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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块七 图形的变化
专题1 尺规作图
【考点一】尺规作图
1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图。
2．步骤
(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分。
(2)分析作图的方法和过程。
(3)用直尺和圆规进行作图。
(4)写出作法步骤，即作法。
【考点二】五种基本作图
1.作一条线段等于已知线段
（1）已知：线段a（如图）。求作：线段AC，使AC等于a。
（2）作法：①画射线AB。②以点A为圆心，a的长为半径画弧，交AB与点C，则线段AC即为所求，如图所示。
2.作一个角等于已知角
（1）已知∠AOB（如图）。求作：。
（2）作法：①作射线。②以点O为圆心，适当的长为半径画弧，交OA于点C,交OB于点D。③以点为圆心，OC的长为半径画弧，交于点。④以点为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点。⑤经过点作射线，即为所求，如图所示。
3.作已知角的平分线
（1）已知∠AOB（如图）。求作：∠AOB的平分线。
（2）作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点N，交OB于点M。②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。③连接OC，射线OC即为所求。
4.经过直线上一点作已知直线的垂线
（1）已知直线l和l上的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。
（2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。
5.经过直线外一点作已知直线的垂线
（1）已知直线l和l外的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。
（2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径在直线另一侧画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。
6.作线段的垂直平分线
（1）已知线段AB（如图）。求作：线段AB的垂直平分线。
（2）作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D。②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线，如图所示。
【考点三】基本作图的应用
1.利用基本作图作三角形
（1）已知三边作三角形；
（2）已知两边及其夹角作三角形；
（3）已知两角及其夹边作三角形；
（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；
（5）已知一直角边和斜边作直角三角形。
三角形全等（SSS\SAS\AAS）
SSS 如图，已知线段a，b，c. 求作:△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b.
SAS 如图，已知线段a，b，∠α. 求作:△ABC，使得BC=a，AC=b，∠ACB=∠α.
作法: (1)作∠C，使∠C=∠α； (2)在∠C的一边上截取CB，使CB=a； (3)在∠C的另一边上截取AC，使AC=b，连接AB △ABC即为所求.
ASA 如图，已知∠α，∠β，线段a. 求作:△ABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=a.
作法: (1)作射线AM (2)在射线AM上截取AB=a (3)作∠EAB=α，∠FBA=β (4)射线AE交射线BF于点C △ABC即为所求.
特殊三角形（等腰、直角）
等腰三角形 已知底边及底边上的高 已知线段a，h．请用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，使这个等腰三角形底边长为a，底边上的高为h．要求保留作图痕迹．
作线段 作出线段的垂直平分线，交于点D 在上截取 连接、得△ABC
直角三角形 已知直角边和斜边 已知：如图线段，，求作：△ABC，使，，
作射线，在射线上取，过作【注意：此处参考“过一点作已知直线的垂线（点在直线上)”】 以为圆心，为半径画弧交于，连接.
2.与圆有关的尺规作图
（1）过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆）
（2）作三角形的内切圆（圆心为三角形角平分线的交点）
（3）已知圆外一点P作圆的两条切线
（4）作圆内接正方形，正六边形，了解圆正五边形
圆
外接圆 过不在同一直线上的三点作圆 即三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点
分别作线段的垂直平分线，相交于点，以点为圆心，的长度为半径画圆，则即为所求。
内切圆 作三角形的内切圆 圆心为三角形角平分线的交点，该交点到三角形三边的距离相等
根据题意，任意两个角的角平分线，二线交于点O，过点O作于点D，以O为圆心，以为半径作圆，则即为所求。
切线 已知及圆外一点P，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A、点B；
连接，作线段的垂直平分线，交于点M，再以点M为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，连接 由圆周角定理可得，， 则即为所求；
圆内接正多边形
内接正方形 先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形．
内接正六边形 ①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次连接、、、、、．
内接正五边形 ①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形．
证明方法：首先结合题意并根据勾股定理解得，进而可得，易得，再在中，由勾股定理解得，即可确定的值；连接，，，，，结合为直径易得，利用三角函数可得（黄金分割三角形），由圆周角定理可得，进而可得，然后利用全等三角形的性质可证明，，即可证明结论．
黄金分割 如图1，是线段上的一点，且，即，我们把点叫作线段的黄金分割点 ，我们把叫作黄金比． 除了线段上的黄金分割外，还有另一个重要的黄金分割——黄金三角形．如图2，在中，，，平分交于点，我们把这样的叫作黄金三角形．易知也是黄金三角形，是黄金比．
【题型一】已知三边作三角形
◇典例1：
已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（ ）
①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C；
②作线段等于c；
③连接，则就是所求作图形．
A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③①
【答案】C
【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先画，确定A、B点，然后通过画弧确定C点位置，从而得到．
【详解】解：②先作线段等于c，①再以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C点，③然后连接，则就是所求作图形．
故选：C．
◆变式训练
1.下面是“作一个，使得”的尺规作图方法，
（1）作一条线段； （2）以为圆心，AC长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，， 则．
上述判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，，结合全等三角形的判定可得答案．
【详解】解：由作图可知，，，，
∴（三边分别相等的两个三角形全等）
故选：A．
2.已知：线段a，b，c．如图，求作：，使．补全下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
作法：
（1）作一条线段；
（2）分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A；
（3）连接，，就是所求作的三角形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查作三角形，根据题目描述作图即可．
【详解】解：如图，就是所求作的三角形．
【题型二】题型二 作一个角等于已知角
◇典例2：
如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作一个角等于一直角的方法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据尺规作图可得，由此可得，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，，
∴，
∴，
∴依据是，
故选：B ．
◆变式训练
1.尺规作图：作一个角等于已知角．
如图①，已知：．
求作：，使．
作法：
步骤1：如图②，以甲为圆心，任意长为半径画弧，交于点；步骤2：作射线，以点为圆心，乙长为半径画弧，交于点；步骤3：以点为圆心，丙长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；步骤4：经过点画射线，则．
则甲、乙、丙所表示的内容为：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查基本尺规作图-作两个角相等，熟记作两个角相等的操作步骤是解决问题的关键．读懂题意，结合基本尺规作图-作两个角相等的操作步骤即可得到答案．
【详解】解：步骤1：如图②，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点；
步骤2：作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
步骤3：以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；
步骤4：经过点画射线，则．
甲、乙、丙所表示的内容为，
故选：A．
2．如图，在中，．按下列要求作图：①以点为圆心，小于线段的长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，线段长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，作射线交线段于点．则和的关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，根据由作图可知，利用三角形的外角的性质得出，进而结合，判断即可．
【详解】解：由作图可知，
，，
．
故选：B．
【题型三】题型三 已知两边及其夹角作三角形
◇典例3：
如图，已知为小明根据所作的图形，若，则他作图的根据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，读懂图形的信息是解题的关键，根据判定三角形全等即可．
【详解】解∶由作图知∶，，，
∴，
故选：D．
◆变式训练
1．综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了，使．图～图是其作图过程．
（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接．
在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图和全等三角形的判定定理，解题的关键是掌握相关知识．由作图可得， ，，再结合全等三角形的判定定理即可得解．
【详解】解：由作图可得，， ，，
在和中，
，
，
在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是．
2．已知线段a，c，，求作：，使，，．
以下是排乱的作图步骤：
正确作图步骤的顺序是（ ）
A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．根据基本作图，先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接即可．
【详解】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接，
则正确作图步骤的顺序是①③②④，
故选：B．
【题型四】已知两角及其夹边作三角形
◇典例4：.
如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A．已知两边及夹角 B．已知三边
C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
【答案】C
【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法．
【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即．
故选：C．
◆变式训练
1．如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（ ）
A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的
C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的
【答案】A
【分析】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键．
根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端，利用作一个角等于已知角的方法，作，从而可得出所要求的三角形，
【详解】A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意；
B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意；
C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意；
D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
2．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可．
【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，．
作法：（1）作；
（2）在射线上截取线段；
（3）以为顶点，以为一边作，交于点，
就是所求的三角形．
由作图可知：，，，
∴
故答案为：．
【题型五】过直线外一点作这条直线的平行线
◇典例5：
如图，小庆用尺规过点作的平行线，观察作图痕迹，其中弧是（ ）
A．以点为圆心，长为半径的弧 B．以点为圆心，长为半径的弧
C．以点为圆心，长为半径的弧 D．以点为圆心，长为半径的弧
【答案】D
【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，
以点O为圆心为半径画弧，交于点D，E，再以点B为圆心，为半径画弧，交于点F，然后以点F为圆心为半径画弧交前弧于点G，作射线，则即为所求作，其中弧是以点F为圆心为半径画的弧.
【详解】解：弧是以点F为圆心为半径画的弧.
故选：D.
◆变式训练
1．如图，用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是（ ）
A．以点为圆心，线段长为半径 B．以点为圆心，线段长为半径
C．以点为圆心，线段长为半径 D．以点G为圆心，线段长为半径
【答案】C
【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，平行线的判定，熟记作图步骤是解本题的关键，根据作一个角等于已知角的作图步骤可得答案．
【详解】解：用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是：
以点为圆心，线段长为半径画；
故选：C
2．如图，用尺规作图：“过点作”，其作图依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】A
【分析】本题考查平行线的判定，尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键．本题作图是作一个角等于已知角，而两角为同位角，据此选择即可．
【详解】解：本题作图是作一个角等于已知角，而两角为同位角，
∴根据同位角相等，两直线平行．
故选：A
【题型六】判断根据条件能否作出三角形
◇典例6：
利用基本作图法，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边及其夹角 B．已知两角及夹边
C．已知两边及一边的对角 D．已知三边
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有．三角形全等的判定定理有，根据以上内容判断即可．
【详解】解：三角形全等的判定定理有，
A、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；
B、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；
C、根据已知两边及一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项符合题意；
D、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
◆变式训练
1．下列关于用尺规作图的结论错误的是（ ）
A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出
B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出
C．已知一个直角三角形的两条直角边，那么这个三角形一定可以作出
D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出
【答案】B
【分析】根据三角形全等的判定方法解答．
【详解】解：A．已知一个三角形的两角与一边，根据或，这个三角形一定可以作出，所以本选项不符合题意；
B．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，所以本选项符合题意；
C．已知一个直角三角形的两条直角边，根据，这个三角形一定可以作出，所以本选项不符合题意；
D．已知一个三角形的三条边，根据，这个三角形一定可以作出，所以本选项不符合题意．
故选：B．
2．根据下列已知条件，能画出唯一的是（ ）
A．，， B．，，
C．， D．，，
【答案】D
【分析】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：，，，两边及其中一边的对角不能画出唯一，故A不符合题意；
∵，，，
∴，故B不符合题意；
，，一边一角不能画出唯一，故C不符合题意；
当，，时，根据“”可判断的唯一性．故D符合题意；
故选D．
一、单选题
1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案．
【详解】解：由作图可得：，
∴线段一定是的高线；
故选B
2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可．
【详解】解：作直线（两点确定一条直线），
连接，
∵由作图，，
∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵，
∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴，
∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上．
∴为的外接圆．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.
本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.
【详解】解：根据上述基本作图，可得，
故可得判定三角形全等的依据是边边边，
故选A.
4．（2024·山东威海·中考真题）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可．
【详解】A、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP=BP，AQ=BQ，
点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上，
直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
B、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP= AQ，BP =BQ，
点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，
直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
C、C项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意；
D、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP= AQ，BP =BQ，
点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，
直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线等知识，读懂图像信息是解题的关键，属于中考常考题型．
5．（2024·山东德州·中考真题）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可．
【详解】解：A、由作图知，是的平分线，且，
∴，，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
B、由作图知，是的平分线，且，
∴，，不能说明与相等，
∴与不平行，故本选项符合题意；
C、由作图知，，
∴四边形是菱形，
∴，故本选项不符合题意；
D、由作图知，，
∴，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．（2025·四川遂宁·中考真题）在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键；
先根据勾股定理求出，设交于点M，作于点N，如图，利用角平分线的性质可得，利用等积法求出，进而可得，证明，再根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】解：∵在中，，
∴,
由题意可得：平分，即，
设交于点M，作于点N，如图，
则，
设，
∵，
∴，
即，
解得：，即，
则，
由作图痕迹可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
故选：A.
7．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得， 可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线．
【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分；
在图③中，利用作法得，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线．
则①③可得出射线平分．
故选：B．
8．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得．
【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意；
∴，，故B、C结论都正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故D结论错误，符合题意；
故选：D．
二、填空题
9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数 °．
【答案】60
【分析】先根据矩形的性质得出，故可得出∠ABD的度数，由角平分线的定义求出∠EBF的度数，再由EF是线段BD的垂直平分线得出∠EFB、∠BEF的度数，进而可得出结论．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴，
由尺规作图可知，BE平分∠ABD，
∴，
由尺规作图可知EF垂直平分BD，
∴∠EFB=90°，
∴，
∴∠α=∠BEF=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、角平分线以及垂直平分线的知识，解题关键是熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
10．（2024·湖北荆州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝ ．
【答案】
【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案．
【详解】解： ，
如图，连结
由作图可得：是的垂直平分线，
故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键．
11．（2024·湖北荆州·中考真题）如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为 ．
【答案】1
【分析】首先利用垂直平分线的性质得到，利用角平分线，求出，再在中用勾股定理求出，最后利用角平分线的性质求解即可．
【详解】如图所示，
由尺规作图痕迹可得，是的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由尺规作图痕迹可得，是的平分线，
∴点到的距离等于点P到的距离，即的长度，
∴点到的距离为1．
故答案为：1 ．
【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的性质，勾股定理，数形结合思想是关键．
12．（2024·西藏·中考真题）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：
（1）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；
（2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为 ．
【答案】
【分析】根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠AOB的平分线，利用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质的求解即可．
【详解】解：如图所示：
根据题意可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠BAC的平分线，
∵AB=6，∠BAC=60°，
∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，AD=AB=3，
∴AM=2MD，
在Rt△ADM中，，
即，
∴MD=，
∵AM是∠AOB的平分线，MD⊥AB，
∴点M到射线AC的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意灵活运用基本作图的知识解决问题．
三、解答题
13．（2025·新疆·中考真题）如图，在四边形中，，是对角线．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）；
(2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）分别以B、D为圆心，以大于长的一半画弧，二者交于M、N，连接分别与与边分别交于点E，F，则点E和点F即为所求；
（2）由线段垂直平分线的定义打得到，，，再由等边对等角和平行线的性质可推出，则可证明，得到，据此可证明结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：如图所示，
∵垂直平分，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
14．（2025·甘肃·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段的垂直平分线，垂足为D；
②在射线上截取；
③连接，作线段的垂直平分线交于点O；
④以点O为圆心，的长为半径作．
则就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】图见解析
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键，根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可．
【详解】解：由题意，作图如下，即为所求；
15．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线．
小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明：，，
．
在和中，
，
．
③ ．
平分．
【答案】第一步：作图见解析；第二步：①；②；③
【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
第一步：根据题意作出图形即可；
第二步：利用证明，得出即可解答．
【详解】解：第一步：作图如下：
；
第二步：证明：，，
．
在和中，
，
．
,
平分．
一、单选题
1．在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本作图可直接对由A选项和B选项中和的长，再根据基本作图和线段垂直平分线的性质、三角形三边的关系，比较和的长，可判断C，不能比较和的长，可判断D．
【详解】解：A．由作图痕迹，在上截取线段等于，则，所以A选项不符合题意；
B．由作图痕迹，在上延长线上截取线段等于，则，所以B选项不符合题意；
C．由作图痕迹，作的垂直平分线，可知，根据三角形三边关系得，即，所以C选项不符合题意；
D．由作图痕迹，作的垂直平分线，仿照C，可知，不能说明和的大小，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
2．如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义和垂直平分线的性质判断A、B，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角定理判断C、D．
【详解】解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC，
∴，；选项A、B正确；
∵，
∴∠ACD=∠A =40°，
∵，，
∴∠ABC=∠ACB =70°，
∴，选项D错误；
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP =115°，选项C正确；
故选：D
【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键
3．下列尺规作图不能得到平行线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本作图，根据同位角相等两直线平行可对A选项进行判断；根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可对B选项进行判断；根据内错角相等两直线平行可对C选项进行判断；根据平行线的判定方法可对D选项进行判断．
【详解】解：A.根据同位角相等两直线平行可知，能得到平行线，故A不符合题意；
B.根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可知，能得到平行线，故B不符合题意；
C.根据内错角相等两直线平行可知，能得到平行线，故C不符合题意；
D.作一个角的平分线和这个角一边的垂线，不一定能够得到平行线，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
4．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】过点A作BC的垂线，垂足为D，
故选B．
【点睛】考点：作图—基本作图．
5．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）
A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B
【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断．
【详解】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
故选B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键．
6．如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．
【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：
∵，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，
∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．
故选：D.
【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键．
7．通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作线段的垂直平分线可得线段的中点．
【详解】作线段的垂直平分线可得线段的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选A．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
8．如图，在中，尺规作图如下：分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点,连接，则下列结论正确的是（ ）
A．平分 B．垂直平分
C．垂直平分 D．平分
【答案】C
【详解】试题分析：根据线段垂直平分线的作法可得，GH垂直平分线段EF．
故选C．
考点：1、作图—基本作图；2、线段垂直平分线的性质
9．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【详解】试题解析： ①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选C．
考点：基本作图.
10．如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，计算的度数是（ ）
A．67°29′ B．67°9′ C．66°29′ D．66°9′
【答案】D
【分析】根据平行四边形性质，角平分线性质和线段垂直平分线性质可求出结果.
【详解】∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
由作法得垂直平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴的度数是66°9′．
故选D．
【点睛】考核知识点：线段垂直平分线，平行四边形性质.理解作图的意义是关键.
二、填空题
11．在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．
已知线段a，b，c，某同学按照下面步骤进行了规范、正确的尺规作图：
第一步，在直线上作线段；
第二步，在线段的延长线上作线段；
第三步，在线段的延长线上作线段；
第四步，在线段上作线段．
根据以上尺规作图可知，线段的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查尺规作图的定义，熟练掌握线段之间的和差是解题的关键．利用线段和差定义判断即可．
【详解】解：由图可知：，
，
，
故答案为：．
12．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
请回答：该作图的依据是 ．
【答案】故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．（其他正确依据也可以）．
【分析】由AP=AQ、BP=BQ，依据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上知点A、B在线段PQ的中垂线上，据此可得PQ⊥l．
【详解】由作图可知，AP＝AQ，所以，点A在线段PQ的垂直平分线上，同理，点B也在线段PQ的垂直平分线上，所以，有AB⊥PQ．
故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【点睛】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握线段中垂线的性质及过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图．
13．尺规作图特有的魅力使无数人沉湎其中．传说拿破仑曾通过下列尺规作图将圆等分：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点G；
③连接OG，以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆等分．顺次连接这些等分点构成的多边形面积为 ．
【答案】2r2
【分析】根据作法得到六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，则有∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，利用特殊角的三角函数值得到CD=r，AC＝r，再利用作法得到GO⊥AD，利用勾股定理求得OG=r，然后判断以OG长为半径，从点A 开始，在圆周上依次截取，刚好将圆4等分，顺次连接这些等分点构成了正方形，再利用正方形的面积公式进行计算即可.
【详解】连接AD、AC、AG，如图，
∵将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点，
∴∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD sin30°=r，AC＝AD cos30°=r，
∵GA＝GD，
∴GO⊥AD，
∴OG＝，
以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆4等分，顺次连接这些等分点构成的多边形为正方形，
∴这个多边形面积＝r r＝2r2，
故答案为2r2．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类问题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.本题也考查了正多边形和圆.
14．下面是“作顶角为 120°的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程．已知：△ABC，AB＝AC，∠A＝120°．求作：△ABC 的外接圆．作法：（1）分别以点 B 和点 C 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧的一个交点为 O；（2）连接 BO；（3）以 O 为圆心，BO 为半径作⊙O．⊙O 即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是 ．
【答案】该尺规作图的依据为：四边相等的四边形是菱形、有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形、圆的定义．
【分析】由作图知AB=OB=OC=AC可判定四边形ABOC为菱形，根据∠BAC=120°知∠BAO=∠CAO=60°，从而得∠BAO=∠CAO=60°，即△OAB、△OAC为等边三角形，继而由OB=OA=OC可得所求作的圆．
【详解】如图，连接OA、OC，
由作图知BA=BO、OC=OA，
∵AB=AC，
∴AB=OB=OC=AC，
∴四边形ABOC为菱形（四边形相等的四边形是菱形），
又∵∠BAC=120°，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
则△OAB、△OAC为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴OB=OA=OC，
∴点A、B、C在以O为圆心、OB为半径的圆上（圆的定义），
综上，该尺规作图的依据为：四边形相等的四边形是菱形、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形、圆的定义．
【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及圆的定义．
15．阅读下面材料：在教学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线.
已知：线段AB．
求作：线段AB的垂直平分线.
小芸的作法如下：如图，（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线.
老师说：“小芸的作法正确.”
请回答：小芸的作图依据是 ，
【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上：两点确定走一条直线．
【详解】试题分析：本题考查了线段垂直平分线的作法，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，根据两点决定一条直线，连接CD, 根据线段垂直平分线的性质和线的性质可得线段AB的垂直平分线.
考点：线段垂直平分线的作法；直线的性质
16．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α= °．
【答案】56
【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
【详解】如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF=∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-34°=56°，
∴∠α=56°．
故答案为：56．
三、解答题
17．《圆之吻——有趣的尺规作图》是一本关于尺规作图的综合性科普读物，其中有尺规作图，单规作图，单尺作图，锈规作图等一系列作图题，请你利用书中第六章尺规作图中给出的作法，完成下面的作图过程．
(1)如图，已知弓形，的圆心为为半径，只用圆规求作的中点．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①分别以点和点为圆心，以的半径长为半径作圆弧，再以点为圆心，两端点之间距离为半径作弧，这个圆弧与刚才所作两个圆弧在的下方分别交于点和点；
②分别以点和点为圆心，以长为半径作圆弧，在上方相交于点；
③以点为圆心，以长为半径作圆，与相交于点．
则点就是所求作的的中点；
(2)若，求的长．
【答案】(1)画图见解析
(2)
【分析】（1）根据题意进行作图；连接，证明是的垂直平分线即可；
（2）连接，通过特殊角求出的长即可．
【详解】（1）解：如图，点F即为所求作的的中点；
理由如下：连接，
由作图可得：，，
∴四边形，为平行四边形，，
∴，，，，
∴三点共线；，
∵，
∴，即是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴点就是所求作的的中点；
（2）解：如图，连接交于点G，
∵点F就是所求作的的中点，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查了作图能力，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握垂直平分是解题的关键．
18．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图1中，以射线为边，请用尺规作图在射线上方作；
(2)在图2中，请用尺规作图作点关于直线的对称点；
(3)解决实际问题：如图3，不平行的公路，（均为直线）分别经过两个加油站，现准备建一个油库，要求油库的位置点满足到两个加油站的距离相等，而且点到两条公路，的距离也相等，请用尺规作图作出点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）以点为圆心，适当长为半径画弧交于，交于，以为圆心，同样的长度为半径画弧交于，以为圆心，长度为半径画弧，两弧相交于点，作射线，即为所作；
（2）以为圆心，适当长为半径画弧交于、，以、为圆心，大于为半径画弧，交于点，作直线交于点，以为圆心，为半径画弧交于，即为所求；
（3）连接，分别以为圆心，大于为半径画弧，相交于，作直线，以为圆心，任适当长度为半径画弧交于，交于，以、为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线，交于，点即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
（2）解：如图，点即为所求；
（3）解：如图，点即为所求，
【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线、作垂直平分线、作角平分线、作一个角等于已知角，熟练掌握基本作法是解此题的关键．
19．操作与实践
(1)学习了尺规作图之后，小桂按以下步骤进行了尺规作图的练习：
第一步：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点；
第二步：过点，作直线．
根据以上作图，可知小桂作的直线是线段的________．
(2)小桂的尺规作图笔记里有这么一道题目：
如图，已知线段，，求作，使，且，高．
请你帮助小桂完成尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
(3)在（2）所作的图中，已知边上的高为，根据题意补全图形，则与的数量关系是________．
【答案】(1)垂直平分线
(2)图见解析
(3)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质等知识，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的三线合一是解题关键．
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图即可得；
（2）先作射线，在射线上截取，再作的垂直平分线，交于点，然后在射线（或射线）上截取，连接即可得；
（3）先根据等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质可得，，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】（1）解：由线段垂直平分线的尺规作图可知，小桂作的直线是线段的垂直平分线，
故答案为：垂直平分线．
（2）解：如图，即为所作．
．
（3）解：由题意补全图形如下：
∵，，
∴，，
∴，
∵边上的高为，即，
∴，
∴，
故答案为：．
20．（1）设计作平行线的尺规作图方案：已知：直线及直线外一点P．求作：经过点P的直线，使得．
分析：如图1所示，之前我们学过“推”三角尺画平行线，这种画法的实物操作图可以启发我们预设目标示意图，分析尺规作图思路．
①请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法；
②在①中用到的判定的依据是_______．
（2）已知：如图，在中，，．
求作：凸四边形，使得，且为等腰三角形．
请完成尺规作图并写出所求作的四边形，保留作图痕迹，不必写作法．
【答案】(1)①见解析；②同位角相等，两直线平行；(2)见解析
【分析】(1)①过点P任意作一条直线，交直线于点G，以点P为顶点，根据作一个角等于已知角的作法，即可作得；②根据作法，由平行线的判定定理，即可解答；
(2)分别以点A、B、D为圆心，长为半径画圆，再作线段的垂直平分线，根据交点即可求得．
【详解】解：(1)①作法：
a、过点P任意作一条直线，交直线于点G，
b、以点G为圆心，任意长为半径画弧交直线于点M，交直线于点N，
c、以点P为圆心，长为半径画弧交直线于点K，
d、以点K为圆心，长为半径画弧交上一弧于点Q，
e、过点P、Q作直线，
直线即为所求作的直线
作图如下：
②由①作法可知：，
(同位角相等，两直线平行)，
故答案为：同位角相等，两直线平行；
(2)分别以点A、B、D为圆心，长为半径画圆，再作线段的垂直平分线，
由作法可知：，
、、都是等腰三角形，
作图见图．
则凸四边形、、为所求作的凸四边形．
【点睛】本题考查了尺规作图，理解题意要求，熟练掌握和运用基本图形的作图方法是解决本题的关键．
21．同学们本学期在圆的章节学习中，我们接触了不少尺规作图的问题，接下来请同学们利用圆的相关知识，完成下列尺规作图问题：
(1)如图1：已知，在内求作一点D，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)已知中，，请在线段AB上找一点D，使得．（尺规作图2，保留作图痕迹，不写作法），如果，，则的内心到外心的距离是______．
【答案】(1)见详解
(2)作图见详解，的内心到外心的距离是
【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，相似三角形的判定，三角形的外接圆，内切圆，圆周角定理推论等知识，综合性强﹒
（1）作的垂直平分线，作的垂直平分线，两直线交于点D，连接，即为所求；
（2）以为直径作圆，交于点D，点D即为所求；
作内切圆O，切点分别为E，F，G，连接，取中点D，连接﹒先求出，说明点D为外心，得到﹒证明四边形为正方形，求出圆O半径，进而求出，，根据勾股定理求出﹒
【详解】（1）解：如图，即为所求：
证明：如图，连接，
∵为的垂直平分线，为的垂直平分线，
∴，
∴点D为外心，
以D为圆心，以为半径作圆，
∵，
∴；
（2）解：如图1，点D即为所求：
证明：∵为直径，
∴，
∴，
，
∴；
如图，作内切圆O，切点分别为E，F，G，连接，取中点D，连接﹒
∵，
∴，为外接圆的直径﹒
∴点D为外心，﹒
∵圆O为内切圆，切点分别为E，F，G，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
设圆O半径为r，则，
圆O为内切圆，切点分别为E，F，G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴﹒
在中，﹒
故答案为：﹒
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块七 图形的变化
专题1 尺规作图
【考点一】尺规作图
1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图。
2．步骤
(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分。
(2)分析作图的方法和过程。
(3)用直尺和圆规进行作图。
(4)写出作法步骤，即作法。
【考点二】五种基本作图
1.作一条线段等于已知线段
（1）已知：线段a（如图）。求作：线段AC，使AC等于a。
（2）作法：①画射线AB。②以点A为圆心，a的长为半径画弧，交AB与点C，则线段AC即为所求，如图所示。
2.作一个角等于已知角
（1）已知∠AOB（如图）。求作：。
（2）作法：①作射线。②以点O为圆心，适当的长为半径画弧，交OA于点C,交OB于点D。③以点为圆心，OC的长为半径画弧，交于点。④以点为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点。⑤经过点作射线，即为所求，如图所示。
3.作已知角的平分线
（1）已知∠AOB（如图）。求作：∠AOB的平分线。
（2）作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点N，交OB于点M。②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。③连接OC，射线OC即为所求。
4.经过直线上一点作已知直线的垂线
（1）已知直线l和l上的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。
（2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。
5.经过直线外一点作已知直线的垂线
（1）已知直线l和l外的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。
（2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径在直线另一侧画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。
6.作线段的垂直平分线
（1）已知线段AB（如图）。求作：线段AB的垂直平分线。
（2）作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D。②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线，如图所示。
【考点三】基本作图的应用
1.利用基本作图作三角形
（1）已知三边作三角形；
（2）已知两边及其夹角作三角形；
（3）已知两角及其夹边作三角形；
（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；
（5）已知一直角边和斜边作直角三角形。
三角形全等（SSS\SAS\AAS）
SSS 如图，已知线段a，b，c. 求作:△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b.
SAS 如图，已知线段a，b，∠α. 求作:△ABC，使得BC=a，AC=b，∠ACB=∠α.
作法: (1)作∠C，使∠C=∠α； (2)在∠C的一边上截取CB，使CB=a； (3)在∠C的另一边上截取AC，使AC=b，连接AB △ABC即为所求.
ASA 如图，已知∠α，∠β，线段a. 求作:△ABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=a.
作法: (1)作射线AM (2)在射线AM上截取AB=a (3)作∠EAB=α，∠FBA=β (4)射线AE交射线BF于点C △ABC即为所求.
特殊三角形（等腰、直角）
等腰三角形 已知底边及底边上的高 已知线段a，h．请用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，使这个等腰三角形底边长为a，底边上的高为h．要求保留作图痕迹．
作线段 作出线段的垂直平分线，交于点D 在上截取 连接、得△ABC
直角三角形 已知直角边和斜边 已知：如图线段，，求作：△ABC，使，，
作射线，在射线上取，过作【注意：此处参考“过一点作已知直线的垂线（点在直线上)”】 以为圆心，为半径画弧交于，连接.
2.与圆有关的尺规作图
（1）过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆）
（2）作三角形的内切圆（圆心为三角形角平分线的交点）
（3）已知圆外一点P作圆的两条切线
（4）作圆内接正方形，正六边形，了解圆正五边形
圆
外接圆 过不在同一直线上的三点作圆 即三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点
分别作线段的垂直平分线，相交于点，以点为圆心，的长度为半径画圆，则即为所求。
内切圆 作三角形的内切圆 圆心为三角形角平分线的交点，该交点到三角形三边的距离相等
根据题意，任意两个角的角平分线，二线交于点O，过点O作于点D，以O为圆心，以为半径作圆，则即为所求。
切线 已知及圆外一点P，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A、点B；
连接，作线段的垂直平分线，交于点M，再以点M为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，连接 由圆周角定理可得，， 则即为所求；
圆内接正多边形
内接正方形 先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形．
内接正六边形 ①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次连接、、、、、．
内接正五边形 ①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形．
证明方法：首先结合题意并根据勾股定理解得，进而可得，易得，再在中，由勾股定理解得，即可确定的值；连接，，，，，结合为直径易得，利用三角函数可得（黄金分割三角形），由圆周角定理可得，进而可得，然后利用全等三角形的性质可证明，，即可证明结论．
黄金分割 如图1，是线段上的一点，且，即，我们把点叫作线段的黄金分割点 ，我们把叫作黄金比． 除了线段上的黄金分割外，还有另一个重要的黄金分割——黄金三角形．如图2，在中，，，平分交于点，我们把这样的叫作黄金三角形．易知也是黄金三角形，是黄金比．
【题型一】已知三边作三角形
◇典例1：
已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（ ）
①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C；
②作线段等于c；
③连接，则就是所求作图形．
A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③①
◆变式训练
1.下面是“作一个，使得”的尺规作图方法，
（1）作一条线段； （2）以为圆心，AC长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，， 则．
上述判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
2.已知：线段a，b，c．如图，求作：，使．补全下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
作法：
（1）作一条线段；
（2）分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A；
（3）连接，，就是所求作的三角形．
【题型二】题型二 作一个角等于已知角
◇典例2：
如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.尺规作图：作一个角等于已知角．
如图①，已知：．
求作：，使．
作法：
步骤1：如图②，以甲为圆心，任意长为半径画弧，交于点；步骤2：作射线，以点为圆心，乙长为半径画弧，交于点；步骤3：以点为圆心，丙长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；步骤4：经过点画射线，则．
则甲、乙、丙所表示的内容为：（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，．按下列要求作图：①以点为圆心，小于线段的长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，线段长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，作射线交线段于点．则和的关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
【题型三】题型三 已知两边及其夹角作三角形
◇典例3：
如图，已知为小明根据所作的图形，若，则他作图的根据是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了，使．图～图是其作图过程．
（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接．
在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ）.
A． B． C． D．
2．已知线段a，c，，求作：，使，，．
以下是排乱的作图步骤：
正确作图步骤的顺序是（ ）
A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③
【题型四】已知两角及其夹边作三角形
◇典例4：.
如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A．已知两边及夹角 B．已知三边
C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
◆变式训练
1．如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（ ）
A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的
C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的
2．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ．
【题型五】过直线外一点作这条直线的平行线
◇典例5：
如图，小庆用尺规过点作的平行线，观察作图痕迹，其中弧是（ ）
A．以点为圆心，长为半径的弧 B．以点为圆心，长为半径的弧
C．以点为圆心，长为半径的弧 D．以点为圆心，长为半径的弧
◆变式训练
1．如图，用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是（ ）
A．以点为圆心，线段长为半径 B．以点为圆心，线段长为半径
C．以点为圆心，线段长为半径 D．以点G为圆心，线段长为半径
2．如图，用尺规作图：“过点作”，其作图依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
【题型六】判断根据条件能否作出三角形
◇典例6：
利用基本作图法，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边及其夹角 B．已知两角及夹边
C．已知两边及一边的对角 D．已知三边
◆变式训练
1．下列关于用尺规作图的结论错误的是（ ）
A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出
B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出
C．已知一个直角三角形的两条直角边，那么这个三角形一定可以作出
D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出
2．根据下列已知条件，能画出唯一的是（ ）
A．，， B．，，
C．， D．，，
一、单选题
1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
3．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
4．（2024·山东威海·中考真题）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是( )
A． B．
C． D．
5．（2024·山东德州·中考真题）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·四川遂宁·中考真题）在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（ ）
A． B． C．6 D．
7．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
8．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数 °．
10．（2024·湖北荆州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝ ．
11．（2024·湖北荆州·中考真题）如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为 ．
12．（2024·西藏·中考真题）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：
（1）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；
（2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为 ．
三、解答题
13．（2025·新疆·中考真题）如图，在四边形中，，是对角线．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）；
(2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形．
14．（2025·甘肃·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段的垂直平分线，垂足为D；
②在射线上截取；
③连接，作线段的垂直平分线交于点O；
④以点O为圆心，的长为半径作．
则就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
15．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线．
小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明：，，
．
在和中，
，
．
③ ．
平分．
一、单选题
1．在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列尺规作图不能得到平行线的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A．B．C．D．
5．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）
A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
6．如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，尺规作图如下：分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点,连接，则下列结论正确的是（ ）
A．平分 B．垂直平分
C．垂直平分 D．平分
9．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，计算的度数是（ ）
A．67°29′ B．67°9′ C．66°29′ D．66°9′
二、填空题
11．在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．
已知线段a，b，c，某同学按照下面步骤进行了规范、正确的尺规作图：
第一步，在直线上作线段；
第二步，在线段的延长线上作线段；
第三步，在线段的延长线上作线段；
第四步，在线段上作线段．
根据以上尺规作图可知，线段的长是 ．
12．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
请回答：该作图的依据是 ．
13．尺规作图特有的魅力使无数人沉湎其中．传说拿破仑曾通过下列尺规作图将圆等分：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点G；
③连接OG，以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆等分．顺次连接这些等分点构成的多边形面积为 ．
14．下面是“作顶角为 120°的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程．已知：△ABC，AB＝AC，∠A＝120°．求作：△ABC 的外接圆．作法：（1）分别以点 B 和点 C 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧的一个交点为 O；（2）连接 BO；（3）以 O 为圆心，BO 为半径作⊙O．⊙O 即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是 ．
15．阅读下面材料：在教学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线.
已知：线段AB．
求作：线段AB的垂直平分线.
小芸的作法如下：如图，（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线.
老师说：“小芸的作法正确.”
请回答：小芸的作图依据是 ，
16．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α= °．
三、解答题
17．《圆之吻——有趣的尺规作图》是一本关于尺规作图的综合性科普读物，其中有尺规作图，单规作图，单尺作图，锈规作图等一系列作图题，请你利用书中第六章尺规作图中给出的作法，完成下面的作图过程．
(1)如图，已知弓形，的圆心为为半径，只用圆规求作的中点．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①分别以点和点为圆心，以的半径长为半径作圆弧，再以点为圆心，两端点之间距离为半径作弧，这个圆弧与刚才所作两个圆弧在的下方分别交于点和点；
②分别以点和点为圆心，以长为半径作圆弧，在上方相交于点；
③以点为圆心，以长为半径作圆，与相交于点．
则点就是所求作的的中点；
(2)若，求的长．
18．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图1中，以射线为边，请用尺规作图在射线上方作；
(2)在图2中，请用尺规作图作点关于直线的对称点；
(3)解决实际问题：如图3，不平行的公路，（均为直线）分别经过两个加油站，现准备建一个油库，要求油库的位置点满足到两个加油站的距离相等，而且点到两条公路，的距离也相等，请用尺规作图作出点．
19．操作与实践
(1)学习了尺规作图之后，小桂按以下步骤进行了尺规作图的练习：
第一步：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点；
第二步：过点，作直线．
根据以上作图，可知小桂作的直线是线段的________．
(2)小桂的尺规作图笔记里有这么一道题目：
如图，已知线段，，求作，使，且，高．
请你帮助小桂完成尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
(3)在（2）所作的图中，已知边上的高为，根据题意补全图形，则与的数量关系是________．
20．（1）设计作平行线的尺规作图方案：已知：直线及直线外一点P．求作：经过点P的直线，使得．
分析：如图1所示，之前我们学过“推”三角尺画平行线，这种画法的实物操作图可以启发我们预设目标示意图，分析尺规作图思路．
①请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法；
②在①中用到的判定的依据是_______．
（2）已知：如图，在中，，．
求作：凸四边形，使得，且为等腰三角形．
请完成尺规作图并写出所求作的四边形，保留作图痕迹，不必写作法．
21．同学们本学期在圆的章节学习中，我们接触了不少尺规作图的问题，接下来请同学们利用圆的相关知识，完成下列尺规作图问题：
(1)如图1：已知，在内求作一点D，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)已知中，，请在线段AB上找一点D，使得．（尺规作图2，保留作图痕迹，不写作法），如果，，则的内心到外心的距离是______．
路径长．
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