第21章 一元二次方程 寒假作业 （含答案）2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年9年级数学寒假作业（1）一元二次方程
一．选择题（每小题4分，共40分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣x﹣6＝0 D．3x2﹣2xy+6＝0
2．已知x＝2是方程x2﹣x﹣m＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．一元二次方程x2＝2x的根是（　　）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
4．下列关于x的一元二次方程中，两实数根的乘积等于3的是（　　）
A．2x2﹣5x+3＝0 B．x2﹣5x﹣3＝0 C．2x2﹣5x﹣3＝0 D．x2﹣5x+3＝0
5．若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则α+β的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3
6．如图，用48m长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是300m2的长方形鸡场，鸡场有一个2m的门，求鸡场的长和宽．设与墙垂直的边长为xm，所列方程是（　　）
A．x（46﹣2x）＝300 B．x（48﹣2x）＝300
C． D．x（50﹣2x）＝300
7．利用判别式判断方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程有一个实数根 D．方程无实数根
8．关于x的一元二次方程x2+2x+t﹣1＝0有实数根，则实数t的取值范围是（　　）
A．t＞2 B．t≤2 C．t≥2 D．t≤﹣2
9．生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（　　）
A．9 B．10 C．﹣10 D．9或10
10．在元旦庆祝活动中，小组内的同学互赠新年贺卡，某小组共送贺卡56张，问该小组共有多少人？设该小组共有x个人，则可列方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝56 B．x（x+1）＝56
C． D．
二．填空题（每小题4分，共24分）
11．将一元二次方程x（x﹣3）﹣1＝4化成一般形式为　 　 ．
12．为落实五育并举政策，某校要在边长为24m的正方形ABCD空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为484m2，设小路的宽度为xm，则根据题意可列方程为　 　 ．
13．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ．
14．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根，则m2﹣3m+4＝　 　 ．
15．关于x的方程x2﹣4x+k＝0的一个实数根是2，那么k的值为　 　 ．
16．关于x的方程x2+2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是　 　 ．
三．解答题（每小题6分，共36分）
17．解下列方程：
（1）x（x+2）＝3x+6； （2）2x2﹣4x﹣1＝0．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+6＝0．
（1）当m＝3时，判断方程根的情况； （2）当m＝6时，求方程的根．
19．已知关于x的一元二次方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣1＝0（k≠0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为0，求方程的另一个根．
20．某商店于一月底收购一批农产品，二月份销售120袋，三月份销售量比二月份增长20%，四、五月份该商品十分畅销，销售量持续增长，五月份的销售量已经达到225袋．
（1）求该商店三月份的销量；
（2）求该商店四、五两个月销售量的月平均增长率．
21．2023年在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．
（1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为x（x＞40）元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？
22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B出发沿边B﹣C﹣A向点A以2cm/s的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，设运动的时间为ts，当t＝1时，点P，Q位置如图所示，回答下列问题：
（Ⅰ）填空：当0＜t＜4时，AP＝　 　 ，BP＝　 　 ，BQ＝　 　 ，CQ＝　 　 ；（用含有t的代数式作答）
（Ⅱ）当1＜t＜4时，t为何值时，可使AP＝CQ；
（Ⅲ）当t为何值时，△BPQ的面积为5cm2．
参考答案
1．C．
2．B．
3．C．
4．D．
5．D．
6．D．
7．A．
8．B．
9．A．
10．A．
11．x2﹣3x﹣5＝0．
12．（24﹣2x）2＝484．
13．0．
14．8．
15．1．
16．1．
17．解：（1）x（x+2）＝3x+6，
整理得：x（x+2）﹣3（x+2）＝0，
因式分解得：（x+2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0，
整理得：2x2﹣4x＝1，
即x2﹣2x，
配方得：x2﹣2x+11，
即（x﹣1）2，
直接开平方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1，x2＝1．
18．解：（1）x2﹣mx+6＝0，
当m＝3时，方程可化为：x2﹣3x+6＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝6，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×6＝9﹣24＝﹣15＜0，
∴方程没有实数根；
（2）当m＝6时，方程可化为：x2﹣6x+6＝0，
∵a＝1，b＝﹣6，c＝6，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×6＝36﹣24＝12＞0，
∴，
∴，．
19．（1）证明：a＝k，b＝2k﹣1，c＝k﹣1，
∵b2﹣4ac＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣1）
＝4k2﹣4k+1﹣4k2+4k
＝1＞0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程有一个根为0，
∴将x＝0代入方程：kx2+（2k﹣1）x+k﹣1＝0得：
k×02+（2k﹣1）×0+k﹣1＝0，
解得：k＝1．
∴原方程为：x2+x＝0．
设方程的另一个根为x1，根据根与系数的关系：0+x1，
∴x1＝﹣1，
∴方程的另一个根为：x＝﹣1．
20．解：（1）由题意得：120×（1+20%）＝144（袋），
答：该商店三月份的销量为144袋；
（2）设该商店四、五两个月销售量的月平均增长率为x，
由题意得：144（1+x）2＝225，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
答：该商店四、五两个月销售量的月平均增长率为25%．
21．解：（1）根据题意得：该商品销售量y与x之间的函数关系为y＝80﹣2（x﹣40），
即y＝160﹣2x（x＞40）；
（2）根据题意得：（x﹣30）（160﹣2x）＝1050，
整理得：x2﹣110x+2925＝0，
解得：x1＝45，x2＝65，
又∵要尽可能让利于顾客，
∴x＝45．
答：每个毛绒玩具售价应定为45元．
22．解：（Ⅰ）当0＜t＜4时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，
则BP＝（6﹣t）cm，CQ＝（8﹣2t）cm，
故答案为：tcm，（6﹣t）cm，2tcm，（8﹣2t）cm；
（Ⅱ）当1＜t＜4时，点Q在BC上，则AP＝tcm，（8﹣2t）cm，
∵AP＝CQ，
∴t＝8﹣2t，
解得：，
答：当时，AP＝CQ；
（Ⅲ）分两种情况：
①当点Q在BC上时，则0＜t≤4，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，
根据题意得：（6﹣t） 2t＝5，
整理得：t2﹣6t+5＝0，
解得：t1＝1，t2＝5（不符合题意，舍去），
②当点Q在AC上时，如图，
则4＜t＜6，BP＝（6﹣t）cm，18﹣2t，
在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，
由勾股定理得：AC10（cm），
则AQ＝8+10﹣2t＝（18﹣2t）cm，
过点Q作QH⊥AB于点H，
∵，
∴，
解得：，
∴，
由题意得：，
整理得：4t2﹣60t+191＝0，
解得：（不符合题意，舍去），，
综上所述，当t＝1或时，△BPQ的面积为5cm2．