第六章　机械能守恒定律--2027山东版高考物理第一轮章节练（含解析）

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2027山东版高考物理第一轮
第六章　机械能守恒定律
第1节　功和功率
·功的分析和计算T1、6、9　　·功率的分析和计算T2~5、7、8　　·机车启动问题T10
五年高考
1.★★(2023北京,11,3分)如图所示,一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m,加速度大小为a,物体和桌面之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g。在物体移动距离为x的过程中 (　　)
A.摩擦力做功大小与F方向无关
B.合力做功大小与F方向有关
C.F为水平方向时,F做功为μmgx
D.F做功的最小值为max
2.★★(2024浙江6月,5,3分)一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为2×10-4 m2,喷水速度约为10 m/s,水的密度为1×103 kg/m3,则该喷头喷水的功率约为 (　　)
A.10 W B.20 W C.100 W D.200 W
3.★★(2023山东,4,3分)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下:两个半径均为R的水轮,以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布,单位长度上有n个,与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水,其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g,则筒车对灌入稻田的水做功的功率为 (　　)
A. B.
C. D.nmgωRH
4.★★★(2024贵州,6,4分)质量为1 kg的物块静置于光滑水平地面上,设物块静止时的位置为x轴零点。现给物块施加一沿x轴正方向的水平力F,其大小随位置x变化的关系如图所示,则物块运动到x=3 m处,F做功的瞬时功率为 (　　)
A.8 W B.16 W C.24 W D.36 W
5.★★★(2023山东,8,3分)质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时,牵引力F和受到的阻力f均为恒力。如图所示,小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为s1时,小车达到额定功率,轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下,其总位移为s2。物体与地面间的动摩擦因数不变,不计空气阻力。小车的额定功率P0为 (　　)
A.
B.
C.
D.
三年模拟
6.★★(2026届重庆一中月考)如图所示,一质量为m的滑雪运动员从高为h的斜坡顶端由静止自由滑下,下滑过程中受到的阻力大小恒为f,斜坡倾角为θ,重力加速度为g,运动员滑至坡底的过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.重力做功为mgh sin θ
B.支持力做功为mgh cos θ
C.克服阻力做功为
D.合力做功为0
7.★★(2025届山东十三校联考)某科技公司研发的人形机器人已能顺利完成侧空翻动作。某次调试过程中,质量为m的机器人向上跳起并落回原地,跳起后其重心上升的最大高度为h。不计空气阻力,则机器人在上升第1个h与上升第3个h过程中重力的平均功率之比为 (　　)
A.∶1
B.1∶
C.(2-)∶(-1)
D.(-1)∶(2-)
8.★★★(2025届山东名校考试联盟二模)如图所示,半径为R的四分之一光滑圆弧竖直固定,最低点A处放置一质量为m的物块,可视为质点。物块在方向始终沿圆弧切线的推力F作用下由A运动到B,力F大小恒为mg。对于该运动过程,下列说法正确的是 (　　)
A.力F做功大小为mgR
B.力F做功大小为
C.力F的功率先增大后减小
D.克服重力做功的功率先增大后减小
9.★★★(2025届山东省实验一模)如图甲,辘轳是古代民间提水设施。如图乙为辘轳的工作原理简化图,某次需从井中提取m=2 kg的水,辘轳绕绳轮轴半径为r=0.1 m,水斗的质量为0.5 kg,井足够深且井绳的质量忽略不计。t=0时刻,轮轴由静止开始绕中心轴转动,其角速度随时间变化规律如图丙所示,g取10 m/s2,则 (　　)
　　
A.井绳拉力随时间均匀增大
B.水斗速度随时间变化的规律为v=0.8t
C.0~10 s内水斗上升的高度为20 m
D.0~10 s内井绳拉力所做的功为500 J
10.★★★(多选)(2025届潍坊期中)2024年11月12日,第十五届中国国际航空航天博览会在广东珠海国际航展中心开幕。悬停在空中的直-20武装直升机用钢索将静止在地面上的质量为m的军车竖直向上吊起。钢索上的拉力F随时间变化的图像如图所示,已知t2时刻拉力的功率为P,此后拉力的功率保持不变。不计空气阻力,重力加速度大小为g。下列说法正确的是 (　　)
A.t1时刻军车的加速度为
B.t1时刻军车的速度为-(t2-t1)
C.向上吊起过程中军车的最大速度为
D.t2到t3时间内军车上升的高度为-
创新风向　数理结合
斜面模型+三角函数的应用
(2025届威海文登一模)春秋战国时期,《墨经》记载了利用斜面来运送货物的方法。如图所示,用平行于斜面的推力将货物从地面匀速推到货车上。若货物与斜面间的动摩擦因数恒定,下列说法正确的是 (　　)
A.斜面越短,推力对货物做的功越多
B.斜面越长,推力对货物做的功越多
C.斜面越短,推力越大
D.斜面越长,推力越大
第2节　动能定理及其应用
·动能定理的理解和基本应用T1~3、5~7　　·动能定理与图像结合的问题T4、8
五年高考
1.★(2021山东,3,3分)如图所示,粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆,一端可绕竖直光滑轴O转动,另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发,恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中,木块所受摩擦力的大小为 (　　)
A. B. C. D.
2.★★(2025云南,2,4分)如图所示,中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发,沿水平直轨道逐渐加速到144 km/h,在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近 (　　)
A.4×105 J B.4×104 J
C.4×103 J D.4×102 J
3.★★(2024安徽,2,4分)某同学参加户外拓展活动,遵照安全规范,坐在滑板上,从高为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑,至底端时速度为v。已知人与滑板的总质量为m,可视为质点。重力加速度大小为g,不计空气阻力。则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为 (　　)
A.mgh B.mv2
C.mgh+mv2 D.mgh-mv2
4.★★★(多选)(2023新课标,20,6分)一质量为1 kg 的物体在水平拉力的作用下,由静止开始在水平地面上沿x轴运动,出发点为x轴零点,拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4,重力加速度大小取10 m/s2。下列说法正确的是 (　　)
A.在x=1 m时,拉力的功率为6 W
B.在x=4 m时,物体的动能为2 J
C.从x=0运动到x=2 m,物体克服摩擦力做的功为8 J
D.从x=0运动到x=4 m的过程中,物体的动量最大为2 kg·m/s
5.★★(2024新课标,24,10分)将重物从高层楼房的窗外运到地面时,为安全起见,要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图,一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P,另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q,二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量m=42 kg,重力加速度大小g=10 m/s2。当P绳与竖直方向的夹角α=37°时,Q绳与竖直方向的夹角β=53°。(sin 37°=0.6)
(1)求此时P、Q绳中拉力的大小;
(2)若开始竖直下降时重物距地面的高度h=10 m,求在重物下降到地面的过程中,两根绳子拉力对重物做的总功。
三年模拟
6.★★★(多选)(2026届临沂一中期中)竖直平面内有一半径为R的圆,O为圆心,直径AB沿水平方向,将质量为m的小球从A点以相同的速率v0抛出,抛出的方向不定,小球进入圆内同时受到一个平行于圆面的恒力F作用,其大小等于mg,g为重力加速度,小球从A点抛出后会经过圆上的不同点,在这些所有的点中,小球到达C点的动能最大,已知AB与AC的夹角为θ=30°。不计空气阻力,下列说法正确的是 (　　)
A.恒力F的方向沿AC方向
B.恒力F的方向沿OC方向
C.小球到达C点的动能EkC=m+mgR
D.小球到达B点的动能EkB=m+mgR
7.★★★(2025届山东省实验二模)跳台滑雪是一项极富有挑战性的运动。运动简化过程如图乙所示,运动员起跳瞬间速度大小为v1,方向与水平方向的夹角为α,着陆瞬间速度大小为v2,方向与水平方向的夹角为β。运动员与滑雪板的总质量为m,所受空气阻力与速度大小成正比,比例系数为k,下列说法正确的是 (　　)
　
A.在运动过程中运动员始终处于超重状态
B.运动员在空中的运动为匀变速曲线运动
C.从起跳点A到着陆点C运动员的重力势能减少量为Ep减=m-m
D.起跳点A到着陆点C的水平距离为x=
8.★★★(2025届潍坊三模)某次训练投掷中,运动员将质量m=4 kg的铅球以初速度v0斜向上抛出,忽略空气阻力,重力加速度g=10 m/s2。已知铅球在t1=0.5 s时动能达到最小值Ekmin=150 J。以抛出点所在水平面为零势能面,下列反映铅球在空中运动过程中动能Ek、重力势能Ep随时间t或高度h变化关系的图像,正确的是 (　　)
　　　　　　　　
　　　　　　　　
创新风向　模块融合
牛顿第二定律+动能定理+由图像分析变力做功
(2025广东,14,13分)如图所示,用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时,先将拔塞钻旋入木塞内,随后下压把手,使齿轮绕固定支架上的转轴转动,通过齿轮啮合,带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从0时刻开始,顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动。木塞所受摩擦力f随位移大小x的变化关系为f=f0,其中f0为常量,h为圆柱形木塞的高。木塞质量为m,底面积为S,加速度为a。齿轮半径为r。重力加速度为g,瓶外气压减瓶内气压为Δp且近似不变,瓶子始终静止在桌面上。(提示:可用f-x图线下的“面积”表示f所做的功)
求:(1)木塞离开瓶口的瞬间,齿轮的角速度ω。
(2)拔塞的全过程,拔塞钻对木塞做的功W。
(3)拔塞过程中,拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。
微专题10　动能定理在多过程运动中的应用
题组1　动能定理在“单向”多过程运动中的应用
1.★★(2025届泰安二轮复习检测)滑草是一项使用滑草车沿倾斜草地滑行的运动,深受青年人喜爱。甲图为滑草运动场地实景图,该运动场地由倾斜滑道AB和水平滑道BC两部分组成,B点处平滑连接,AB长100 m,与水平面夹角为37°,BC段动摩擦因数是AB段的2倍,如图乙所示。某游客乘坐滑草车从A点由静止开始沿滑道下滑,恰好停在C点。取BC所处的水平面为重力势能的零势能面,游客与滑草车在AB上运动的机械能、重力势能随着位移x的变化情况如图丙所示。cos 37°=0.8,sin 37°=0.6,g=10 m/s2,则BC长为 (　　)
　　
A.60 m B.40 m C.30 m D.15 m
2.★★★(2025届山东师大附中二模)如图所示,水平地面O点左侧光滑,右侧粗糙。两匀质木板A、B中间用一轻杆连接,某时刻木板A的右端恰好经过O点,速度为v0。已知木板A、B质量均为m,长度均为L,与粗糙水平面的动摩擦因数均为μ,轻杆能承受的最大作用力为F,重力加速度为g。则此后的运动过程中 (　　)
A.木板A、B做匀减速直线运动
B.当轻杆断裂时木板B的加速度大小为-μg
C.当轻杆断裂时木板A相对于O点的位移大小为
D.当轻杆断裂时木板A、B的速度大小为
3.★★★★(多选)(2025届淄博三模)如图所示,倾角为θ的斜面体固定在水平地面上,以斜面上的O点为坐标原点,沿斜面向下建立x轴,从O点由静止释放一质量为m的小物块,物块与斜面的动摩擦因数μ=kx,k为常数。物块在A点(图中未标出)达到最大速度并最终停在B点,重力加速度大小为g。下列说法正确的是 (　　)
A.OA之间的距离为
B.物块下滑过程中的最大速度为
C.OB之间的距离为
D.物块在OA与AB之间运动所用的时间相等
4.★★★(2023湖北,14,15分)如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板,其半径为2R、内表面光滑,挡板的两端A、B在桌面边缘,B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内,过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧,从B点飞出桌面后,在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧,并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为,重力加速度大小为g,忽略空气阻力,小物块可视为质点。求
(1)小物块到达D点的速度大小;
(2)B和D两点的高度差;
(3)小物块在A点的初速度大小。
5.★★★★(2025届泰安期中)如图所示,处于竖直平面内的轨道装置,由倾角α=60°的光滑直轨道AB、圆心为O1半径为r=0.1 m的半圆形光滑轨道BCD和圆心为O2的光滑圆弧轨道EF组成;B为两轨道的相切点,B、O1、E、D和O2处于同一直线上,DE间隙很小、宽度不计。现将可视为质点的质量为m=1 kg的滑块从轨道AB上某点由静止释放,重力加速度g=10 m/s2。
(1)若释放点与B点的高度差为h,求滑块运动到最低点C时轨道对滑块支持力大小FN与h的函数关系式;
(2)若要保证滑块能经D点进入圆弧轨道EF,求释放点与B点的最小高度差h1;
(3)若圆弧轨道EF的半径R可调且该圆弧轨道能承受的压力不能超过105 N,滑块释放点与B点的高度差h2=2.1 m,要保证滑块能沿圆弧轨道顺利经过最高点F,求圆弧轨道EF半径R的取值范围。
题组2　动能定理在往复运动中的应用
1.★★★(2026届河北保定定州中学开学考)将一可视为质点且质量为m的物体由地面沿竖直向上的方向抛出,抛出瞬间物体的动能为Ek0,物体的动能随距离抛出点高度的关系如图所示,规定抛出点为零势能面,整个过程物体所受的空气阻力大小保持不变,图线与坐标轴的交点为已知量,重力加速度为g,则下列说法正确的是 (　　)
A.m=
B.空气阻力为物体重力的
C.物体下落过程中,距离地面的高度为时其动能等于重力势能
D.若抛出瞬间物体的动能为2Ek0,上升时,动能与重力势能相等时动能大小为
2.★★★★(2025届菏泽期中)如图所示,高度h=8 m、倾角θ=30°的斜面体固定在水平地面上,斜面的右侧有一劲度系数k=100 N/m的弹簧,弹簧右端与墙面拴接,原长时左端位于B点,斜面最低点A与B点间的距离x1=10 m。将一质量m=2 kg的小物块(可视为质点)以初速度v0=10 m/s水平向右抛出,下落高度H后恰好无碰撞地从斜面最高点进入斜面,然后从A点无机械能损失地进入水平地面,滑行一段时间后挤压弹簧。已知物块与斜面和水平地面间的动摩擦因数分别为μ1=、μ2=,弹簧始终在弹性限度内,其弹性势能Ep=kx2(x为弹簧的形变量),重力加速度g=10 m/s2,求:
(1)H的大小;
(2)弹簧的最大压缩量;
(3)物块最终停止的位置与A点的距离。
第3节　机械能守恒定律及其应用
·机械能守恒的判断T1　　·单物体的机械能守恒问题T3、4　　·系统的机械能守恒问题T2、5~8
五年高考
1.★★(2024重庆,2,4分)2024年5月3日,嫦娥六号探测器成功发射,开启月球背面采样之旅,探测器的着陆器和上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中 (　　)
A.减速阶段所受合外力为0
B.悬停阶段不受力
C.自由下落阶段机械能守恒
D.自由下落阶段加速度大小g=9.8 m/s2
2.★★★(2024北京,7,3分)如图所示,光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放,物体脱离弹簧后进入半圆形轨道,恰好能够到达最高点C。下列说法正确的是　 (　　)
A.物体在C点所受合力为零
B.物体在C点的速度为零
C.物体在C点的向心加速度等于重力加速度
D.物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能
3.★★(2025黑吉辽蒙,13,10分)如图,一雪块从倾角θ=37°的屋顶上的O点由静止开始下滑,滑到A点后离开屋顶。O、A间距离x=2.5 m,A点距地面的高度h=1.95 m,雪块与屋顶的动摩擦因数μ=0.125。不计空气阻力,雪块质量不变,取sin 37°=0.6,重力加速度大小g=10 m/s2。求:
(1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小v0;
(2)雪块落地时的速度大小v1,及其速度方向与水平方向的夹角α。
4.★★★(2025安徽,14,14分)如图,M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉,间距L=0.5 m。一根长为3L的轻绳一端系在M上,另一端竖直悬挂质量m=0.1 kg的小球,小球与水平地面接触但无压力。t=0时,小球以水平向右的初速度v0=10 m/s开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M,运动到M正下方与M相距L的位置时,绳子刚好被拉断,小球开始做平抛运动。小球可视为质点,绳子不可伸长,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小,及绳子所受的最大拉力大小;
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离;
(3)若在t=0时,只改变小球的初速度大小,使小球能通过N的正上方且绳子不松弛,求初速度的最小值。
三年模拟
5.★★★(多选)(2026届广西部分学校开学考试)古代抛石机原理简化如图所示,轻杆AB可绕转轴O在竖直面内转动,两臂长度分别为OA=2 m、OB=8 m。A处固定质量为24 kg的重物,B处放一质量为1 kg的石块。将轻杆拉到水平并由静止释放,当轻杆运动到竖直位置时石块脱离轻杆。重物与石块均可看成质点,不计空气阻力和摩擦力,取重力加速度大小g=10 m/s2,下列说法正确的是 (　　)
A.从释放到抛出前,石块机械能守恒
B.石块脱离瞬间,石块所受重力的功率为0
C.石块脱离瞬间的速度大小为20 m/s
D.石块脱离前瞬间,轻杆OA上的弹力大小为480 N
6.★★★(2025届湖南常德一中模拟)如图甲所示,光滑平台上放着一根均匀链条,其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下,由静止释放链条。已知整根链条的质量为m,链条悬垂的长度为l,台面高度为2l。如果在链条的悬垂端接一质量也为m的小球(直径相对链条长度可忽略不计),如图乙所示,仍由静止释放链条。平台右边有光滑曲面D来约束链条,重力加速度为g,下列说法正确的是 (　　)
　
A.甲图中在链条下端触地瞬间,链条的速度大小为
B.乙图中在链条下端触地瞬间,链条的速度大小为
C.甲图中链条下端在触地之前,链条的加速度大小不变
D.乙图中小球在下落过程中,链条对小球的拉力在不断增大
7.★★★(2025届山东十三校联考)如图所示,套在光滑竖直杆上的轻弹簧与杆一起固定在水平地面上,弹簧的另一端与穿在杆上的小球相连,绕过定滑轮O点的轻绳一端连接小球,另一端连接放在光滑固定斜面上的小滑块。初始时托住小滑块,使轻绳刚好伸直但恰好无拉力,之后由静止释放小滑块,小球从M点沿杆向N点运动。已知斜面的倾角为30°,小球的质量为m,小滑块的质量为6m,ON的长度为L,ON与MN垂直。初始时轻绳与杆的夹角为37°,O点左侧的轻绳与斜面平行,小球经过N点时弹簧的弹力大小与初始时相等,重力加速度为g,sin 37°=0.6。在小球从M点向上运动到N点的过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.小球和小滑块组成的系统机械能守恒
B.弹簧的劲度系数为
C.在运动过程中小滑块的速度始终大于小球的速度
D.小球运动到N点时的速度大小为
8.★★★(2025届烟台龙口一中月考)如图所示,倾角为30°的光滑斜面体固定在水平面上,轻质弹簧一端连接固定在斜面底端的挡板C上,另一端连接滑块A,一轻细绳一端系在A上,另一端通过斜面顶端的定滑轮与小球B相连,细绳与斜面平行,斜面足够长。刚开始用手托住B,使细绳刚好伸直但无张力作用,现由静止释放B,B竖直下降并带动A沿斜面上升,直到B落到地面上。已知A的质量m1=2 kg,B的质量m2=12 kg,刚开始B离地面高h=0.6 m,弹簧劲度系数k=50 N/m,弹簧弹性势能Ep=kx2(x为压缩量或伸长量),g=10 m/s2,弹簧始终在弹性限度内,不计一切摩擦和空气阻力。求:
(1)弹簧恢复原长时细绳的拉力大小;
(2)滑块A速度最大时沿斜面向上运动的距离;
(3)滑块A的最大速度大小。
第4节　功能关系　能量守恒
·常见的功能关系的理解和应用T1、3、5~7　　·能量守恒定律的理解和应用T2、4
五年高考
1.★★(2024浙江1月,3,3分)如图所示,质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3,在空中达到最高点2的高度为h,则足球 (　　)
A.从1到2动能减少mgh
B.从1到2重力势能增加mgh
C.从2到3动能增加mgh
D.从2到3机械能不变
2.★★(2025山东,5,3分)一辆电动小车上的光伏电池,将太阳能转换成的电能全部给电动机供电,刚好维持小车以速度v匀速运动,此时电动机的效率为50%。已知小车的质量为m,运动过程中受到的阻力f=kv(k为常量),该光伏电池的光电转换效率为η,则光伏电池单位时间内获得的太阳能为 (　　)
A. B.
C. D.
3.★★★(2024山东,7,3分)如图所示,质量均为m的甲、乙两同学,分别坐在水平放置的轻木板上,木板通过一根原长为l的轻质弹性绳连接,连接点等高且间距为d(dA.+μmg(l-d)
B.+μmg(l-d)
C.+2μmg(l-d)
D.+2μmg(l-d)
4.★★★(2024江苏,15,12分)某重力储能系统的简化模型如图所示,长度为L,倾角为θ的斜坡ABCD上,有一质量为m的重物通过绳索与电动机连接。在电动机牵引下,重物从斜坡底端A点由静止开始运动,到达B点时速度达到最大值v,然后重物被匀速拉到C点,此时关闭电动机,重物恰好能滑至顶端D点,系统储存机械能。已知绳索与斜坡平行,重物与斜坡间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,不计空气阻力和滑轮摩擦。
(1)求CD的长度x;
(2)求重物从B到C过程中,电动机的输出功率P;
(3)若不计电动机的损耗,求在整个上升过程中,系统储存的机械能E1与消耗电能E2的比值。
三年模拟
5.★★(2026届山东省实验开学考)一木块静止放在光滑水平面上,一颗子弹沿水平方向射入木块,若子弹进入木块的最大深度为x1,与此同时木块沿水平面移动的距离为x2,设子弹在木块中受到的摩擦力大小不变,则在子弹进入木块的过程中 (　　)
①子弹损失的动能与木块获得的动能之比为(x1+x2)∶x2
②子弹损失的动能与系统损失的动能之比为(x1+x2)∶x1
③木块获得的动能与系统因摩擦生热损失的动能之比为x2∶x1
④木块获得的动能与系统因摩擦生热损失的动能之比为x1∶x2
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
6.★★★(多选)(2025届泰安四模)如图所示,一质量为10 kg的物体静止在水平地面上。现给物体施加一水平向右的推力F,物体运动过程中,推力F的大小随位移大小变化的关系式为F=80-20x(N)。已知物体与地面间的动摩擦因数μ=0.5,重力加速度g=10 m/s2,则下列说法正确的是 (　　)
A.物体运动过程中最大动能为22.5 J
B.物体运动过程中最大动能为97.5 J
C.物体运动过程中摩擦产生的热量为160 J
D.物体运动过程中摩擦产生的热量为150 J
7.★★★(多选)(2025届河南名校联盟三模)某缓冲装置的理想模型如图所示,劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连,轻杆可在固定的槽内移动,与槽间的滑动摩擦力为定值。轻杆向右移动的距离不超过L时,装置可安全工作。若一小车分别以初动能Ek和2Ek撞击弹簧,导致轻杆分别向右移动和。已知装置安全工作时,轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,且不计小车与地面间的摩擦。比较小车这两次撞击缓冲的过程,下列说法正确的是 (　　)
A.弹簧的最大弹性势能为
B.轻杆与槽间的滑动摩擦力为
C.两次小车反弹离开弹簧的速度不同
D.为使装置可安全工作,小车撞击弹簧的最大动能为
创新风向　模块融合
动力学+功能关系
(2025届云南曲靖一中二模)如图所示,一轻绳吊着一根粗细均匀的棒,棒下端离地面的高度为H,上端套着一个细环。棒和环的质量分别为M、m,相互间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(2>k>1,g为重力加速度),断开轻绳,棒和环自由下落。棒足够长,与地面发生弹性碰撞且触地时间极短。棒在整个运动过程中始终保持竖直,环始终套在棒上,不计空气阻力。求:
(1)棒第一次与地面碰撞时环的速度大小v;
(2)棒从与地面第一次碰撞至第二次碰撞过程中运动的路程s;
(3)从断开轻绳到棒和环都静止的过程中,棒和环摩擦产生的热量Q。
微专题11　动力学和能量观点相结合的两类典型模型
题组1　传送带模型
1.★★★(多选)(2025届山东名校考试联盟二模)如图甲,某工厂采用智能调速传送带运输原料,传送带水平放置且足够长,以4 m/s的速度顺时针转动。现将一质量为2 kg的货物轻放在传送带左端,货物与传送带间的动摩擦因数μ=0.2。实时调节传送带速度,使其在货物运动过程中按图乙规律变化。重力加速度g取10 m/s2。则关于货物在3 s内的运动过程,下列说法正确的是 (　　)
　　　
A.传送带对货物做功为4 J
B.货物始终向右加速,3 s末速度达到4 m/s
C.货物相对传送带的总位移为3.5 m
D.系统因摩擦产生的热量为14 J
2.★★★(多选)(2025届陕西咸阳四模)传送带已经成为物体搬运系统机械化和自动化不可缺少的组成部分。某生产车间采用了自动化传送带来实现工件的传输。如图所示,绷紧的传送带与水平面的夹角θ=37°,传送带在电动机的带动下,始终保持v=4 m/s的速率顺时针运行,现把一质量为m=1 kg的工件(可视为质点)轻轻放在传送带的底端,工件被传送到高h=18 m的顶端,已知工件与传送带之间的动摩擦因数μ=0.8。工件在传送带底端时的势能为零,(已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度大小g=10 m/s2),则 (　　)
A.工件从底端被运送到顶端所需的时间为12.5 s
B.工件到达顶端时的机械能为180 J
C.工件与传送带之间因摩擦而产生的热量为128 J
D.电动机由于传送工件而多消耗的电能为316 J
3.★★★(2025届枣庄滕州期中)如图甲所示,倾角为θ的传送带以恒定的速率v沿逆时针方向运行。t=0时刻,质量m=2 kg的小物块以初速度v0从A端滑上传送带,小物块的速度随时间变化的图像如图乙所示,t=1.25 s时小物块从B端滑离传送带。以沿传送带向下为正方向,重力加速度g取10 m/s2,则 (　　)
　　　
A.传送带的倾角θ=37°
B.小物块对传送带做功为18 J
C.小物块在传送带上留下的痕迹长度为1.25 m
D.小物块与传送带间因摩擦而产生的热量为4.5 J
4.★★★(2026届菏泽市一类校期中联考)如图,一倾斜传送带在电动机带动下以速度v0=1 m/s沿顺针方向匀速转动,传送带与水平方向的夹角θ=30°,质量mA=5 kg的物块A和质量mB=1 kg的物块B由跨过定滑轮的轻绳连接,A与定滑轮间的轻绳与传送带平行。将物块A拉至传送带底端,静置于传送带上,物块A、B恰好能够静止,此时物块B距地面高度h=1.5 m。现同时让物块A获得沿传送带向上、B获得竖直向下的初速度,大小均为v1=4 m/s,B落地后,物块A继续沿传送带运动,恰好能运动到传送带顶端。已知物块B落地后立即静止,轻绳松弛后未影响物块A运动,不计滑轮的质量与摩擦,重力加速度g=10 m/s2。求:
(1)物块A与传送带间的动摩擦因数μ;
(2)传送带的长度L;
(3)与传送带上无物块相比较,物块A从传送带底端运动到最高点,整个过程中电动机少做的功。
题组2　滑块-木板模型
1.★★(多选)(2023全国乙,21,6分)如图,一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上,另一质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v0开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f,当物块从木板右端离开时 (　　)
A.木板的动能一定等于fl
B.木板的动能一定小于fl
C.物块的动能一定大于m-fl
D.物块的动能一定小于m-fl
2.★★★(多选)(2025届德州禹城综合高中月考)如图所示,质量m1=1 kg的木板Q静止在水平地面上,质量m2=3 kg的物块P在木板左端,P与Q之间的动摩擦因数μ1=0.2,地面与Q之间的动摩擦因数μ2=0.1,现使物块P以v0=4 m/s的初速度在木板上向右滑动,最终P和Q都静止且P没有滑离木板Q,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是 (　　)
A.P与Q开始相对静止时的速度大小是2.5 m/s
B.木板Q长度至少为2 m
C.P与Q之间产生的热量和地面与Q之间产生的热量之比为1∶1
D.P与Q之间产生的热量和地面与Q之间产生的热量之比为2∶1
3.★★★(多选)(2025届广东广州二模)如图(a),砝码置于水平桌面的薄钢板上,用水平向右的恒定拉力迅速将钢板抽出,得到砝码和钢板的速度随时间变化的图像如图(b)。已知砝码最终没有脱离桌面,各接触面间的动摩擦因数均相同,则 (　　)
　
A.0~t1与t1~t2时间内,砝码的位移相同
B.0~t1与t1~t2时间内,砝码的加速度相同
C.0~t1时间内,摩擦力对砝码做的功等于砝码动能的变化量
D.0~t1时间内,拉力做的功等于砝码和钢板总动能的变化量
4.★★★★(2025届齐鲁名校第五次联考)如图所示,足够长固定斜面的倾角θ=37°,斜面顶端放一长为4.5 m的木板,其质量为m1=4 kg,与斜面间动摩擦因数为μ1=0.5,初始时被锁定。一质量为m2=1 kg的小物块(可看作质点)以沿斜面向上v0=8 m/s的速度从木板下端滑上木板,同时释放木板,物块与木板间动摩擦因数为μ2=0.3。已知sin 37°=0.6,重力加速度g取10 m/s2,以下说法正确的是 (　　)
A.物块从木板上端滑下
B.物块经2 s从木板上滑下
C.物块从木板上滑下时,木板的速度大小为3.2 m/s
D.从物块滑上木板到滑下木板过程中,整个系统因摩擦产生的热量为103.2 J
5.★★★★(2025届安徽卓越联盟期中联考)如图所示,质量M=1 kg、足够长的木板A静止在水平地面上,地面与木板A之间的动摩擦因数μ1=0.2,在A的左端放置一质量m=1 kg的铁块B(可视为质点),B与A间的动摩擦因数μ2=0.6,现用一水平恒力F作用在B上,初始时木板A右端距O点距离l=9 m,当木板A右端到达O点时撤去外力F。重力加速度取g=10 m/s2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)要保持A、B一起做匀加速运动,求力F的取值范围;
(2)若F=10 N,求整个过程中铁块相对木板滑行的距离;
(3)若F=12 N,求从初始到A、B都相对地面静止过程,整个系统产生的热量。
实验7　验证机械能守恒定律
1.(2025甘肃,11,6分)某学习小组使用如图1所示的实验装置验证机械能守恒定律。
把一个直径为d的小球用不可伸长的细线悬挂,光电门置于小球平衡位置处,其光线恰好通过小球球心,计时器与光电门相连。
将小球拉离平衡位置并记录其高度h,然后由静止释放(运动平面与光电门光线垂直),记录小球经过光电门的挡光时间Δt。改变h,测量多组数据。已知重力加速度为g,忽略阻力。
(1)以h为横坐标、　　　 为纵坐标作直线图。若所得图像过原点,且斜率为　　　　(用d和g表示),即可证明小球在运动过程中机械能守恒。
(2)实验中,用游标卡尺测得小球直径d=20.48 mm。
①由结果可知,所用的是　　　　分度的游标卡尺(填“10”“20”或“50”);
②小组设计了一把25分度的游标卡尺,未测量时的状态如图2所示。如果用此游标卡尺测量该小球直径,则游标尺上第　　　　条刻度线与主尺上的刻度线对齐。
2.(2025河南,12,9分)实验小组利用图1所示装置验证机械能守恒定律。可选用的器材有:交流电源(频率50 Hz)、铁架台、电子天平、重锤、打点计时器、纸带、刻度尺等。
(1)下列所给实验步骤中,有4个是完成实验必需且正确的,把它们选择出来并按实验顺序排列:　　　(填步骤前面的序号)。
①先接通电源,打点计时器开始打点,然后再释放纸带
②先释放纸带,然后再接通电源,打点计时器开始打点
③用电子天平称量重锤的质量
④将纸带下端固定在重锤上,穿过打点计时器的限位孔,用手捏住纸带上端
⑤在纸带上选取一段,用刻度尺测量该段内各点到起点的距离,记录分析数据
⑥关闭电源,取下纸带
(2)图2所示是纸带上连续打出的五个点A、B、C、D、E到起点的距离。则打出B点时重锤下落的速度大小为　　　　m/s(保留3位有效数字)。
(3)纸带上各点与起点间的距离即为重锤下落高度h,计算相应的重锤下落速度v,并绘制图3所示的v2-h关系图像。理论上,若机械能守恒,图中直线应　　　(填“通过”或“不通过”)原点且斜率为　　　　(用重力加速度大小g表示)。由图3得直线的斜率k=　　　　　　(保留3位有效数字)。
(4)定义单次测量的相对误差η=×100%,其中Ep是重锤重力势能的减小量,Ek是其动能增加量,则实验相对误差为η=　　　　×100%(用字母k和g表示);当地重力加速度大小取g=9.80 m/s2,则η=　　　　%(保留2位有效数字),若η<5%,可认为在实验误差允许的范围内机械能守恒。
3.(2025江苏,11,15分)小明同学探究机械能守恒定律,实验装置如图1。实验时,将小钢球在斜槽上某位置A由静止释放,钢球沿斜槽通过末端O处的光电门,光电门记录下钢球的遮光时间t。用游标卡尺测出钢球的直径d。由v=得出其通过光电门的速度v,再计算出动能增加量ΔEk=mv2。用刻度尺测得钢球下降的高度h,计算出重力势能减少量ΔEp。
(1)安装实验装置的操作有:
①在斜槽末端安装光电门
②调节斜槽在竖直平面内
③调节斜槽末端水平
④将斜槽安装到底座上
其合理的顺序是　　　(选填“A”“B”或“C”)。
A.①②③④ B.④②③①
C.④①②③
(2)测量钢球直径的正确操作是图2中　　　(选填“甲”或“乙”)所示的方式。
(3)在斜槽上5个不同的位置由静止释放钢球。测量得出的实验数据见表1。已知钢球的质量m=0.02 kg,重力加速度g=9.80 m/s2。请将表1的数据补充完整。
表1
h/(10-2 m) 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00
ΔEk/(10-3 J) 4.90 6.25 7.45 8.78 10.0
ΔEp/(10-3 J) 7.84 9.80 11.8 13.7 　　
(4)实验数据表明,ΔEk明显小于ΔEp,钢球在下降过程中发生机械能的损失。小明认为,机械能的损失主要是由于钢球受到的摩擦力做功造成的。
为验证此猜想,小明另取一个完全相同的斜槽按图3平滑对接。若钢球从左侧斜槽上A点由静止释放,运动到右侧斜槽上,最高能到达B点,A、B两点高度差为H,则该过程中,摩擦力做功大小的理论值W理=　　　　(用m、g、H表示)。
(5)用图3的装置,按表1中所列部分高度h进行实验,测得摩擦力做功大小W测。由于观察到H值较小,小明认为:AO过程摩擦力做功近似等于AB过程的一半,即Wf=。然后通过表1的实验数据,计算出AO过程损失的机械能ΔE=ΔEp-ΔEk。整理相关数据,见表2。
表2
h/(10-2 m) 4.00 5.00 6.00 7.00
ΔE/(10-3 J) 2.94 3.55 4.35 4.92
Wf/(10-3 J) 0.98 1.08 1.18 1.27
表2中ΔE与Wf相差明显。小明认为这是由于用近似计算Wf不合理。你是否同意他的观点 请根据表2数据简要说明理由。
第六章　机械能守恒定律
第1节　功和功率
·功的分析和计算T1、6、9　　·功率的分析和计算T2~5、7、8　　·机车启动问题T10
五年高考
1.★★(2023北京,11,3分)如图所示,一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m,加速度大小为a,物体和桌面之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g。在物体移动距离为x的过程中 (　　)
A.摩擦力做功大小与F方向无关
B.合力做功大小与F方向有关
C.F为水平方向时,F做功为μmgx
D.F做功的最小值为max
答案　D　
2.★★(2024浙江6月,5,3分)一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为2×10-4 m2,喷水速度约为10 m/s,水的密度为1×103 kg/m3,则该喷头喷水的功率约为 (　　)
A.10 W B.20 W C.100 W D.200 W
答案　C　
3.★★(2023山东,4,3分)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下:两个半径均为R的水轮,以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布,单位长度上有n个,与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水,其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g,则筒车对灌入稻田的水做功的功率为 (　　)
A. B.
C. D.nmgωRH
答案　B　
4.★★★(2024贵州,6,4分)质量为1 kg的物块静置于光滑水平地面上,设物块静止时的位置为x轴零点。现给物块施加一沿x轴正方向的水平力F,其大小随位置x变化的关系如图所示,则物块运动到x=3 m处,F做功的瞬时功率为 (　　)
A.8 W B.16 W C.24 W D.36 W
答案　A　
5.★★★(2023山东,8,3分)质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时,牵引力F和受到的阻力f均为恒力。如图所示,小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为s1时,小车达到额定功率,轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下,其总位移为s2。物体与地面间的动摩擦因数不变,不计空气阻力。小车的额定功率P0为 (　　)
A.
B.
C.
D.
答案　A　
三年模拟
6.★★(2026届重庆一中月考)如图所示,一质量为m的滑雪运动员从高为h的斜坡顶端由静止自由滑下,下滑过程中受到的阻力大小恒为f,斜坡倾角为θ,重力加速度为g,运动员滑至坡底的过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.重力做功为mgh sin θ
B.支持力做功为mgh cos θ
C.克服阻力做功为
D.合力做功为0
答案　C　
7.★★(2025届山东十三校联考)某科技公司研发的人形机器人已能顺利完成侧空翻动作。某次调试过程中,质量为m的机器人向上跳起并落回原地,跳起后其重心上升的最大高度为h。不计空气阻力,则机器人在上升第1个h与上升第3个h过程中重力的平均功率之比为 (　　)
A.∶1
B.1∶
C.(2-)∶(-1)
D.(-1)∶(2-)
答案　D　
8.★★★(2025届山东名校考试联盟二模)如图所示,半径为R的四分之一光滑圆弧竖直固定,最低点A处放置一质量为m的物块,可视为质点。物块在方向始终沿圆弧切线的推力F作用下由A运动到B,力F大小恒为mg。对于该运动过程,下列说法正确的是 (　　)
A.力F做功大小为mgR
B.力F做功大小为
C.力F的功率先增大后减小
D.克服重力做功的功率先增大后减小
答案　B　
9.★★★(2025届山东省实验一模)如图甲,辘轳是古代民间提水设施。如图乙为辘轳的工作原理简化图,某次需从井中提取m=2 kg的水,辘轳绕绳轮轴半径为r=0.1 m,水斗的质量为0.5 kg,井足够深且井绳的质量忽略不计。t=0时刻,轮轴由静止开始绕中心轴转动,其角速度随时间变化规律如图丙所示,g取10 m/s2,则 (　　)
　　
A.井绳拉力随时间均匀增大
B.水斗速度随时间变化的规律为v=0.8t
C.0~10 s内水斗上升的高度为20 m
D.0~10 s内井绳拉力所做的功为500 J
答案　C　
10.★★★(多选)(2025届潍坊期中)2024年11月12日,第十五届中国国际航空航天博览会在广东珠海国际航展中心开幕。悬停在空中的直-20武装直升机用钢索将静止在地面上的质量为m的军车竖直向上吊起。钢索上的拉力F随时间变化的图像如图所示,已知t2时刻拉力的功率为P,此后拉力的功率保持不变。不计空气阻力,重力加速度大小为g。下列说法正确的是 (　　)
A.t1时刻军车的加速度为
B.t1时刻军车的速度为-(t2-t1)
C.向上吊起过程中军车的最大速度为
D.t2到t3时间内军车上升的高度为-
答案　BC　
创新风向　数理结合
斜面模型+三角函数的应用
(2025届威海文登一模)春秋战国时期,《墨经》记载了利用斜面来运送货物的方法。如图所示,用平行于斜面的推力将货物从地面匀速推到货车上。若货物与斜面间的动摩擦因数恒定,下列说法正确的是 (　　)
A.斜面越短,推力对货物做的功越多
B.斜面越长,推力对货物做的功越多
C.斜面越短,推力越大
D.斜面越长,推力越大
答案　B　
第2节　动能定理及其应用
·动能定理的理解和基本应用T1~3、5~7　　·动能定理与图像结合的问题T4、8
五年高考
1.★(2021山东,3,3分)如图所示,粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆,一端可绕竖直光滑轴O转动,另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发,恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中,木块所受摩擦力的大小为 (　　)
A. B. C. D.
答案　B　
2.★★(2025云南,2,4分)如图所示,中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发,沿水平直轨道逐渐加速到144 km/h,在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近 (　　)
A.4×105 J B.4×104 J
C.4×103 J D.4×102 J
答案　B　
3.★★(2024安徽,2,4分)某同学参加户外拓展活动,遵照安全规范,坐在滑板上,从高为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑,至底端时速度为v。已知人与滑板的总质量为m,可视为质点。重力加速度大小为g,不计空气阻力。则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为 (　　)
A.mgh B.mv2
C.mgh+mv2 D.mgh-mv2
答案　D　
4.★★★(多选)(2023新课标,20,6分)一质量为1 kg 的物体在水平拉力的作用下,由静止开始在水平地面上沿x轴运动,出发点为x轴零点,拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4,重力加速度大小取10 m/s2。下列说法正确的是 (　　)
A.在x=1 m时,拉力的功率为6 W
B.在x=4 m时,物体的动能为2 J
C.从x=0运动到x=2 m,物体克服摩擦力做的功为8 J
D.从x=0运动到x=4 m的过程中,物体的动量最大为2 kg·m/s
答案　BC　
5.★★(2024新课标,24,10分)将重物从高层楼房的窗外运到地面时,为安全起见,要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图,一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P,另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q,二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量m=42 kg,重力加速度大小g=10 m/s2。当P绳与竖直方向的夹角α=37°时,Q绳与竖直方向的夹角β=53°。(sin 37°=0.6)
(1)求此时P、Q绳中拉力的大小;
(2)若开始竖直下降时重物距地面的高度h=10 m,求在重物下降到地面的过程中,两根绳子拉力对重物做的总功。
答案　(1)1 200 N　900 N　(2)-4 200 J
解析　(1)重物缓慢竖直下降,处于平衡状态,把两根绳子的拉力FP、FQ分别沿水平方向和竖直方向分解,由平衡条件可得
FP sin 37°=FQ sin 53°
FP cos 37°=mg+FQ cos 53°
两式联立解得FP=1 200 N,FQ=900 N
(2)重物下降至地面的过程中,由动能定理可得WF+mgh=0
解得拉力对重物做的总功WF=-4 200 J
三年模拟
6.★★★(多选)(2026届临沂一中期中)竖直平面内有一半径为R的圆,O为圆心,直径AB沿水平方向,将质量为m的小球从A点以相同的速率v0抛出,抛出的方向不定,小球进入圆内同时受到一个平行于圆面的恒力F作用,其大小等于mg,g为重力加速度,小球从A点抛出后会经过圆上的不同点,在这些所有的点中,小球到达C点的动能最大,已知AB与AC的夹角为θ=30°。不计空气阻力,下列说法正确的是 (　　)
A.恒力F的方向沿AC方向
B.恒力F的方向沿OC方向
C.小球到达C点的动能EkC=m+mgR
D.小球到达B点的动能EkB=m+mgR
答案　AD　
7.★★★(2025届山东省实验二模)跳台滑雪是一项极富有挑战性的运动。运动简化过程如图乙所示,运动员起跳瞬间速度大小为v1,方向与水平方向的夹角为α,着陆瞬间速度大小为v2,方向与水平方向的夹角为β。运动员与滑雪板的总质量为m,所受空气阻力与速度大小成正比,比例系数为k,下列说法正确的是 (　　)
　
A.在运动过程中运动员始终处于超重状态
B.运动员在空中的运动为匀变速曲线运动
C.从起跳点A到着陆点C运动员的重力势能减少量为Ep减=m-m
D.起跳点A到着陆点C的水平距离为x=
答案　D　
8.★★★(2025届潍坊三模)某次训练投掷中,运动员将质量m=4 kg的铅球以初速度v0斜向上抛出,忽略空气阻力,重力加速度g=10 m/s2。已知铅球在t1=0.5 s时动能达到最小值Ekmin=150 J。以抛出点所在水平面为零势能面,下列反映铅球在空中运动过程中动能Ek、重力势能Ep随时间t或高度h变化关系的图像,正确的是 (　　)
　　　　　　　　
　　　　　　　　
答案　C　
创新风向　模块融合
牛顿第二定律+动能定理+由图像分析变力做功
(2025广东,14,13分)如图所示,用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时,先将拔塞钻旋入木塞内,随后下压把手,使齿轮绕固定支架上的转轴转动,通过齿轮啮合,带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从0时刻开始,顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动。木塞所受摩擦力f随位移大小x的变化关系为f=f0,其中f0为常量,h为圆柱形木塞的高。木塞质量为m,底面积为S,加速度为a。齿轮半径为r。重力加速度为g,瓶外气压减瓶内气压为Δp且近似不变,瓶子始终静止在桌面上。(提示:可用f-x图线下的“面积”表示f所做的功)
求:(1)木塞离开瓶口的瞬间,齿轮的角速度ω。
(2)拔塞的全过程,拔塞钻对木塞做的功W。
(3)拔塞过程中,拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。
答案　(1)　(2)m(g+a)h+ΔpSh+0.5f0h　(3)P=f0at-+mgat+ΔpSat+ma2t
解析　(1)由匀加速直线运动的速度与位移关系可得2ah=
解得木塞离开瓶口瞬间的速度v0=
由圆周运动的角速度与线速度的关系可得齿轮的角速度ω==
(2)拔塞的全过程,对木塞由动能定理可得
W-mgh-ΔpSh-Wf=m
结合f=f0作出f-x的关系图像如图所示,
根据功的定义,f-x图线与横轴围成的面积表示木塞克服摩擦力做的功,则有Wf=0.5f0h
联立解得W=m(g+a)h+ΔpSh+0.5f0h
(3)对木塞受力分析,根据牛顿第二定律得F-f-mg-ΔpS=ma
由匀加速直线运动的速度与时间关系可得v=at
由匀加速直线运动的位移与时间关系可得x=at2,其中0≤t≤
拔塞钻对木塞作用力F的瞬时功率为P=Fv
联立解得P=f0at-+mgat+ΔpSat+ma2t
微专题10　动能定理在多过程运动中的应用
题组1　动能定理在“单向”多过程运动中的应用
1.★★(2025届泰安二轮复习检测)滑草是一项使用滑草车沿倾斜草地滑行的运动,深受青年人喜爱。甲图为滑草运动场地实景图,该运动场地由倾斜滑道AB和水平滑道BC两部分组成,B点处平滑连接,AB长100 m,与水平面夹角为37°,BC段动摩擦因数是AB段的2倍,如图乙所示。某游客乘坐滑草车从A点由静止开始沿滑道下滑,恰好停在C点。取BC所处的水平面为重力势能的零势能面,游客与滑草车在AB上运动的机械能、重力势能随着位移x的变化情况如图丙所示。cos 37°=0.8,sin 37°=0.6,g=10 m/s2,则BC长为 (　　)
　　
A.60 m B.40 m C.30 m D.15 m
答案　C　
2.★★★(2025届山东师大附中二模)如图所示,水平地面O点左侧光滑,右侧粗糙。两匀质木板A、B中间用一轻杆连接,某时刻木板A的右端恰好经过O点,速度为v0。已知木板A、B质量均为m,长度均为L,与粗糙水平面的动摩擦因数均为μ,轻杆能承受的最大作用力为F,重力加速度为g。则此后的运动过程中 (　　)
A.木板A、B做匀减速直线运动
B.当轻杆断裂时木板B的加速度大小为-μg
C.当轻杆断裂时木板A相对于O点的位移大小为
D.当轻杆断裂时木板A、B的速度大小为
答案　D　
3.★★★★(多选)(2025届淄博三模)如图所示,倾角为θ的斜面体固定在水平地面上,以斜面上的O点为坐标原点,沿斜面向下建立x轴,从O点由静止释放一质量为m的小物块,物块与斜面的动摩擦因数μ=kx,k为常数。物块在A点(图中未标出)达到最大速度并最终停在B点,重力加速度大小为g。下列说法正确的是 (　　)
A.OA之间的距离为
B.物块下滑过程中的最大速度为
C.OB之间的距离为
D.物块在OA与AB之间运动所用的时间相等
答案　BD　
4.★★★(2023湖北,14,15分)如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板,其半径为2R、内表面光滑,挡板的两端A、B在桌面边缘,B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内,过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧,从B点飞出桌面后,在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧,并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为,重力加速度大小为g,忽略空气阻力,小物块可视为质点。求
(1)小物块到达D点的速度大小;
(2)B和D两点的高度差;
(3)小物块在A点的初速度大小。
答案　(1)　(2)0　(3)
解析　(1)设物块质量为m,物块恰好能通过最高点D,可知其所受重力提供向心力,在D点对物块根据牛顿第二定律有mg=m,可得vD=。
(2)由题意可知C、D之间的高度差hCD=R+R cos 60°=R
对物块由C到D根据动能定理有-mghCD=m-m
解得vC=2
物块从B到C做平抛运动,过C点时有
vC水平=vC cos 60°=vB,解得vB=
由动能定理有mghBD=m-m
解得hBD=0。
(3)物块从A到B由动能定理得-μmgs=m-m
其中s=×2π×2R
解得vA=。
5.★★★★(2025届泰安期中)如图所示,处于竖直平面内的轨道装置,由倾角α=60°的光滑直轨道AB、圆心为O1半径为r=0.1 m的半圆形光滑轨道BCD和圆心为O2的光滑圆弧轨道EF组成;B为两轨道的相切点,B、O1、E、D和O2处于同一直线上,DE间隙很小、宽度不计。现将可视为质点的质量为m=1 kg的滑块从轨道AB上某点由静止释放,重力加速度g=10 m/s2。
(1)若释放点与B点的高度差为h,求滑块运动到最低点C时轨道对滑块支持力大小FN与h的函数关系式;
(2)若要保证滑块能经D点进入圆弧轨道EF,求释放点与B点的最小高度差h1;
(3)若圆弧轨道EF的半径R可调且该圆弧轨道能承受的压力不能超过105 N,滑块释放点与B点的高度差h2=2.1 m,要保证滑块能沿圆弧轨道顺利经过最高点F,求圆弧轨道EF半径R的取值范围。
答案　(1)FN=200h+20(N)　(2)0.125 m
(3)0.4 m≤R≤1 m
解析　(1)滑块从释放至到达C点过程,根据动能定理可得mgh+mgr(1-cos 60°)=m,在C点时,根据牛顿第二定律可得FN-mg=m,联立解得FN=200h+20(N)。
(2)若要保证滑块能经D点进入圆弧轨道EF,则应满足mg cos 60°=【点拨:临界条件是滑块与半圆轨道恰无作用力,重力沿半径方向的分力提供滑块做圆周运动的向心力】,根据动能定理有mgh1-mg×2r cos 60°=m,解得h1=0.125 m。
(3)根据动能定理有mgh2-mg×2r cos 60°-mg(R1+R1 cos 60°)=m,根据题意可知临界条件应满足mg=【点拨:绳模型的最高点】,或mgh2-mg×2r cos 60°=m,Fmax-mg cos 60°=【点拨:在进入圆轨道EF的瞬间,对圆轨道EF的压力最大】,解得R1=1 m,R2=0.4 m,则圆弧轨道EF半径R的取值范围为0.4 m≤R≤1 m。
题组2　动能定理在往复运动中的应用
1.★★★(2026届河北保定定州中学开学考)将一可视为质点且质量为m的物体由地面沿竖直向上的方向抛出,抛出瞬间物体的动能为Ek0,物体的动能随距离抛出点高度的关系如图所示,规定抛出点为零势能面,整个过程物体所受的空气阻力大小保持不变,图线与坐标轴的交点为已知量,重力加速度为g,则下列说法正确的是 (　　)
A.m=
B.空气阻力为物体重力的
C.物体下落过程中,距离地面的高度为时其动能等于重力势能
D.若抛出瞬间物体的动能为2Ek0,上升时,动能与重力势能相等时动能大小为
答案　B　
2.★★★★(2025届菏泽期中)如图所示,高度h=8 m、倾角θ=30°的斜面体固定在水平地面上,斜面的右侧有一劲度系数k=100 N/m的弹簧,弹簧右端与墙面拴接,原长时左端位于B点,斜面最低点A与B点间的距离x1=10 m。将一质量m=2 kg的小物块(可视为质点)以初速度v0=10 m/s水平向右抛出,下落高度H后恰好无碰撞地从斜面最高点进入斜面,然后从A点无机械能损失地进入水平地面,滑行一段时间后挤压弹簧。已知物块与斜面和水平地面间的动摩擦因数分别为μ1=、μ2=,弹簧始终在弹性限度内,其弹性势能Ep=kx2(x为弹簧的形变量),重力加速度g=10 m/s2,求:
(1)H的大小;
(2)弹簧的最大压缩量;
(3)物块最终停止的位置与A点的距离。
答案　(1)5 m　(2)2 m　(3)3.2 m
解题导引　确定平抛运动的末速度方向,研究平抛运动的竖直方向分运动确定H,以抛出点和物块压缩弹簧最大的位置作为初、末状态,确定各力做功情况和动能变化情况。
解析　(1)对物块的平抛过程,竖直方向有=2gH
物块恰好无碰撞地进入斜面可得vy=v0 tan 30°
联立解得H=5 m
(2)设弹簧的最大压缩量为x2,对物块从抛出到第一次减速到零过程,由动能定理得
mg(H+h)-μ1mg cos θ-μ2mg(x1+x2)-k=0-m
解得x2=2 m(另一解x2=-2.2 m舍去)
(3)对物块从第一次减速到零至反弹回到A点过程,由动能定理得k-μ2mg(x1+x2)=EkA-0
解得EkA=80 J
设物块从A点冲上斜面后,运动x3后速度减为零,对该过程,由动能定理得-mgx3 sin θ-μ1mg cos θ·x3=0-EkA
解得x3=3.2 m<=16 m
由μ1>tan θ可知,此后物块将保持静止,所以物块最终停在斜面上,最终停止的位置到A点的距离为3.2 m
第3节　机械能守恒定律及其应用
·机械能守恒的判断T1　　·单物体的机械能守恒问题T3、4　　·系统的机械能守恒问题T2、5~8
五年高考
1.★★(2024重庆,2,4分)2024年5月3日,嫦娥六号探测器成功发射,开启月球背面采样之旅,探测器的着陆器和上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中 (　　)
A.减速阶段所受合外力为0
B.悬停阶段不受力
C.自由下落阶段机械能守恒
D.自由下落阶段加速度大小g=9.8 m/s2
答案　C　
2.★★★(2024北京,7,3分)如图所示,光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放,物体脱离弹簧后进入半圆形轨道,恰好能够到达最高点C。下列说法正确的是　 (　　)
A.物体在C点所受合力为零
B.物体在C点的速度为零
C.物体在C点的向心加速度等于重力加速度
D.物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能
答案　C　
3.★★(2025黑吉辽蒙,13,10分)如图,一雪块从倾角θ=37°的屋顶上的O点由静止开始下滑,滑到A点后离开屋顶。O、A间距离x=2.5 m,A点距地面的高度h=1.95 m,雪块与屋顶的动摩擦因数μ=0.125。不计空气阻力,雪块质量不变,取sin 37°=0.6,重力加速度大小g=10 m/s2。求:
(1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小v0;
(2)雪块落地时的速度大小v1,及其速度方向与水平方向的夹角α。
答案　(1)5 m/s　(2)8 m/s　60°
解析　(1)雪块在屋顶从静止开始做匀加速直线运动,
根据牛顿第二定律得mg sin θ-μmg cos θ=ma
又=2ax
联立解得v0=5 m/s
(2)雪块从A点离开屋顶后做斜抛运动,
由机械能守恒定律得mgh=m-m
代入数据解得v1=8 m/s
雪块在做斜抛运动过程中,水平分速度不变,则v1 cos α=v0 cos θ
解得α=60°
思路点拨
本题求雪块落地时与水平方向的夹角,可以巧妙地在已求得初、末速度的情况下,运用斜抛运动初、末速度的水平分速度相等这一特点来列等式。
4.★★★(2025安徽,14,14分)如图,M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉,间距L=0.5 m。一根长为3L的轻绳一端系在M上,另一端竖直悬挂质量m=0.1 kg的小球,小球与水平地面接触但无压力。t=0时,小球以水平向右的初速度v0=10 m/s开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M,运动到M正下方与M相距L的位置时,绳子刚好被拉断,小球开始做平抛运动。小球可视为质点,绳子不可伸长,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小,及绳子所受的最大拉力大小;
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离;
(3)若在t=0时,只改变小球的初速度大小,使小球能通过N的正上方且绳子不松弛,求初速度的最小值。
答案　(1)4 m/s　17 N　(2)4 m　(3)2 m/s
解题导引　解答本题应注意以下关键点:
(1)根据动能定理,计算小球通过M正下方与M相距L位置时的速度大小;
(2)根据牛顿运动定律,计算绳子所受的最大拉力大小;
(3)根据平抛运动规律,计算抛出点到落地点的水平距离;
(4)根据机械能守恒和牛顿运动定律,计算小球初速度的最小值。
解析　(1)小球运动到M正下方与M相距L的位置时,绳子刚好被拉断,以小球作为研究对象,根据机械能守恒有-mg·2L=mv2-m
解得v=4 m/s
设绳子所受的最大拉力为Fm,根据牛顿第三定律可知小球所受的拉力Fm'=Fm,根据牛顿第二定律得Fm'-mg=m
解得Fm=17 N
(2)小球做平抛运动时,水平方向有x=vt
竖直方向有2L=gt2
解得x=4 m
(3)设小球的初速度最小值为v1,小球能通过N的正上方时速度的最小值为v2。
在最高点有mg=m
根据机械能守恒有-mg·5L=m-m
解得v1=2 m/s
三年模拟
5.★★★(多选)(2026届广西部分学校开学考试)古代抛石机原理简化如图所示,轻杆AB可绕转轴O在竖直面内转动,两臂长度分别为OA=2 m、OB=8 m。A处固定质量为24 kg的重物,B处放一质量为1 kg的石块。将轻杆拉到水平并由静止释放,当轻杆运动到竖直位置时石块脱离轻杆。重物与石块均可看成质点,不计空气阻力和摩擦力,取重力加速度大小g=10 m/s2,下列说法正确的是 (　　)
A.从释放到抛出前,石块机械能守恒
B.石块脱离瞬间,石块所受重力的功率为0
C.石块脱离瞬间的速度大小为20 m/s
D.石块脱离前瞬间,轻杆OA上的弹力大小为480 N
答案　BD　
6.★★★(2025届湖南常德一中模拟)如图甲所示,光滑平台上放着一根均匀链条,其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下,由静止释放链条。已知整根链条的质量为m,链条悬垂的长度为l,台面高度为2l。如果在链条的悬垂端接一质量也为m的小球(直径相对链条长度可忽略不计),如图乙所示,仍由静止释放链条。平台右边有光滑曲面D来约束链条,重力加速度为g,下列说法正确的是 (　　)
　
A.甲图中在链条下端触地瞬间,链条的速度大小为
B.乙图中在链条下端触地瞬间,链条的速度大小为
C.甲图中链条下端在触地之前,链条的加速度大小不变
D.乙图中小球在下落过程中,链条对小球的拉力在不断增大
答案　A　
7.★★★(2025届山东十三校联考)如图所示,套在光滑竖直杆上的轻弹簧与杆一起固定在水平地面上,弹簧的另一端与穿在杆上的小球相连,绕过定滑轮O点的轻绳一端连接小球,另一端连接放在光滑固定斜面上的小滑块。初始时托住小滑块,使轻绳刚好伸直但恰好无拉力,之后由静止释放小滑块,小球从M点沿杆向N点运动。已知斜面的倾角为30°,小球的质量为m,小滑块的质量为6m,ON的长度为L,ON与MN垂直。初始时轻绳与杆的夹角为37°,O点左侧的轻绳与斜面平行,小球经过N点时弹簧的弹力大小与初始时相等,重力加速度为g,sin 37°=0.6。在小球从M点向上运动到N点的过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.小球和小滑块组成的系统机械能守恒
B.弹簧的劲度系数为
C.在运动过程中小滑块的速度始终大于小球的速度
D.小球运动到N点时的速度大小为
答案　D　
8.★★★(2025届烟台龙口一中月考)如图所示,倾角为30°的光滑斜面体固定在水平面上,轻质弹簧一端连接固定在斜面底端的挡板C上,另一端连接滑块A,一轻细绳一端系在A上,另一端通过斜面顶端的定滑轮与小球B相连,细绳与斜面平行,斜面足够长。刚开始用手托住B,使细绳刚好伸直但无张力作用,现由静止释放B,B竖直下降并带动A沿斜面上升,直到B落到地面上。已知A的质量m1=2 kg,B的质量m2=12 kg,刚开始B离地面高h=0.6 m,弹簧劲度系数k=50 N/m,弹簧弹性势能Ep=kx2(x为压缩量或伸长量),g=10 m/s2,弹簧始终在弹性限度内,不计一切摩擦和空气阻力。求:
(1)弹簧恢复原长时细绳的拉力大小;
(2)滑块A速度最大时沿斜面向上运动的距离;
(3)滑块A的最大速度大小。
答案　(1) N　(2)0.6 m　(3)3 m/s
解析　(1)弹簧恢复原长时,弹簧拉力为0,设细绳的拉力大小为F,根据牛顿第二定律得
对滑块A,有F-m1g sin θ=m1a
对小球B,有m2g-F=m2a
联立解得F= N
(2)刚开始用手托住B,此时弹簧压缩量x1==0.2 m,设滑块A沿斜面向上运动获得最大速度时弹簧伸长量为x'2,有m2g=m1g sin θ+kx'2【点拨:物体A沿斜面向上运动获得最大速度时加速度刚好减小到零,此时受力平衡】
解得x'2=2.2 m
此时B早已到达地面【点拨:理论与实际不符合】,可知不符合题意;因B落地后,A向上做减速运动,则A速度最大时应该是B刚到达地面的时刻,此时弹簧被拉长x2=0.4 m,A向上移动的距离为x=h=0.6 m
(3)此过程中,系统重力势能减少,弹性势能和动能增大,根据机械能守恒得m2gx-m1gx sin θ=+(m1+m2)v2
解得v=3 m/s
第4节　功能关系　能量守恒
·常见的功能关系的理解和应用T1、3、5~7　　·能量守恒定律的理解和应用T2、4
五年高考
1.★★(2024浙江1月,3,3分)如图所示,质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3,在空中达到最高点2的高度为h,则足球 (　　)
A.从1到2动能减少mgh
B.从1到2重力势能增加mgh
C.从2到3动能增加mgh
D.从2到3机械能不变
答案　B　
2.★★(2025山东,5,3分)一辆电动小车上的光伏电池,将太阳能转换成的电能全部给电动机供电,刚好维持小车以速度v匀速运动,此时电动机的效率为50%。已知小车的质量为m,运动过程中受到的阻力f=kv(k为常量),该光伏电池的光电转换效率为η,则光伏电池单位时间内获得的太阳能为 (　　)
A. B.
C. D.
答案　A　
3.★★★(2024山东,7,3分)如图所示,质量均为m的甲、乙两同学,分别坐在水平放置的轻木板上,木板通过一根原长为l的轻质弹性绳连接,连接点等高且间距为d(dA.+μmg(l-d)
B.+μmg(l-d)
C.+2μmg(l-d)
D.+2μmg(l-d)
答案　B　
4.★★★(2024江苏,15,12分)某重力储能系统的简化模型如图所示,长度为L,倾角为θ的斜坡ABCD上,有一质量为m的重物通过绳索与电动机连接。在电动机牵引下,重物从斜坡底端A点由静止开始运动,到达B点时速度达到最大值v,然后重物被匀速拉到C点,此时关闭电动机,重物恰好能滑至顶端D点,系统储存机械能。已知绳索与斜坡平行,重物与斜坡间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,不计空气阻力和滑轮摩擦。
(1)求CD的长度x;
(2)求重物从B到C过程中,电动机的输出功率P;
(3)若不计电动机的损耗,求在整个上升过程中,系统储存的机械能E1与消耗电能E2的比值。
答案　(1)
(2)mgv　(3)
解析　(1)解法一　动力学观点
重物在CD段运动过程中,由牛顿第二定律得
mg sin θ+μmg cos θ=ma
由运动学公式有0-v2=-2ax
联立解得x=
解法二　能量观点
重物在CD段运动过程中,由动能定理有
-x=0-mv2
解得x=
(2)重物在BC段匀速运动,则电动机对重物的牵引力为F=mg sin θ+μmg cos θ
由P=Fv得P=mgv
(3)全过程中重物初、末态的动能均为0,重力势能增加,则重物增加的机械能为E1=mgL sin θ
整个过程根据题意及能量守恒可知,电动机消耗的总电能转化为重物增加的机械能(即系统储存的机械能)和因摩擦产生的热量,故可知E2=E1+μmg cos θ·L
可得==
三年模拟
5.★★(2026届山东省实验开学考)一木块静止放在光滑水平面上,一颗子弹沿水平方向射入木块,若子弹进入木块的最大深度为x1,与此同时木块沿水平面移动的距离为x2,设子弹在木块中受到的摩擦力大小不变,则在子弹进入木块的过程中 (　　)
①子弹损失的动能与木块获得的动能之比为(x1+x2)∶x2
②子弹损失的动能与系统损失的动能之比为(x1+x2)∶x1
③木块获得的动能与系统因摩擦生热损失的动能之比为x2∶x1
④木块获得的动能与系统因摩擦生热损失的动能之比为x1∶x2
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
答案　A　
6.★★★(多选)(2025届泰安四模)如图所示,一质量为10 kg的物体静止在水平地面上。现给物体施加一水平向右的推力F,物体运动过程中,推力F的大小随位移大小变化的关系式为F=80-20x(N)。已知物体与地面间的动摩擦因数μ=0.5,重力加速度g=10 m/s2,则下列说法正确的是 (　　)
A.物体运动过程中最大动能为22.5 J
B.物体运动过程中最大动能为97.5 J
C.物体运动过程中摩擦产生的热量为160 J
D.物体运动过程中摩擦产生的热量为150 J
答案　AD　
7.★★★(多选)(2025届河南名校联盟三模)某缓冲装置的理想模型如图所示,劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连,轻杆可在固定的槽内移动,与槽间的滑动摩擦力为定值。轻杆向右移动的距离不超过L时,装置可安全工作。若一小车分别以初动能Ek和2Ek撞击弹簧,导致轻杆分别向右移动和。已知装置安全工作时,轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,且不计小车与地面间的摩擦。比较小车这两次撞击缓冲的过程,下列说法正确的是 (　　)
A.弹簧的最大弹性势能为
B.轻杆与槽间的滑动摩擦力为
C.两次小车反弹离开弹簧的速度不同
D.为使装置可安全工作,小车撞击弹簧的最大动能为
答案　AD　
创新风向　模块融合
动力学+功能关系
(2025届云南曲靖一中二模)如图所示,一轻绳吊着一根粗细均匀的棒,棒下端离地面的高度为H,上端套着一个细环。棒和环的质量分别为M、m,相互间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(2>k>1,g为重力加速度),断开轻绳,棒和环自由下落。棒足够长,与地面发生弹性碰撞且触地时间极短。棒在整个运动过程中始终保持竖直,环始终套在棒上,不计空气阻力。求:
(1)棒第一次与地面碰撞时环的速度大小v;
(2)棒从与地面第一次碰撞至第二次碰撞过程中运动的路程s;
(3)从断开轻绳到棒和环都静止的过程中,棒和环摩擦产生的热量Q。
答案　(1)　(2)　(3)(M+m)gH
解题导引　受力分析,明确棒和环的运动性质,结合运动规律求路程;分析运动过程,明确能量的转化途径,从能量守恒的角度求摩擦生热。
解析　(1)棒与环一起做自由落体运动,有(M+m)gH=(M+m)v2,解得v=
(2)设棒弹起后的加速度大小为a,由牛顿第二定律有
a=
则棒第一次弹起后做匀减速直线运动,向上运动的高度h=【点拨:棒反弹时的速度和棒落地时环的速度大小相等,棒减速的加速度大小大于环减速的加速度大小,棒上升到最高点,环仍有向下的速度,此过程棒的加速度不变】
由题意有s=2h
联立解得s=
(3)设环在该过程中与棒的相对位移大小为d,由能量守恒有MgH+mg(H+d)=kmgd【点拨:棒和环最终静止于地面,两者减少的机械能最终克服摩擦力做功转化为内能】
又Q=kmgd
解得Q=(M+m)gH
微专题11　动力学和能量观点相结合的两类典型模型
题组1　传送带模型
1.★★★(多选)(2025届山东名校考试联盟二模)如图甲,某工厂采用智能调速传送带运输原料,传送带水平放置且足够长,以4 m/s的速度顺时针转动。现将一质量为2 kg的货物轻放在传送带左端,货物与传送带间的动摩擦因数μ=0.2。实时调节传送带速度,使其在货物运动过程中按图乙规律变化。重力加速度g取10 m/s2。则关于货物在3 s内的运动过程,下列说法正确的是 (　　)
　　　
A.传送带对货物做功为4 J
B.货物始终向右加速,3 s末速度达到4 m/s
C.货物相对传送带的总位移为3.5 m
D.系统因摩擦产生的热量为14 J
答案　ACD　
2.★★★(多选)(2025届陕西咸阳四模)传送带已经成为物体搬运系统机械化和自动化不可缺少的组成部分。某生产车间采用了自动化传送带来实现工件的传输。如图所示,绷紧的传送带与水平面的夹角θ=37°,传送带在电动机的带动下,始终保持v=4 m/s的速率顺时针运行,现把一质量为m=1 kg的工件(可视为质点)轻轻放在传送带的底端,工件被传送到高h=18 m的顶端,已知工件与传送带之间的动摩擦因数μ=0.8。工件在传送带底端时的势能为零,(已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度大小g=10 m/s2),则 (　　)
A.工件从底端被运送到顶端所需的时间为12.5 s
B.工件到达顶端时的机械能为180 J
C.工件与传送带之间因摩擦而产生的热量为128 J
D.电动机由于传送工件而多消耗的电能为316 J
答案　ACD　
3.★★★(2025届枣庄滕州期中)如图甲所示,倾角为θ的传送带以恒定的速率v沿逆时针方向运行。t=0时刻,质量m=2 kg的小物块以初速度v0从A端滑上传送带,小物块的速度随时间变化的图像如图乙所示,t=1.25 s时小物块从B端滑离传送带。以沿传送带向下为正方向,重力加速度g取10 m/s2,则 (　　)
　　　
A.传送带的倾角θ=37°
B.小物块对传送带做功为18 J
C.小物块在传送带上留下的痕迹长度为1.25 m
D.小物块与传送带间因摩擦而产生的热量为4.5 J
答案　B　
4.★★★(2026届菏泽市一类校期中联考)如图,一倾斜传送带在电动机带动下以速度v0=1 m/s沿顺针方向匀速转动,传送带与水平方向的夹角θ=30°,质量mA=5 kg的物块A和质量mB=1 kg的物块B由跨过定滑轮的轻绳连接,A与定滑轮间的轻绳与传送带平行。将物块A拉至传送带底端,静置于传送带上,物块A、B恰好能够静止,此时物块B距地面高度h=1.5 m。现同时让物块A获得沿传送带向上、B获得竖直向下的初速度,大小均为v1=4 m/s,B落地后,物块A继续沿传送带运动,恰好能运动到传送带顶端。已知物块B落地后立即静止,轻绳松弛后未影响物块A运动,不计滑轮的质量与摩擦,重力加速度g=10 m/s2。求:
(1)物块A与传送带间的动摩擦因数μ;
(2)传送带的长度L;
(3)与传送带上无物块相比较,物块A从传送带底端运动到最高点,整个过程中电动机少做的功。
答案　(1)　(2)1.75 m　(3)1.5 J
解析　(1)A、B处于静止状态,对A、B整体分析,
mAg sin θ=μmAg cos θ+mBg
解得μ=
(2)物块A沿传送带向上滑动且B未落地时,对A、B整体分析,
mAg sin θ+μmAg cos θ-mBg=(mA+mB)a1
设物块A上滑1.5 m时速度为v2,有-=-2a1h
解得v2=1 m/s
则物块B落地时,A与传送带共速
由于mAg sin θ>μmAg cos θ
故A与传送共速之后做匀减速直线运动
匀减速阶段,有mAg sin θ-μmAg cos θ=mAa2
设匀减速阶段的位移大小为x2,有0-=-2a2x2
传送带长度L=h+x2=1.75 m
(3)物块B未落地以前,运动时间t1=
传送带位移大小x传1=v0t1
摩擦力对传送带做的正功为W1=μmAgx传1 cos θ
物块B落地以后,运动时间t2=
传送带位移大小x传2=v0t2
摩擦力对传送带做的负功为W2=μmAgx传2 cos θ
传送带匀速转动,所以电动机少消耗的电能为E=W1-W2
解得E=1.5 J
题组2　滑块-木板模型
1.★★(多选)(2023全国乙,21,6分)如图,一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上,另一质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v0开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f,当物块从木板右端离开时 (　　)
A.木板的动能一定等于fl
B.木板的动能一定小于fl
C.物块的动能一定大于m-fl
D.物块的动能一定小于m-fl
答案　BD　
2.★★★(多选)(2025届德州禹城综合高中月考)如图所示,质量m1=1 kg的木板Q静止在水平地面上,质量m2=3 kg的物块P在木板左端,P与Q之间的动摩擦因数μ1=0.2,地面与Q之间的动摩擦因数μ2=0.1,现使物块P以v0=4 m/s的初速度在木板上向右滑动,最终P和Q都静止且P没有滑离木板Q,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是 (　　)
A.P与Q开始相对静止时的速度大小是2.5 m/s
B.木板Q长度至少为2 m
C.P与Q之间产生的热量和地面与Q之间产生的热量之比为1∶1
D.P与Q之间产生的热量和地面与Q之间产生的热量之比为2∶1
答案　BC　
3.★★★(多选)(2025届广东广州二模)如图(a),砝码置于水平桌面的薄钢板上,用水平向右的恒定拉力迅速将钢板抽出,得到砝码和钢板的速度随时间变化的图像如图(b)。已知砝码最终没有脱离桌面,各接触面间的动摩擦因数均相同,则 (　　)
　
A.0~t1与t1~t2时间内,砝码的位移相同
B.0~t1与t1~t2时间内,砝码的加速度相同
C.0~t1时间内,摩擦力对砝码做的功等于砝码动能的变化量
D.0~t1时间内,拉力做的功等于砝码和钢板总动能的变化量
答案　AC　
4.★★★★(2025届齐鲁名校第五次联考)如图所示,足够长固定斜面的倾角θ=37°,斜面顶端放一长为4.5 m的木板,其质量为m1=4 kg,与斜面间动摩擦因数为μ1=0.5,初始时被锁定。一质量为m2=1 kg的小物块(可看作质点)以沿斜面向上v0=8 m/s的速度从木板下端滑上木板,同时释放木板,物块与木板间动摩擦因数为μ2=0.3。已知sin 37°=0.6,重力加速度g取10 m/s2,以下说法正确的是 (　　)
A.物块从木板上端滑下
B.物块经2 s从木板上滑下
C.物块从木板上滑下时,木板的速度大小为3.2 m/s
D.从物块滑上木板到滑下木板过程中,整个系统因摩擦产生的热量为103.2 J
答案　D　
5.★★★★(2025届安徽卓越联盟期中联考)如图所示,质量M=1 kg、足够长的木板A静止在水平地面上,地面与木板A之间的动摩擦因数μ1=0.2,在A的左端放置一质量m=1 kg的铁块B(可视为质点),B与A间的动摩擦因数μ2=0.6,现用一水平恒力F作用在B上,初始时木板A右端距O点距离l=9 m,当木板A右端到达O点时撤去外力F。重力加速度取g=10 m/s2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)要保持A、B一起做匀加速运动,求力F的取值范围;
(2)若F=10 N,求整个过程中铁块相对木板滑行的距离;
(3)若F=12 N,求从初始到A、B都相对地面静止过程,整个系统产生的热量。
答案　(1)4 N解题导引　保持A、B一起做匀加速运动,采用整体法分析,可确定拉力要大于地面对整体的最大静摩擦力;隔离A,可确定整体一起运动的最大加速度,A和B之间的摩擦力达到最大静摩擦力时,对应力F的值最大。
解析　(1)要保持A、B一起做匀加速运动,由整体法分析可知,拉力的最小值Fmin需满足
Fmin>μ1(M+m)g=4 N
分析可知,二者一起做匀加速运动,当A、B间摩擦力达到最大静摩擦力时,拉力最大为Fmax,故对整体有
Fmax-μ1(M+m)g=(M+m)a
隔离B研究,有Fmax-μ2mg=ma
联立解得Fmax=8 N
故力F的范围为4 N(2)分析可知,F=10 N时,二者已相对滑动,对铁块B由牛顿第二定律得aB==4 m/s2
同理,对A有aA==2 m/s2
则木板A右端到达O点时,有l=aAt2
解得t=3 s
此时A的速度vA=aAt=6 m/s
此时B的位移xB=aBt2=18 m
此时B的速度vB=aBt=12 m/s
故该过程铁块相对木板滑行的距离Δx1=xB-l=9 m
撤去F后,A继续加速运动,且加速度未发生变化,aA=2 m/s2
撤去F后,B做减速运动,加速度大小为aB1==6 m/s2
设经过t1时间,二者共速,则有v共=vA+aAt1=vB-aB1t1
解得v共=7.5 m/s,t1=0.75 s
则该过程二者相对位移Δx2=-=2.25 m
共速后二者相对静止一起匀减速直线运动【点拨:μ2>μ1】,故求整个过程中铁块相对木板滑行的距离Δx总=Δx1+Δx2=11.25 m
(3)若F=12 N,由牛顿第二定律得,B的加速度aB2==6 m/s2
同理,A的加速度aA==2 m/s2
则木板A右端到达O点时,有l=aAt2
解得t=3 s
此时B的位移xB1=aB2t2=27 m
撤去F后,A、B最终速度减为零,则从初始到A、B都相对地面静止过程,整个系统产生的热量,由能量守恒可知Q热=FxB1=324 J
实验7　验证机械能守恒定律
1.(2025甘肃,11,6分)某学习小组使用如图1所示的实验装置验证机械能守恒定律。
把一个直径为d的小球用不可伸长的细线悬挂,光电门置于小球平衡位置处,其光线恰好通过小球球心,计时器与光电门相连。
将小球拉离平衡位置并记录其高度h,然后由静止释放(运动平面与光电门光线垂直),记录小球经过光电门的挡光时间Δt。改变h,测量多组数据。已知重力加速度为g,忽略阻力。
(1)以h为横坐标、　　　 为纵坐标作直线图。若所得图像过原点,且斜率为　　　　(用d和g表示),即可证明小球在运动过程中机械能守恒。
(2)实验中,用游标卡尺测得小球直径d=20.48 mm。
①由结果可知,所用的是　　　　分度的游标卡尺(填“10”“20”或“50”);
②小组设计了一把25分度的游标卡尺,未测量时的状态如图2所示。如果用此游标卡尺测量该小球直径,则游标尺上第　　　　条刻度线与主尺上的刻度线对齐。
答案　(1)　　(2)①50　②12
解析　(1)若机械能守恒,则有mgh=mv2,其中v=,整理可得= h,故应以h为横坐标、为纵坐标,所得直线的斜率为。
(2)①用10分度的游标卡尺测得结果精确到 mm=0.1 mm,以毫米为单位记录,则结果只能到小数点后一位;同理,用20分度的游标卡尺测得结果精确到 mm=0.05 mm,用50分度的游标卡尺测得结果精确到 mm=0.02 mm,0.48 mm恰好是0.02 mm的24倍,与0.05 mm没有整数倍关系,则所用的是50分度的游标卡尺。
②25分度的游标卡尺是把24 mm分成25个小格,每个小格表示 mm,与主尺上1 mm的偏差是 mm= mm=0.04 mm,测量结果以毫米为单位,整数位直接从主尺上读出,0.48 mm是根据游标尺得到的,=12,故游标尺上第12条刻度线与主尺上的刻度线对齐。
2.(2025河南,12,9分)实验小组利用图1所示装置验证机械能守恒定律。可选用的器材有:交流电源(频率50 Hz)、铁架台、电子天平、重锤、打点计时器、纸带、刻度尺等。
(1)下列所给实验步骤中,有4个是完成实验必需且正确的,把它们选择出来并按实验顺序排列:　　　(填步骤前面的序号)。
①先接通电源,打点计时器开始打点,然后再释放纸带
②先释放纸带,然后再接通电源,打点计时器开始打点
③用电子天平称量重锤的质量
④将纸带下端固定在重锤上,穿过打点计时器的限位孔,用手捏住纸带上端
⑤在纸带上选取一段,用刻度尺测量该段内各点到起点的距离,记录分析数据
⑥关闭电源,取下纸带
(2)图2所示是纸带上连续打出的五个点A、B、C、D、E到起点的距离。则打出B点时重锤下落的速度大小为　　　　m/s(保留3位有效数字)。
(3)纸带上各点与起点间的距离即为重锤下落高度h,计算相应的重锤下落速度v,并绘制图3所示的v2-h关系图像。理论上,若机械能守恒,图中直线应　　　(填“通过”或“不通过”)原点且斜率为　　　　(用重力加速度大小g表示)。由图3得直线的斜率k=　　　　　　(保留3位有效数字)。
(4)定义单次测量的相对误差η=×100%,其中Ep是重锤重力势能的减小量,Ek是其动能增加量,则实验相对误差为η=　　　　×100%(用字母k和g表示);当地重力加速度大小取g=9.80 m/s2,则η=　　　　%(保留2位有效数字),若η<5%,可认为在实验误差允许的范围内机械能守恒。
答案　(1)④①⑥⑤　(2)1.79　(3)通过　2g　19.1 m/s2(18.9 m/s2、19.0 m/s2、19.2 m/s2、19.3 m/s2均算对)　
(4)　2.6(3.6、3.1、2.0、1.5均算对)
解题导引　通过v2-h图像验证机械能守恒定律,关键是理解机械能守恒定律的表达式,然后进行合理变换。
解析　(1)需要先接通电源,再释放纸带,①正确,②错误;不需要测量重锤质量,③不是必需的;依据实验步骤先后,正确排序应为④①⑥⑤。
(2)B点的瞬时速度等于AC段的平均速度,vB== m/s=1.785 m/s≈1.79 m/s。
(3)若机械能守恒,由mgh=mv2得v2=2gh,故v2-h图像中的图线应通过原点,斜率k=2g。在图线上选点(0.29 m,5.5 m2·s-2)和(0.075 m,1.4 m2·s-2)计算斜率,可得k= m/s2≈19.1 m/s2。
(4)η=×100%=×100%=×100%。代入k=19.1 m/s2和g=9.80 m/s2可得η≈2.6%。
3.(2025江苏,11,15分)小明同学探究机械能守恒定律,实验装置如图1。实验时,将小钢球在斜槽上某位置A由静止释放,钢球沿斜槽通过末端O处的光电门,光电门记录下钢球的遮光时间t。用游标卡尺测出钢球的直径d。由v=得出其通过光电门的速度v,再计算出动能增加量ΔEk=mv2。用刻度尺测得钢球下降的高度h,计算出重力势能减少量ΔEp。
(1)安装实验装置的操作有:
①在斜槽末端安装光电门
②调节斜槽在竖直平面内
③调节斜槽末端水平
④将斜槽安装到底座上
其合理的顺序是　　　(选填“A”“B”或“C”)。
A.①②③④ B.④②③①
C.④①②③
(2)测量钢球直径的正确操作是图2中　　　(选填“甲”或“乙”)所示的方式。
(3)在斜槽上5个不同的位置由静止释放钢球。测量得出的实验数据见表1。已知钢球的质量m=0.02 kg,重力加速度g=9.80 m/s2。请将表1的数据补充完整。
表1
h/(10-2 m) 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00
ΔEk/(10-3 J) 4.90 6.25 7.45 8.78 10.0
ΔEp/(10-3 J) 7.84 9.80 11.8 13.7 　　
(4)实验数据表明,ΔEk明显小于ΔEp,钢球在下降过程中发生机械能的损失。小明认为,机械能的损失主要是由于钢球受到的摩擦力做功造成的。
为验证此猜想,小明另取一个完全相同的斜槽按图3平滑对接。若钢球从左侧斜槽上A点由静止释放,运动到右侧斜槽上,最高能到达B点,A、B两点高度差为H,则该过程中,摩擦力做功大小的理论值W理=　　　　(用m、g、H表示)。
(5)用图3的装置,按表1中所列部分高度h进行实验,测得摩擦力做功大小W测。由于观察到H值较小,小明认为:AO过程摩擦力做功近似等于AB过程的一半,即Wf=。然后通过表1的实验数据,计算出AO过程损失的机械能ΔE=ΔEp-ΔEk。整理相关数据,见表2。
表2
h/(10-2 m) 4.00 5.00 6.00 7.00
ΔE/(10-3 J) 2.94 3.55 4.35 4.92
Wf/(10-3 J) 0.98 1.08 1.18 1.27
表2中ΔE与Wf相差明显。小明认为这是由于用近似计算Wf不合理。你是否同意他的观点 请根据表2数据简要说明理由。
答案　(1)B　(2)甲　(3)15.7　(4)mgH　(5)见解析
解析　(1)根据实验装置的安装逻辑和操作依赖关系,正确的操作顺序应确保基础安装先完成,再进行细节调节,最后安装光电门,用于检测钢球通过末端的时间,此步骤应在末端位置固定后进行,以避免因调节导致光电门位置不准确,故正确排序应是④②③①,B正确。
(2)应用游标卡尺的外测量爪测量钢球直径,则题图甲中所示的方式是正确操作,题图乙中使用的内测量爪是用来测量内径的,则题图乙的操作不正确。
(3)ΔEp=mgh=15.68×10-3 J≈15.7×10-3 J【点拨:表1中数据均为三位有效数字】。
(4)钢球经过A、B两点时的速度均为零,A、B两点高度不同,对全程利用动能定理得到W理=mgH。
(5)同意小明的观点。根据题表2中的数据可知,h越大,ΔE与Wf的差值越大。钢球从A到O与从O到B过程中的同一高度对比,从A到O过程的速率较大,在轨迹有一定弧度的情况下,向心力较大,钢球所受的弹力和摩擦力较大,即从A到O过程摩擦力对钢球做的功比从O到B过程摩擦力对钢球做的功大。且随着h的增大,从A到O与从O到B的位移差值增大,导致O点左、右两侧摩擦力对钢球做功的差值增大,即ΔE与Wf的差值随h的增大而增大,故用近似计算Wf不合理。
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