2025-2026学年人教版九年级数学上册期末复习卷（21-25章）（含答案）

2025-2026学年人教版九年级数学上册期末复习卷（21-25章）
一、选择题（每题 3 分，共 8 题，满分 24 分）
1．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和为
C．篮球运动员投球一次，投中
D．从只有白球的袋子中摸出红球
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将 ABC绕点C顺时针旋转后得到，且点恰好落在边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，是直径，于，若，，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
6．如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（ ）
A．3 B． C． D．
7．【新情境·古代文化】《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”设矩形田地的长为x步，则下列说法正确的是（ ）
A．由题意可列方程 B．由题意可列方程
C． D．长比宽多6步
8．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：；；；；其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分）
9．方程的正数解为 ．
10．若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是 ．
11．若点A，B，C是上的点，如果，那么的度数是 ．
12．用反证法证明“已知 ABC，，则”时，应假设： ．
13．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共90个，这些球除颜色外都相同，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里约有 个红球．
14．如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交对线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数为 ．
15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
16．已知抛物线与轴的交点坐标分别为，．若，则的取值范围是 ．
17．“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2，这是小明画出的一个“莱洛三角形”，若该等边的边长为6，则这个“莱洛三角形”的周长是 ．（结果保留）
18．如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．则的度数是 ；若D为的中点，则线段的最小值为 ．
三、解答题（共 8 题，满分 66 分）
19.（共 8 分）解方程：
(1) (2)
20．（6分）如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标．
21.（6分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________．
(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
22．（6分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系．
(1)请仅用无刻度直尺按要求作图，画出过，，三点的圆的圆心，保留作图痕迹，不写作法．
(2)过，，三点的圆的圆心坐标为__________．
23．（8分）阳光玫瑰葡萄的果肉鲜脆多汁，是一种比较畅销的水果．某水果店以每千克10元的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元．试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示．
销售单价x（元/千克） 12 14 16
销售量y（千克） 180 160 140
(1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元？
(3)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？
24．（10分）如图，是 ABC的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
25．（10分）如图1，在 ABC中，，以为直径作分别交于点D，

(1)求证：
(2)若，，求半径．
(3)如图2，点F在上，，连接、．求证：．
26．（12分）如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①顶点的坐标为______；②当时，二次函数的最大值为______，最小值为______．③直线的解析式为______．
(3)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(4)如图3，连接、，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A、投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，故此选项不符合题意；
B、在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，故此选项符合题意；
C、篮球运动员投球一次，投中是随机事件，故此选项不符合题意；
D、从只有白球的袋子中摸出红球是不可能事件，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．B
解：选项A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
选项B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
选项C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
选项D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
3．C
解：依题意，二次函数 ，开口向上，对称轴为，
∴点离对称轴越近，函数值越小，
∵点，，在二次函数上
则，，
∵，
∴ ，
故选：C．
4．D
解：绕点顺时针旋转后得到，
，，
，
，
，
，
故选：D．
5．C
解：连接，
∵，，
∴，
∴,
∴，，
∴,
又∵，
∴，
故选：C．
6．D
解：如图，连接，，
由题意可知：，
是正六边形，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
7．D
解：设矩形田地的长为步，则宽为步．
∵面积为891平方步，
∴．
整理得．
解得，．
当时，宽为，长比宽多步；
当时，宽为，长小于宽，不符合题意，舍去．
选项A中方程错误，应为；
选项B中方程错误，应为；
选项C中不正确，实际为33；
选项D正确，长比宽多6步．
故选：D．
8．C
解：函数图象开口方向向上，
，
对称轴为直线，
∴，
∴，即，故②正确
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
，
，故①错误；
二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，
∴由函数图象可知，当时，，
∴，故③错误；
对称轴为直线，，
∴函数的最小值为，
，
，故④正确；
综上所述，正确的有②④，
故选：C．
二、填空题
9．
解：方程 中，因式 和 的乘积为零，
根据零乘积性质，得 或
由于正数解需满足 ，
因此 是正数解
故答案为．
10．
解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∴．
故答案为：．
11．或
解：当点A在优弧上时，
∵，
∴，
当点A在劣弧上时，
．
综上可知，的度数是或．
故答案为：或．
12．
解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设．
故答案为：．
13．18
解：根据频率与概率的关系，红球的频率稳定在，
∴摸出红球的概率为，
则红球数量约为．
故答案为：18．
14．
解：如图，连接，由作图可知：，
由作图可知：，
∴，
，
∴，
故答案为：．
15．且
解：∵方程是一元二次方程，
∴二次项系数，即；
．解得：．
综上，的取值范围为且．
故答案为：且．
16．
∵抛物线 与 轴的交点坐标分别为 ，，
∴方程 的两个根分别为 ， ，
根据根与系数的关系，有 ，即 ，
∵ ，
∴，
解得，，
故答案为：．
17．
解：是等边三角形，
，
又等边三角形的边长为６，
∴的长，
莱洛三角形”的周长是.
故答案为：.
18．
如图所示，连接，
∵C为半圆O的三等分点（靠近点A），
∴
∴；
连接，
∵D为的中点，
∴，
∴，
∴点D的运动轨迹为以为直径的，连接，，，
当点D在上时，的值最小，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
在中，， ，，
∴，
∵，
∴．
∴线段的最小值为．
故答案为：，．
三、解答题
19.（1）解：
∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：
去分母得，
去括号得，
化为一般式得，
∴，
∴或，
解得或，
检验：当时，，则是原方程的解，
当时，，则不是原方程的解，
综上所述，原方程的解为．
20．（1）解：抛物线过、，
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：，
∴顶点为，对称轴为直线．
21.（1）解：一共有文、明、自、由，4张卡片，小明从中随机抽取一张卡片，
∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为，
故答案为：；
（2）解：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词结果有2种，
∴（两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词）．
22．（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：由（）图可知，圆心坐标为，
故答案为：．
23．（1）解：依题意，设与之间的函数解析式为，
根据题意，得，
解得，
，
∵规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元．
∴．
即；
（2）解：依题意，每千克阳光玫瑰葡萄获得的利润为元/千克，
根据题意，得．
解得，（舍去）．
当销售单价定为每千克13元/千克时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄可获得的利润为510元．
（3）解：根据题意，得
∵，
∴开口向下，
当销售单价为每千克20元/千克时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润为1000元．
24．（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，为半径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
即的半径为2．
25．（1）证明：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
．
（2）解：如图：连接，

由（1）知：，
，
，
为的直径，
，
，
设半径为r，则，
，
，
，解得：，
半径为5．
（3）证明：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
，，
，
∵，
，
，
，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
．
26．（1）解：由题意知，解得，
∴解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为；
∴抛物线的顶点坐标为：，二次函数开口向上，函数上离对称轴越远的点函数值越大，
∴当时，在时，函数取到最大值为：；在时，函数取到最小值为，
∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线，
∴，
当，，
∴，
设直线表达式为：，
∴，解得，
∴直线表达式为，
故答案为：，，，；
（3）解：设，
则，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值为，此时；
（4）解：存在，理由如下：
当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接，
∵，
∴当时，，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，点与点重合，
∴．