绥化市中考数学模拟10（含答案）
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绥化市中考数学模拟10
一．选择题
1．已知m＝﹣，则实数m的范围是（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
2．数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a4 B．2a﹣a＝2 C．a3 a2＝a6 D．（a3）2＝a5
5．如图，在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为BC边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，连接EF，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，则此时k的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C． D．
6．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差s2如下表所示：
甲 乙 丙 丁
9.9 9.5 8.2 8.5
s2 0.09 0.65 0.16 2.85
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0且m≠﹣1 B．m≥0 C．m≤0且m≠﹣1 D．m＜0
8．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，2+） D．（﹣1，2+）
9．下列语句中，是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．有理数和无理数统称实数
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．同旁内角相等，两直线平行
10．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买进，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买进石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在锐角△ABC中，AB＝15，△ABC的面积为90，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．9
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣，0），对称轴是直线x＝﹣，有以下结论：①abc＜0；②若点（﹣1，y1）和点（2，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；③am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；④3a+4c＝0，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第5题图 第8题图 第11题图 第12题图
二．填空题
13．据国家统计局2024年1月17日公布的数据，初步核算，2024年我国国内生产总值（GDP）约为1260000亿元．将1260000亿元用科学记数法可表示是 ．
14．分解因式：3x2﹣18x+27＝ ．
15．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，该圆锥的侧面积为 ．
16．如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为 ．
17．若关于x的方程﹣＝1无解，则k的值为 ．
18．在综合实践活动中，数学兴趣小组对1～n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究．发现：当n＝2时，只有{1，2}一种取法，即k＝1；当n＝3时，有{1，3}和{2，3}两种取法，即k＝2；当n＝4时，可得k＝4；……．若n＝6，则k的值为 ；
19．如图，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD，则点D的坐标为 ．
20．如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，AB＝4，则BC的长为 ．
21．已知，直线l：y＝x﹣与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4…，则点A2024的横坐标为 ．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF．连接CF，当CF∥AB时，CF＝ ．
第19题图 第20题图 第21题图 第22题图
三．解答题
23．如图，在△ABC中，AB＞AC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB＝DC；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝7，AC＝5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值）
24．某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A：床铺整理，B：衣物清洗，C：手工制作，D：简单烹饪，E：绿植栽培．课程开设一段时间后，李老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，请回答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；
（2）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；
（3）小兰同学从B，C，D三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．
25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）利用图象直接写出时x的取值范围；
（3）如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积.
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）若⊙O的半径为3，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）求证：∠EDF＝∠DAC．
27．问题提出
如图（1），点D是等腰△ABC底边AC上一点，点E，A在BD同侧，且BD＝ED，∠BDE＝∠ABC，取BE的中点F，连接并延长AF，CB交于点G，探究AF与FG的数量关系．
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图（2），当AB⊥BC时，直接写出AF与FG的数量关系；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论是否仍然成立．
问题拓展
（3）如图（3），△ABC不是等腰三角形，点P是AB边上的点，连接PD，PC，已知PD⊥AC于D，∠CPD＝∠B，且，BC＝2BP，求出的值．
28．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
（3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
参考答案
一．选择题
1．B．2．B．3．D．4．A．5．C．6．A．7．A．8．A．9．B．10．B．11．A．12．B．
二．填空题
13．1.26×1014．14．3（x﹣3）2．15．20π．16．9．17．2或﹣1．18．9．19．（﹣3，1）．
20．．21．．22．2+或﹣2．
三．解答题
23．解：（1）如图：AD即为所求．
（2）过点D作DE⊥AB交AB与点E，过点D作DF⊥AC交AC与点F，
则∠AED＝∠AFD＝90°，
又∵∠BAC＝90°
∴四边形AEDF为矩形，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∴四边形AEDF为正方形，
∴AE＝AF＝ED＝DF，
设AE＝AF＝ED＝DF＝x，
∴BE＝AB﹣AE＝7﹣x，FC＝AC﹣AF＝5﹣x，
在Rt△BED中，BD2＝ED2+BE2＝x2+（7﹣x）2，
在Rt△CFD中，CD2＝DF2+FC2＝x2+（5﹣x）2，
∵DB＝DC，
∴DB2＝DC2，
∴x2+（7﹣x）2＝x2+（5﹣x）2，
解得：x＝6，
∴．
24．解：（1）将条形统计图补充完整略：
“手工制作”对应的扇形圆心角度数为360°×＝72°；
（2）1800×30%＝540（人），
答：估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人；
（3）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两位同学选择相同课程的结果有2种，即CC、DD，
∴两位同学选择相同课程的概率为．
25．解：（1）∵点A在 的图象上，
∴当 x＝2时，．
∴A（2，3），
∴将点A（2，3）代入y＝kx+1，
得：k＝1．
（2）根据图像可知不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜2．
（3）由题意可知 C（0，1），CE＝4．
如图，过点C作CG⊥DE，垂足为G，
∵CE＝4，∠CEG＝45°，
∴．
又∵A（2，3），C（0，1），
∴．
由平移性质可知，阴影部分面积就是 ACFD的面积，即 ．
26．（1）解：
连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC＝90°，
∵∠FDC＝15°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∴OM＝OA＝＝，AM＝OM＝，
∵OA＝OE，OM⊥AC，
∴AE＝2AM＝3，
∴∠BAC＝∠AEO＝30°，
∴∠AOE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOE﹣S△AOE＝﹣＝3π﹣；
（2）证明：连接OD，
∵AB＝AC，OB＝OD，
∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴AC∥OD，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD过O，
∴DF是⊙O的切线；
（3）证明：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
∵DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴∠FDC＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠DAC，
∴∠FDC＝∠DAC，
∵A、B、D、E四点共圆，
∴∠DEF＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠EDF＝∠FDC，
∴∠EDF＝∠DAC．
27．（1）AF＝FG．
理由如下：连AE，过B作BM⊥AC，
∴∠ABM＝45°，
∵∠EBD＝45°，
∴∠EBA＝∠DBM，
∵△DEB和△ABM是等腰Rt△，
∴，，
∴，
∴△ABE∽△MBD，
∴∠EAB＝∠DMB＝90°，
∵F为BE中点，
∴FA＝FE＝FB，
同理FB＝FG＝FA，
∴AF＝FG．
（2）在AC上取点P，使∠ABP＝∠C
∵∠BDE＝∠ABC，
又DE＝DB，BA＝BC，
∴∠DEB＝∠DBE＝∠BAC＝∠C，
由∠EDB＝∠APB，∠DEB＝∠PAB得：
△DEB∽△PAB，
∴，∠PBA＝∠DBE，
∴∠PBD＝∠ABE，
∴△ABE∽△PBD，
∴∠EAB＝∠APB＝∠ABC，
∴AE∥CG，
∴△AFE～△GFB，
∴＝1，
∴AF＝FG．
（3）过A作AQ∥PC，交PD延长线于Q．
∴∠Q＝∠CPD＝∠B，
∵，
∴tan∠Q＝＝，
∴设AD＝4m，DQ＝3m，
∴AQ＝＝5m，
∵∠APQ+∠CPD＝∠B+∠PCB，
∴∠APQ＝∠PCB，
又∠Q＝∠B，
∴△APQ∽△PCB，
∴＝＝，
∴＝，
∴PQ＝10m，
∴PD＝7m，
∵∠CPD＝∠B，
∴＝，
∴CD＝m，
∴＝4m÷m＝．
28．解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 （﹣1，0），点B坐标为（3，0），
∴．
（2）当x＝0时，，
∴C（0，2），
设直线BC为y＝kx+2，
∴3k+2＝0，
解得，
∴直线BC为，
设，
∴，
∴2PD+PE＝＝，
当时，有最大值，
此时．
（3）或．
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绥化市中考数学模拟10
一．选择题
1．已知m＝﹣，则实数m的范围是（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
2．数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a4 B．2a﹣a＝2 C．a3 a2＝a6 D．（a3）2＝a5
5．如图，在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为BC边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，连接EF，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，则此时k的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C． D．
6．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差s2如下表所示：
甲 乙 丙 丁
9.9 9.5 8.2 8.5
s2 0.09 0.65 0.16 2.85
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0且m≠﹣1 B．m≥0 C．m≤0且m≠﹣1 D．m＜0
8．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，2+） D．（﹣1，2+）
9．下列语句中，是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．有理数和无理数统称实数
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．同旁内角相等，两直线平行
10．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买进，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买进石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在锐角△ABC中，AB＝15，△ABC的面积为90，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．9
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣，0），对称轴是直线x＝﹣，有以下结论：①abc＜0；②若点（﹣1，y1）和点（2，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；③am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；④3a+4c＝0，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第5题图 第8题图 第11题图 第12题图
二．填空题
13．据国家统计局2024年1月17日公布的数据，初步核算，2024年我国国内生产总值（GDP）约为1260000亿元．将1260000亿元用科学记数法可表示是 ．
14．分解因式：3x2﹣18x+27＝ ．
15．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，该圆锥的侧面积为 ．
16．如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为 ．
17．若关于x的方程﹣＝1无解，则k的值为 ．
18．在综合实践活动中，数学兴趣小组对1～n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究．发现：当n＝2时，只有{1，2}一种取法，即k＝1；当n＝3时，有{1，3}和{2，3}两种取法，即k＝2；当n＝4时，可得k＝4；……．若n＝6，则k的值为 ；
19．如图，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD，则点D的坐标为 ．
20．如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，AB＝4，则BC的长为 ．
21．已知，直线l：y＝x﹣与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4…，则点A2024的横坐标为 ．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF．连接CF，当CF∥AB时，CF＝ ．
第19题图 第20题图 第21题图 第22题图
三．解答题
23．如图，在△ABC中，AB＞AC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB＝DC；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝7，AC＝5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值）
24．某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A：床铺整理，B：衣物清洗，C：手工制作，D：简单烹饪，E：绿植栽培．课程开设一段时间后，李老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，请回答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；
（2）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；
（3）小兰同学从B，C，D三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．
25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）利用图象直接写出时x的取值范围；
（3）如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积.
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）若⊙O的半径为3，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）求证：∠EDF＝∠DAC．
27．问题提出
如图（1），点D是等腰△ABC底边AC上一点，点E，A在BD同侧，且BD＝ED，∠BDE＝∠ABC，取BE的中点F，连接并延长AF，CB交于点G，探究AF与FG的数量关系．
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图（2），当AB⊥BC时，直接写出AF与FG的数量关系；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论是否仍然成立．
问题拓展
（3）如图（3），△ABC不是等腰三角形，点P是AB边上的点，连接PD，PC，已知PD⊥AC于D，∠CPD＝∠B，且，BC＝2BP，求出的值．
28．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
（3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
参考答案
一．选择题
1．B．2．B．3．D．4．A．5．C．6．A．7．A．8．A．9．B．10．B．11．A．12．B．
二．填空题
13．1.26×1014．14．3（x﹣3）2．15．20π．16．9．17．2或﹣1．18．9．19．（﹣3，1）．
20．．21．．22．2+或﹣2．
三．解答题
23．解：（1）如图：AD即为所求．
（2）过点D作DE⊥AB交AB与点E，过点D作DF⊥AC交AC与点F，
则∠AED＝∠AFD＝90°，
又∵∠BAC＝90°
∴四边形AEDF为矩形，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∴四边形AEDF为正方形，
∴AE＝AF＝ED＝DF，
设AE＝AF＝ED＝DF＝x，
∴BE＝AB﹣AE＝7﹣x，FC＝AC﹣AF＝5﹣x，
在Rt△BED中，BD2＝ED2+BE2＝x2+（7﹣x）2，
在Rt△CFD中，CD2＝DF2+FC2＝x2+（5﹣x）2，
∵DB＝DC，
∴DB2＝DC2，
∴x2+（7﹣x）2＝x2+（5﹣x）2，
解得：x＝6，
∴．
24．解：（1）将条形统计图补充完整略：
“手工制作”对应的扇形圆心角度数为360°×＝72°；
（2）1800×30%＝540（人），
答：估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人；
（3）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两位同学选择相同课程的结果有2种，即CC、DD，
∴两位同学选择相同课程的概率为．
25．解：（1）∵点A在 的图象上，
∴当 x＝2时，．
∴A（2，3），
∴将点A（2，3）代入y＝kx+1，
得：k＝1．
（2）根据图像可知不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜2．
（3）由题意可知 C（0，1），CE＝4．
如图，过点C作CG⊥DE，垂足为G，
∵CE＝4，∠CEG＝45°，
∴．
又∵A（2，3），C（0，1），
∴．
由平移性质可知，阴影部分面积就是 ACFD的面积，即 ．
26．（1）解：
连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC＝90°，
∵∠FDC＝15°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∴OM＝OA＝＝，AM＝OM＝，
∵OA＝OE，OM⊥AC，
∴AE＝2AM＝3，
∴∠BAC＝∠AEO＝30°，
∴∠AOE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOE﹣S△AOE＝﹣＝3π﹣；
（2）证明：连接OD，
∵AB＝AC，OB＝OD，
∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴AC∥OD，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD过O，
∴DF是⊙O的切线；
（3）证明：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
∵DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴∠FDC＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠DAC，
∴∠FDC＝∠DAC，
∵A、B、D、E四点共圆，
∴∠DEF＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠EDF＝∠FDC，
∴∠EDF＝∠DAC．
27．（1）AF＝FG．
理由如下：连AE，过B作BM⊥AC，
∴∠ABM＝45°，
∵∠EBD＝45°，
∴∠EBA＝∠DBM，
∵△DEB和△ABM是等腰Rt△，
∴，，
∴，
∴△ABE∽△MBD，
∴∠EAB＝∠DMB＝90°，
∵F为BE中点，
∴FA＝FE＝FB，
同理FB＝FG＝FA，
∴AF＝FG．
（2）在AC上取点P，使∠ABP＝∠C
∵∠BDE＝∠ABC，
又DE＝DB，BA＝BC，
∴∠DEB＝∠DBE＝∠BAC＝∠C，
由∠EDB＝∠APB，∠DEB＝∠PAB得：
△DEB∽△PAB，
∴，∠PBA＝∠DBE，
∴∠PBD＝∠ABE，
∴△ABE∽△PBD，
∴∠EAB＝∠APB＝∠ABC，
∴AE∥CG，
∴△AFE～△GFB，
∴＝1，
∴AF＝FG．
（3）过A作AQ∥PC，交PD延长线于Q．
∴∠Q＝∠CPD＝∠B，
∵，
∴tan∠Q＝＝，
∴设AD＝4m，DQ＝3m，
∴AQ＝＝5m，
∵∠APQ+∠CPD＝∠B+∠PCB，
∴∠APQ＝∠PCB，
又∠Q＝∠B，
∴△APQ∽△PCB，
∴＝＝，
∴＝，
∴PQ＝10m，
∴PD＝7m，
∵∠CPD＝∠B，
∴＝，
∴CD＝m，
∴＝4m÷m＝．
28．解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 （﹣1，0），点B坐标为（3，0），
∴．
（2）当x＝0时，，
∴C（0，2），
设直线BC为y＝kx+2，
∴3k+2＝0，
解得，
∴直线BC为，
设，
∴，
∴2PD+PE＝＝，
当时，有最大值，
此时．
（3）或．
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