2025~2026学年山东省济南市天桥区九年级第一学期数学期末考试试题（含答案）

2025-2026 学年第一学期九年级期末考试数学试题
注意事项：
本试题共 8 页，满分为 150 分。考试时间为 120 分钟。
答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上。
答选择题时，必须使用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答。答案写在试卷上无效。
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.如图所示，由四个相同的小正方体组成的几何图形的俯视图是（ ）
2.如图，已知△ABC∽△DEF，AB:DE=2:1，若DF=2，则AC的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3.二次函数y=2(x 1)2+3的顶点坐标是（ ）
A. (1,3) B. ( 1,3) C. (1, 3) D. ( 1, 3)
4.某班学生到山东省博物馆参加研学活动。博物馆为同学们准备了以镇馆之宝 “亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋” 为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品。若抽到每一款文创产品的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到 “亚醜钺” 的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么tan∠BAC的值为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，点A，B，C在⊙O上，∠C=30 ，AB=4，则⊙O的半径是（ ）
A. 2 B. 4 C. 3 D. 2
7.下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ）
A. 菱形的对角线一定相等 B. 矩形的对角线一定互相垂直
C. 菱形的四个角一定相等 D. 正方形的对角线一定互相垂直平分且相等
8.随着 “低碳生活，绿色出行” 理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具。某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的 10000 辆增加到三月份的 14400 辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 10000(1+2x)=14400 B. 10000(1+x)2=14400
C. 10000×2(1+x)=14400 D. 10000+10000(1+x)+10000(1+x)2=14400
9.如图，E( 4,2)，F( 1, 1)，以点O为位似中心作△EOF的位似图形△E′OF′，使它与△EOF的相似比为1:2，把△EOF缩小，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A. ( 2, 1) B. (2, 1) C. ( 2, 1)或(2, 1) D. (2, 1)或( 2,1)
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A( 3,0)，顶点为M( 1,m)，且抛物线与y轴的交点B在(0, 2)和(0, 3)之间（不含端点）则下列结论：①abc<0；②当 3≤x≤1时，y≤0；③将该抛物线向左平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位，所得抛物线解析式为y=a(x+3)2 4a+2；④
∣ax2+bx+c∣=1 m有两个实数根；其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ③④
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
注意事项：
第 Ⅱ 卷必须用 0.5mm 黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
二、填空题：（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.若=，则的值为______。
12.已知关于x的一元二次方程x2 2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是______。
13.如图是长为 4 米、宽为 2 米的长方形花台，工人在以B、C为圆心，宽为半径所作的 2 个扇形区域（阴影部分）种花，剩下部分种草。甲、乙两人在花台旁边打羽毛球，羽毛球被抛进花台后，落到花丛中的概率为______（结果保留π）。
14.某反比例函数图象上四个点的坐标分别为( 3,y1)，( 2,3)，(1,y2)，(2,y3)，则y1，y2，y3的大小关系为______（用 “<” 连接）。
15.如图，把正方形ABCD的对角线AC绕着顶点A旋转到AE，以AE为一边作正方形AEFG，过E，C作直线EC，过G作GH⊥EC，垂足为H，连接FH，则的值是______。
三、解答题：（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）计算：(π 5)0+ 2sin60 +∣ ∣ () 1
17.（本小题满分 7 分）解方程：（1）(x+5)2=25 （2）x2 6x+8=0
18.（本小题满分 7 分）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F。求证：DE=DF。
19.（本小题满分 8 分）如图 1 是我市某小区的 “垃圾分类定时定点投放点”，采用的是智能化按键式开启投放门的投放方式，让市民的垃圾投放变得更智能更环保，图 2 是投放门开启后的侧面示意图，投放口挡板AB长45cm，挡板底部距地面高度BD为120cm，A，B，D三点共线，挡板开启后，张角∠CAD的最大值为57 。
（1）求投放门前端C到AD的最大距离；
（2）求投放门前端C到地面DE的最大距离。（参考数据：sin57 ≈0.84，cos57 ≈0.54，tan57 ≈1.54）
20.（本小题满分 8 分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠D=90 ，BC平分∠ABD。
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若AC=2，AB=4，求BD的长。
21.（本小题满分 9 分）
周末是学生平衡休息、兴趣与自主学习的时间，能帮助学生成长为更具适应力的个体。某校随机抽取了部分九年级学生进行问卷调查，了解学生 “喜爱的周末活动方式”，问卷设置了 4 种选项：A．兴趣技能拓展；B．户外运动；C．阅读学习；D．志愿服务实践。现收集、整理，分析数据后，绘制了如下不完整的统计图。请根据图中信息解答下列问题：
（1）参与此次调查的学生总人数为______人，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中C选项所对应的圆心角的度数为______；
（3）为丰富学生周末活动，学校开放篮球，排球，羽毛球和足球场地，若小泽和小航参加不同的运动，求两人恰好参加篮球和羽毛球运动的概率。
22.（本小题满分 10 分）
综合与实践
主题 “知耕园” 生态农场田地设计
情境 为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立 “知耕园” 生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为 60 米，宽为 40 米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程。
任务一 要求：设计的每一条小路宽度相同，并且连接矩形菜地的一组对边。同学们设计的方案主要有如图所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中AB=CD=IJ=EF=KL=HG。
问题一 （1）①以上三种方案中小路面积的大小关系？你的判断是______；（填 “相等” 或 “不相等”） ②为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为 2262 平方米，则每条小路的宽度是______米。
任务二 为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃。如图，花圃一边利用水池，其它边用长为 150 米的篱笆围成中间隔有一道篱笆EF的矩形花圃ABCD。
问题二 （2）若可利用的水池长 70 米，花圃的面积刚好为 1800 平方米，求矩形花圃的一边AB的长。
23.（本小题满分 10 分）如图，一次函数y=x+m(m>0)的图象与反比例函数y=的图象交于点A，B（点A位于第三象限），且一次函数与x轴、y轴分别交于点C，D。
（1）当m=1时，
①求点C，D的坐标；
②求线段BC的长；
③若=，求m的值；
24.（本小题满分 12 分）已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧。点B的坐标为(1,0)，OC=3OB。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
25.（本小题满分 12 分）
【问题引入】如图 1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=3，点E是边AB上的动点，点F是射线BC上的动点，且BF=AE，连接AF，CE，求AF+CE的最小值。
【问题解决】
（1）小明同学提出了以下思路：如图 2，延长DA至点G，使得AG=AB，连接EG，当G，E，C三点共线时，AF+CE最小。
①AF与EG的数量关系是______，
②AF+CE的最小值为______。
【能力运用】
（2）小涵同学发现，若将题目中的 “BF=AE” 改为 “BF=2AE”，我们就可以求出AF+CE
的最小值，如图 3，请求出AF+CE的最小值，并说明理由。
【挑战自我】
（3）小晴同学又发现，当点E，F在矩形ABCD的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出2AE+AF的最小值，如图 4，点E，F在对角线BD上，BF=2DE，请直接写出2AE+AF的最小值。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.如图所示，由四个相同的小正方体组成的几何图形的俯视图是（ C ）
2.如图，已知△ABC∽△DEF，AB:DE=2:1，若DF=2，则AC的长为（ C ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3.二次函数y=2(x 1)2+3的顶点坐标是（ A ）
A. (1,3) B. ( 1,3) C. (1, 3) D. ( 1, 3)
4.某班学生到山东省博物馆参加研学活动。博物馆为同学们准备了以镇馆之宝 “亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋” 为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品。若抽到每一款文创产品的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到 “亚醜钺” 的概率是（ A ）
A. B. C. D.
5.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么tan∠BAC的值为（ D ）
A. B. C. D.
6.如图，点A，B，C在⊙O上，∠C=30 ，AB=4，则⊙O的半径是（ B ）
A. 2 B. 4 C. 3 D. 2
7.下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ D ）
A. 菱形的对角线一定相等 B. 矩形的对角线一定互相垂直
C. 菱形的四个角一定相等 D. 正方形的对角线一定互相垂直平分且相等
8.随着 “低碳生活，绿色出行” 理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具。某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的 10000 辆增加到三月份的 14400 辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ B ）
A. 10000(1+2x)=14400 B. 10000(1+x)2=14400
C. 10000×2(1+x)=14400 D. 10000+10000(1+x)+10000(1+x)2=14400
9.如图，E( 4,2)，F( 1, 1)，以点O为位似中心作△EOF的位似图形△E′OF′，使它与△EOF的相似比为1:2，把△EOF缩小，则点E的对应点E′的坐标为（ D ）
A. ( 2, 1) B. (2, 1) C. ( 2, 1)或(2, 1) D. (2, 1)或( 2,1)
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A( 3,0)，顶点为M( 1,m)，且抛物线与y轴的交点B在(0, 2)和(0, 3)之间（不含端点）则下列结论：①abc<0；②当 3≤x≤1时，y≤0；③将该抛物线向左平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位，所得抛物线解析式为y=a(x+3)2 4a+2；④
∣ax2+bx+c∣=1 m有两个实数根；其中正确的结论是（ C ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ③④
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
注意事项：
第 Ⅱ 卷必须用 0.5mm 黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
二、填空题：（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.若=，则的值为______。
12.已知关于x的一元二次方程x2 2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是___1___。
13.如图是长为 4 米、宽为 2 米的长方形花台，工人在以B、C为圆心，宽为半径所作的 2 个扇形区域（阴影部分）种花，剩下部分种草。甲、乙两人在花台旁边打羽毛球，羽毛球被抛进花台后，落到花丛中的概率为______（结果保留π）。
14.某反比例函数图象上四个点的坐标分别为( 3,y1)，( 2,3)，(1,y2)，(2,y3)，则y1，y2，y3的大小关系为___y2＜y3＜y1___（用 “<” 连接）。
15.如图，把正方形ABCD的对角线AC绕着顶点A旋转到AE，以AE为一边作正方形AEFG，过E，C作直线EC，过G作GH⊥EC，垂足为H，连接FH，则的值是______。
三、解答题：（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）计算：(π 5)0+ 2sin60 +∣ ∣ () 1
=1+2－+－2
=1
17.（本小题满分 7 分）解方程：（1）(x+5)2=25 （2）x2 6x+8=0
解：x+5=±5 解：（x－2）（x－4）=0
x1=－10，x2=0 x1=2，x2=4
18.（本小题满分 7 分）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F。求证：DE=DF。
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠A=∠C。
又∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠AEB=∠CFB=90
则△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF，
∴AD AE=CD CF
∴DE=DF。
19.（本小题满分 8 分）如图 1 是我市某小区的 “垃圾分类定时定点投放点”，采用的是智能化按键式开启投放门的投放方式，让市民的垃圾投放变得更智能更环保，图 2 是投放门开启后的侧面示意图，投放口挡板AB长45cm，挡板底部距地面高度BD为120cm，A，B，D三点共线，挡板开启后，张角∠CAD的最大值为57 。
（1）求投放门前端C到AD的最大距离；
（2）求投放门前端C到地面DE的最大距离。（参考数据：sin57 ≈0.84，cos57 ≈0.54，tan57 ≈1.54）
过C作CH⊥AD于H
∵AB=45，∠CAD=57
∴CH=AC·sin57 =45×0.84=37.8cm。
（2）在Rt△AHC中。AB=45，∠CAD=57
AH=AC·cos57 =45×0.54=24.3cm，
∴AD=AB+BD=45+120=165cm，
∴HD=AD AH=165 24.3=140.7cm，
∴C到地面距离为140.7cm。
20.（本小题满分 8 分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠D=90 ，BC平分∠ABD。
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若AC=2，AB=4，求BD的长。
（1）连接OC
∵BC平分∠ABD
∴∠OBC=∠DBC
又∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∴∠OCB=∠DBC
∴OC∥BD
∴∠OCD+∠D=180°且∠D=90°
∴∠OCD=90
∴CD与⊙O相切。
（2）∵AB为直径，
∴∠ACB=90
∵AC=2，AB=4
∴BC==2
∴sin∠ABC==
∴∠ABC=60
∴∠DBC=60
∴BD=BC·cos60 =2×=1
21.（本小题满分 9 分）
周末是学生平衡休息、兴趣与自主学习的时间，能帮助学生成长为更具适应力的个体。某校随机抽取了部分九年级学生进行问卷调查，了解学生 “喜爱的周末活动方式”，问卷设置了 4 种选项：A．兴趣技能拓展；B．户外运动；C．阅读学习；D．志愿服务实践。现收集、整理，分析数据后，绘制了如下不完整的统计图。请根据图中信息解答下列问题：
（1）参与此次调查的学生总人数为______人，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中C选项所对应的圆心角的度数为______；
（3）为丰富学生周末活动，学校开放篮球，排球，羽毛球和足球场地，若小泽和小航参加不同的运动，求两人恰好参加篮球和羽毛球运动的概率。
（1）总人数200人；图略
（2）C对应圆心角108 ；
（3）
22.（本小题满分 10 分）
综合与实践
主题 “知耕园” 生态农场田地设计
情境 为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立 “知耕园” 生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为 60 米，宽为 40 米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程。
任务一 要求：设计的每一条小路宽度相同，并且连接矩形菜地的一组对边。同学们设计的方案主要有如图所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中AB=CD=IJ=EF=KL=HG。
问题一 （1）①以上三种方案中小路面积的大小关系？你的判断是______；（填 “相等” 或 “不相等”） ②为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为 2262 平方米，则每条小路的宽度是______米。
任务二 为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃。如图，花圃一边利用水池，其它边用长为 150 米的篱笆围成中间隔有一道篱笆EF的矩形花圃ABCD。
问题二 （2）若可利用的水池长 70 米，花圃的面积刚好为 1800 平方米，求矩形花圃的一边AB的长。
（1）①相等；②小路宽1米；
（2）设AB=x，则BC=150 3x，
根据题得x(150 3x)=1800
整理x2 50x+600=0
(x－20)(x－30)=0
x1=20，x2=30
∵水池长70米，
∴150 3x≤70
解得x≥≈26.67
∴x=20舍去
∴AB=30米。
23.（本小题满分 10 分）如图，一次函数y=x+m(m>0)的图象与反比例函数y=的图象交于点A，B（点A位于第三象限），且一次函数与x轴、y轴分别交于点C，D。
（1）当m=1时，
①求点C，D的坐标；
②求线段BC的长；
③若=，求m的值；
（1）∵m=1
∴y=x+1
令x=0，代入y=x+1=1
令y=0，代入0=x+1，解的x=－1
∴C（－1，0） D（0，1）
（2）联立
解得 或
∵B在第一象限
∴B（3，4）
∴BC==4
（3）m=4
24.（本小题满分 12 分）已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧。点B的坐标为(1,0)，OC=3OB。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）∵B（1，0）
∴OB=1
∵OC=3OB
∴OC=3
∴C（0，－3）
将B（1，0）和C（0，－3）代入y=ax2+3ax+c
得
解得
∴抛物线y=x2+x－3
（2）令y=0代入y=x2+x－3
0=x2+x－3
解得x1=－4，x2=1
∴B（－4，0）
∴S△ABC=×5×3=
设AC表达式为y=kx+b
将A（－4，0）和C（0，－3）代入y=kx+b
得
解得
∴y=x－3
设D为（m，m2+m－3）
∴四边形ABCD面积=×[（m－3）－（m2+m－3）]×4+=－（m+2）2+3≤3
∴四边形ABCD面积最大面积为3.
（3）P（－3，－3）或（，3）或（，3）
25.（本小题满分 12 分）
【问题引入】如图 1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=3，点E是边AB上的动点，点F是射线BC上的动点，且BF=AE，连接AF，CE，求AF+CE的最小值。
【问题解决】
（1）小明同学提出了以下思路：如图 2，延长DA至点G，使得AG=AB，连接EG，当G，E，C三点共线时，AF+CE最小。
①AF与EG的数量关系是______，
②AF+CE的最小值为______。
【能力运用】
（2）小涵同学发现，若将题目中的 “BF=AE” 改为 “BF=2AE”，我们就可以求出AF+CE
的最小值，如图 3，请求出AF+CE的最小值，并说明理由。
【挑战自我】
（3）小晴同学又发现，当点E，F在矩形ABCD的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出2AE+AF的最小值，如图 4，点E，F在对角线BD上，BF=2DE，请直接写出2AE+AF的最小值。
（1）①AF=EG ②3
（2）解：延长 DA 至点 G ，使得 AG =AB =3，连接 EG , CG ，如图2,
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠DAB = ∠B =90°,
∴∠GAE =180°-∠DAB =90°
∴∠GAE=∠ABC
∵BF =2AE,
∴==
∴ AEG△BFA
∴==
∴EG =AF
∴AF + CE =EG + CE ≥CG
当点C , E , G 共线时，AF + CE 取得最小值为CG
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = CD =6, AD = BC =3, ∠D =90°
∴DG = AD + AG =6
在直角三角形CDG 中，由勾股定理得：CG ==6
∴AF + CE 的最小值为6;
（3）6