轨迹如图所示。已知电子a轨迹为一以O为圆心的半圆,与OP交于H点,H、P两点间的电势差为U,OM=r,NQ=2HP,电子电荷量大小为e,重力不计,则 (　　)
A.P点处的电场强度大小为
B.电子a在H点受到的电场力大小为
C.电子b在P点时的动能小于在Q点时的动能
D.电子b从M点运动到Q点的过程中,克服电场力所做的功小于2eU
4.★★★(多选)(2023全国乙,19,6分)在O点处固定一个正点电荷,P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球,小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动,其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点,OP>OM,OM=ON,则小球 (　　)
A.在运动过程中,电势能先增加后减少
B.在P点的电势能大于在N点的电势能
C.在M点的机械能等于在N点的机械能
D.从M点运动到N点的过程中,电场力始终不做功
题组2　静电场中的图像问题
1.★★★(2021山东,6,3分)如图甲所示,边长为a的正方形,四个顶点上分别固定一个电荷量为+q的点电荷;在0≤x≤a区间,x轴上电势φ的变化曲线如图乙所示。现将一电荷量为-Q的点电荷P置于正方形的中心O点,此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零。若将P沿x轴向右略微移动后,由静止释放,以下判断正确的是 (　　)
A.Q=q,释放后P将向右运动
B.Q=q,释放后P将向左运动
C.Q=q,释放后P将向右运动
D.Q=q,释放后P将向左运动
2.★★★(2024重庆,6,4分)沿空间某直线建立x轴,该直线上的静电场方向沿x轴,其电势φ随位置x变化的图像如图所示,一电荷量为e、带负电的试探电荷,经过x2点时动能为1.5 eV,速度沿x轴正方向,若该电荷仅受电场力。则其将 (　　)
A.不能通过x3点 B.在x3点两侧往复运动
C.能通过x0点 D.在x1点两侧往复运动
3.★★★(多选)(2025届湘豫名校三模)如图所示,水平固定的绝缘玻璃管轴线与x轴重合,在x轴上P点和坐标原点O分别固定两个不等量异种点电荷(图中未画出),这两个电荷在x轴正半轴形成电场的E-x图像如图所示,场强向右为正方向,无穷远处电势为零。管中N点右侧放有电偶极子,可看作两个等量异种电荷用一根绝缘刚性杆连接,正电荷在右侧,可在管中无摩擦地滑动。下列说法正确的是 (　　)
A.P处为正电荷,O处为负电荷,且正电荷电荷量较大
B.P、O两处的两个固定电荷在M处引起的电势为零
C.移动电偶极子,当两个电荷分别位于M两侧时,受到的合力大小可能为零
D.电偶极子从图示位置由静止释放,将做往复运动
4.★★★(2025届齐鲁教研体质检)如图1所示,真空中有两点电荷q1、q2分别固定在x轴上的x=-5 m和x=-1 m处,将一正试探电荷q置于x轴上,q的电势能随位置的变化关系部分图像如图2所示,规定无穷远处电势为零,点电荷周围某点电势公式φ=k,其中k为静电力常量,Q为点电荷的电荷量,r为该点到点电荷的距离。下列说法正确的是 (　　)
　
A.q1、q2为同种电荷
B.q1、q2的电荷量之比q1∶q2=4∶1
C.x=-3 m处的电势低于x=0处的电势
D.除无限远外,x轴上电场强度为零的点只有一个
5.★★★(2026届河北石家庄一中9月考)一质量为m,电荷量大小为q的带负电粒子,从O点以初速度v0沿x轴正方向进入电场,沿x轴运动的过程中,带电粒子的电势能Ep随位移x变化的关系图像如图所示。仅考虑电场力的作用,下列说法正确的是 (　　)
A.x1处的电势为
B.沿x轴从O点到x1处,电场强度逐渐减小
C.带电粒子从x1处运动到x3处的过程中,其速度先增大后减小
D.带电粒子从O点运动到x4处的过程中,其动能最大值是m+2Ep0
6.★★★★(多选)(2026届青岛二中开学考)如图甲,关于y轴对称的两点分别固定两个点电荷Q1和Q2,Q1=+2q,Q2=-q,且Q1和Q2之间的距离为2L。两电荷沿y轴上的电场强度E的分布如图乙所示,位于的a为最高点,b点的坐标是。下列说法正确的是 (　　)
　
A.φa>φb
B.O点的电场强度为零
C.电子从O到b点,电场力先做负功,再做正功
D.将带电荷量为+q的粒子从a移动到b,电场力所做的功小于
第3节　电容器　带电粒子在电场中的运动
·电容器　平行板电容器的动态分析T1~3、6、7　　·带电粒子在电场中的直线运动T8
　　·带电粒子在电场中的曲线运动T4、T5
五年高考
1.★★(2024浙江6月,6,3分)图示是“研究电容器两极板间距对电容大小的影响”实验,保持电荷量不变,当极板间距增大时,静电计指针张角增大,则 (　　)
A.极板间电势差减小
B.电容器的电容增大
C.极板间电场强度增大
D.电容器储存能量增大
2.★★(2025黑吉辽蒙,4,4分)如图,某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的,逐渐增大施加于两极板压力F的过程中,F较小时弹性结构易被压缩,极板间距d容易减小;F较大时弹性结构闭合,d难以减小。将该电容器充电后断开电源,极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是 (　　)
　　　　　　　　
　　　　　　　　
3.★★(2025江苏,9,4分)如图所示,平行金属板与电源连接。一点电荷由a点移动到b点的过程中,电场力做功为W。现将上、下两板分别向上、向下移动,使两板间距离增大为原来的2倍,再将该电荷由a移动到b的过程中,电场力做功为 (　　)
A. B.W C.2W D.4W
4.★★(2025重庆,5,4分)某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动,如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场,N点为QP的中点。模拟动画显示,带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场,沿图中所示轨迹同时到达M、N两点,K点为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用,则可推断a、b (　　)
A.具有不同比荷
B.电势能均随时间逐渐增大
C.到达M、N的速度大小相等
D.到达K点所用时间之比为1∶2
5.★★★(多选)(2023湖北,10,4分)一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后,射入水平放置的平行板电容器,极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘,速度方向与极板夹角为45°,微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L,到两极板距离均为d,如图所示。忽略边缘效应,不计重力。下列说法正确的是 (　　)
A.L∶d=2∶1
B.U1∶U2=1∶1
C.微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D.仅改变微粒的质量或者电荷数量,微粒在电容器中的运动轨迹不变
三年模拟
6.★★(多选)(2025届潍坊期末)如图所示,M、N是水平放置的平行板电容器的两极板,下极板N接地,两极板与电源相连,电源两端电压恒定。开关S闭合,一油滴静止于P点。下列说法正确的是 (　　)
A.油滴带正电
B.保持开关S闭合,仅将M板向上平移一小段距离,电容器所带电荷量减少
C.断开开关S,仅将N板向上平移一小段距离,则油滴电势能增加
D.断开开关S,仅将N板向上平移一小段距离,则油滴向上运动
7.★★★(2025届安徽皖豫名校联盟检测)图甲为上海市投入运营的超级电容公交车,可在乘客上下车时完成充电,实现24 h不间断营运;图乙为某次充电时电流随时间变化的I-t图像,其与t轴所围面积约为8个单元格。已知充电电压为U,充电一次超级电容储存的能量为W,电能转化为机械能的效率为η,假设公交车始终沿水平面匀速行驶,且受到的阻力恒为f,则 (　　)
　
A.为减少充电时间,应增大连接电容器的电路中的总电阻
B.充电一次超级电容存储的电荷量为
C.超级电容器的电容为
D.充电一次可行驶的路程为
8.★★★(多选)(2025届日照三模)如图所示,真空中两个电荷量均为q的正点电荷固定在相距为2l的a、b两点,O是a、b连线的中点,P、Q在a、b连线的中垂线上,到O点的距离均为l。现将质量为m、电荷量为-q的带电粒子从P点由静止释放,不计粒子的重力,静电力常量为k。下列说法正确的是 (　　)
A.粒子将在P、Q之间做简谐运动
B.粒子运动到O点时电势能最小
C.粒子从P点释放瞬间,加速度大小为
D.粒子加速度最大的点到O点的距离为
创新风向　挑战思维
利用椭圆知识+推理思维求解能量守恒问题
(2025广西,14,11分)在真空中,一个电荷量为-q、质量为m的试探电荷绕电荷量为+Q的点电荷做椭圆轨道运动,如图甲,O'为椭圆中心,O'A为半长轴,长度为a,O'B为半短轴,点电荷处于椭圆的焦点F处,焦距为2c,图乙是v2-的关系图,其中v为该试探电荷运动速率,r为该试探电荷到点电荷的距离。距离点电荷r处的电势φ=,其中k为静电力常量。重力和万有引力忽略不计。
(1)求B点的电势。
(2)求该试探电荷从A点运动到B点电场力所做的功。
(3)通过推理论证该试探电荷在运动过程中动能和电势能之和是否守恒。若不守恒,说明理由;若守恒,求出该试探电荷在运动过程中动能和电势能之和。
　　
微专题18　带电粒子在电场中的力电综合问题
题组1　带电粒子在重力场和电场中的圆周运动
1.★★★(多选)(2026届青岛开学考)如图所示,半径为R的圆轨道竖直固定,其内表面分布有压力传感器(图中未画出),PQ为轨道水平直径,直径MN与PQ间夹角θ=30°,空间存在与轨道平面平行的匀强电场。现让质量为m、带电荷量为+q的小球,从轨道最低点以水平向右的速度v0进入轨道,小球沿轨道做完整的圆周运动。发现小球经过N点时压力传感器示数最小,且压力传感器示数最大差值为6mg。重力加速度为g,所有摩擦阻力均不计。下列说法正确的是 (　　)
A.电场强度大小为
B.小球最大动能为m+mgR
C.小球初速度v0的最小值为2
D.小球进入轨道后,机械能增加量的最大值为mgR
2.★★★(多选)(2024届东营二模)如图所示,在地面上方的水平向右的匀强电场中,一个质量为m、电荷量为+q的小球,系在一根长为d的绝缘细线一端,可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径,CD为竖直直径。已知重力加速度为g,电场强度大小E=,下列说法正确的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.若小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动,则它运动的最小速度为
B.若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动,则小球运动到B点时的机械能最大
C.若将细线剪断,再将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出,小球将不能到达B点
D.若将小球在A点由静止开始释放,则小球沿AC圆弧到达C点的速度为
3.★★★★(多选)(2025届山东名校考试联盟检测)长为L的绝缘轻细线一端连接质量为m、电荷量为q的带正电小球,另一端固定在光滑绝缘水平桌面上的O点,整个空间内存在着平行于桌面的匀强电场,带电小球恰好能在桌面内沿顺时针做圆周运动,俯视图如图甲所示,PQ为轨迹圆的一条直径。以P点为起始点,小球运动过程中的电势能Ep与小球运动的路程s之间的关系如图乙所示,其中Ep0>0。下列说法正确的是 (　　)
A.电场强度的大小为
B.从P点到Q点电场力对小球做功为Ep0
C.小球运动过程中速度的最小值为
D.小球运动过程中所受细线拉力的最大值为
题组2　电场中的力电综合问题
1.★★★(2025黑吉辽蒙,7,4分)如图,光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切,轨道半径为r,圆心为O,O、A间距离为3r。原长为2r的轻质绝缘弹簧一端固定于O点,另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场,物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后,依次经过A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC,则 (　　)
A.EkAC.EkA2.★★★(2025河南,13,10分)流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集,其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出(另有一些液滴不含细胞),液滴质量均为m=2.0×10-10 kg。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电,使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷,电荷量均为q=1.0×10-13 C。随后,液滴以v=2.0 m/s的速度竖直进入长度为l=2.0×10-2 m的电极板间,板间电场均匀、方向水平向右,电场强度大小为E=2.0×105 N/C。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方h=0.1 m处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求
(1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离;
(2)A、B细胞收集管的间距。
3.★★★★(2025广东,15,16分)如图是研究颗粒碰撞荷电特性装置的简化图。两块水平绝缘平板与两块竖直的平行金属平板相接,金属平板之间接高压电源产生匀强电场。一带电颗粒从上方绝缘平板左端A点处,由静止开始向右下方运动,与下方绝缘平板在B点处碰撞,碰撞时电荷量改变。反弹后离开下方绝缘平板瞬间,颗粒的速度与所受合力垂直,且水平分速度与碰前瞬间相同,竖直分速度大小变为碰前瞬间的k倍(k<1)。已知颗粒质量为m,两绝缘平板间的距离为h,两金属平板间的距离为d,B点与左平板的距离为l,电源电压为U,重力加速度为g,忽略空气阻力和电场的边缘效应。
求:(1)颗粒碰撞前的电荷量q。
(2)颗粒在B点碰撞后的电荷量Q。
(3)颗粒从A点开始运动到第二次碰撞过程中,电场力对它做的功W。
微专题19　带电粒子在交变电场中的运动
1.★★★(2025甘肃,7,4分)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备,其工作原理如图1所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后,沿OO'方向射入电压为U2的电场(OO'为平行于两极板的中轴线),极板长度为l、间距为d,U2-t关系如图2所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处,样品中心位于O'点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内,电压U2可视为不变,当U2=±Um时,离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是 (　　)
A.U2的最大值Um=U1
B.当U2=±Um且L=时,离子恰好能打到样品边缘
C.若其他条件不变,要增大样品的辐照范围,需增大U1
D.在t1和t2时刻射入U2的离子,有可能分别打在A点和B点
2.★★★★(2025届德州九校联考)如图甲所示,α射线管由与x轴平行的平行金属板A、B和与金属板平行的细管C组成,细管C到两金属板距离相等,且其开口在y轴上。金属板长为L、两板间的距离为d,当A、B板间加上某一电压时,从A板最左端放射源P射出的α粒子刚好能以速度v0从细管C水平射出,进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中。静电分析器中存在着辐向电场,电场线方向沿半径指向圆心O。α粒子在该电场中恰好做匀速圆周运动,α粒子运动轨迹处的场强大小为E0。α粒子进入第Ⅳ象限的交变电场时开始计时,交变电场随时间的变化关系如图乙所示,规定沿x轴正方向为交变电场的正方向。已知α粒子的电荷量为q、质量为m,其重力不计,细管C的间距忽略不计。求:
　
(1)α粒子在静电分析器中运动的时间;
(2)A、B板间所加的电压大小;
(3)在第Ⅳ象限中α粒子沿x轴方向速度为0时的坐标。
实验10　观察电容器的充、放电现象
1.(2023山东,14,8分)电容储能已经在电动汽车,风、光发电,脉冲电源等方面得到广泛应用。某同学设计图甲所示电路,探究不同电压下电容器的充、放电过程,器材如下:
电容器C(额定电压10 V,电容标识不清);
电源E(电动势12 V,内阻不计);
电阻箱R1(阻值0~99 999.9 Ω);
滑动变阻器R2(最大阻值20 Ω,额定电流2 A);
电压表V(量程15 V,内阻很大);
发光二极管D1、D2,开关S1、S2,电流传感器,计算机,导线若干。
回答以下问题:
(1)按照图甲连接电路,闭合开关S1,若要升高电容器充电电压,滑动变阻器滑片应向　　　　端滑动(填“a”或“b”)。
(2)调节滑动变阻器滑片位置,电压表表盘如图乙所示,示数为　　　　　　V(保留1位小数)。
(3)继续调节滑动变阻器滑片位置,电压表示数为8.0 V时,开关S2掷向1,得到电容器充电过程的I-t图像,如图丙所示。借鉴“用油膜法估测油酸分子的大小”实验中估算油膜面积的方法,根据图像可估算出充电结束后,电容器存储的电荷量为　　　　C(结果保留2位有效数字)。
(4)本电路中所使用电容器的电容约为　　　　F(结果保留2位有效数字)。
(5)电容器充电后,将开关S2掷向2,发光二极管　　　　(填“D1”或“D2”)闪光。
2.(2023新课标,22,6分)在“观察电容器的充、放电现象”实验中,所用器材如下:电池、电容器、电阻箱、定值电阻、小灯泡、多用电表、电流表、秒表、单刀双掷开关以及导线若干。
(1)用多用电表的电压挡检测电池的电压。检测时,红表笔应该与电池的　　　　(填“正极”或“负极”)接触。
(2)某同学设计的实验电路如图(a)所示。先将电阻箱的阻值调为R1,将单刀双掷开关S与“1”端相接,记录电流随时间的变化。电容器充电完成后,开关S再与“2”端相接,相接后小灯泡亮度变化情况可能是　　　　。(填正确答案标号)
A.迅速变亮,然后亮度趋于稳定
B.亮度逐渐增大,然后趋于稳定
C.迅速变亮,然后亮度逐渐减小至熄灭
(3)将电阻箱的阻值调为R2(R2>R1),再次将开关S与“1”端相接,再次记录电流随时间的变化情况。两次得到的电流I随时间t变化如图(b)中曲线所示,其中实线是电阻箱阻值为　　　　(填“R1”或“R2”)时的结果,曲线与坐标轴所围面积等于该次充电完成后电容器上的　　　　(填“电压”或“电荷量”)。
　　
第九章　静电场
第1节　静电场中力的性质
·电荷守恒定律　库仑定律T3、4、6、9　　·电场　电场强度T2、5、8、10　　·电场线的理解及应用T1、7
五年高考
1.★(2025陕晋青宁,1,4分)某同学绘制了四幅静电场的电场线分布图,其中可能正确的是 (　　)
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
答案　B　
2.★★(2023重庆,3,4分)真空中固定有两个点电荷,负电荷Q1位于坐标原点处,正电荷Q2位于x轴上,Q2的电荷量大小为Q1的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x=x0处产生的合电场强度为0,则Q1、Q2相距 (　　)
A.x0 B.(2-1)x0
C.2x0 D.(2+1)x0
答案　B　
3.★★★(多选)(2025河北,8,6分)如图,真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B,带有等量同种电荷,电荷量为q,两者间距远大于小球直径,两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触,再跟B接触,移走C后,A和B之间的静电力大小仍为F,则Q∶q的绝对值可能是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.5
答案　AD　
4.★★★(2023海南,8,3分)如图所示,一光滑绝缘轨道水平放置,直径上有A、B两点,AO=2 cm,OB=4 cm,在A、B两点固定两个带电荷量分别为Q1、Q2的正电荷,现有一个带正电的小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷),已知AP∶BP=n∶1,则Q1∶Q2是 (　　)
A.2n2∶1 B.4n2∶1
C.2n3∶1 D.4n3∶1
答案　C　
5.★★★(多选)(2025安徽,10,5分)如图,两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内,空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球(均可视为质点)在轨道上同一高度保持静止,间距为L,甲、乙所带电荷量分别为q、2q,质量分别为m、2m,静电力常量为k,重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为F1、F2,匀强电场的电场强度大小为E,不计空气阻力,则 (　　)
A.F1=F2
B.E=
C.若将甲、乙互换位置,二者仍能保持静止
D.若撤去甲,乙下滑至底端时的速度大小v=
答案　ABD　
三年模拟
6.★★(2025届安徽五河一中质检)如图所示,在一个半球形的绝缘光滑球壳内,有M、N两个半径较小(均可视为质点)的均匀带电的绝缘小球。N球固定,M球静止时如图所示,球壳球心为O,OC为过圆心的竖直线,交M、N的连线于Q点。现将M球的电荷量缓慢减小(仍分布均匀),下列说法正确的是 (　　)
A.两小球间的库仑力将增大
B.M球受到的弹力减小
C.OC和MN的交点Q不会移动
D.OC和MN垂直时,库仑力大小等于M球的重力
答案　B　
7.★★(2026届济南开学考)某除尘器模型的集尘板是很长的条形金属板,如图所示,线段ab为该集尘板的截面图,带箭头的线条为电场线。工作时,带电粉尘在静电力作用下从P点由静止开始向带正电的集尘板运动,最后落在集尘板上。Q为轨迹上的另一点。忽略重力和空气阻力,下列说法正确的是 (　　)
A.粉尘带正电
B.P点电场强度大于Q点电场强度
C.P点的电势低于Q点的电势
D.带电粉尘在P点的电势能小于在Q点的电势能
答案　C　
8.★★★(2025届山东师大附中二模)直角三角形ABC中,∠C=30°,D为AC边的中点,在A、D两点分别放置电荷量为-q和+q的点电荷,下列说法正确的是　 (　　)
A.B点场强大于C点场强
B.B点场强等于C点场强
C.B点电势高于C点电势
D.B点电势等于C点电势
答案　A　
9.★★★(2025届菏泽鄄城县一中月考)如图所示,甲、乙、丙三个带电小球用轻质绝缘细线悬挂在水平横杆上,处于静止状态,细线均竖直,且三个小球等高,小球均可视为质点。已知甲、乙间距与乙、丙间距之比为3∶2,乙带电荷量的绝对值为q,下列说法正确的是 (　　)
A.乙受到细线的拉力最小
B.若乙带负电,则甲、丙可能均带负电
C.甲、丙带电荷量大小之比为3∶2
D.甲、丙带电荷量的乘积为q2
答案　D　
10.★★★(多选)(2025届山东师大附中5月考)如图所示,在竖直面内作一个虚线圆,圆心为O点,在圆的最高点A处固定一个带电小球,其所带电荷量为+Q(Q>0),在圆心O处有一个质量为m、带电荷量为-Q的带电小球恰好保持静止。已知重力加速度为g。带电小球均可视为点电荷,静电力常量为k,下列说法正确的是 (　　)
A.虚线圆的半径为k
B.B点和D点的电场强度相同
C.B点和D点的电势相同
D.C点的电场强度大小为
答案　CD　
创新风向　挑战思维
巧用正弦定理解决静电场中的力学问题
(多选)(2025山东,11,4分)球心为O、半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上,带电荷量分别为+2q和+q的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点,过O、A、B的截面如图所示,C、D均为圆弧上的点,OC沿竖直方向,∠AOC=45°,OD⊥AB,A、B两点间距离为R,E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是 (　　)
A.甲的质量小于乙的质量
B.C点电势高于D点电势
C.E、F两点电场强度大小相等,方向相同
D.沿直线从O点到D点,电势先升高后降低
答案　BD　
微专题16　求解电场强度的几种特殊方法
题组1　矢量叠加法
1.★★(2021湖南,4,4分)如图,在(a,0)位置放置电荷量为q的正点电荷,在(0,a)位置放置电荷量为q的负点电荷,在距P(a,a)为a的某点处放置正点电荷Q,使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为 (　　)
A.(0,2a),q B.(0,2a),2q
C.(2a,0),q D.(2a,0),2q
答案　B　
2.★★(2026届云南师大附中月考)如图所示,已知长为2l的均匀带正电的绝缘棒,在距其中心垂直距离为l处产生的电势为φ,场强大小为E,再取一相同带电绝缘棒,与其一端垂直拼接在一起,P为两棒中垂线的交点,则P点处的电势和场强大小计算正确的是 (　　)
A.φ B.2φ C.2E D.E
答案　B　
3.★★★(2026届安徽A10联盟开学考)如图,A、B、C、D是正方形的四个顶点,O是正方形的中心,在A、D两点固定电荷量都是q的正点电荷,O点的电场强度大小为E,O点的电势为φ。已知场源电荷Q激发的电场中,距离场源电荷r处的电势为φ=k,取无穷远处电势为零。若在C点再固定另一电荷量为-q的点电荷,则 (　　)
A.O点的电场强度大小为E,电势为
B.O点的电场强度大小为E,电势为φ
C.O点的电场强度大小为E,电势为
D.O点的电场强度大小为E,电势为φ
答案　A　
4.★★★(2024贵州,7,4分)如图,A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上,直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时,C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向,则等于 (　　)
A. B. C. D.2
答案　B　
5.★★★(多选)(2025届齐鲁名校联考五)如图所示,粗细均匀的绝缘圆环位于空间直角坐标系xOy平面内,其圆心与坐标原点O重合。圆环的半径为R,圆环上均匀分布着+Q的电荷量,在z轴上有A、B两点,已知A点到O点的距离为B点到O点距离的2倍,且A、O之间的距离远小于R,z轴上A、O之间电场强度的大小满足E=kx,其中k为静电力常量,x为该点到O点的距离,规定圆心O处电势为零。下列判断正确的是 (　　)
A.A、B两点的电势之比为4∶1
B.z轴上关于xOy平面对称的两点电场强度相同
C.从A点静止释放一电子,到达O点时速率为v,仅将圆环上的电荷量增大为原来的2倍,再从A点静止释放一电子,到达O点时速率为2v
D.从圆环最右端处取足够小、带电荷量为q的小段(其他位置处电荷分布不变),将其置于z轴正半轴距O点距离为R处,则O点电场强度大小为k
答案　AD　
题组2　对称法、割补法和等效法
1.★★(2025届安徽师大附中质检)如图所示,A、B、C、D为一绝缘圆环上的4等分点,圆弧DABC均匀带正电,圆弧CD不带电,圆心为O。M、N是OA和OC的中点,已知M、N电势分别为φM和φN,O点电场强度大小为E。现撤去圆弧AD段的电荷,则 (　　)
A.O点电场强度方向水平向右
B.O点电场强度大小为2E
C.M点电势变为
D.N点电势变为
答案　C　
2.★★(2022山东,3,3分)半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置,圆心位于O点,环上均匀分布着电荷量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分,取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点,O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变,q为 (　　)
A.正电荷,q=
B.正电荷,q=
C.负电荷,q=
D.负电荷,q=
答案　C　
3.★★★(2025届广东茂名五校联考)已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示,一半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷,在过OO'(OO'=2R)的直线上以R为直径在球内挖一球形空腔。已知静电力常量为k,若在O'处放置一电荷量为Q的点电荷,则该点电荷所受电场力的大小为 (　　)
A.　　B.　　C.　　D.
答案　C　
题组3　微元法和极限法
1.★★★(2025届山东十三校4月联考)如图所示,半径为R的水平固定绝缘圆环上均匀分布着正电荷,O点为圆环的圆心,M点位于O点正上方R处。若从圆环上的A点处取走长为ΔL的小圆弧,剩余电荷分布不变,则剩余电荷在M点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为 (　　)
A. B.
C. D.
答案　C　
2.★★★★(2025届天津南开中学开学考)电场强度是描述电场强弱的物理量,它的定义式为E=,其中E为电场强度,q为试探电荷的带电荷量,单位为C(库仑),F为该电荷在电场中所受的静电力。图示为一个内、外半径分别为R1和R2的圆环状均匀带电平面,其单位面积带电荷量为σ,单位为C/m2。取环面中心O为原点,以垂直于环面的轴线为x轴。设轴上任意点P到O点的距离为x,P点电场强度的大小为E。下面给出E的四个表达式(式中k为静电力常量,单位为N·m2/C2),其中只有一个是合理的。你可能不会求解此处的场强E,但是你可以通过一定的物理分析,对下列表达式的合理性进行判断。根据你的判断,E的合理表达式应为 (　　)
A.E=2πkσx
B.E=2πkσx
C.E=2πkσx
D.E=2πkσx
答案　B　
第2节　静电场中能的性质
第1课时　静电场中能的性质的描述与判断
·描述静电场中能的性质的物理量T2、3、5、6、8、10　　·电势差与电场强度的关系T1、4、7、9
五年高考
1.★★(2025河南,4,4分)如图,在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点,其电势分别为6 V、4 V、2 V;a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向,则正确的是 (　　)
答案　C　
2.★★(多选)(2024广东,8,6分)污水中的污泥絮体经处理后带负电,可利用电泳技术对其进行沉淀去污,基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极,金属圆盘置于容器底部,金属棒插入污水中,形成如图所示的电场分布,其中实线为电场线,虚线为等势面,M点和N点在同一电场线上,M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有 (　　)
A.M点的电势比N点的低
B.N点的电场强度比P点的大
C.污泥絮体从M点移到N点,电场力对其做正功
D.污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
答案　AC　
3.★★★(2023河北,7,4分)由点电荷组成的系统的电势能与它们的电荷量、相对位置有关。如图1,a、b、c、d四个质量均为m、带等量正电荷的小球,用长度相等、不可伸长的绝缘轻绳连接,静置在光滑绝缘水平面上,O点为正方形中心,设此时系统的电势能为E0。剪断a、d两小球间的轻绳后,某时刻d小球的速度大小为v,方向如图2,此时系统的电势能为 (　　)
　
A.E0-mv2 B.E0-mv2
C.E0-mv2 D.E0-mv2
答案　B　
4.★★★(多选)(2025湖南,8,5分)一匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为+q、-q和+2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时,电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是 (　　)
A.OA中点的电势为零
B.电场的方向与x轴正方向成60°角
C.电场强度的大小为
D.电场强度的大小为
答案　AD　
5.★★★(多选)(2024山东,10,4分)如图所示,带电荷量为+q的小球被绝缘棒固定在O点,右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电荷量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放,滑到与小球等高的B点时加速度为零,滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s,重力加速度大小为g,静电力常量为k,下列说法正确的是 (　　)
A.OB的距离l=
B.OB的距离l=
C.从A到C,静电力对小滑块做功W=-mgs
D.AC之间的电势差UAC=-
答案　AD　
6.★★★★(多选)(2023山东,11,4分)如图所示,正六棱柱上下底面的中心为O和O',A、D两点分别固定等量异号的点电荷,下列说法正确的是 (　　)
A.F'点与C'点的电场强度大小相等
B.B'点与E'点的电场强度方向相同
C.A'点与F'点的电势差小于O'点与D'点的电势差
D.将试探电荷+q由F点沿直线移动到O点,其电势能先增大后减小
答案　ACD　
三年模拟
7.★★(2026届江苏南京第二十九中模拟)高铁站内两段水平钢轨连接处设置有8 mm厚的机械绝缘节,起着电气绝缘和机械连接的作用,拉开后各部分如图甲所示。某次列车经过绝缘节时,钢轨A、B之间产生了约为60 V的电势差,此时绝缘节顶部空间的等势面分布如图乙所示,其中c点位于绝缘节正上方,下列说法正确的是 (　　)
A.a点的电势低于b点电势
B.负电荷在a点的电势能比在c点的电势能大
C.c点场强方向沿着x轴正方向
D.绝缘节顶部的场强约为7.5×103 V/m
答案　D　
8.★★★(多选)(2025届名校联合检测)为除去陶瓷工业所用粘土中的氧化铁,把粘土和水一起搅拌成悬浮液,将涂有绝缘层的金属圆盘吸附在盆底,金属棒插入悬浮液中,接入电源,形成如图所示电场,其中虚线为等势面。某粒子仅在电场力的作用下从P点到Q点的轨迹如图所示,已知粘土粒子带负电荷,氧化铁粒子带正电荷,下列说法正确的是 (　　)
A.a端为电源正极
B.该粒子可能为粘土粒子
C.该粒子在P点受到的电场力大于在Q点受到的电场力
D.该粒子在P点的动能小于在Q点的动能
答案　BD　
9.★★★(多选)(2025届烟台三模)如图所示,空间中存在一匀强电场,电场强度的大小和方向均未知,ABCD-A'B'C'D'为处于电场空间内的一个边长为10 cm的正立方体,已知φA=6 V、φD=0、φC'=18 V、φD'=12 V,则下列说法正确的是 (　　)
A.正立方体中心O点(图中未画出)的电势为φO=12 V
B.面AA'D'D中心O'点(图中未画出)的电势为φO'=6 V
C.该匀强电场电场强度的大小为60 V/m
D.将一个电荷量大小为e的电子从C'点沿棱移动到C点,电场力做功为12 eV
答案　AC　
10.★★★★(2025届山东名校4月联合检测)如图所示,在O-xyz坐标系中Oa=Oa'=Ob=Ob'=Oc=l,在a、a'两点分别放置两个点电荷q1、q2,且q1=q2=q>0。已知无穷远处电势为0,点电荷产生电场中的电势满足φ=k,其中Q是场源点电荷的电荷量,r是场源点电荷到其产生电场中某点的距离,k是静电力常量。则 (　　)
A.b点与b'点电场强度相同
B.y轴上最大电场强度为
C.沿如图所示虚线,由b到c再到b'过程,电势先增大后减小
D.在xOy平面内只有b点与b'点电势相同
答案　B　
第2课时　电场线、等势面与运动轨迹问题
·等势面　带电粒子在电场中的运动轨迹问题T1~6、9、10　　·静电的防止与利用T7、8
五年高考
1.★★(2025云南,4,4分)某介电电泳实验使用非匀强电场,该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为-2 V、-1 V、1 V、2 V的等势线上,则 (　　)
A.a、b、c、d中a点电场强度最小
B.a、b、c、d中d点电场强度最大
C.一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D.一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
答案　C　
2.★★(2025浙江1月,4,3分)三个点电荷的电场线和等势线如图所示,其中的d、e与e、f两点间的距离相等,则 (　　)
A.a点电势高于b点电势
B.a、c两点的电场强度相同
C.d、 f间电势差为d、e间电势差的两倍
D.从a到b与从f到b,电场力对电子做功相等
答案　D　
3.★★★(2025北京,8,3分)某小山坡的等高线如图,M表示山顶,A、B是同一等高线上两点,MA、MB分别是沿左、右坡面的直滑道。山顶的小球沿滑道从静止滑下,不考虑阻力,则 (　　)
A.小球沿MA运动的加速度比沿MB的大
B.小球分别运动到A、B点时速度大小不同
C.若把等高线看成某静电场的等势线,则A点电场强度比B点的大
D.若把等高线看成某静电场的等势线,则右侧电势比左侧降落得快
答案　D　
4.★★★(多选)(2024甘肃,9,5分)某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示,虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹,M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点。下列说法正确的是 (　　)
A.粒子带负电荷
B.M点的电场强度比N点的小
C.粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D.粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
答案　BCD　
5.★★★(2024全国甲,18,6分)在电荷量为Q的点电荷产生的电场中,将无限远处的电势规定为零时,距离该点电荷r处的电势为k,其中k为静电力常量;多个点电荷产生的电场中某点的电势,等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和。电荷量分别为Q1和Q2的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示(图中数字的单位是伏特),则 (　　)
A.Q1<0,=-2 B.Q1>0,=-2
C.Q1<0,=-3 D.Q1>0,=-3
答案　B　
三年模拟
6.★★(多选)(2024届济宁三模)如图所示为一电子透镜内电场线的分布情况,正中间的一条电场线为直线,其他电场线关于其对称分布,a、b、c、d为电场中的四个点,其中b、d两点关于中间电场线对称,虚线为一电子仅在电场力作用下从a运动到b的轨迹。下列说法正确的是 (　　)
A.四点电势大小关系为φa>φb=φd>φc
B.b、d两点间连线为等势线,且两点电场强度大小相等
C.电子从a到b电场力做负功,电势能增大
D.若从c点由静止释放一电子,其运动轨迹将与图中c、b两点间的电场线重合
答案　AC　
7.★★(2025届湖北武汉华中师范大学第一附属中学月考)如图所示,足够大的金属板A、B平行放置,在两板间放置一不带电的金属球壳,O为球心,a、b为球壳外表面上的两点。闭合开关S,稳定后 (　　)
A.a点的电势比b点的高
B.a点的电场强度和O点的相等
C.向右移动滑片P,a点的电势不变
D.断开开关S,a点的电场强度减小
答案　C　
8.★★★(多选)(2025届菏泽二模)在金属球壳的球心有一个负点电荷,球壳内、外的电场线分布如图所示,下列说法正确的是 (　　)
A.K点的电场强度比L点的大
B.球壳内表面带负电,外表面带正电
C.试探电荷+q在M点的电势能比在N点的小
D.试探电荷+q沿电场线从M点运动到N点,电场力做负功
答案　CD　
9.★★★(多选)(2025届潍坊三模)如图所示,无限大接地金属板MN的垂线Od上a、b、c三点恰将Od均分为四段,每段长度均为L。在O点固定一电荷量为Q的正点电荷,虚线分别为过a、b、c三点的等势线,实线为某试探电荷仅在电场力作用下运动的轨迹,轨迹与等势线分别交于e、f、c、g、h点。当该试探电荷运动到c点时,其电势能Epc=-2 eV、动能Ekc=4 eV。已知一个点电荷与无限大金属板间的电场与等量异种点电荷连线中垂面一侧的电场分布相同。单个点电荷Q周围某点的电势φ=,r为该点到点电荷Q的距离,下列说法正确的是 (　　)
A.该试探电荷带负电
B.b点的场强大小为
C.该试探电荷运动到f点时的动能为7 eV
D.该试探电荷分别从e到f和从f到c的运动过程中,电场力做的功相等
答案　AC　
10.★★★(多选)(2025届聊城期末)在匀强电场中有一个正六边形区域abcdhf,电场线与六边形所在平面平行,如图所示。已知a、b、h三点的电势分别为9 V、13 V、-3 V,带电荷量为e的粒子(重力不计)以16 eV的初动能从b点沿不同方向射入abcdhf区域,当粒子沿bd方向射入时恰能经过c点,下列判断正确的是 (　　)
A.粒子带正电
B.粒子可以经过正六边形各顶点射出该区域
C.粒子经过f点时动能为4 eV
D.粒子沿bd方向发射后的最小动能为4 eV
答案　CD　
创新风向　挑战思维
巧用相对运动+分解思维求解电场中的斜抛问题
(2025江苏,13,8分)如图所示,在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场中,两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出,速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m,电荷量为q,不计重力及粒子间相互作用。求:
(1)a运动到最高点的时间t;
(2)a到达最高点时,a、b间的距离H。
答案　(1)　(2)
解析　(1)a、b做类抛体运动,根据运动的分解可得a、b在水平方向做匀速直线运动,在竖直方向做匀变速直线运动
对a,根据牛顿第二定律可得其加速度大小a=
水平方向上的初速度大小vx=v0 cos θ
竖直方向上的初速度大小vy=v0 sin θ
a运动到最高点时,竖直方向速度变为0
可得vy=at
解得t==
(2)常规解法
经过时间t,a到达最高点,由题意知a、b在水平方向均做速度大小为v0 cos θ的匀速直线运动,则a、b水平方向的位移一直相同。在a到达最高点之前,a在竖直方向做匀减速直线运动,b在竖直方向做匀加速直线运动
则在0~t时间内,a上升的高度ha=vyt-at2
b下降的高度hb=vyt+at2
则H=ha+hb=2v0t sin θ=
相对运动法
两个小球均受到相同电场力以a为参考系,b竖直向下做匀速直线运动,相对速度为vba=2v0 sin θ,利用第(1)问中的时间t可求得H=vbat,得H=2v0 sin θt=。
微专题17　静电场中的功能关系及图像问题
题组1　静电场中的功能关系
1.★★(2025甘肃,5,4分)如图,两极板不平行的电容器与直流电源相连,极板间形成非匀强电场,实线为电场线,虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上,N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是 (　　)
A.M点的电势比P点的低
B.M点的电场强度比N点的小
C.负电荷从M点运动到P点,速度增大
D.负电荷从M点运动到P点,电场力做负功
答案　D　
2.★★(2025四川,3,4分)如图所示,由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内,管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q(Q>0)的带电小球。另一个电荷量为q(q>0且q Q)的带电小球以一定初速度从a点进入管道,沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力。则 (　　)
A.小球在e 点所受库仑力大于在b点所受库仑力
B.小球从c点到e 点电势能先不变后减小
C.小球过f 点的动能等于过d 点的动能
D.小球过b点的速度大于过a 点的速度
答案　B　
3.★★★(2025福建,4,4分)角分辨光电子能谱仪是现代科学研究的先进仪器,其核心装置中有两个同心半球极板,垂直半球底面且过球心O的截面如图所示。极板间存在一径向电场,其等势线为一系列以O为圆心的半圆。电子a以初动能Ek从入口M点垂直半球底面入射,从N点射出;电子b也从M点垂直半球底面入射,经P点后从Q点射出。两电子的运动轨迹如图所示。已知电子a轨迹为一以O为圆心的半圆,与OP交于H点,H、P两点间的电势差为U,OM=r,NQ=2HP,电子电荷量大小为e,重力不计,则 (　　)
A.P点处的电场强度大小为
B.电子a在H点受到的电场力大小为
C.电子b在P点时的动能小于在Q点时的动能
D.电子b从M点运动到Q点的过程中,克服电场力所做的功小于2eU
答案　D　
4.★★★(多选)(2023全国乙,19,6分)在O点处固定一个正点电荷,P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球,小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动,其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点,OP>OM,OM=ON,则小球 (　　)
A.在运动过程中,电势能先增加后减少
B.在P点的电势能大于在N点的电势能
C.在M点的机械能等于在N点的机械能
D.从M点运动到N点的过程中,电场力始终不做功
答案　BC　
题组2　静电场中的图像问题
1.★★★(2021山东,6,3分)如图甲所示,边长为a的正方形,四个顶点上分别固定一个电荷量为+q的点电荷;在0≤x≤a区间,x轴上电势φ的变化曲线如图乙所示。现将一电荷量为-Q的点电荷P置于正方形的中心O点,此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零。若将P沿x轴向右略微移动后,由静止释放,以下判断正确的是 (　　)
A.Q=q,释放后P将向右运动
B.Q=q,释放后P将向左运动
C.Q=q,释放后P将向右运动
D.Q=q,释放后P将向左运动
答案　C　
2.★★★(2024重庆,6,4分)沿空间某直线建立x轴,该直线上的静电场方向沿x轴,其电势φ随位置x变化的图像如图所示,一电荷量为e、带负电的试探电荷,经过x2点时动能为1.5 eV,速度沿x轴正方向,若该电荷仅受电场力。则其将 (　　)
A.不能通过x3点 B.在x3点两侧往复运动
C.能通过x0点 D.在x1点两侧往复运动
答案　B　
3.★★★(多选)(2025届湘豫名校三模)如图所示,水平固定的绝缘玻璃管轴线与x轴重合,在x轴上P点和坐标原点O分别固定两个不等量异种点电荷(图中未画出),这两个电荷在x轴正半轴形成电场的E-x图像如图所示,场强向右为正方向,无穷远处电势为零。管中N点右侧放有电偶极子,可看作两个等量异种电荷用一根绝缘刚性杆连接,正电荷在右侧,可在管中无摩擦地滑动。下列说法正确的是 (　　)
A.P处为正电荷,O处为负电荷,且正电荷电荷量较大
B.P、O两处的两个固定电荷在M处引起的电势为零
C.移动电偶极子,当两个电荷分别位于M两侧时,受到的合力大小可能为零
D.电偶极子从图示位置由静止释放,将做往复运动
答案　AD　
4.★★★(2025届齐鲁教研体质检)如图1所示,真空中有两点电荷q1、q2分别固定在x轴上的x=-5 m和x=-1 m处,将一正试探电荷q置于x轴上,q的电势能随位置的变化关系部分图像如图2所示,规定无穷远处电势为零,点电荷周围某点电势公式φ=k,其中k为静电力常量,Q为点电荷的电荷量,r为该点到点电荷的距离。下列说法正确的是 (　　)
　
A.q1、q2为同种电荷
B.q1、q2的电荷量之比q1∶q2=4∶1
C.x=-3 m处的电势低于x=0处的电势
D.除无限远外,x轴上电场强度为零的点只有一个
答案　D　
5.★★★(2026届河北石家庄一中9月考)一质量为m,电荷量大小为q的带负电粒子,从O点以初速度v0沿x轴正方向进入电场,沿x轴运动的过程中,带电粒子的电势能Ep随位移x变化的关系图像如图所示。仅考虑电场力的作用,下列说法正确的是 (　　)
A.x1处的电势为
B.沿x轴从O点到x1处,电场强度逐渐减小
C.带电粒子从x1处运动到x3处的过程中,其速度先增大后减小
D.带电粒子从O点运动到x4处的过程中,其动能最大值是m+2Ep0
答案　B　
6.★★★★(多选)(2026届青岛二中开学考)如图甲,关于y轴对称的两点分别固定两个点电荷Q1和Q2,Q1=+2q,Q2=-q,且Q1和Q2之间的距离为2L。两电荷沿y轴上的电场强度E的分布如图乙所示,位于的a为最高点,b点的坐标是。下列说法正确的是 (　　)
　
A.φa>φb
B.O点的电场强度为零
C.电子从O到b点,电场力先做负功,再做正功
D.将带电荷量为+q的粒子从a移动到b,电场力所做的功小于
答案　AD　
第3节　电容器　带电粒子在电场中的运动
·电容器　平行板电容器的动态分析T1~3、6、7　　·带电粒子在电场中的直线运动T8
　　·带电粒子在电场中的曲线运动T4、T5
五年高考
1.★★(2024浙江6月,6,3分)图示是“研究电容器两极板间距对电容大小的影响”实验,保持电荷量不变,当极板间距增大时,静电计指针张角增大,则 (　　)
A.极板间电势差减小
B.电容器的电容增大
C.极板间电场强度增大
D.电容器储存能量增大
答案　D　
2.★★(2025黑吉辽蒙,4,4分)如图,某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的,逐渐增大施加于两极板压力F的过程中,F较小时弹性结构易被压缩,极板间距d容易减小;F较大时弹性结构闭合,d难以减小。将该电容器充电后断开电源,极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是 (　　)
　　　　　　　　
　　　　　　　　
答案　D　
3.★★(2025江苏,9,4分)如图所示,平行金属板与电源连接。一点电荷由a点移动到b点的过程中,电场力做功为W。现将上、下两板分别向上、向下移动,使两板间距离增大为原来的2倍,再将该电荷由a移动到b的过程中,电场力做功为 (　　)
A. B.W C.2W D.4W
答案　A　
4.★★(2025重庆,5,4分)某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动,如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场,N点为QP的中点。模拟动画显示,带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场,沿图中所示轨迹同时到达M、N两点,K点为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用,则可推断a、b (　　)
A.具有不同比荷
B.电势能均随时间逐渐增大
C.到达M、N的速度大小相等
D.到达K点所用时间之比为1∶2
答案　D　
5.★★★(多选)(2023湖北,10,4分)一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后,射入水平放置的平行板电容器,极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘,速度方向与极板夹角为45°,微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L,到两极板距离均为d,如图所示。忽略边缘效应,不计重力。下列说法正确的是 (　　)
A.L∶d=2∶1
B.U1∶U2=1∶1
C.微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D.仅改变微粒的质量或者电荷数量,微粒在电容器中的运动轨迹不变
答案　BD　
三年模拟
6.★★(多选)(2025届潍坊期末)如图所示,M、N是水平放置的平行板电容器的两极板,下极板N接地,两极板与电源相连,电源两端电压恒定。开关S闭合,一油滴静止于P点。下列说法正确的是 (　　)
A.油滴带正电
B.保持开关S闭合,仅将M板向上平移一小段距离,电容器所带电荷量减少
C.断开开关S,仅将N板向上平移一小段距离,则油滴电势能增加
D.断开开关S,仅将N板向上平移一小段距离,则油滴向上运动
答案　BC　
7.★★★(2025届安徽皖豫名校联盟检测)图甲为上海市投入运营的超级电容公交车,可在乘客上下车时完成充电,实现24 h不间断营运;图乙为某次充电时电流随时间变化的I-t图像,其与t轴所围面积约为8个单元格。已知充电电压为U,充电一次超级电容储存的能量为W,电能转化为机械能的效率为η,假设公交车始终沿水平面匀速行驶,且受到的阻力恒为f,则 (　　)
　
A.为减少充电时间,应增大连接电容器的电路中的总电阻
B.充电一次超级电容存储的电荷量为
C.超级电容器的电容为
D.充电一次可行驶的路程为
答案　B　
8.★★★(多选)(2025届日照三模)如图所示,真空中两个电荷量均为q的正点电荷固定在相距为2l的a、b两点,O是a、b连线的中点,P、Q在a、b连线的中垂线上,到O点的距离均为l。现将质量为m、电荷量为-q的带电粒子从P点由静止释放,不计粒子的重力,静电力常量为k。下列说法正确的是 (　　)
A.粒子将在P、Q之间做简谐运动
B.粒子运动到O点时电势能最小
C.粒子从P点释放瞬间,加速度大小为
D.粒子加速度最大的点到O点的距离为
答案　BD　
创新风向　挑战思维
利用椭圆知识+推理思维求解能量守恒问题
(2025广西,14,11分)在真空中,一个电荷量为-q、质量为m的试探电荷绕电荷量为+Q的点电荷做椭圆轨道运动,如图甲,O'为椭圆中心,O'A为半长轴,长度为a,O'B为半短轴,点电荷处于椭圆的焦点F处,焦距为2c,图乙是v2-的关系图,其中v为该试探电荷运动速率,r为该试探电荷到点电荷的距离。距离点电荷r处的电势φ=,其中k为静电力常量。重力和万有引力忽略不计。
(1)求B点的电势。
(2)求该试探电荷从A点运动到B点电场力所做的功。
(3)通过推理论证该试探电荷在运动过程中动能和电势能之和是否守恒。若不守恒,说明理由;若守恒,求出该试探电荷在运动过程中动能和电势能之和。
　　
答案　(1)　(2)-　(3)见解析
解题导引　利用题目中提供的信息“电势计算公式为φ=”,结合椭圆的性质得出B点的电势;利用电场力做功与电势能变化之间的关系得出从A到B电场力做的功;利用v2-的图像性质证明粒子运动过程中动能与电势能之和守恒。
解析　(1)根据椭圆的性质可知,B、F两点间的距离rBF=a
则B点的电势φB==
(2)根据椭圆的性质可知,A、F两点间的距离rAF=a-c
则A点的电势φA==
根据电场力做功与电势能变化的关系可知
WAB=-ΔEpAB=EpA-EpB
又EpA=-qφA,EpB=-qφB
联立解得WAB=-
(3)设题图乙中图线斜率为k0,由题图乙有v2=k0
试探电荷运动过程中动能与电势能之和
E总=-+mv2
得v2=+
对比分析可知k0=,=-
解得E总=-
由于E总为定值,则试探电荷运动过程中动能与电势能之和守恒。
微专题18　带电粒子在电场中的力电综合问题
题组1　带电粒子在重力场和电场中的圆周运动
1.★★★(多选)(2026届青岛开学考)如图所示,半径为R的圆轨道竖直固定,其内表面分布有压力传感器(图中未画出),PQ为轨道水平直径,直径MN与PQ间夹角θ=30°,空间存在与轨道平面平行的匀强电场。现让质量为m、带电荷量为+q的小球,从轨道最低点以水平向右的速度v0进入轨道,小球沿轨道做完整的圆周运动。发现小球经过N点时压力传感器示数最小,且压力传感器示数最大差值为6mg。重力加速度为g,所有摩擦阻力均不计。下列说法正确的是 (　　)
A.电场强度大小为
B.小球最大动能为m+mgR
C.小球初速度v0的最小值为2
D.小球进入轨道后,机械能增加量的最大值为mgR
答案　CD　
2.★★★(多选)(2024届东营二模)如图所示,在地面上方的水平向右的匀强电场中,一个质量为m、电荷量为+q的小球,系在一根长为d的绝缘细线一端,可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径,CD为竖直直径。已知重力加速度为g,电场强度大小E=,下列说法正确的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.若小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动,则它运动的最小速度为
B.若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动,则小球运动到B点时的机械能最大
C.若将细线剪断,再将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出,小球将不能到达B点
D.若将小球在A点由静止开始释放,则小球沿AC圆弧到达C点的速度为
答案　BC　
3.★★★★(多选)(2025届山东名校考试联盟检测)长为L的绝缘轻细线一端连接质量为m、电荷量为q的带正电小球,另一端固定在光滑绝缘水平桌面上的O点,整个空间内存在着平行于桌面的匀强电场,带电小球恰好能在桌面内沿顺时针做圆周运动,俯视图如图甲所示,PQ为轨迹圆的一条直径。以P点为起始点,小球运动过程中的电势能Ep与小球运动的路程s之间的关系如图乙所示,其中Ep0>0。下列说法正确的是 (　　)
A.电场强度的大小为
B.从P点到Q点电场力对小球做功为Ep0
C.小球运动过程中速度的最小值为
D.小球运动过程中所受细线拉力的最大值为
答案　AC　
题组2　电场中的力电综合问题
1.★★★(2025黑吉辽蒙,7,4分)如图,光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切,轨道半径为r,圆心为O,O、A间距离为3r。原长为2r的轻质绝缘弹簧一端固定于O点,另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场,物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后,依次经过A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC,则 (　　)
A.EkAC.EkA答案　C　
2.★★★(2025河南,13,10分)流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集,其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出(另有一些液滴不含细胞),液滴质量均为m=2.0×10-10 kg。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电,使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷,电荷量均为q=1.0×10-13 C。随后,液滴以v=2.0 m/s的速度竖直进入长度为l=2.0×10-2 m的电极板间,板间电场均匀、方向水平向右,电场强度大小为E=2.0×105 N/C。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方h=0.1 m处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求
(1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离;
(2)A、B细胞收集管的间距。
答案　(1)5.0×10-3 m　(2)0.11 m
解析　(1)含A细胞的液滴在竖直方向上做匀速直线运动,根据运动学公式l=vt,解得t=1.0×10-2 s,在水平方向做匀加速直线运动,根据牛顿第二定律有qE=ma,解得加速度a=1.0×102 m/s2,离开电场时偏转的距离x=at2=5.0×10-3 m;
(2)含A细胞的液滴离开电场时的速度偏转角的正切值tan θ===,根据几何关系,A、B细胞收集管的间距L=2(x+h tan θ)=0.11 m。
一题多解
设带电液滴到达收集管时水平方向偏转的距离为x',由几何关系得=
解得x'=0.055 m,则A、B细胞收集管之间的距离为d=2x'=0.11 m
3.★★★★(2025广东,15,16分)如图是研究颗粒碰撞荷电特性装置的简化图。两块水平绝缘平板与两块竖直的平行金属平板相接,金属平板之间接高压电源产生匀强电场。一带电颗粒从上方绝缘平板左端A点处,由静止开始向右下方运动,与下方绝缘平板在B点处碰撞,碰撞时电荷量改变。反弹后离开下方绝缘平板瞬间,颗粒的速度与所受合力垂直,且水平分速度与碰前瞬间相同,竖直分速度大小变为碰前瞬间的k倍(k<1)。已知颗粒质量为m,两绝缘平板间的距离为h,两金属平板间的距离为d,B点与左平板的距离为l,电源电压为U,重力加速度为g,忽略空气阻力和电场的边缘效应。
求:(1)颗粒碰撞前的电荷量q。
(2)颗粒在B点碰撞后的电荷量Q。
(3)颗粒从A点开始运动到第二次碰撞过程中,电场力对它做的功W。
答案　(1)　(2)　(3)见解析
解题导引　
初始状态 在A点从静止开始运动,仅受重力与电场力,做匀加速直线运动至B点发生碰撞
碰撞特征 ①电荷量改变;②水平分速度不变;③竖直分速度大小变为碰前的k倍(方向反向);④碰后速度方向垂直于合力方向
已知量 m,h,d,l,U,g,k(k<1),忽略空气阻力与电场边缘效应
解析　(1)颗粒受到重力和电场力作用做匀加速直线运动,合力沿着AB方向。设AB与竖直方向夹角为θ,则有tan θ=
对颗粒受力分析可知tan θ=
且U=Ed
解得q=
(2)碰撞前,设颗粒的水平分速度为vx,竖直分速度为vy,则=2axl,=2gh
根据牛顿第二定律可知ax=
颗粒与下方绝缘平板相碰后,设碰后速度与水平方向夹角为α,由题意可知,此时重力和电场力的合力与竖直方向的夹角也为α,如图所示
则有=
解得Q=
(3)第一阶段由A到B,电场力做的功
W1=qEl=
第二阶段,从第一次碰撞后到第二次碰撞前,分两种情况讨论:
①颗粒与下方绝缘平板发生第二次碰撞。
设两次碰撞的时间间隔为t,分析竖直方向上的竖直上抛运动(分运动)可知kvy=t
解得t=2k
分析水平方向上的匀加速直线运动(分运动)可知
x=vxt+·t2
解得x=4kl+
此种情况下需满足x≤d-l,即d≥(4k+1)l+
则此过程中电场力做的功
W2=QEx=4k2mgh+
则电场力做的总功为
W=W1+W2=+4k2mgh+
②若d<(4k+1)l+,则颗粒与右侧金属平板发生第二次碰撞。
全过程电场力做功只与颗粒的水平位移有关
则W=qEl+QE(d-l)=+
关键点拨
(1)电场力做功仅与水平位移相关,需分别计算两段运动过程的水平位移。
(2)第二阶段竖直方向为竖直上抛运动,需注意位移方向与加速度方向的符号设定。
微专题19　带电粒子在交变电场中的运动
1.★★★(2025甘肃,7,4分)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备,其工作原理如图1所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后,沿OO'方向射入电压为U2的电场(OO'为平行于两极板的中轴线),极板长度为l、间距为d,U2-t关系如图2所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处,样品中心位于O'点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内,电压U2可视为不变,当U2=±Um时,离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是 (　　)
A.U2的最大值Um=U1
B.当U2=±Um且L=时,离子恰好能打到样品边缘
C.若其他条件不变,要增大样品的辐照范围,需增大U1
D.在t1和t2时刻射入U2的离子,有可能分别打在A点和B点
答案　B　
2.★★★★(2025届德州九校联考)如图甲所示,α射线管由与x轴平行的平行金属板A、B和与金属板平行的细管C组成,细管C到两金属板距离相等,且其开口在y轴上。金属板长为L、两板间的距离为d,当A、B板间加上某一电压时,从A板最左端放射源P射出的α粒子刚好能以速度v0从细管C水平射出,进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中。静电分析器中存在着辐向电场,电场线方向沿半径指向圆心O。α粒子在该电场中恰好做匀速圆周运动,α粒子运动轨迹处的场强大小为E0。α粒子进入第Ⅳ象限的交变电场时开始计时,交变电场随时间的变化关系如图乙所示,规定沿x轴正方向为交变电场的正方向。已知α粒子的电荷量为q、质量为m,其重力不计,细管C的间距忽略不计。求:
　
(1)α粒子在静电分析器中运动的时间;
(2)A、B板间所加的电压大小;
(3)在第Ⅳ象限中α粒子沿x轴方向速度为0时的坐标。
答案　(1)　(2)
(3)(n=1,2,3,…)
解析　(1)设α粒子在静电分析器中做圆周运动的半径为r,由牛顿第二定律得qE0=m,解得r=,α粒子在静电分析器中运动的时间为t1=·=。
(2)对α粒子在A、B板间的运动,由运动学规律得L=v0t,=t【点拨:将α粒子的初速度分解为水平方向的v0和竖直方向的vy,在水平方向做匀速运动,竖直方向做匀变速运动】,联立解得vy=v0,
对α粒子在A、B板间的运动,由动能定理得q·=m(+)-m,解得A、B板间所加的电压大小为U=。
(3)α粒子在第Ⅳ象限运动时加速度的大小a=,由题意可知,当t=nT(n=1,2,3,…)时,α粒子在x轴方向的位移xm=n·2×a·=(n=1,2,3,…),
t=0时刻α粒子的横坐标为r=,
故t=nT(n=1,2,3,…)时,α粒子的横坐标为x=r+xm=+(n=1,2,3,…),
同理,α粒子在y轴方向的位移大小y0=v0t,其中t=nT(n=1,2,3,…),故α粒子的纵坐标为y=-y0=-nv0T(n=1,2,3,…),
则在第Ⅳ象限中α粒子沿x轴方向速度为0时的坐标为(n=1,2,3,…)。
实验10　观察电容器的充、放电现象
1.(2023山东,14,8分)电容储能已经在电动汽车,风、光发电,脉冲电源等方面得到广泛应用。某同学设计图甲所示电路,探究不同电压下电容器的充、放电过程,器材如下:
电容器C(额定电压10 V,电容标识不清);
电源E(电动势12 V,内阻不计);
电阻箱R1(阻值0~99 999.9 Ω);
滑动变阻器R2(最大阻值20 Ω,额定电流2 A);
电压表V(量程15 V,内阻很大);
发光二极管D1、D2,开关S1、S2,电流传感器,计算机,导线若干。
回答以下问题:
(1)按照图甲连接电路,闭合开关S1,若要升高电容器充电电压,滑动变阻器滑片应向　　　　端滑动(填“a”或“b”)。
(2)调节滑动变阻器滑片位置,电压表表盘如图乙所示,示数为　　　　　　V(保留1位小数)。
(3)继续调节滑动变阻器滑片位置,电压表示数为8.0 V时,开关S2掷向1,得到电容器充电过程的I-t图像,如图丙所示。借鉴“用油膜法估测油酸分子的大小”实验中估算油膜面积的方法,根据图像可估算出充电结束后,电容器存储的电荷量为　　　　C(结果保留2位有效数字)。
(4)本电路中所使用电容器的电容约为　　　　F(结果保留2位有效数字)。
(5)电容器充电后,将开关S2掷向2,发光二极管　　　　(填“D1”或“D2”)闪光。
答案　(1)b　(2)6.5　(3)3.8×10-3　(4)4.8×10-4　(5)D1
解析　(1)要升高电容器的充电电压,则要使滑动变阻器与电容器并联部分电压变大,滑片应向b端滑动。
(2)电压表表盘分度值为0.5 V,读出电压表示数为6.5 V。
(3)图中一小格正方形表示的电荷量Q0=0.2×10-3×0.5 C=1×10-4 C,计算曲线与坐标轴包围范围内正方形的个数,不足半个的舍去,多于半个的算一个,可以数出正方形的个数是38,则电容器存储的电荷量Q=38Q0=3.8×10-3 C。
(4)电容器两端电压U=8 V,电容器存储的电荷量Q=3.8×10-3 C,C==4.75×10-4 F≈4.8×10-4 F。
(5)由电路图可知,电容器充电后左边极板带正电,右边极板带负电,将开关S2掷向2后,根据二极管的单向导电性可知D1闪光。
2.(2023新课标,22,6分)在“观察电容器的充、放电现象”实验中,所用器材如下:电池、电容器、电阻箱、定值电阻、小灯泡、多用电表、电流表、秒表、单刀双掷开关以及导线若干。
(1)用多用电表的电压挡检测电池的电压。检测时,红表笔应该与电池的　　　　(填“正极”或“负极”)接触。
(2)某同学设计的实验电路如图(a)所示。先将电阻箱的阻值调为R1,将单刀双掷开关S与“1”端相接,记录电流随时间的变化。电容器充电完成后,开关S再与“2”端相接,相接后小灯泡亮度变化情况可能是　　　　。(填正确答案标号)
A.迅速变亮,然后亮度趋于稳定
B.亮度逐渐增大,然后趋于稳定
C.迅速变亮,然后亮度逐渐减小至熄灭
(3)将电阻箱的阻值调为R2(R2>R1),再次将开关S与“1”端相接,再次记录电流随时间的变化情况。两次得到的电流I随时间t变化如图(b)中曲线所示,其中实线是电阻箱阻值为　　　　(填“R1”或“R2”)时的结果,曲线与坐标轴所围面积等于该次充电完成后电容器上的　　　　(填“电压”或“电荷量”)。
　　
答案　(1)正极　(2)C　(3)R2　电荷量
解析　(1)根据“红进黑出”可知红表笔应该与电池的正极接触。
(2)将单刀双掷开关S与“1”端相接,电容器开始充电,充电完成后,开关S再与“2”端相接,电容器、小灯泡和定值电阻R0组成串联电路,电容器开始放电,开始时电容器两端电压最大,放电电流最大,随着电容器所带电荷量的减少,电容器两端电压逐渐降低,放电电流逐渐减小,直至放电结束。由上述分析可知,相接后小灯泡迅速变亮,然后亮度逐渐减小至熄灭,C正确。
(3)由题意可知R2>R1,将单刀双掷开关与“1”端相接,电容器开始充电,初始时刻,电路中充电电流最大,由闭合电路欧姆定律可知R2对应的初始时刻的充电电流较小,结合题图(b)可知实线是电阻箱阻值为R2时的结果。根据q=It,可知I-t图线与时间轴所围面积表示充电完成后电容器上的电荷量。
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