解析几何中的范围、最值问题 高频考点梳理 专题练 2026届高考数学复习备考

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解析几何中的范围、最值问题 高频考点梳理
专题练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
2．若直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的左、右顶点分别为点，，点在双曲线的右支上且异于点.若直线的斜率的取值范围是，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点满足，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．4
5．已知点是椭圆上除顶点以外的动点，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．已知点椭圆上一点，椭圆的焦点是，则下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长是9 B．椭圆焦距是
C．存在使得 D．三角形的面积的最大值是
7．已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（ ）
A．的最小值为12 B．的最小值为6
C．的最小值为 D．的最大值为2
8．已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．设，为椭圆的左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于，两点，当四边形面积最大时，的值等于 ．
10．已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上一动点，平面内存在一点，使的周长最小，则点的坐标为 ．
11．在平面直角坐标系中，已知，圆，设点，过点的直线与圆切于点，且，则长度的最小值是 .
12．，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．
四、解答题
13．已知方程．
(1)若方程表示一条直线，求实数的取值范围；
(2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数的值，并求出此时的直线方程；
(3)若方程表示的直线在轴上的截距为，求实数的值；
(4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值．
14．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.
15．已知椭圆：，左右焦点分别为，，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，又P，Q是上异于椭圆顶点的两点.
(1)若点Q在第一象限且满足的面积比的面积大，求点Q的横坐标的取值范围；
(2)若线段的中点坐标为，求直线的方程；
16．已知动圆与圆外切，与圆内切，记动圆圆心的运动轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若分别是的左 右顶点，是圆上一点，设和的夹角为，求的取值范围.
17．已知椭圆．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设、、是椭圆上的不同三点，若，点为线段的中点，求证：点在椭圆上；
(3)已知直线过点且斜率为，直线与椭圆相交于，设与的面积比为，当时，求实数的取值范围．
18．已知椭圆的离心率为，焦距为．

(1)求椭圆的方程；
(2)过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为．
（I）证明：；
（II）求四边形面积的取值范围．
19．已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线与双曲线交于，两点.
(1)若轴，求线段的长；
(2)若直线与双曲线的左、右两支相交，且直线交轴于点，直线交轴于点.
（i）若，求直线的方程；
（ii）若，恒在以为直径的圆内部，求直线的斜率的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A C C BCD AC ACD
1．A
【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解.
【详解】设曲线上一点为，则，则，
，方程为：，即，
根据点到直线的距离公式，到的距离为：，
设，
由于，显然关于单调递减，，无最小值，
即中，边上的高有最大值，无最小值，
又一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
2．B
【分析】由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解.
【详解】由，可得圆心坐标，
因为直线过圆心，
所以，即，
所以
（当且仅当，即）取等号，
所以的最小值为，
故选：B
3．A
【分析】由双曲线方程可得，，设，代入双曲线方程可得.结合斜率公式、不等式的性质及题干条件即可求解.
【详解】由双曲线方程可得，，设，
则，即.
所以，所以.
又，所以.
故选：A.
4．C
【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解.
【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离，
又，所以点到点的距离等于点到直线的距离，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为，
设，则，
当且仅当时，等号成立，
故选：C.
5．C
【分析】设直线，，相交于点，由三角形全等得到为的中点，，由中位线用表示，从而得到取值范围.
【详解】设直线，，相交于点，

因为，所以，即，又因为，是公共边，
所以与全等，所以为的中点，，
又为线段的中点，所以.
在中，，
因为存在，所以不共线，所以不能取等号，
又因为不是顶点，所以，即，所以，
所以.
故选：C.
6．BCD
【分析】根据椭圆的几何性质逐个判断即可.
【详解】，
所以，
对于A：因为，所以长轴为，A错误；
对于B：因为，所以焦距为，B正确；
对于C：当取到上顶点时此时取到最大值，
此时，，
所以，所以此时为钝角，
所以存在使得，C正确；
对于D：当取到上顶点时此时三角形的面积取到最大值，
此时，D正确，
故选：BCD
7．AC
【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案.
【详解】令是关于的对称点，则，
所以，即，为与的交点，
如下图，则，
当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12；
由图知（直线与直线的交点离点更近），即，
当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为.
故选：AC
8．ACD
【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D.
【详解】法一：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，易知直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
联立，得，
易知，则，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
又
，
，
所以，
则，故D正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，当直线的斜率不存在时，；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，消去，得，
易知，则，
所以
，
综上，，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
当直线的斜率不存在时，，；
所以，即；
当直线的斜率存在时，，
，
所以，
则；
综上，，故D正确.
故选：ACD.
9．2
【分析】根据椭圆的对称性，判断四边形面积最大时，点的位置，根据点的坐标，写出向量的坐标，求出向量的数量积.
【详解】

如图所示，，当在椭圆上顶点时，三角形面积最大，
此时，，
则，可得；
故答案为：2.
10．
【分析】由题意可得要使的周长最小，即需最小，结合抛物线性质，可得等于点到准线的距离，设到准线的垂足为，从而可得三点共线时，最小，此时点的横坐标与点横坐标相同，再解出纵坐标即可得.
【详解】由题可知，因为的周长为，
而，所以只需最小即可，
因为点在抛物线上，所以等于点到准线的距离，
设到准线的垂足为，因此，
即三点共线时，最小为6，
此时点的横坐标为1，则，即．

故答案为：.
11．/
【分析】由求出点在直线上，长度的最小值为到直线的距离，求解即可.
【详解】圆的圆心为，
因为，
因为，所以，
化简可得：，
即点在直线上，
所以长度的最小值为到直线的距离：
.

故答案为：.
12．2
【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可.
【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，
圆的半径为，圆心到直线的距离为，
故，解得；
故答案为：2.
13．(1)
(2)，方程为
(3)
(4)
【分析】（1）注意此时x、y的系数不同时为零才表示一条直线，从而解出m的范围；
（2）x的系数不为零但y的系数为零时可以表示斜率不存在的直线，以此解出m的值；
（3）在x轴上有截距代表x的系数不能为零，同时结合截距大小即可解出m的值；
（4）根据斜率大小列出m的方程求解即可解出m的值．
【详解】（1）当，的系数不同时为零时，方程表示一条直线，
令，因式分解得，解得或，
令，因式分解得，解得或，
所以若方程表示一条直线，则，即实数的取值范围为．
（2）结合第一小问的因式分解，当的系数且的系数时，直线斜率不存在，
由，解得或，由解得且，
所以，此时的系数，
方程为，整理得，即此时直线方程为．
（3）结合第一小问的因式分解，当方程表示的直线在轴上有截距，
可以知道的系数，也即且，
依题意，直线在轴截距为，即时，
将其代入方程得，
解得或（舍弃），故m的值为．
（4）倾斜角为，则x、y前面的系数都不为零，由题中方程可知此时直线斜率，
也即，解得，所以实数的值为。
14．（Ⅰ） .(II) .
【详解】试题分析：（Ⅰ）由得,由椭圆C截直线y=1所得线段的长度为,得,求得椭圆的方程为；（Ⅱ）由,解得,确定,,
结合的单调性求的最小值.
试题解析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，得，
又当时，，得，
所以，
因此椭圆方程为.
（Ⅱ）设，
联立方程，
得，
由得.（*）
且，
因此，
所以，
又，
所以
整理得 ，
因为，
所以.
令，
故，
所以 .
令，所以.
当时，,
从而在上单调递增，
因此，
等号当且仅当时成立，此时，
所以，
由（*）得 且.
故，
设，
则 ，
所以的最小值为，
从而的最小值为，此时直线的斜率是.
综上所述：当，时，取到最小值.
【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系
【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．
15．(1)
(2)
【分析】（1）由，结合三角形的面积公式可得，再由椭圆的方程代入计算，即可得到结果；
（2）由点差法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设，由，得，
所以，即，
又因为，所以，
解得，即点Q的横坐标的取值范围为；
（2）设，，
则，两式相减作差可得，
即，即，即，
又，所以，
由直线的点斜式可得，
化简可得，
所以直线的方程为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义求得曲线的方程.
（2）设，利用向量夹角公式、三角形的面积公式、二倍角公式等知识列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）由题可知，的半径为的半径为.
设的半径为，由与外切，与内切，得
则.
由椭圆的定义知，曲线是长轴长为，左 右焦点分别为的椭圆，
故的方程为.
（2）由（1）可知，，设，则，
则，
所以，则，得.
若在轴上，则，从而.
若在不在轴上，则，
且，由，得，
则，得.
因为，所以，则，
由，
解得.
综上所述，的取值范围为.

【点睛】易错点睛
圆心和半径的计算：在求解曲线的方程时，误差可能来自于圆心与半径的计算，需要特别注意题目中给出的条件，尤其是内切和外切的圆与动圆之间的距离关系.
夹角计算中的符号：在求解向量夹角时，要特别注意符号和向量数量积的计算，避免出现错误.
17．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据椭圆方程求出，即得其离心率；
（2）设，利用代入坐标，化简得到，因点为线段的中点，故，化简计算，即可证得；
（3）设直线，代入，得到韦达定理，由，结合，即得，利用韦达定理，计算推得，由求出，利用双勾函数的图象单调性即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）由可得，则，
则椭圆的离心率为.
（2）

如图，设，
因是椭圆上的不同三点，则，（*）
由可得，
即①②，
由可得：，
即，
将（*）代入整理得：.
又因点为线段的中点，故，
由
，可知点在椭圆上.
（3）依题意，设直线，将其与联立，
消元整理得：，
显然，且，因，
则，又，则，
由
，
因，则得，故，即得.
又函数在上单调递减，在上单调递增，且，
又由解得或，由解得或，
由函数图象可得或，
故实数的取值范围为.

18．(1)
(2)（I）证明见解析，（II）
【分析】（1）由离心率及焦距列出等式求解即可；
（2）（I）设，联立椭圆方程，由，得到，再由，联立椭圆方程得到，从而得到是关于的方程的两根，由韦达定理即可求证；（II）先确定直线的方程为：，结合弦长公式及点到线的距离公式，得到四边形面积表达式即可求解.
【详解】（1）由题意可得：，
可得：，
又，得，
所以椭圆方程为
（2）

（I）当，时，此时可得：，
显然，
同理：当，时，或，时，
都有，
当时，
设，
再设，
因为直线与椭圆相切，
联立，得，
，
即，
即，
同理，设，
联立椭圆与直线的方程可得，
得
，
即，
即，
所以是关于的方程的两根，
所以，又，
可得：，
所以，
综上可证：；
（II）先证：过椭圆：（）上一点的切线方程为；
证明：当斜率存在时，设切线方程为，联立椭圆方程，
可得，化简可得：
，
由题可得：
化简可得：，该方程只有一个根，记作，
，为切点的横坐标，
切点的纵坐标，
由于，则，
则切线方程为：，
化简得：．
当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程，
综上上一点的切线方程为；
设，
所以，，
所以，，
所以直线的方程为：，又，
可得：，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
联立，
可得：，
得，
所以，
所以四边形面积的
，
又，
所以,
即四边形面积的取值范围是.
19．(1)线段的长为；
(2)（i）直线的方程为；
（ii）直线的斜率的取值范围为.
【分析】（1）直接代入横坐标求解纵坐标，从而求出的值；
（2）（i）（ii）先设直线和得到韦达定理，在分别得到两个三角形的面积公式，要求相等，代入韦达定理求出参数的值即可.
【详解】（1）由双曲线的方程，可得，所以，
所以，，若轴，则直线的方程为，
代入双曲线方程可得，所以线段的长为；
（2）（i）如图所示，
若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点，此时不构成三角形，矛盾，
所以直线的斜率不为0，设，，
联立，消去得，应满足，
由根与系数关系可得，
直线的方程为，令，得，点，
直线的方程为，令，得，点，
，
，
由，可得，
所以，所以，
解得，，解得，
经检验，满足，所以，
所以直线的方程为；
（ii）由，恒在以为直径的圆内部，可得，
所以，又，
所以，所以，
所以，所以，
所以，解得，解得或，
经检验，满足，
所以直线的斜率的取值范围为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：
（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合底高，表示出三角形的面积；
（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为或.
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