期末模拟冲刺试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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期末模拟冲刺试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是方程的一个根，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．2
3．将抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（ ）
A．旋转中心是点 B．旋转角等于
C． D．
5．如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．目前，我国电动自行车保有量逾3亿辆，公安交警部门提醒市民，骑行电动自行车必须严格遵守“一盔一带”的法规，佩戴安全头盔可以有效降低头部损伤和致死风险．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售600个，3月份销售864个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草帽锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则此草帽锅盖的侧面积约是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
10．表中所列的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中
7 14 14 7
根据表中提供的信息，有以下四个判断：
①；②；③当时，的值是；④其中判断正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为 ．
12．如图，转盘被分成6个面积相等的扇形，转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是 ．
13．如图，点O既是的内心，也是的外心，若，则的度数为 ．
14．已知一个扇形的半径为，圆心角为，用该扇形围成圆锥侧面，则这个圆锥的侧面积为 ．
15．已知抛物线经过点，且．有下列四个结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，且其中一个根小于，则；④若，且抛物线过点，则．其中正确的结论是 (填序号)．
16．如图，是的直径，且是的一条弦．射线与相切于点．作，并与交于点，延长交于，交于点，连接、．给出下面五个结论：
①；
②；
③；
④若点与圆心重合，阴影部分的面积为；
⑤，则．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上．
(1)画出将绕点逆时针旋转得到的，在图中对应处写出“”和“”；
(2)画出与关于点成中心对称的，在图中对应处写出“”“”和“”．
19．设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 6 0 0 …
(1)求二次函数的表达式；
(2)判断点是否在该抛物线上并说明理由．
20．小成家和小川家准备今年寒假去旅行，他们都准备在贵州、云南和北京三个地方中随机选择一个游玩．
(1)小成家选到北京的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，求他们两家同时选到贵州的概率．
21．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两根均为负数，求实数的取值范围．
22．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=4，OC=5，求AO的长．

23．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．
24．某商店销售一种成本为40元／件的玩具，若按50元／件销售，则月销售量为500件，若每件玩具的售价每涨1元，则月销售量就减少10件．设售价为元／件，月销售量为件，月销售利润为元．
(1)与的函数解析式为__________，与的函数解析式为__________．（不用写的取值范围）
(2)商店为了尽量让利给顾客，同时使月销售利润达到8000元，销售价应定为多少元／件？
(3)当销售价定为多少元／件时会获得最大利润？求出最大利润．
25．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．
(1)求线段的长；
(2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点．
（ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标；
（ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B B D B C D C
1．A
【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、图案是中心对称图形，不符合题意；
B、图案不是中心对称图形，符合题意；
C、图案不是中心对称图形，不符合题意；
D、图案不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了已知一元二次方程的解求参数．将代入方程，直接计算的值，即可作答．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
即，
∴，
∴；
故选：C
3．A
【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由抛物线平移规律：“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝x2向下平移3个单位可得到函数，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．
4．B
【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，对选项逐一进行分析即可得出答案．
【详解】解：A：因为绕着点O旋转得到，所以旋转中心是点O，该选项正确，不符合题意；
B：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，旋转到，旋转角应该是或，而不是，该选项错误，符合题意；
C：由于旋转不改变图形的大小和形状，与是对应边，所以，该选项正确，不符合题意；
D：旋转前后的图形全等，所以，该选项正确，不符合题意；
故选：B．
5．B
【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，先求出，再根据圆的内接四边形的对角互补即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程，即可作答．
【详解】解：依题意，月增长率为x，
∵从1月到3月经过2个月，
∴3月份销售量为，
根据题意，，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
∴．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：此草帽锅盖的侧面积为：．
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与轴交点的个数、对称轴判断各项是否正确．
【详解】解：A选项：当时，，由函数图像可知，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，故A选项错误；
B选项：由函数图像可知，抛物线与轴有两个不同的交点，
方程有个不相等的实数解，
，故B选项错误；
C选项：二次函数的图象经过点，
当时，，故C选项错误；
D选项：二次函数的图象经过点，，
抛物线的对称轴是，故D选项正确．
故选：D．
10．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．依据题意，首先根据，其对应的函数值是先增大后减小，可得抛物线开口向下，所以；然后根据函数值是先增大后减小，可得；最后根据，可得二次函数有最大值，而且二次函数的最小值，所以，据此判断即可．
【详解】解：，其对应的函数值是先增大后减小，
抛物线开口向下，
，①符合题意；
，
，②符合题意；
根据图表中的数据知，只有当是抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是，故③不符合题意；
，，
，
，④符合题意．
综上，可得判断正确的是：①②④．
故选：C．
11．
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，代数式求值等．根据关于原点对称的点的坐标性质，两个点的横坐标和纵坐标分别互为相反数，由此列出方程求解和，再计算的值．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
解得，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率．
【详解】解：转盘被分成6个面积相等的扇形，其中阴影部分占2份，
指针落在阴影区域的概率为，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了三角形的内心、外心的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内心、外心的定义和等边三角形的性质是解题的关键．先根据点是内心和外心，得出三角形的性质，再利用三角形内角和及相关角度关系求解．
【详解】解：∵，在中，．
又∵点是内心，、分别平分、，
∴．
在中，．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据扇形面积公式求出扇形面积，根据圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系解答．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
【详解】解：扇形面积，
则这个圆锥的侧面积为，
故答案为：．
15．①②④
【分析】本题考查二次函数符号判断，根据得到抛物线过，再结合已知条件画出大致的函数图象，然后根据函数图象分析计算即可．
【详解】解：∵，
∴过，
∵抛物线经过点
∴抛物线开口向上，与轴有两个交点，且位于轴的两侧，
∴，故①正确；
由题意可知时，，
，
，
，
，
即，
故②正确；
如图，方程有两个不相等的实数根，且其中一个根小于，
∴
∴的对称轴直线，
∴，故③不正确；
∵抛物线过点，则
∵抛物线经过点
∴
又∵，
∴，
∵，则
∴
∴
∴
将代入得
∴
又∵
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴，故④正确
结论①、②、④正确，③错误．正确结论的序号为①、②、④．
故答案为：①②④．
16．①③⑤
【分析】先利用切线的性质可得，再根据直角的意义与直角三角形两个锐角互余可得，，再根据等边对等角可得，从而可得，再根据等角对等边可得，由此可判断①；结合①可证明，不能得出，由此可判断②；易得，判断③；先证明是等边三角形，从而可利用求解，由此可判断④；连接，先利用勾股定理求得，再求得，然后证明，列出比例式，求得，再证明，从而可得，由此可判断⑤．
【详解】解：∵是的切线，
∴，
∴，．
又∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
连接，
，，，
，
，不能得出，故②错误；
，，，
，故③正确；
当点与圆心重合时，
，，
是等边三角形，
，
，故④错误；
∵是的直径，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，，
即，解得：，
∵，
∴，
∴，故⑤正确，
上述结论中，正确结论的序号有①③⑤．
故答案为：①③⑤．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，扇形面积等知识，解题关键是找准相似三角形列出比例式求解．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
（1）方程运用因式分解法解答即可；
（2）方程移项后运用因式分解法解答即可．
【详解】（1）解：，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
∴，．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图-旋转变换，中心对称变换，解决本题的关键是掌握旋转和中心对称的性质．
（1）根据旋转的性质即可在图中画出绕点逆时针旋转得到的，点B、C的对应点分别为“”和“”；
（2）根据中心对称的性质即可在图中画出关于点成中心对称的，点A，B、C的对应点分别为“”“”和“”．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：如图，即为所作．
19．(1)
(2)点不在该抛物线上，见解析
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）把点的坐标代入计算即可．
【详解】（1）解：由题意，得
解得
∴二次函数的表达式为；
（2）当时，．
∵，
∴点不在该抛物线上．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键：
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）将贵州、云南和北京分别记为A，B，C，列出表格，进行求解即可．
【详解】（1）解：小成家选到北京的概率是；
（2）解：将贵州、云南和北京分别记为A，B，C．列表如下：
A B C
A
B
C
共有9种等可能的结果，其中他们两家同时选到贵州的结果只有1种，
∴他们两家同时选到贵州的概率为．
21．(1)见解析
(2)
【分析】题目主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，注意：
（1）直接利用根的判别式求解即可；
（2）利用根与系数的关系得出不等式组求解即可；
熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题关键
【详解】（1）证明：依题意，得，
∵，即，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵方程两根均为负数，
∴，
∴，
解得：，
∴．
22．（1）60°；（2）
【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；
（2）由旋转的性质得：AD=OB=4，结合题意得到∠ADO=90°．则在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长．
【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO．
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°，
∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠ODC=60°．
（2）由旋转的性质得：AD=OB=4．
∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=5．
∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理.
23．（1）见解析；（2）4
【分析】（1）连接OD，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠ODA＝EAD，证出EA∥OD，再由已知条件得出DE⊥OD，即可得出结论．
（2）作DF⊥AB，垂足为F，由AAS证明△EAD≌△FAD，得出AF＝AE＝8，DF＝DE，求出OF＝3，由勾股定理得出DF，即可得出结果．
【详解】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴EA∥OD，
∵DE⊥EA，
∴DE⊥OD，
∵点D在⊙O上，
∴直线DE与⊙O相切．
（2）作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示：
作，垂足为F，如图2所示：
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了圆与直线相切的判定、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
24．(1)；
(2)60元/件
(3)销售价定为70元/件时会获得最大利润9000元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用和一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意找准等量关系正确列出函数关系式．
（1）根据月销售量（定价-50），月销售利润=每件利润×销售数量，根据以上所列等量关系可得函数解析式；
（2）根据月销售利润达到8000元列方程求解即可；
（3）将w关于x的函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵售价为x元/件，，且当时，，售价每涨1元，销量减少10件
∴月销售量；
月销售利润
∴y与x的函数解析式为，w与x的函数解析式为，
故答案为：；；
（2）解：令，则，
整理得，
整理得，
解得或。
∵要尽量让利给顾客。
∴销售价应定为60元/件。
答：销售价应定为60元/件；
（3）解：
，
∵，
∴当时，w有最大值9000，
答：当销售价定为70元/件时会获得最大利润9000元．
25．(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）或．
【分析】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质．
（1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解；
（2）（Ⅰ）由题意知点的坐标为，点的坐标为，即可求解；
（Ⅱ）由得到当时，为等腰直角三角形，再根据点在对称轴右侧或左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线，
，
解得，
抛物线的解析式为．
令，得，解得，，
，，
；
（2）解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为．
令，得，
．
设直线的解析式为，
将，代入，得
解得，
直线的解析式为，
由题意知点的坐标为，点的坐标为，
，
当时，线段的长有最大值，
此时，
点的坐标为；
（ⅱ），
，
即当时，为等腰直角三角形．
①如图1，点在对称轴右侧．
，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为，
．
由（ⅰ）知，
，
解得或（不合题意，舍去），
；
②如图2，点在对称轴左侧．
，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为，
．
由（ⅰ）知，
，
解得或（不合题意，舍去），
．
存在，的值为或．
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