第十一章　磁场--2027山东版高考物理第一轮章节练（含解析）

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2027山东版高考物理第一轮
第十一章　磁场
第1节　磁场及其对电流的作用
·电流的磁场　磁场的叠加T1、2、7　　·安培力的分析与计算T3、4
·安培力作用下的平衡和加速问题T5、6、8、9
五年高考
1.★(多选)(2023福建,6,6分)地球本身是一个大磁体,其磁场分布示意图如图所示。学术界对于地磁场的形成机制尚无共识。一种理论认为地磁场主要源于地表电荷随地球自转产生的环形电流。基于此理论,下列判断正确的是 (　　)
A.地表电荷为负电荷
B.环形电流方向与地球自转方向相同
C.若地表电荷的电荷量增加,则地磁场强度增大
D.若地球自转角速度减小,则地磁场强度增大
2.★★(2021全国甲,16,6分)两足够长直导线均折成直角,按图示方式放置在同一平面内,EO与O'Q在一条直线上,PO'与OF在一条直线上,两导线相互绝缘,通有相等的电流I,电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时,所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B,则图中与导线距离均为d的M、N两点处的磁感应强度大小分别为 (　　)
A.B、0　　B.0、2B　　C.2B、2B　　D.B、B
3.★★(2023江苏,2,4分)如图所示,匀强磁场的磁感应强度为B。L形导线通以恒定电流I,放置在磁场中。已知ab边长为2l,与磁场方向垂直,bc边长为l,与磁场方向平行。该导线受到的安培力为 (　　)
A.0 B.BIl C.2BIl D.BIl
4.★★★(2024贵州,5,4分)如图,两根相互平行的长直导线与一“凸”形导线框固定在同一竖直平面内,导线框的对称轴与两长直导线间的距离相等。已知左、右两长直导线中分别通有方向相反的恒定电流I1、I2,且I1>I2,则当导线框中通有顺时针方向的电流时,导线框所受安培力的合力方向 (　　)
A.竖直向上 B.竖直向下
C.水平向左 D.水平向右
5.★★★(多选)(2025河南,9,6分)手机拍照时手的抖动产生的微小加速度会影响拍照质量,光学防抖技术可以消除这种影响。如图,镜头仅通过左、下两侧的弹簧与手机框架相连,两个相同线圈c、d分别固定在镜头右、上两侧,c、d中的一部分处在相同的匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里。拍照时,手机可实时检测手机框架的微小加速度a的大小和方向,依此自动调节c、d中通入的电流Ic和Id的大小和方向(无抖动时Ic和Id均为零),使镜头处于零加速度状态。下列说法正确的是 (　　)
A.若Ic沿顺时针方向,Id=0,则表明a的方向向右
B.若Id沿顺时针方向,Ic=0,则表明a的方向向下
C.若a的方向沿左偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿逆时针方向且Ic>Id
D.若a的方向沿右偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿顺时针方向且Ic6.★★★(多选)(2025广东,9,6分)图是一种精确测量质量的装置原理示意图。竖直平面内,质量恒为M的称重框架由托盘和矩形线圈组成,线圈的一边始终处于垂直线圈平面的匀强磁场中,磁感应强度不变。测量分两个步骤,步骤①:托盘内放置待测物块,其质量用m表示,线圈中通大小为I的电流,使称重框架受力平衡。步骤②:线圈处于断开状态,取下物块,保持线圈不动,磁场以速率v匀速向下运动,测得线圈中感应电动势为E,利用上述测量结果可得出m的值,重力加速度为g。下列说法正确的有 (　　)
A.线圈电阻为 B.I越大,表明m越大
C.v越大,则E越小 D.m=-M
三年模拟
7.★★(2025届枣庄三模)我国特高压输电技术全球领先,如图甲所示为特高压输电线路,其中每组输电线都由6根相互平行的水平长直导线组成,使用六分裂间隔棒固定,使每组导线的横截面中心连线为正六边形,六边形中心为O点,如图乙所示。每根导线通有大小相等、方向相同的电流,已知单独一根通电导线在O点产生的磁感应强度大小为B。下列说法正确的是 (　　)
　　
A.穿过截面abcdef的磁通量不为零
B.导线b受到的安培力方向竖直向下
C.a、b、c三根导线在O点产生的磁感应强度大小为2B
D.a、b、c三根导线在O点产生的磁感应强度方向竖直向下
8.★★★(2025届青岛即墨期末)如图,用4根相同的绝缘轻质细绳把两个质量和长度都相同的通电导线a、b水平悬挂起来。电流方向如图所示,大小满足Ia=3Ib。现在导线所处的空间内,加入范围足够大的竖直向上的匀强磁场,最终达到静止状态。下列从左往右看的侧视图中,正确的是 (　　)
　　　
9.★★★(2025届山东押题考二)位于同一水平面上的两根平行金属导轨,放置在水平向左的匀强磁场中,现给出这一装置的侧视图,如图所示,一根通有恒定电流的导体棒正在导轨上向右做匀速直线运动,现将匀强磁场沿顺时针方向缓慢转过90°的过程中,导体棒始终保持匀速运动,则以下说法正确的是 (　　)
A.摩擦力Ff大小一直不变
B.摩擦力Ff先增大后减小
C.磁感应强度B先减小后增大
D.磁感应强度B先增大后减小
创新风向　模块融合
含安培力情境下巧用三角形相似来分析动态平衡问题
(2025届泰安四模)如图所示为硬通电直导线a、b的截面图,a、b平行且长度相同,a导线固定在O点正下方的地面上,b导线通过绝缘细线悬挂于O点,已知Oa=Ob,a导线通以垂直纸面向里的恒定电流,b导线通过细软导线与电源相连(忽略b与细软导线之间的相互作用力)。开始时,b导线静止于实线位置,Ob与竖直方向夹角为θ,将b中的电流缓慢增加,b缓慢移动到虚线位置再次静止,虚线与Ob夹角为θ(2θ<90°)。通电直导线的粗细可忽略不计,b导线移动过程中两导线始终保持平行。已知通电长直导线周围的磁感应强度大小的计算公式为B=,式中I为导线上的电流大小,r为某点距导线的距离,k是常数。下列说法正确的是 (　　)
A.b缓慢移动的过程中,细线对b的拉力逐渐变小
B.b缓慢移动的过程中,细线对b的拉力逐渐变大
C.b静止在实线位置时和在虚线位置时,其电流大小之比大于1∶4
D.b静止在实线位置时和在虚线位置时,其电流大小之比等于1∶4
第2节　磁场对运动电荷(带电体)的作用
·洛伦兹力T1　　·洛伦兹力作用下带电体的运动T4　　·带电粒子在匀强磁场中的运动T2、3
五年高考
1.★(2023海南,2,3分)如图所示,带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场,关于小球运动和受力的说法正确的是 (　　)
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程中的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
2.★★(2025北京,18,9分)北京谱仪是北京正负电子对撞机的一部分,它可以利用带电粒子在磁场中的运动测量粒子的质量、动量等物理量。考虑带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中的运动,且不计粒子重力及粒子间相互作用。
(1)一个电荷量为q0的粒子的速度方向与磁场方向垂直,推导得出粒子的运动周期T与质量m的关系。
(2)两个粒子质量相等,电荷量均为q。粒子1的速度方向与磁场方向垂直,粒子2的速度方向与磁场方向平行。在相同的时间内,粒子1在半径为R的圆周上转过的圆心角为θ,粒子2运动的距离为d。求:
a.粒子1与粒子2的速度大小之比v1∶v2;
b.粒子2的动量大小p2。
三年模拟
3.★★★(多选)(2025届广东开学考)如图甲所示,洛伦兹力演示仪由励磁线圈、玻璃泡、电子枪等部分组成,结构示意图如图乙所示,励磁线圈是一对彼此平行共轴的圆形线圈,当线圈通有励磁电流时,两线圈之间将产生垂直线圈平面向外的匀强磁场,且磁感应强度的大小与励磁线圈中的电流大小成正比。电子在电子枪中经加速电压加速后形成高速电子束,垂直磁场方向射入磁场,若电子束径迹在磁场中呈闭合圆形,下列说法正确的是 (　　)
　
A.励磁线圈中电流方向为顺时针方向
B.仅将励磁线圈中的电流加倍,电子在磁场中运动的轨迹半径一定减半
C.仅将励磁线圈中的电流减半,电子在磁场做圆周运动的周期一定减半
D.若励磁线圈中的电流加倍,且电子枪的加速电压变为原来的4倍,则电子的运动轨迹不变
4.★★★(多选)(2025届陕晋青宁联考一)如图所示,空间存在垂直纸面的匀强磁场,磁感应强度大小为B,足够长的木板A与光滑水平地面接触,带电荷量为+q的绝缘物块B与木板A间的动摩擦因数为μ,现用一水平恒力F拉动木板A,初始时A、B一起运动且相对静止。已知A、B的质量分别为M、m,重力加速度为g,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则 (　　)
A.若磁场方向垂直纸面向里,物块B的最大速度为
B.若磁场方向垂直纸面向里,物块B的速度大小为-时,A、B恰好发生相对运动
C.若磁场方向垂直纸面向外,木板A匀速运动的速度大小为-
D.若磁场方向垂直纸面向外,物块B将做加速度持续减小的加速运动
微专题21　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
题组1　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.★★(2021全国乙,16,6分)如图,圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1,离开磁场时速度方向偏转90°;若射入磁场时的速度大小为v2,离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力。则为 (　　)
A. B. C. D.
2.★★★(2021北京,12,3分)如图所示,在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入,并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q,OP=a。不计重力。根据上述信息可以得出　 (　　)
A.带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B.带电粒子在磁场中运动的速率
C.带电粒子在磁场中运动的时间
D.该匀强磁场的磁感应强度
3.★★★(多选)(2025甘肃,10,5分)2025年5月1日,全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图,两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动,并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为,a粒子的速度大小为va=,方向沿同心圆的径向;b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是 (　　)
A.外圆半径等于2R0
B.a粒子返回A点所用的最短时间为
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D.c粒子的速度大小为va
4.★★★(2020课标Ⅱ,24,12分)如图,在0≤x≤h,-∞0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场,不计重力。
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场,分析说明磁场的方向,并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm;
(2)如果磁感应强度大小为,粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。
题组2　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
1.★★★(多选)(2022湖北,8,4分)在如图所示的平面内,分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分,一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场,另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小均为B,SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子,离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k,不计重力。若离子从P点射出,设出射方向与入射方向的夹角为θ,则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为 (　　)
A.kBL,0° B.kBL,0°
C.kBL,60° D.2kBL,60°
2.★★★(多选)(2026届济南开学考)2025年5月,全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型聚变能实验装置(BEST)在我国正式启动总装。图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图,两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,内圆半径为R0,圆心为O。一个质量为m,带电荷量为-q的粒子从内圆上A点开始在纸面内运动,并能再次返回A点。粒子初速度的大小为v=,方向由A点指向O点。不考虑带电粒子所受的重力,下列说法正确的是 (　　)
A.外圆半径至少为R0
B.外圆半径至少为3R0
C.粒子返回A点的最短时间为
D.粒子返回A点的最短时间为
3.★★★(2024湖北,7,4分)如图所示,在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力,下列说法正确的是 (　　)
A.粒子的运动轨迹可能经过O点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短,粒子运动的速度大小为
4.★★★(多选)(2025届重庆质检六)如图所示,在ab边界的右侧和bc边界的上方有一垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。bc足够长,a、b的距离为d,且ab⊥bc,O、a、b、c共面。在O点有一粒子源,O点到ab、bc的距离均为d。打开粒子源发射装置,能够沿纸面向各个方向均匀发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子,速率v=。不计粒子重力及粒子间的相互作用力,则下列说法正确的是 (　　)
A.从ab边射出磁场的粒子数占总粒子数的
B.从bc边射出磁场的粒子数占总粒子数的
C.到达bc边的粒子在磁场中运动的最短时间为
D.能够打在ab和bc边上的所有粒子在磁场中运动的最长路径与最短路径之比为9∶2
微专题22　磁场中的动态圆模型
1.★★(2020课标Ⅲ,18,6分)真空中有一匀强磁场,磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面,磁场的方向与圆柱轴线平行,其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m, 电荷量为e, 忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,磁场的磁感应强度最小为 (　　)
A.　　 B.　　 C.　　 D.
2.★★★(2020课标Ⅰ,18,6分)一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示,为半圆,ac、bd与直径ab共线,ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子,在纸面内从c点垂直于ac射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子,其运动时间为　 (　　)
A. B. C. D.
3.★★★(2025安徽,7,4分)如图,在竖直平面内的Oxy直角坐标系中,x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。在第二象限内,垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN,MN到x轴的距离为d,上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源,沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q,质量为m,速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用,则　 (　　)
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d
C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
4.★★★(多选)(2021海南,13,4分)如图,在平面直角坐标系Oxy的第一象限内,存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0,L)点,以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场,设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α=150°时,粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则 (　　)
A.粒子一定带正电
B.当α=45°时,粒子也垂直x轴离开磁场
C.粒子入射速率为
D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L
5.★★★(多选)(2026届福建厦门六中月考)在现代电磁技术中,一束粒子平行射入圆形磁场并在磁场力作用下会聚于圆上的一点的现象称为磁聚焦,反之,称为磁发散。如图所示,以O为圆心、R为半径的圆形区域内,存在一垂直于纸面向里的匀强磁场,半径OC⊥OD。一质量为m、电荷量为q的粒子(重力不计),从C点以速度v沿纸面射入磁场,速度v的方向与CO夹角为30°,粒子由圆周上的M点(图中未画出)沿平行OD方向向右射出磁场,则下列说法正确的是 (　　)
A.粒子带正电
B.匀强磁场的磁感应强度B=
C.有粒子运动过程中会经过O点
D.若粒子在M点以速度v沿平行DO方向向左射入磁场,将从C点射出磁场
微专题23　洛伦兹力与现代科技
题组1　洛伦兹力在现代科技中的四种应用
1.★★(2021福建,2,4分)一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场,其中电场的方向与金属板垂直,磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里,如图所示。一质子H)以速度v0自O点沿中轴线射入,恰沿中轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O点沿中轴线射入,能够做匀速直线运动的是(所有粒子均不考虑重力的影响) (　　)
A.以速度射入的正电子e)
B.以速度v0射入的电子e)
C.以速度2v0射入的氘核H)
D.以速度4v0射入的α粒子He)
2.★★(多选)(2024湖北,9,4分)磁流体发电机的原理如图所示,MN和PQ是两平行金属极板,匀强磁场垂直于纸面向里。等离子体(即高温下电离的气体,含有大量正、负带电粒子)从左侧以某一速度平行于极板喷入磁场,极板间便产生电压。下列说法正确的是 (　　)
A.极板MN是发电机的正极
B.仅增大两极板间的距离,极板间的电压减小
C.仅增大等离子体的喷入速率,极板间的电压增大
D.仅增大喷入等离子体的正、负带电粒子数密度,极板间的电压增大
3.★★(2026届湖南长沙雅礼中学开学考)人体血管状况及血液流速能反映出身体健康状态,为了研究这一课题,我们做如下的简化和假设:如图所示,某段血管内径为d,血流速度方向水平向右,血液中含有大量的正、负离子,血管处于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中,M、N分别是血管上侧和下侧的两个位置。血液流量Q保持不变,下列说法正确的是 (　　)
A.M点电势高于N点电势
B.血液流速大小v=
C.N、M两点间的电势差U=
D.当血液中离子浓度升高时,N、M两点间的电势差变大
4.★★★(多选)(2025届淄博期末)电动自行车多处用到了霍尔传感器,如测速仪、无刷电机等。如图所示,厚度为h、宽度为d的金属板放在垂直于其前表面的磁感应强度大小为B的匀强磁场中,当电流通过金属板时,在金属板的上、下表面之间会产生电势差,这种现象称为霍尔效应。已知电势差UH、电流I和B的关系为UH=k,式中的k为霍尔系数。设电流I(方向如图)是由电子的定向移动形成的,金属板单位体积内电子的个数为n,电子定向移动的速率为v,电荷量为e。达到稳定状态时 (　　)
A.电子所受的洛伦兹力方向为垂直下表面向下
B.金属板上表面的电势低于下表面的电势
C.金属板上、下两表面之间的电势差UH的大小为Bdv
D.霍尔系数k=
题组2　回旋加速器
1.★★(2025届广东汕尾期末)如图所示,回旋加速器是利用磁场使带电粒子回旋至交变电场中加速的装置,图中虚线1、2是某一粒子从静止开始不断被电场加速后回旋过程的部分轨迹(其他轨迹未画出),轨迹的半径之比r1∶r2=1∶2,两轨迹中粒子的动能分别为Ek1、Ek2,角速度分别是ω1、ω2,从静止开始运动到图中两轨迹时,粒子被电场加速的次数分别为n1、n2,不计粒子重力,则 (　　)
A.两轨迹圆心位置相同
B.Ek1∶Ek2=1∶2
C.ω1∶ω2=2∶1
D.n1∶n2=1∶4
2.★★★(2025届湖北武汉三模)如图所示为一种改进后的回旋加速器示意图,狭缝M、N间加速电场的场强大小恒定,且被限制在M、N板间。M、N板右侧延长线之间的真空区域无电场和磁场,M板上方和N板下方的D形盒内有垂直于纸面的匀强磁场。带正电的粒子从M板上的入口P点无初速度进入电场中,经加速后进入磁场中做匀速圆周运动,回到电场再加速,如此反复,最终从D形盒右侧的出口射出。粒子通过狭缝的时间可忽略,不计粒子的重力,不考虑相对论效应的影响,忽略边缘效应,下列说法正确的是 (　　)
A.狭缝间的电场方向需要做周期性的变化
B.每经过一次狭缝,粒子的速度的增加量相同
C.这种回旋加速器设置相同时,不同粒子在其中运动的时间相同
D.D形盒半径不变时,同种粒子能获得的最大动能与磁场的磁感应强度大小成正比
题组3　质谱仪
1.★★(2026届莱芜一中开学考)质谱仪可用来分析带电粒子的基本性质,其示意图如图所示,其中加速电压恒定。带电粒子从静止开始被加速电场加速,经匀强磁场偏转后打在荧光屏上。图中虚线为α粒子He)和某未知带电粒子在质谱仪中的运动轨迹,不计重力,下列判断正确的是 (　　)
A.未知带电粒子的比荷一定大于α粒子的比荷
B.未知带电粒子的比荷一定小于α粒子的比荷
C.未知带电粒子的电荷量一定大于α粒子的电荷量
D.未知带电粒子的电荷量一定小于α粒子的电荷量
2.★★★(2025届山东名校考试联盟月考)质谱仪可用来分析同位素,也可以用来分析比质子质量大很多倍的离子。现在用质谱仪来分析比质子质量大很多倍的离子,其示意图如图所示,A是粒子源,释放出的带电粒子(不计重力),经小孔S1飘入电压为U的加速电场(初速度可忽略不计),加速后经小孔S3进入磁感应强度大小为B的匀强磁场中,最后打在照相底片上。第一次释放的粒子为质子,打在照相底片上的D点;第二次释放的粒子为某种一价正离子,打在照相底片上的E点。测得D点到S3的距离为d,测得E点到S3的距离为kd,则该正离子与质子的质量比为 (　　)
A.k　　　B.k2　　　C.2k　　　D.2k2
微专题24　带电粒子在组合场中的运动
题组1　带电粒子在组合场中的运动
1.★★★(多选)(2025山东,12,4分)如图甲所示的Oxy平面内,y轴右侧被直线x=3L分为两个相邻的区域Ⅰ、Ⅱ。区域Ⅰ内充满匀强电场,区域Ⅱ内充满垂直Oxy平面的匀强磁场,电场和磁场的大小、方向均未知。t=0时刻,质量为m、电荷量为+q的粒子从O点沿x轴正向出发,在Oxy平面内运动,在区域Ⅰ中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分,如图甲所示。t0时刻粒子第一次到达两区域分界面,在区域Ⅱ中运动的y-t图像为正弦曲线的一部分,如图乙所示。不计粒子重力。下列说法正确的是 (　　)
A.区域Ⅰ内电场强度大小E=,方向沿y轴正方向
B.粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径R=
C.区域Ⅱ内磁感应强度大小B=,方向垂直Oxy平面向外
D.粒子在区域Ⅱ内圆周运动的圆心坐标
2.★★★(2025湖北,14,16分)如图所示,两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为v0的初速度射出,方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为,粒子能回到O点,并在纸面内做周期性运动。不计重力,求
(1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径。
(2)粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距。
(3)粒子的运动周期。
3.★★★★(2023山东,17,14分)如图所示,在0≤x≤2d,0≤y≤2d的区域中,存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场,电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m,电荷量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场(不计粒子重力)。
(1)若粒子初速度为零,粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后,垂直NP再次进入电场,求磁场的磁感应强度B的大小;
(2)若改变电场强度大小,粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场,离开电场后从P点第二次进入电场,在电场的作用下从Q点离开。
(ⅰ)求改变后电场强度E'的大小和粒子的初速度v0;
(ⅱ)通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。
题组2　应用正则动量解决复合场问题
★★★★(2023江苏,16,15分)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时,电子沿x轴做直线运动;入射速度小于v0时,电子的运动轨迹如图中的虚线所示,且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
(1)求电场强度的大小E;
(2)若电子入射速度为,求运动到速度为时位置的纵坐标y1;
(3)若电子入射速度在0微专题25　带电粒子在叠加场中的运动
题组1　带电粒子在电、磁叠加场中的运动
1.★★(2022重庆,5,4分)2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况,某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图),电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动,其速度平行于磁场方向的分量大小为v1,垂直于磁场方向的分量大小为v2,不计离子重力,则 (　　)
A.电场力的瞬时功率为qE
B.该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C.v2与v1的比值不断变大
D.该离子的加速度大小不变
2.★★(多选)(2022广东,8,6分)如图所示,磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放,沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上,下列说法正确的有　 (　　)
A.电子从N到P,电场力做正功
B.N点的电势高于P点的电势
C.电子从M到N,洛伦兹力不做功
D.电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
3.★★★(2026届青岛开学考)如图所示,平面直角坐标系xOy中,y轴左侧区域存在方向均沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场Ⅰ,其磁感应强度大小为B1,第一象限和第四象限内分别充满垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ和Ⅲ。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从x轴上的P点以速度v0射入场区,方向与x轴正方向成60°角,此后粒子第1次经过x轴时恰好从O点进入y轴右侧区域,此时速度方向与x轴正方向间的夹角为30°,粒子恰好没有再次进入电场区域,不计粒子重力。求:
(1)电场强度大小E和O、P间的距离x1;
(2)磁场Ⅱ和磁场Ⅲ的磁感应强度大小之比;
(3)若磁场Ⅱ的磁感应强度大小为B0,粒子第6次经过x轴时位置的横坐标x2。
4.★★★★(2024山东,18,16分)如图所示,在Oxy坐标系x>0,y>0区域内充满垂直纸面向里,磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板,其两端分别位于x、y轴上M、N两点,∠OMN=60°,挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0(1)求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0;
(2)调整加速电压,当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动,求第一象限中电场强度的大小和方向;
(3)当加速电压为时,求粒子从小孔K射出后,运动过程中距离y轴最近位置的坐标。
题组2　带电粒子在含重力场的叠加场中的运动
★★★★(2025届菏泽二模)半径为R的半圆形细玻璃管固定在竖直平面内,其右端水平截面的圆心是坐标原点,内壁光滑。第二、三象限存在水平向右(即x轴正方向)的匀强电场,电场强度大小E1=,第一象限存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的非匀强磁场,电场强度大小E2=,磁感应强度大小B=ky(图中未画出)。一质量为m、电荷量为q的带正电小球从第二象限某一位置P点以大小为v0、与x轴负方向成θ=37°的速度斜向下进入匀强电场,恰好无碰撞进入细管的左端A,已知细管的内径略大于小球的直径,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求小球到达A点的速度大小及时间;
(2)小球到达细管中Q点(图中未标出)时速度达到最大,求小球从P点到Q点的过程中合力的冲量大小;
(3)若已知小球到达细管右端后以速度大小为v进入第一象限,求小球从原点运动到最高点时轨迹与x轴所围成的“面积”S。
微专题26　带电粒子在交变电磁场、空间电磁场中的运动
题组1　带电粒子在交变电磁场中的运动
★★★★★(2022河北,14,16分)两块面积和间距均足够大的金属板水平放置,如图1所示。金属板与可调电源相连形成电场,方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场,方向垂直xOy平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源,可连续释放质量为m、电荷量为q(q>0)、初速度为零的粒子,不计重力及粒子间的相互作用,图中物理量均为已知量。求:
(1)t=0时刻释放的粒子,在t=时刻的位置坐标;
(2)在0~时间内,静电力对t=0时刻释放的粒子所做的功;
(3)在M点放置一粒子接收器,在0~时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。
题组2　带电粒子在空间电磁场中的运动
1.★★★(2025届齐鲁名校联考五)如图所示,在三维坐标系Oxyz中,0(1)粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径及时间;
(2)粒子离开磁场时到O点的距离s;
(3)粒子离开电场E2时的位置坐标。
2.★★★★★(2022山东,17,14分)中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破,该装置中用电磁场约束和加速高能离子,其部分电磁场简化模型如图所示,在三维坐标系Oxyz中,0(1)当离子甲从A点出射速度为v0时,求电场强度的大小E;
(2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动,求进入磁场时的最大速度vm;
(3)离子甲以的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ,求第四次穿过xOy平面的位置坐标(用d表示);
(4)当离子甲以的速度从O点进入磁场Ⅰ时,质量为4m、带电荷量为+q的离子乙,也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ,求两离子进入磁场后,到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt(忽略离子间相互作用)。
第十一章　磁场
第1节　磁场及其对电流的作用
·电流的磁场　磁场的叠加T1、2、7　　·安培力的分析与计算T3、4
·安培力作用下的平衡和加速问题T5、6、8、9
五年高考
1.★(多选)(2023福建,6,6分)地球本身是一个大磁体,其磁场分布示意图如图所示。学术界对于地磁场的形成机制尚无共识。一种理论认为地磁场主要源于地表电荷随地球自转产生的环形电流。基于此理论,下列判断正确的是 (　　)
A.地表电荷为负电荷
B.环形电流方向与地球自转方向相同
C.若地表电荷的电荷量增加,则地磁场强度增大
D.若地球自转角速度减小,则地磁场强度增大
答案　AC　
2.★★(2021全国甲,16,6分)两足够长直导线均折成直角,按图示方式放置在同一平面内,EO与O'Q在一条直线上,PO'与OF在一条直线上,两导线相互绝缘,通有相等的电流I,电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时,所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B,则图中与导线距离均为d的M、N两点处的磁感应强度大小分别为 (　　)
A.B、0　　B.0、2B　　C.2B、2B　　D.B、B
答案　B　
3.★★(2023江苏,2,4分)如图所示,匀强磁场的磁感应强度为B。L形导线通以恒定电流I,放置在磁场中。已知ab边长为2l,与磁场方向垂直,bc边长为l,与磁场方向平行。该导线受到的安培力为 (　　)
A.0 B.BIl C.2BIl D.BIl
答案　C　
4.★★★(2024贵州,5,4分)如图,两根相互平行的长直导线与一“凸”形导线框固定在同一竖直平面内,导线框的对称轴与两长直导线间的距离相等。已知左、右两长直导线中分别通有方向相反的恒定电流I1、I2,且I1>I2,则当导线框中通有顺时针方向的电流时,导线框所受安培力的合力方向 (　　)
A.竖直向上 B.竖直向下
C.水平向左 D.水平向右
答案　C　
5.★★★(多选)(2025河南,9,6分)手机拍照时手的抖动产生的微小加速度会影响拍照质量,光学防抖技术可以消除这种影响。如图,镜头仅通过左、下两侧的弹簧与手机框架相连,两个相同线圈c、d分别固定在镜头右、上两侧,c、d中的一部分处在相同的匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里。拍照时,手机可实时检测手机框架的微小加速度a的大小和方向,依此自动调节c、d中通入的电流Ic和Id的大小和方向(无抖动时Ic和Id均为零),使镜头处于零加速度状态。下列说法正确的是 (　　)
A.若Ic沿顺时针方向,Id=0,则表明a的方向向右
B.若Id沿顺时针方向,Ic=0,则表明a的方向向下
C.若a的方向沿左偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿逆时针方向且Ic>Id
D.若a的方向沿右偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿顺时针方向且Ic答案　BC　
6.★★★(多选)(2025广东,9,6分)图是一种精确测量质量的装置原理示意图。竖直平面内,质量恒为M的称重框架由托盘和矩形线圈组成,线圈的一边始终处于垂直线圈平面的匀强磁场中,磁感应强度不变。测量分两个步骤,步骤①:托盘内放置待测物块,其质量用m表示,线圈中通大小为I的电流,使称重框架受力平衡。步骤②:线圈处于断开状态,取下物块,保持线圈不动,磁场以速率v匀速向下运动,测得线圈中感应电动势为E,利用上述测量结果可得出m的值,重力加速度为g。下列说法正确的有 (　　)
A.线圈电阻为 B.I越大,表明m越大
C.v越大,则E越小 D.m=-M
答案　BD　
三年模拟
7.★★(2025届枣庄三模)我国特高压输电技术全球领先,如图甲所示为特高压输电线路,其中每组输电线都由6根相互平行的水平长直导线组成,使用六分裂间隔棒固定,使每组导线的横截面中心连线为正六边形,六边形中心为O点,如图乙所示。每根导线通有大小相等、方向相同的电流,已知单独一根通电导线在O点产生的磁感应强度大小为B。下列说法正确的是 (　　)
　　
A.穿过截面abcdef的磁通量不为零
B.导线b受到的安培力方向竖直向下
C.a、b、c三根导线在O点产生的磁感应强度大小为2B
D.a、b、c三根导线在O点产生的磁感应强度方向竖直向下
答案　C　
8.★★★(2025届青岛即墨期末)如图,用4根相同的绝缘轻质细绳把两个质量和长度都相同的通电导线a、b水平悬挂起来。电流方向如图所示,大小满足Ia=3Ib。现在导线所处的空间内,加入范围足够大的竖直向上的匀强磁场,最终达到静止状态。下列从左往右看的侧视图中,正确的是 (　　)
　　　
答案　B　
9.★★★(2025届山东押题考二)位于同一水平面上的两根平行金属导轨,放置在水平向左的匀强磁场中,现给出这一装置的侧视图,如图所示,一根通有恒定电流的导体棒正在导轨上向右做匀速直线运动,现将匀强磁场沿顺时针方向缓慢转过90°的过程中,导体棒始终保持匀速运动,则以下说法正确的是 (　　)
A.摩擦力Ff大小一直不变
B.摩擦力Ff先增大后减小
C.磁感应强度B先减小后增大
D.磁感应强度B先增大后减小
答案　C　
创新风向　模块融合
含安培力情境下巧用三角形相似来分析动态平衡问题
(2025届泰安四模)如图所示为硬通电直导线a、b的截面图,a、b平行且长度相同,a导线固定在O点正下方的地面上,b导线通过绝缘细线悬挂于O点,已知Oa=Ob,a导线通以垂直纸面向里的恒定电流,b导线通过细软导线与电源相连(忽略b与细软导线之间的相互作用力)。开始时,b导线静止于实线位置,Ob与竖直方向夹角为θ,将b中的电流缓慢增加,b缓慢移动到虚线位置再次静止,虚线与Ob夹角为θ(2θ<90°)。通电直导线的粗细可忽略不计,b导线移动过程中两导线始终保持平行。已知通电长直导线周围的磁感应强度大小的计算公式为B=,式中I为导线上的电流大小,r为某点距导线的距离,k是常数。下列说法正确的是 (　　)
A.b缓慢移动的过程中,细线对b的拉力逐渐变小
B.b缓慢移动的过程中,细线对b的拉力逐渐变大
C.b静止在实线位置时和在虚线位置时,其电流大小之比大于1∶4
D.b静止在实线位置时和在虚线位置时,其电流大小之比等于1∶4
答案　C　
第2节　磁场对运动电荷(带电体)的作用
·洛伦兹力T1　　·洛伦兹力作用下带电体的运动T4　　·带电粒子在匀强磁场中的运动T2、3
五年高考
1.★(2023海南,2,3分)如图所示,带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场,关于小球运动和受力的说法正确的是 (　　)
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程中的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
答案　A　
2.★★(2025北京,18,9分)北京谱仪是北京正负电子对撞机的一部分,它可以利用带电粒子在磁场中的运动测量粒子的质量、动量等物理量。考虑带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中的运动,且不计粒子重力及粒子间相互作用。
(1)一个电荷量为q0的粒子的速度方向与磁场方向垂直,推导得出粒子的运动周期T与质量m的关系。
(2)两个粒子质量相等,电荷量均为q。粒子1的速度方向与磁场方向垂直,粒子2的速度方向与磁场方向平行。在相同的时间内,粒子1在半径为R的圆周上转过的圆心角为θ,粒子2运动的距离为d。求:
a.粒子1与粒子2的速度大小之比v1∶v2;
b.粒子2的动量大小p2。
答案　(1)T=·m　推导过程见解析
(2)a.(Rθ)∶d　b.
解析　(1)粒子速度方向与磁场方向垂直,粒子在垂直磁场平面内做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有q0vB=m
粒子做圆周运动的周期T=
联立可得T==·m
(2)a.设它们运动的相同时间为t,则
粒子1做匀速圆周运动,速度大小v1==
粒子2做匀速直线运动,速度大小v2=
所以粒子1与粒子2的速度大小之比v1∶v2=(Rθ)∶d
b.设两粒子的质量均为m,则
对粒子1,由洛伦兹力提供向心力有qv1B=m
粒子2的动量大小p2=mv2
联立解得p2=·v2
代入v1∶v2的值可得p2=
三年模拟
3.★★★(多选)(2025届广东开学考)如图甲所示,洛伦兹力演示仪由励磁线圈、玻璃泡、电子枪等部分组成,结构示意图如图乙所示,励磁线圈是一对彼此平行共轴的圆形线圈,当线圈通有励磁电流时,两线圈之间将产生垂直线圈平面向外的匀强磁场,且磁感应强度的大小与励磁线圈中的电流大小成正比。电子在电子枪中经加速电压加速后形成高速电子束,垂直磁场方向射入磁场,若电子束径迹在磁场中呈闭合圆形,下列说法正确的是 (　　)
　
A.励磁线圈中电流方向为顺时针方向
B.仅将励磁线圈中的电流加倍,电子在磁场中运动的轨迹半径一定减半
C.仅将励磁线圈中的电流减半,电子在磁场做圆周运动的周期一定减半
D.若励磁线圈中的电流加倍,且电子枪的加速电压变为原来的4倍,则电子的运动轨迹不变
答案　BD　
4.★★★(多选)(2025届陕晋青宁联考一)如图所示,空间存在垂直纸面的匀强磁场,磁感应强度大小为B,足够长的木板A与光滑水平地面接触,带电荷量为+q的绝缘物块B与木板A间的动摩擦因数为μ,现用一水平恒力F拉动木板A,初始时A、B一起运动且相对静止。已知A、B的质量分别为M、m,重力加速度为g,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则 (　　)
A.若磁场方向垂直纸面向里,物块B的最大速度为
B.若磁场方向垂直纸面向里,物块B的速度大小为-时,A、B恰好发生相对运动
C.若磁场方向垂直纸面向外,木板A匀速运动的速度大小为-
D.若磁场方向垂直纸面向外,物块B将做加速度持续减小的加速运动
答案　AB　
微专题21　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
题组1　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.★★(2021全国乙,16,6分)如图,圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1,离开磁场时速度方向偏转90°;若射入磁场时的速度大小为v2,离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力。则为 (　　)
A. B. C. D.
答案　B　
2.★★★(2021北京,12,3分)如图所示,在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入,并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q,OP=a。不计重力。根据上述信息可以得出　 (　　)
A.带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B.带电粒子在磁场中运动的速率
C.带电粒子在磁场中运动的时间
D.该匀强磁场的磁感应强度
答案　A　
3.★★★(多选)(2025甘肃,10,5分)2025年5月1日,全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图,两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动,并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为,a粒子的速度大小为va=,方向沿同心圆的径向;b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是 (　　)
A.外圆半径等于2R0
B.a粒子返回A点所用的最短时间为
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D.c粒子的速度大小为va
答案　BD　
4.★★★(2020课标Ⅱ,24,12分)如图,在0≤x≤h,-∞0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场,不计重力。
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场,分析说明磁场的方向,并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm;
(2)如果磁感应强度大小为,粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。
答案　(1)见解析　(2)　(2-)h
解析　(1)由题意,粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力,因此磁场方向垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R,根据洛伦兹力公式和圆周运动规律,有qv0B=m ①
由此可得R= ②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场,其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上,半径应满足R≤h ③
由题意,当磁感应强度大小为Bm时,粒子的运动半径最大,由此得Bm= ④
(2)若磁感应强度大小为,粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上,结合②④式可得,此时圆弧半径为
R'=2h ⑤
粒子会穿过图中P点离开磁场,运动轨迹如图所示。设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α,由几何关系有
sin α== ⑥
得α= ⑦
由几何关系可得,P点到x轴的距离为y=2h(1-cos α) ⑧
联立⑦⑧式得y=(2-)h ⑨
题组2　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
1.★★★(多选)(2022湖北,8,4分)在如图所示的平面内,分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分,一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场,另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小均为B,SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子,离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k,不计重力。若离子从P点射出,设出射方向与入射方向的夹角为θ,则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为 (　　)
A.kBL,0° B.kBL,0°
C.kBL,60° D.2kBL,60°
答案　BC　
2.★★★(多选)(2026届济南开学考)2025年5月,全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型聚变能实验装置(BEST)在我国正式启动总装。图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图,两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,内圆半径为R0,圆心为O。一个质量为m,带电荷量为-q的粒子从内圆上A点开始在纸面内运动,并能再次返回A点。粒子初速度的大小为v=,方向由A点指向O点。不考虑带电粒子所受的重力,下列说法正确的是 (　　)
A.外圆半径至少为R0
B.外圆半径至少为3R0
C.粒子返回A点的最短时间为
D.粒子返回A点的最短时间为
答案　AC　
3.★★★(2024湖北,7,4分)如图所示,在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力,下列说法正确的是 (　　)
A.粒子的运动轨迹可能经过O点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短,粒子运动的速度大小为
答案　D　
4.★★★(多选)(2025届重庆质检六)如图所示,在ab边界的右侧和bc边界的上方有一垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。bc足够长,a、b的距离为d,且ab⊥bc,O、a、b、c共面。在O点有一粒子源,O点到ab、bc的距离均为d。打开粒子源发射装置,能够沿纸面向各个方向均匀发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子,速率v=。不计粒子重力及粒子间的相互作用力,则下列说法正确的是 (　　)
A.从ab边射出磁场的粒子数占总粒子数的
B.从bc边射出磁场的粒子数占总粒子数的
C.到达bc边的粒子在磁场中运动的最短时间为
D.能够打在ab和bc边上的所有粒子在磁场中运动的最长路径与最短路径之比为9∶2
答案　AD　
微专题22　磁场中的动态圆模型
1.★★(2020课标Ⅲ,18,6分)真空中有一匀强磁场,磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面,磁场的方向与圆柱轴线平行,其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m, 电荷量为e, 忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,磁场的磁感应强度最小为 (　　)
A.　　 B.　　 C.　　 D.
答案　C　
2.★★★(2020课标Ⅰ,18,6分)一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示,为半圆,ac、bd与直径ab共线,ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子,在纸面内从c点垂直于ac射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子,其运动时间为　 (　　)
A. B. C. D.
答案　C　
3.★★★(2025安徽,7,4分)如图,在竖直平面内的Oxy直角坐标系中,x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。在第二象限内,垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN,MN到x轴的距离为d,上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源,沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q,质量为m,速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用,则　 (　　)
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d
C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
答案　C　
4.★★★(多选)(2021海南,13,4分)如图,在平面直角坐标系Oxy的第一象限内,存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0,L)点,以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场,设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α=150°时,粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则 (　　)
A.粒子一定带正电
B.当α=45°时,粒子也垂直x轴离开磁场
C.粒子入射速率为
D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L
答案　ACD　
5.★★★(多选)(2026届福建厦门六中月考)在现代电磁技术中,一束粒子平行射入圆形磁场并在磁场力作用下会聚于圆上的一点的现象称为磁聚焦,反之,称为磁发散。如图所示,以O为圆心、R为半径的圆形区域内,存在一垂直于纸面向里的匀强磁场,半径OC⊥OD。一质量为m、电荷量为q的粒子(重力不计),从C点以速度v沿纸面射入磁场,速度v的方向与CO夹角为30°,粒子由圆周上的M点(图中未画出)沿平行OD方向向右射出磁场,则下列说法正确的是 (　　)
A.粒子带正电
B.匀强磁场的磁感应强度B=
C.有粒子运动过程中会经过O点
D.若粒子在M点以速度v沿平行DO方向向左射入磁场,将从C点射出磁场
答案　BC　
微专题23　洛伦兹力与现代科技
题组1　洛伦兹力在现代科技中的四种应用
1.★★(2021福建,2,4分)一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场,其中电场的方向与金属板垂直,磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里,如图所示。一质子H)以速度v0自O点沿中轴线射入,恰沿中轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O点沿中轴线射入,能够做匀速直线运动的是(所有粒子均不考虑重力的影响) (　　)
A.以速度射入的正电子e)
B.以速度v0射入的电子e)
C.以速度2v0射入的氘核H)
D.以速度4v0射入的α粒子He)
答案　B　
2.★★(多选)(2024湖北,9,4分)磁流体发电机的原理如图所示,MN和PQ是两平行金属极板,匀强磁场垂直于纸面向里。等离子体(即高温下电离的气体,含有大量正、负带电粒子)从左侧以某一速度平行于极板喷入磁场,极板间便产生电压。下列说法正确的是 (　　)
A.极板MN是发电机的正极
B.仅增大两极板间的距离,极板间的电压减小
C.仅增大等离子体的喷入速率,极板间的电压增大
D.仅增大喷入等离子体的正、负带电粒子数密度,极板间的电压增大
答案　AC　
3.★★(2026届湖南长沙雅礼中学开学考)人体血管状况及血液流速能反映出身体健康状态,为了研究这一课题,我们做如下的简化和假设:如图所示,某段血管内径为d,血流速度方向水平向右,血液中含有大量的正、负离子,血管处于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中,M、N分别是血管上侧和下侧的两个位置。血液流量Q保持不变,下列说法正确的是 (　　)
A.M点电势高于N点电势
B.血液流速大小v=
C.N、M两点间的电势差U=
D.当血液中离子浓度升高时,N、M两点间的电势差变大
答案　C　
4.★★★(多选)(2025届淄博期末)电动自行车多处用到了霍尔传感器,如测速仪、无刷电机等。如图所示,厚度为h、宽度为d的金属板放在垂直于其前表面的磁感应强度大小为B的匀强磁场中,当电流通过金属板时,在金属板的上、下表面之间会产生电势差,这种现象称为霍尔效应。已知电势差UH、电流I和B的关系为UH=k,式中的k为霍尔系数。设电流I(方向如图)是由电子的定向移动形成的,金属板单位体积内电子的个数为n,电子定向移动的速率为v,电荷量为e。达到稳定状态时 (　　)
A.电子所受的洛伦兹力方向为垂直下表面向下
B.金属板上表面的电势低于下表面的电势
C.金属板上、下两表面之间的电势差UH的大小为Bdv
D.霍尔系数k=
答案　BD　
题组2　回旋加速器
1.★★(2025届广东汕尾期末)如图所示,回旋加速器是利用磁场使带电粒子回旋至交变电场中加速的装置,图中虚线1、2是某一粒子从静止开始不断被电场加速后回旋过程的部分轨迹(其他轨迹未画出),轨迹的半径之比r1∶r2=1∶2,两轨迹中粒子的动能分别为Ek1、Ek2,角速度分别是ω1、ω2,从静止开始运动到图中两轨迹时,粒子被电场加速的次数分别为n1、n2,不计粒子重力,则 (　　)
A.两轨迹圆心位置相同
B.Ek1∶Ek2=1∶2
C.ω1∶ω2=2∶1
D.n1∶n2=1∶4
答案　D　
2.★★★(2025届湖北武汉三模)如图所示为一种改进后的回旋加速器示意图,狭缝M、N间加速电场的场强大小恒定,且被限制在M、N板间。M、N板右侧延长线之间的真空区域无电场和磁场,M板上方和N板下方的D形盒内有垂直于纸面的匀强磁场。带正电的粒子从M板上的入口P点无初速度进入电场中,经加速后进入磁场中做匀速圆周运动,回到电场再加速,如此反复,最终从D形盒右侧的出口射出。粒子通过狭缝的时间可忽略,不计粒子的重力,不考虑相对论效应的影响,忽略边缘效应,下列说法正确的是 (　　)
A.狭缝间的电场方向需要做周期性的变化
B.每经过一次狭缝,粒子的速度的增加量相同
C.这种回旋加速器设置相同时,不同粒子在其中运动的时间相同
D.D形盒半径不变时,同种粒子能获得的最大动能与磁场的磁感应强度大小成正比
答案　C　
题组3　质谱仪
1.★★(2026届莱芜一中开学考)质谱仪可用来分析带电粒子的基本性质,其示意图如图所示,其中加速电压恒定。带电粒子从静止开始被加速电场加速,经匀强磁场偏转后打在荧光屏上。图中虚线为α粒子He)和某未知带电粒子在质谱仪中的运动轨迹,不计重力,下列判断正确的是 (　　)
A.未知带电粒子的比荷一定大于α粒子的比荷
B.未知带电粒子的比荷一定小于α粒子的比荷
C.未知带电粒子的电荷量一定大于α粒子的电荷量
D.未知带电粒子的电荷量一定小于α粒子的电荷量
答案　A　
2.★★★(2025届山东名校考试联盟月考)质谱仪可用来分析同位素,也可以用来分析比质子质量大很多倍的离子。现在用质谱仪来分析比质子质量大很多倍的离子,其示意图如图所示,A是粒子源,释放出的带电粒子(不计重力),经小孔S1飘入电压为U的加速电场(初速度可忽略不计),加速后经小孔S3进入磁感应强度大小为B的匀强磁场中,最后打在照相底片上。第一次释放的粒子为质子,打在照相底片上的D点;第二次释放的粒子为某种一价正离子,打在照相底片上的E点。测得D点到S3的距离为d,测得E点到S3的距离为kd,则该正离子与质子的质量比为 (　　)
A.k　　　B.k2　　　C.2k　　　D.2k2
答案　B　
微专题24　带电粒子在组合场中的运动
题组1　带电粒子在组合场中的运动
1.★★★(多选)(2025山东,12,4分)如图甲所示的Oxy平面内,y轴右侧被直线x=3L分为两个相邻的区域Ⅰ、Ⅱ。区域Ⅰ内充满匀强电场,区域Ⅱ内充满垂直Oxy平面的匀强磁场,电场和磁场的大小、方向均未知。t=0时刻,质量为m、电荷量为+q的粒子从O点沿x轴正向出发,在Oxy平面内运动,在区域Ⅰ中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分,如图甲所示。t0时刻粒子第一次到达两区域分界面,在区域Ⅱ中运动的y-t图像为正弦曲线的一部分,如图乙所示。不计粒子重力。下列说法正确的是 (　　)
A.区域Ⅰ内电场强度大小E=,方向沿y轴正方向
B.粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径R=
C.区域Ⅱ内磁感应强度大小B=,方向垂直Oxy平面向外
D.粒子在区域Ⅱ内圆周运动的圆心坐标
答案　AD　
2.★★★(2025湖北,14,16分)如图所示,两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为v0的初速度射出,方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为,粒子能回到O点,并在纸面内做周期性运动。不计重力,求
(1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径。
(2)粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距。
(3)粒子的运动周期。
答案　(1)　(2)　(3)
解题导引　粒子在MN和PQ之间做匀速直线运动,粒子能回到O点,所以粒子的整个周期性运动过程轨迹应上下对称。
解析　(1)在MN左侧的磁场中,设粒子运动轨迹半径为r,
由qv0B=可得r=。
(2)粒子从O点射出后的部分运动轨迹如图1所示,根据几何关系可得sin α=,
又O'D=OD-r=,
解得α=30°,
粒子经过MN边界上的C点,在MN和PQ边界之间的无磁场区域做匀速直线运动,从PQ边界上的E点第一次进入右侧磁场区域做半径为r'的匀速圆周运动,从PQ边界上的F点第二次经过PQ边界,在右侧磁场中由qv0·2B=可得r'=,
由几何关系可得在右侧磁场中轨迹对应圆心角为120°,所以粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距EF=2r' sin 60°,解得EF=。
　　　
(3)要使粒子能回到O点并做周期性运动,粒子的轨迹需上下对称,所以轨迹如图2所示
由几何关系得r cos α=CE sin α+,解得CE=,粒子在MN左侧磁场中的轨迹对应圆心角为240°,结合粒子在磁场中仅在洛伦兹力作用下做圆周运动的周期公式有T1=,得运动时间t1=·=,粒子在MN和PQ之间做匀速直线运动的时间t2=2×=,粒子在PQ右侧磁场中的轨迹对应圆心角为120°,结合粒子在磁场中仅在洛伦兹力作用下做圆周运动的周期公式有T2=,得运动时间t3=·=,所以粒子运动周期T=t1+t2+t3=。
3.★★★★(2023山东,17,14分)如图所示,在0≤x≤2d,0≤y≤2d的区域中,存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场,电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m,电荷量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场(不计粒子重力)。
(1)若粒子初速度为零,粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后,垂直NP再次进入电场,求磁场的磁感应强度B的大小;
(2)若改变电场强度大小,粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场,离开电场后从P点第二次进入电场,在电场的作用下从Q点离开。
(ⅰ)求改变后电场强度E'的大小和粒子的初速度v0;
(ⅱ)通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。
答案　(1)6　(2)(ⅰ)36E　9,方向沿y轴正方向　(ⅱ)见解析
解析　(1)由题意分析,带电粒子运动轨迹如图所示
易知d=3R
设带电粒子以速度v1进入磁场,在电场中有qE·2d=m
在磁场中根据洛伦兹力提供做匀速圆周运动的向心力,有qv1B=m
联立解得B=6
(2)(ⅰ)带电粒子运动轨迹如图所示,
在△PNO'中,由几何关系得r2=(2d)2+(r-d)2
解得r=d
设带电粒子以速度v2进入磁场,在磁场中根据洛伦兹力提供做匀速圆周运动的向心力,有qv2B=m
在电场中,由动能定理得qE'·2d=m-m
带电粒子从P点运动到Q点
x轴方向上有2d=v2t sin θ
y轴方向上有2d=v2t cos θ+at2
a=、sin θ=、cos θ=
联立解得v2=15
t=、E'=36E
v0=9,方向沿y轴正方向
(ⅱ)设带电粒子从Q点射出时的速度为v3,从P点第二次进入电场并运动到Q点出来,故有vx=v2 sin θ
vy=v2 cos θ+at
联立解得v3==
从Q点射出的粒子在磁场中做匀速圆周运动,有qv3B=m
解得r1=d
设v3与y轴正方向的夹角为α,若粒子能从P点第三次进入电场,对应半径为r2,则有(r2 sin α+2d)2+(r2 cos α-2d)2=
sin α=、cos α=
联立解得r2=2d
r1≠r2,故带电粒子不能从P点第三次进入电场。
题组2　应用正则动量解决复合场问题
★★★★(2023江苏,16,15分)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时,电子沿x轴做直线运动;入射速度小于v0时,电子的运动轨迹如图中的虚线所示,且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
(1)求电场强度的大小E;
(2)若电子入射速度为,求运动到速度为时位置的纵坐标y1;
(3)若电子入射速度在0答案　(1)v0B　(2)　(3)90%
解析　(1)当电子的入射速度为v0时,电子沿x轴做直线运动,则电场力与洛伦兹力平衡,有eE=ev0B,解得电场强度的大小E=v0B。
(2)解法一　动能定理
由题意可知,整个过程洛伦兹力不做功,电场力做正功,由动能定理可知,eEy1=m-m,解得y1=。
解法二　配速法
若电子沿x轴正方向的入射速度为,利用运动的分解可将初速度分解为一个沿x轴正方向的速度(大小v1=v0)和一个沿x轴负方向的速度,由v1产生的洛伦兹力ev0B与电场力eE平衡,得到电子的一个分运动为速度为v0的匀速直线运动,另一个分运动为速率为v0的匀速圆周运动。
设当v2的方向与x轴负方向的夹角为θ(如图所示)时,v1与v2的合速度大小为,由余弦定理得cos θ=,解得cos θ=,设以v2=v0做匀速圆周运动的轨迹半径为R,则ev2B=m,运动速度为时的纵坐标y1=R(1-cos θ),联立解得y1=。
(3)解法一　配速法
设能到达纵坐标y2=位置的电子做匀速圆周运动的分速度为v2',半径为R',则y2≤2R';洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力,有ev2'B=m,解得v2'≥;则电子入射速度v=v0-v2',即v≤v0;由题意可知若电子入射速度在0解法二　动能定理
若电子以v入射时,设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y,则根据动能定理有eEy=m-mv2,由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等,则
在最高点有F合=evmB-eE
在最低点有F合=eE-evB
联立有vm=-v
y=
要让电子到达纵坐标y2=位置,即y≥y2
解得v≤v0
则若电子入射速度在0解法三　动量定理在x轴方向上的应用
电子在运动过程中只有电场力做功,设电子运动中能达到的离x轴最远的距离为ym,根据动能定理有Eeym=m-mv2 ①
将电子的运动速度沿坐标轴分解,电场力沿y轴方向,在x轴方向根据动量定理可得BevyΔt=mΔvx
对电子从出发到离x轴最远这一过程利用微元法,可得
Be∑vyΔt=m(vmx-v),即Beym=m(vmx-v)
粒子离x轴最远时有vmy=0,vmx=vm
即粒子离x轴最远时,有Beym=m(vm-v) ②
将①式与②式相比可得=
将E=Bv0代入上式可得v0=
解得vm=2v0-v ③
将③式代入②式可得ym=== ④
根据题意可得满足ym≥y2,即≥,解得v≤v0
由④式可知v越小ym越大,电子入射速度在0微专题25　带电粒子在叠加场中的运动
题组1　带电粒子在电、磁叠加场中的运动
1.★★(2022重庆,5,4分)2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况,某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图),电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动,其速度平行于磁场方向的分量大小为v1,垂直于磁场方向的分量大小为v2,不计离子重力,则 (　　)
A.电场力的瞬时功率为qE
B.该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C.v2与v1的比值不断变大
D.该离子的加速度大小不变
答案　D　
2.★★(多选)(2022广东,8,6分)如图所示,磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放,沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上,下列说法正确的有　 (　　)
A.电子从N到P,电场力做正功
B.N点的电势高于P点的电势
C.电子从M到N,洛伦兹力不做功
D.电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
答案　BC　
3.★★★(2026届青岛开学考)如图所示,平面直角坐标系xOy中,y轴左侧区域存在方向均沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场Ⅰ,其磁感应强度大小为B1,第一象限和第四象限内分别充满垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ和Ⅲ。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从x轴上的P点以速度v0射入场区,方向与x轴正方向成60°角,此后粒子第1次经过x轴时恰好从O点进入y轴右侧区域,此时速度方向与x轴正方向间的夹角为30°,粒子恰好没有再次进入电场区域,不计粒子重力。求:
(1)电场强度大小E和O、P间的距离x1;
(2)磁场Ⅱ和磁场Ⅲ的磁感应强度大小之比;
(3)若磁场Ⅱ的磁感应强度大小为B0,粒子第6次经过x轴时位置的横坐标x2。
答案　(1)　　(2)2∶3　(3)
解析　(1)粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动,设圆周运动半径为r,根据洛伦兹力提供向心力得
qv0B1 sin 60°=m
粒子从P点运动至第1次到达x轴的时间t=
解得t=
设粒子运动到O点时的速度大小为v,有v0 sin 60°=v sin 30°
解得v=v0
根据牛顿第二定律有qE=ma
根据运动学公式有v cos 30°=v0 cos 60°+at
解得E=
带电粒子在沿x轴方向做匀加速直线运动,位移为x1,则
x1=v0 cos 60°·t+at2
解得x1=
(2)设磁场Ⅱ和磁场Ⅲ的磁感应强度大小分别为B2和B3,粒子在磁场Ⅱ和磁场Ⅲ中做圆周运动的半径分别为r1和r2,根据洛伦兹力提供向心力有
qvB2=,qvB3=
解得r1=,r2=
由题意得粒子在y轴右侧运动的部分轨迹,如图所示,
根据几何关系有
r2+r2 cos 60°=2r1 cos 60°
解得=
(3)若磁场Ⅱ的磁感应强度大小为B0,由(2)问的分析可知磁场Ⅲ的磁感应强度大小为1.5B0,粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径r1==
粒子在磁场Ⅲ中做圆周运动的半径r2=r1=
粒子在一个周期内沿x轴运动的位移
Δx=2r1 cos 60°-2r2 cos 60°
解得Δx=
则粒子第6次经过x轴时的位置到O点的距离
x2=2Δx+2r1 cos 60°
解得x2=
4.★★★★(2024山东,18,16分)如图所示,在Oxy坐标系x>0,y>0区域内充满垂直纸面向里,磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板,其两端分别位于x、y轴上M、N两点,∠OMN=60°,挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0(1)求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0;
(2)调整加速电压,当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动,求第一象限中电场强度的大小和方向;
(3)当加速电压为时,求粒子从小孔K射出后,运动过程中距离y轴最近位置的坐标。
答案　(1)　(2)　方向水平向右
(3)(n=0,1,2,…)
解析　(1)粒子在加速电场中加速过程有
qU0=mv2 ①
如图1,在△OMN区域中,由几何关系可知垂直挡板射入小孔K的粒子在磁场中做圆周运动的半径R= ②
洛伦兹力提供向心力,有qvB= ③
联立①②③式可得U0= ④
　　　
(2)由题意可知,粒子以最小速度从小孔K射出时,即粒子在△OMN中轨迹圆半径最小,此情况运动轨迹如图2,由几何关系可知R1= ⑤
qv1B= ⑥
联立⑤⑥式可得v1= ⑦
粒子从K射出后恰好做匀速直线运动,可知qv1B=qE ⑧
联立⑦⑧式解得E= ⑨
方向水平向右
(3)粒子在加速电场中加速有q·=m ⑩
解得v3= 11
粒子在△OMN区域中做圆周运动时有qv3B= 12
联立1112式得R3= 13
设轨迹的圆心为O',粒子运动轨迹大致如图3所示,由几何关系可知
sin θ==,可得θ=60°
将粒子进入复合场中时的速度v3分解为vy和v'
令qvyB=qE 14
得vy= 15
根据几何关系可得v'方向平行于x轴,
则v'=v3 cos θ= 16
粒子在复合场中的运动可分解为以v'为线速度的匀速圆周运动及方向竖直向上且速度为vy的匀速直线运动
则有qv'B= 17
联立1617式解得R'=L 18
匀速圆周运动的周期T= 19
在复合场中运动T(n=0,1,2,…)时粒子距离y轴最近
0~T时间内,粒子在竖直方向上向上匀速运动的距离y=vy·T=L+L 20
由于y>×L,可知粒子运动T时处于N点上方
则粒子距y轴的最近距离Δd=-R'= 21
故运动过程中距离y轴最近位置的坐标(x',y')满足
x'=Δd=
y'=×+y+R'=L(n=0,1,2,…)
即坐标为(n=0,1,2,…)
题组2　带电粒子在含重力场的叠加场中的运动
★★★★(2025届菏泽二模)半径为R的半圆形细玻璃管固定在竖直平面内,其右端水平截面的圆心是坐标原点,内壁光滑。第二、三象限存在水平向右(即x轴正方向)的匀强电场,电场强度大小E1=,第一象限存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的非匀强磁场,电场强度大小E2=,磁感应强度大小B=ky(图中未画出)。一质量为m、电荷量为q的带正电小球从第二象限某一位置P点以大小为v0、与x轴负方向成θ=37°的速度斜向下进入匀强电场,恰好无碰撞进入细管的左端A,已知细管的内径略大于小球的直径,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求小球到达A点的速度大小及时间;
(2)小球到达细管中Q点(图中未标出)时速度达到最大,求小球从P点到Q点的过程中合力的冲量大小;
(3)若已知小球到达细管右端后以速度大小为v进入第一象限,求小球从原点运动到最高点时轨迹与x轴所围成的“面积”S。
答案　(1)v0　　(2)m+mv0　(3)
解析　(1)小球从P到A的过程,水平方向有v0 cos θ=t
竖直方向有vA=v0 sin θ+gt
解得vA=v0,t=
(2)小球在第二、三象限运动过程中,所受电场力与重力的合力大小为F==mg,方向斜向右下方且与水平方向的夹角为53°
当小球在细管中运动到力F与速度方向垂直时速度达到最大,从A到Q的过程,根据动能定理有
mgR cos 37°+E1q(R+R sin 37°)=m-m
解得vQ=
从P到Q的过程,根据动量定理得I总=mvQ-m(-v0)
解得I总=m+mv0
(3)小球在第一象限运动时,E2q=mg,故仅需考虑小球所受的洛伦兹力,小球运动至最高点时y方向上的分速度为零,竖直方向根据动量定理得-∑qBvxΔt=0-mv
其中B=ky,微元累积得
-(qky1v1Δt+qky2v2Δt+qky3v3Δt+…+qkynvnΔt)=0-mv
即-(qkS1+qkS2+qkS3+…+qkSn)=0-mv
又S1+S2+S3+…+Sn=S
解得S=
微专题26　带电粒子在交变电磁场、空间电磁场中的运动
题组1　带电粒子在交变电磁场中的运动
★★★★★(2022河北,14,16分)两块面积和间距均足够大的金属板水平放置,如图1所示。金属板与可调电源相连形成电场,方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场,方向垂直xOy平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源,可连续释放质量为m、电荷量为q(q>0)、初速度为零的粒子,不计重力及粒子间的相互作用,图中物理量均为已知量。求:
(1)t=0时刻释放的粒子,在t=时刻的位置坐标;
(2)在0~时间内,静电力对t=0时刻释放的粒子所做的功;
(3)在M点放置一粒子接收器,在0~时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。
答案　(1)　(2)
(3)和
解析　(1)在0~时间内,带电粒子在电场中做匀加速直线运动
由E0q=ma,v1=at,y1=at2,解得v1=、y1=
在~时间内,带电粒子在磁场中做了半个周期的匀速圆周运动
由qB0v1=,x1=2R,解得x1=
带电粒子在0~时间内的运动轨迹如图甲所示,故在时刻带电粒子的位置坐标为。
　
(2)在时刻,v1=
在~时间内,由2E0q=ma2,v2=-v1+a2,
解得v2=
在~时间内,由3E0q=ma3,v3=-v2+a3,
解得v3=
由W=m,解得在0~时间内,静电力对带电粒子做的功为W=
(3)设=T,=a。
(ⅰ)若在0~时间内某时刻t'释放,粒子的运动轨迹如图乙所示,粒子首次加速时间为(T-t'),则首次加速后速度大小v1'=a(T-t'),在磁场内偏转的半径R1=
由(1)易知,粒子至少要再次加速并偏转才可能通过xM=
设粒子在的速度大小为v2',在磁场内偏转半径为R2=,则v2'=-v1'+2aT,解得v2'=a(T+t'),
经过两次半个周期的圆周运动,在x方向上的位移
x=2R1+2R2==
即x=··==xM,可见在0~时间内任意时刻释放,经历两次偏转后水平位移x=xM恒成立。
现分析该过程中在y方向上的位移
第一次加速后,y1'=a(T-t')2
第二次加速后,y2'=-v1'T+·2aT2=aTt'或y2'==aTt'
此时纵坐标Y=y1'+y2'=a(T-t')2+aTt'=a(T2+t'2)
经过第二次偏转后进入第三次匀变速运动,加速度为3a,
此时粒子向下运动的最大距离
Δy1===
则纵坐标的最小值
Y'=Y-Δy1=a(T2+t'2)-=a(t'2-Tt'+T2)
Y'=a,即当t'==时Y'有最小值
Ymin'=aT2=··==yM
可见当t'=时,在~阶段中粒子向下减速到速度为0时恰好能被捕获。
(ⅱ)若在~时间内某时刻释放,粒子加速时间为(T-t″),
则有v1″=2a(T-t″),y1″=·2a(T-t″)2,在x方向上的位移x1″=2R1″==-t″
可见要到达xM应在t″=0即时刻释放,
此时v1″=2aT
则y轴方向上y1″=·2aT2=aT2=·=
偏转后向下移动的最大距离Δy1'==aT2=
此时纵坐标的最小值Y″=y1″-Δy1'=>,即不可能到达yM而被捕获。
(ⅲ)若在~时间内某时刻释放,
则加速后速度v1 =3a(T-t )
在x方向上的位移x1 =2R1 ==
解得x1 =-t
令x1 =xM,即-t =,得t ==
即在+t =时刻释放能满足到达xM的条件,
此时粒子加速后的速度v0=3a=2aT=
此时Y1=·3a(T-t )2=aT2=,粒子偏转后,纵坐标的最小值Y1″=Y1-=aT2=··=<
即偏转后粒子向下运动过程中必经过M点。
综上可知在0~时间内有两个时刻即和释放的粒子满足要求。
题组2　带电粒子在空间电磁场中的运动
1.★★★(2025届齐鲁名校联考五)如图所示,在三维坐标系Oxyz中,0(1)粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径及时间;
(2)粒子离开磁场时到O点的距离s;
(3)粒子离开电场E2时的位置坐标。
答案　(1)L　t0　(2)(-1)L　(3)(L,L,L)
解析　(1)设粒子经加速电场后进入磁场时速度为v,根据动能定理可得qE1(3L-L)=mv2-0
粒子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力得qvB=m
联立解得R==L
粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,
设运动轨迹对应的圆心角为α,由几何关系可知sin α==
可知α=45°
联立解得运动时间t=·=t0
(2)根据粒子的运动轨迹,设粒子离开磁场时到O点的距离为s,结合几何知识可得
L2+(R-s)2=R2
联立解得s=(-1)L
(3)【关键:在xOy平面上方区域,粒子沿x方向做初速度为零的匀加速直线运动,沿z轴方向做匀速直线运动,沿y轴方向做匀速直线运动】在xOy平面上方区域粒子运动时间为t1,沿z轴正方向做匀速直线运动,设速度为vz,则有
vz=v cos α,L=vz·t1
沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动,设加速度大小为a1,位移大小为x,则有
qE2=ma1,x=a1
粒子沿y轴方向做匀速直线运动,设沿y方向的位移大小为y',y'=vt1 sin α
由题意可知y=s+y'
联立解得x=L,y=L,z=L
粒子离开电场E2时的位置坐标为(L,L,L)
2.★★★★★(2022山东,17,14分)中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破,该装置中用电磁场约束和加速高能离子,其部分电磁场简化模型如图所示,在三维坐标系Oxyz中,0(1)当离子甲从A点出射速度为v0时,求电场强度的大小E;
(2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动,求进入磁场时的最大速度vm;
(3)离子甲以的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ,求第四次穿过xOy平面的位置坐标(用d表示);
(4)当离子甲以的速度从O点进入磁场Ⅰ时,质量为4m、带电荷量为+q的离子乙,也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ,求两离子进入磁场后,到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt(忽略离子间相互作用)。
答案　(1)　(2)
(3)(d,d,0)　(4)
解析　(1)离子甲在电场中的运动可看成类平抛运动的逆过程
在z轴方向上有L=v0 cos β·t
在y轴方向上有v0 sin β=at
由牛顿第二定律有qE=ma
联立可得E==。
(2)当离子甲以最大速度vm进入磁场Ⅰ时,离子在yOz平面内做圆周运动,设轨迹半径为R1,由洛伦兹力提供向心力有Bqvm=,离子运动半周后从y轴上y=2R1处即坐标为(0,2R1,0)处沿z轴负方向进入磁场Ⅱ,在磁场Ⅱ内与磁感应强度垂直的平面内做圆周运动,设轨迹半径为R2,则有Bqvm=,解得R2=R1,为使离子甲始终在磁场中运动,离子甲不能出磁场Ⅰ,应满足R1≤d,离子甲在磁场Ⅱ中运动,轨迹为半圆,且恰好过(2R1,0,0),应满足R2≤3d,联立得R1≤d,故vm=。
(3)根据洛伦兹力提供向心力,Bqv=,离子甲在磁场Ⅰ、Ⅱ中轨迹半径分别为RⅠ==、RⅡ=d,离子甲在磁场Ⅰ中运动半周从y轴上第二次穿过xOy平面,坐标为(0,d,0),由RⅡ=RⅠ可知,离子甲在磁场Ⅱ中运动半周恰好从坐标(d,0,0)处第三次穿过xOy平面回到磁场Ⅰ中,离子甲回到磁场Ⅰ中后在x=d的平面内做圆周运动,运动半周第四次穿过xOy平面,此时位置坐标为(2RⅠ,2RⅠ,0),即(d,d,0)。
(4)离子乙在两磁场区域中运动的轨迹半径分别为R'Ⅰ=、R'Ⅱ=R'Ⅰ,由于mv2=×4m×v'2,解得R'Ⅰ=d、R'Ⅱ=d、v'=
由于离子甲在两磁场区域内运动轨迹半径分别为RⅠ=、RⅡ=d则在离子甲完成两次周期性运动处、离子乙完成一次周期性运动处产生第一个交点,则两离子运动到第一个交点处的时间差为Δt=-=。
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