离心率的最值与范围 高频考点梳理 专题练 2026届高考数学复习备考

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离心率的最值与范围 高频考点梳理 专题练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．已知椭圆C：的左焦点为F，点A是椭圆C的上顶点，直线l：与椭圆C相交于M，N两点．若点A到直线l的距离是1，且，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的两条渐近线分别为与与为上关于原点对称的两点，为上一点且（为双曲线离心率），则双曲线离心率可能的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数），则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆与双曲线，双曲线渐近线斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，曲线与曲线无公共点，则曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则和的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
12．已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若的面积等于4.则下列结论正确的是（ ）
A．若点是椭圆的短轴顶点，则椭圆的标准方程为
B．若是动点，则的值恒为2
C．若是动点，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若是动点，则的取值范围是
13．设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线离心率的最小值为4
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
三、填空题
14．已知双曲线的左焦点为，直线经过点与的左、右两支各有一个交点，若与的其中一条渐近线垂直，则的离心率的取值范围为 ．
15．已知是第三象限角，则曲线的离心率的取值范围为 ．（用区间表示）
16．已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
四、解答题
17．等腰内接于椭圆，直角顶点是短轴端点，且这样的三角形有三个，求椭圆离心率的取值范围．
18．设椭圆短轴上的一个端点为为椭圆上异于点的任一点．若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取得，则称该椭圆为“圆椭圆”．已知椭圆为“圆椭圆”．
(1)求的离心率的取值范围；
(2)当的离心率最大时，点在上，直线与交于两点，且直线的斜率互为相反数．
（i）求的斜率；
（ii）若，求的面积．
19．若椭圆的准线上存在一点，它与焦点弦构成正三角形，求椭圆离心率的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C D A C B B B
题号 11 12 13
答案 AC ABD BCD
1．A
【分析】根据点到直线的距离公式求出，再根据定义和对称性得到的取值范围即可求解．
【详解】解：由题得，则，解得，
设右焦点为，由对称性可知，，
则，
，又，所以
故选：A．
2．D
【分析】依题意，根据图形，根据离心率的计算公式求解即可.
【详解】

如图，因为是钝角三角形，所以，
所以，即，
则椭圆的离心率的取值范围是，故A，B，C错误.
故选：D.
3．B
【分析】根据离心率的公式求解即可.
【详解】由题意，故，故.
故选：B
4．C
【分析】根据题意可得渐近线方程，设出点坐标，结合，化简可得，再利用导数确定零点个数，结合零点存在定理求解即可.
【详解】设直线的方程为，则直线的方程为，
设点，，则点，
，，，
即，即，令，
，在时，恒成立，
单调递增，
又，，，
由零点存在性定理可知方程的解在区间内.
故选：C．
5．D
【分析】由3型双曲线定义可知双曲线的方程为，且，求得，即可求出渐近线方程.
【详解】由新概念可知，的3型双曲线的方程为，且，
所以，即，则，
所以的3型双曲线的渐近线为.
故选：D.
6．A
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率.
【详解】如图：
设椭圆：，双曲线：.
因为它们有相同的焦点，所以.
不妨设点在第一象限，且，，
因为点在椭圆上，
所以.
又，
所以.
又在双曲线上，
所以.
所以.
所以双曲线的离心率为：.
故选：A
7．C
【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
8．B
【分析】由双曲线渐近线的斜率的范围，可得到的范围，进而可得到椭圆的离心率的取值范围.
【详解】由题意得，，
从而椭圆的离心率.
故选：B
9．B
【分析】设直线，直线代入椭圆方程，消元后得一元二次方程，计算出两根和与积，再由题设条件，求出，和，代入中，利用韦达定理代入，化简即得， ，由的齐次不等式，即可求得离心率的取值范围.
【详解】依题意知，，
如图，由，可知三点共线，三点共线.
设，，，直线，直线,
由消去，可得，
则，同理可得，显然，，，
由代入坐标可得：，即得，
同理由可得，，由，可得，
同理，，故
（*），
又点在椭圆上，则有，则（*）式可化成：
，解得，故得，
又，故的离心率的取值范围为.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求椭圆离心率（或范围）的方法有三：
（1）根据已知条件列方程组，解出的值，直接利用离心率公式求解即可；
（2）根据已知条件得到一个关于（或）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率的方程（或不等式）求解；
（3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令，求出相应的值，进而求出离心率.
10．B
【分析】求出曲线的渐近线方程，化简的方程可知曲线为双勾函数，要使曲线与曲线无公共点，则，由此求出，即可求出的离心率的取值范围.
【详解】曲线的渐近线方程为：，
可化简为：，所以曲线为双勾函数，其渐近线方程为，
所以要使曲线与曲线无公共点，
如下图：
则，解得：，所以，
所以线的离心率的取值范围为：.
故选：B.
11．AC
【分析】易得，，再由，判断.
【详解】解：因为双曲线的渐近线的斜率小于，
所以，则，即，
，即，
故选：AC
12．ABD
【分析】根据椭圆性质以及的面积可得A正确；设可得，利用并结合椭圆方程可得B正确；由椭圆范围可得可得离心率，即C错误；由椭圆定义可得的取值范围为，即D正确.
【详解】对于A，若点是椭圆的短轴顶点，则，又，
所以，所以椭圆的标准方程为，故选项A正确；
对于B，设，由题意可知①，
因为，所以，即②，又③，
由②③及得，又由①知，所以.故选项B正确；
对于C，由②③得，所以，从而，故.
所以椭圆的离心率，故选项C错误；
对于D，由椭圆定义可得，即的取值范围为，即选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：求解椭圆离心率等范围问题经常利用椭圆定义以及椭圆性质得出关系式，再由变量自身范围即可得出结论.
13．BCD
【分析】由离心率公式，结合基本不等式可判断A；根据可得双曲线方程，然后可得渐近线方程，可判断B；将问题转化为AB的中点与CD的中点是否重合的问题，设直线方程，联立渐近线方程求C，D坐标，再由点差法求AB的中点坐标，然后可判断C；结合图形可知，利用导数求切线方程，联立渐近线方程求E，F的横坐标，代入化简可判断D.
【详解】由题知，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，的最小值为2，故A错误；
当时，双曲线方程为，
此时渐近线方程为，即，B正确；
若直线的斜率不存在，由对称性可知；当斜率存在时，设直线方程为，，AB的中点为，CD的中点为
则，由点差法可得，所以，
所以，
又双曲线渐近线方程为，联立分别求解可得，
所以，
所以M，N重合，则，或，故C正确；

若，则双曲线方程为，渐近线方程为，
不妨设点A在第一象限，双曲线在第一象限的方程为，
，得切线斜率为，方程为，
设点E，F坐标分别为，分别作垂直于y轴，垂足分别为P，Q，E在第一象限，F在第四象限，
则
又，所以，
联立渐近线方程和切线方程可解得，
整理得，
两式相乘得，所以，
所以，D正确.
故选：BCD

【点睛】本题考察圆锥曲线的综合运用，C选项需要灵活处理，将问题转化为AB的中点与CD的中点是否重合的问题，利用点差法和直接计算可解；D选项需结合图象将面积灵活转化，在求解时，要结合式子的结构特征灵活处理.
14．
【分析】由题意可得，进而计算可得结论.
【详解】由题意可得双曲线的两渐近线方程为，
由对称性不妨设直线与渐近线垂直时，由题意可得直线的斜率为，
又直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则，
所以，所以，所以，所以，即，解得，
所以的离心率的取值范围为.
故答案为：.
15．
【分析】分析可得，分析可知，曲线为双曲线，利用双曲线离心率公式可求得双曲线离心率的取值范围.
【详解】因为是第三象限角，则，
曲线的方程可化为，曲线为双曲线，且，，
所以，双曲线的离心率为.
故答案为：.
16．
【分析】由切线长定理结合双曲线定义可得，结合条件可得，由此可得，再根据关系结合离心率定义求结论.
【详解】设该内切圆在，上的切点分别为，
由切线长定理可得，，，
又，，
所以，所以，
所以，故，
所以，
因为，所以，
故，又，
所以.
故答案为：.

17．
【分析】先分析特殊情形“直线斜率为，直线的斜率为，满足等腰”，接下来分析一般情形，设直线斜率为，由椭圆的对称性不妨设且，
方法1:利用直线分别与椭圆联立方程组，由于交点已知，可以通过方程组可分别解得另一个交点的坐标，再通过两点间距离来求线段，化简求解存在除1外的另外两个正根，从而确定参数不等式，最后可计算离心率的范围；
方法2:与方法1前面步骤相同，在求线段时，可利用弦长公式来计算，后续解法同方法1；
方法3:把点平移到原点，得到新的椭圆方程，设,结合参数角来得到相等关系，从而转化为参数与的关系式，化简通过参数满足的范围去求参数的不等式，从而可得离心率范围.
【详解】
若当直线的斜率为，直线的斜率为，满足等腰，
接下来可设直线的斜率为且，最后只需要保证存在两个正根即可，
解法1 相关直线法：
如图，设直线，则根据等腰直角三角形可知：，
设，，联立方程得，
整理得，解得 ，
联立方程得．
整理得，解得，
由题意知，则利用两点间距离公式可得：
，
整理得：，即，化简得：，
因为，所以开方得：
即，
整理得．
故，
从而，即，
因为且，所以，
故，故，从而；
解法2 弦长计算法：
设直线．
联立方程得，
整理得，解得或，
联立与椭圆方程，同理可得或，
；
，
由题意知，
即，即．
整理并化简得，
即，即，
因为且，所以，
可得，故，即，
故．
解法3 平移坐标法：
平移坐标原点到点，则椭圆方程为，即．
设，
则解得，
即，即，
整理化简得，
即，当时，得；
当时，，即，
得，即，故．
18．(1)
(2)（i）;（ii）
【分析】（1）先把表示成关于的式子，它是一元二次函数.根据SA|在取最大值，分开口向上和向下两种情况讨论.开口向上时得出的范围不合题意；开口向下时求出范围是，再根据离心率公式算出离心率范围.
（2）（i）求直线 斜率：离心率最大时确定椭圆方程和点坐标.设直线方程与椭圆联立，根据得到关于和的式子，解出值，舍去直线过点的情况，得到直线斜率.
（ii）由得到向量关系，代入直线方程求出值，得到直线方程.舍去点在直线上的情况，对符合条件的直线方程，算出弦长PQ和点到直线距离，进而求出三角形面积.
【详解】（1）根据对称性设点，
则，
故是关于的一元二次函数．
由定义得当且仅当时，取得最大值．
①当图象开口向上时，需满足且，
解得，不满足题意，舍去；
②当图象开口向下时，需满足且，
解得，所以的取值范围是，
故离心率．
故答案为：
（2）由（1）得当的离心率最大时，．
由题意得直线的斜率存在，
设直线的方程为．
联立消去得，
则．
（ⅰ）因为，所以，
即，即，代入整理得，
解得或．
当时，直线的方程为，
此时直线恒过定点，不满足题意，舍去，
故，即直线的斜率为．
（ⅱ）．
因为，所以，
所以，
即．
代入得，
即，解得或，
所以直线的方程为或．
当直线的方程为时，，
则，
点到直线的距离为，
此时；
当直线的方程为时，点在直线上，不满足题意，舍去．
综上，的面积为．
19．
【分析】考虑临界状况，当焦点弦为通径时可求解，进而根据通径为最短的焦点弦，即可列不等式求解.
【详解】如图，
①当焦点弦为通径AB时，若是正三角形，根据对称性可知位于准线与轴相交于处，此时，，且
②当焦点弦不为通径时，要在准线上找到点D满足条件，此时到焦点弦的距离,则，故
综合①②可知：要使在准线上存在一点，它与焦点弦构成正三角形，则需要
∴，故
∴．
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