2025-2026学年人教版九年级数学上册期末复习卷（含答案）

2025-2026学年人教版九年级数学上册期末复习卷
一、选择题（每题 3 分，共 8 题，满分 24 分）
1．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （ ）
A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1
2．“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列二次函数中，对称轴是直线的是（ ）
A． B． C． D．
4．有一枚硬币，每次抛出出现正反面的概率相等，已知，在之前的100次试验中，出现了80次正面和20次反面，则第101次出现正面的概率为（ ）．
A． B． C． D．
5．已知的半径为3，弦的长为4，则圆心到弦的距离是（ ）
A．5 B． C． D．
6．如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点放在圆上，两边与圆的交点分别记为点，测得的长为，则铜镜的直径为（ ）
A． B． C． D．
7．某校在一块矩形基地中给八年级划分出两块如图所示的农耕实践基地，中间留出一条宽度相等的人行小道，已知矩形基地的长为41m，宽为20m，农耕基地的面积为，若设人行小道的宽度为m，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图（1）是一款中药碾槽，碾槽底部为近似圆弧形（本题以圆弧记），槽内可以安放一个带轴的碾轮．将中药放入碾槽中，使碾轮滚动，可将中药粉碎，碾槽截面平面示意图如图（2）．设碾轮中心轴的截面图圆心为，当碾轮经过碾槽最低点时，恰好与相切于点，并且此时切点与点的距离刚好为，若所在圆半径为，且的长度为，则点，间的距离大约是（结果精确到，，）．
A．19.4 B．20.6 C．21.8 D．22.0
二、填空题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分）
9．方程的根是 ．
10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转，则点A的对应点的坐标为 ．
11．如图，是上的点，若，则的度数是 度．
12．中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，慧慧同学制作了一把扇形纸扇（如图）．已知，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一面绘制山水画，则山水画所在纸面的面积 ．（结果保留）
13．在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴有交点，则的取值范围 ，当时，抛物线在轴上方；当时，抛物线在轴下方，则 ．
14．如图，点A在上，半径，以点A为圆心，在上依次截取长度等于半径r的弦，，，，，连接，则六边形的面积为 ．（请用含r的式子表示）
15．定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解：
①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即；
②第二步，解整式方程，即；
③检验，是原方程的解．
仿照上述过程，可求出方程的解为 ．
16．下列说法正确的是 （只填序号）．
①点在函数的图象上；
②函数的图象经过点 ；
③函数的图象都经过第一象限；
④画函数的图象时，不需要考虑自变量的取值范围．
17．某大门是轴对称图形，由矩形与哥特式尖拱组成（如图1），图2是其设计图，尖拱部分是两条等弧，圆心均落在直线上，圆弧的半径为米，米．过拱尖P作分别交于点M，N．若，则高等于 米．
18．某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽 200的河流，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线型拱桥是最好的选择，设计组根据专家的建议，以二次函数的图像为设计稿进行设计（如图所示），要求在桥两侧距河面高32处各设计一个桥孔，两桥孔的水平距离为60，求河面距公路桥的最大高度 ．
三、解答题（共 8 题，满分 66 分）
19.（共 8 分）解方程：
(1)； (2)．
20．（6分）已知关于x的方程（为常数）．
(1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是，求的值．
21.（6分）小华和小亮到定西金逸影城看电影，A，B，C，D四个放映室分别播放《731》《志愿军：浴血和平》《流浪人生》《刺杀小说家2》四部电影，他们各自任选一部电影进行观看，每部电影被选中的可能性都相同．
(1)小华选择《731》的概率为_____．
(2)用画树状图或列表的方法，求小华和小亮选择看同一部电影的概率．
22．（6分）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过，两点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式．
23．（8分）如图，将 ABC绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点，点落在线段的延长线上．
(1)补全旋转后的图形；
(2)若，，连接，求的长．
24．（10分）商场购进某种新商品每件进价为元，在试销期间发现，当每件商品的售价为元时，每天可销售件．当每件商品的售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件，在涨价的情况下，设每件商品的售价为元，商场每天销售这种商品获得的利润为元．请回答下列问题．
(1)当每件商品的售价为元时，该商场日销售量为______件；
(2)商场销售该商品每天盈利能否达到元？若能，求出每件该商品的售价；若不能，请说明理由．
(3)当每件商品售价定为多少元时，该商场每天销售这种商品所获得的利润最大？最大利润是多少元？
25．（10分）如图，是的切线，切点为A、B，，点D，C分别是上的点，平分的半径是6，设．
(1)求证：是的切线；
(2)求y关于x的函数解析式；
(3)梯形的面积为，求的长．
26．（12分）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
解：原方程为，
展开左边得，
移项，得，
方程化简为，
可得，，，
故选：B．
2．D
解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
3．C
解：A、的对称轴是直线，不符合题意；
B、的对称轴是直线，不符合题意；
C、，
的对称轴是直线，符合题意；
D、，
的对称轴是直线，不符合题意；
故选：C．
4．D
解：∵硬币有两面，
∴每一面出现的概率都会是，
故第101次出现正面的概率为．
故选：D．
5．B
解：作于E 连接,
∵,弦的长为4，
∴,
在中, ,
∴ ,
即圆心O到弦AB的距离为，
故选：B.
6．B
解：如图，设该圆形铜镜的圆心为O，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴该铜镜的直径为．
故选：B．
7.B
解：由题意和图可列方程为：；
故选B．
8．C
解：如图，
设所在的圆心为，所对的圆心角的度数为，
∵所在圆半径为，且的长度为，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
由题易知点F是中点，
∴，
设，则，
根据题意：，
∴，
∴，
解得，
∴，
故选：C．
二、填空题
9．
解：原方程为，
移项得，
化简得，即，
因式分解得，
因此，或，即或，
即方程的根为．
故答案为：．
10．
解：依题意，如图所示：
∵点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转，
∴点A的对应点的坐标为，
故答案为：．
11．
解:在优弧上任意找一点，连接．
∵，
∴
∵，
∴．
故答案为：．
12．
解：；
故答案为：．
13． 12
解：∵在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴有交点，
∴，
∴；
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵当时，抛物线在轴下方，
∴当时，抛物线在轴下方，
又∵当时，抛物线在轴上方，
∴当时，，
∴，
∴；
故答案为：；12．
14．
解：如图，连接，过O点作交与H，
由题意六边形是正六边形，即可以分成六个全等的等边三角形，且．
在等边中，，，，
，
∴正六边形的面积．
故答案为：
15．
解：按照上述过程可将等式两边同时平方，转化为整式方程
即 ，
解整式方程得，，
将检验，代入，不符合题意，舍去，符合题意，
即是原方程的解，
故答案为．
16．①②
解：对于①，当时，，故点在函数的图象上，正确；
对于②，当时，，故函数的图象经过点，正确；
对于③，反例：函数的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限，故原说法错误；
对于④，画函数图象时需考虑自变量的取值范围，如反比例函数中，故原说法错误．
故答案是：①②
17．8
设的圆心为O，连接，
则，
∵四边形是矩形，
∴，
由轴对称知，，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
18．
解：如图，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，
由题知，二次函数过点，
，
解得，
二次函数解析式为，
，
故答案为：．
三、解答题
19.（1）解：，
，
，
，
或，
，．
（2）解：，
，
，
，
，
，
或，
，，
∵是方程的增根，
∴舍去，
∴．
20．（1）证明：，
不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：方程有一个根是，
把代入方程，
得，
整理得
．
21.（1）解：∵一共有四部电影，且每部电影被选择的概率相同，
∴小华选择《731》的概率为；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小华和小亮选择看同一部电影的结果有4种，
∴小华和小亮选择看同一部电影的概率为．
22．（1）解：把，代入，
得：，
解得：，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：由题意，设平移后的二次函数的解析式为，
将点代入，得，
解得．
∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为．
23．（1）解：如图所示，为所求；
（2）解：如图，连接，
由旋转的性质可得，，，
，
，
．
24．（1）解：由题意可得，
当每件商品的售价为元时，（件），
（2）假设商场销售该商品每天盈利能达到元，
则根据题意得：
，
整理得：，
∵，
∴方程没有实数根，
∴商场销售该商品每天盈利不能达到元；
（3）设商场销售该商品每天盈利元，
根据题意得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：商场销售该商品销售单价为元时每天销售利润最大，最大利润是元．
25．（1）证明：如图，过点O作于点E，则．
∵与相切于点A，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，过点D作于点F，
∵是的切线，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由切线长定理得：，
∵，
∴，
在中，，即，
化简得；
（3）解：∵梯形是直角梯形，则，
设，由（2）可知，
∴，
化简得，
解得或，
∴长为或．
26．（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当；
当，则，解得，
∴，，
∵对称轴为直线
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵，抛物线对称轴为，
∴，
∴
过点D作y轴的平行线交于点K，
则，则，
∴
∵，
∴
，
∵，，
∴当时，取得最大值为，此时；
（3）解：存在，
如图，设，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
解得，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴点向点的平移方式与点C向点Q的平移方式一样，
∵，，，
∴由平移的性质可得．