九年级数学下册试题 第26章《 反比例函数》单元测试卷--人教版（含答案）

第26章《 反比例函数》单元测试卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．已知点，，在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，反比例函数的图象与直线交于第一象限内的点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．一次函数与反比例函数（，为常数且均不等于）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数，的图象交于，两点，若是轴上任意一点，点是的中点，连接、、，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
5．如图，过反比例函数的图象上点，分别作轴，轴的平行线交反比例函数的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，．若，则k的值为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为（ ）
A．4 B． C． D．8
7．如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（ ）
A．点A与点B关于原点中心对称 B．
C．的周长等于的周长 D．
9．如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论：
①与的面积一定相等；
②与的面积可能相等；
③一定是锐角三角形；
④可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
10．如图，反比例函数（）的图象过Q，R两点，的延长线交x轴于点V，R为的中点，过点Q，R作x轴的垂线，交x轴于点S，T，交于点U，下列结论，①，②，③，④．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．如图，的直角边经过原点，顶点A，B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，若点A的坐标为，则的面积为 ．
12．如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，则 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为 ．
14．如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接；
（1）的值为 ；
（2）若的面积为3，则的值为 ．
15．如图，反比例函数与过原点的直线交于点A，延长至点B使得，过点B作轴，垂足为C，与反比例函数图象交于点D，则 ．
16．如图，已知点A在反比例函数上，作，使边在x轴上且，点D在上且，连并延长交y轴于点E，若的面积为8，的面积为3，则 ．
17．如图，点（为自然数）在反比例函数图象上，且横坐标分别为，分别以为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到个直角三角形，则前个直角三角形的面积之和为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形与反比例函数的图象交于两点，轴，轴，，若，则的值是 ．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．
(1)求b和k的值;
(2)求点B的坐标，并直接写出不等式的解集；
(3)将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C．当时，求点C的坐标．
20．（本题6分）如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图像上一点，轴于点，交一次函数的图像于点，连接．
(1)________，________；
(2)当时，求的面积；
(3)当时，直接写出自变量的取值范围．
21．（本题8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)求的面积．
22．（本题8分）如图1，点是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点．已知直线交坐标轴于点、，连接、．
(1) ．反比例函数表达式 ，并求出一次函数的表达式；
(2)直接写出当为何值时，．
(3)求的面积：
(4)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点，若，求出点的坐标．
23．（本题8分）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点在轴上，且满足，求点的坐标；
(3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数上在第四象限的图象上存在点，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”，请直接写出点的坐标．
24．（本题8分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，以线段为边，在线段的左侧作正方形，点在反比例函数的图象上．
(1)求点、点、点的坐标；
(2)将正方形沿轴正方向平移，得到正方形．
①当正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．试描述平移过程．
②当正方形的边与反比例函数只有一个交点时，设该交点为点．在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由．
25．（本题10分）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．
(1)求的值和反比例函数的表达式；
(2)若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标；
(3)若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
26．（本题10分）如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)若直线过点，且与反比例函数交于点D，点F是y轴上的一个动点，点P是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值及此时点F的坐标；
(3)如图2，若点，连接，将线段以点D为圆心，逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图象上存在一点Q，使得，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
参考答案
一．选择题
1．D
解：∵，
∴反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵，
∴点在第二象限，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
2．C
解：直线与轴交于点，与轴交于点，
令，则；
令，则，
即，，
．
，
．
设点，（）
．
解得，或（不符合题意，舍去），
，
即点，
将点代入得，
．
故选：C．
3．D
解：A．由一次函数的图象可知，，；由反比例函数的图象可知，，所以选项不符合题意；
B．由一次函数的图象可知，，；由反比例函数的图象可知，，所以选项不符合题意；
C．由一次函数的图象可知，，；由反比例函数的图象可知，，所以选项不符合题意；
D．由一次函数的图象可知，，；由反比例函数的图象可知，，所以选项符合题意；
故选：D．
4．C
解：如图所示，连接，，
与同底等高，
，
轴，
轴，
、分别在反比例函数和的图象上，
，，
．
故选：C．
5．A
解：设点，则点，点，
点．
，在反比例函数，
．
，
．
．
．
．
点在反比例函数的图象上，
．
故选：A．
6．C
解：如图，延长交轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选： C．
7．B
解：∵双曲线经过A点，
∴设，
∵E为的中点，
∴E点的横坐标为，
E点的纵坐标为，
∵轴，垂足为D，交于点E，
∴点的纵坐标为，
∵双曲线经过B点，
∴点的横坐标为，
∴，
点到的距离为，
∴的面积是，
故选：B．
8．C
解：∵反比例函数图象关于原点对称，直线与双曲线交于两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，故A选项正确，不符合题意；
设，则，
∵轴于点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，，
∴B，D选项正确，不符合题意；
∴，，，
∴的周长为，
的周长为，
∴，即的周长不等于的周长，故C选项错误，符合题意；
故选：C ．
9．B
解：∵四边形是矩形，
∴
又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴，
∴
∴，即与的面积一定相等；故①正确，
由①可得
当与的面积相等时，如图，连接，
∴
∴在直线上，则重合，
∴与的面积不可能相等，故②不正确，
∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确,
如图
当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误
综上，①④正确、②③错误.
故选：B．
10．C
解： 轴，轴，且R为的中点，则令（平行线等分线段定理），作轴，轴，垂足分别为A、B点，同理，设，则，，由得，解得，
，，，
，
①正确；
由，得，
②正确；
由，得，即，，，
，
③错误；
，
④正确，
综上可知①②④正确；
故选：C．
二．填空题
11．5
解：∵点A的坐标为，点B也在反比例函数图象上，
∴点B的坐标为，
∴，,
设，则，，
∵，
∴，即
解得：
∴，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：5．
12．
解：如图，设与轴交于点，
∵反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．
解：如图，连接交于点D，
∵四边形为矩形，
∴点D是、的中点，，
设，则，
∴，
∴，
∴，，，
在中，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
故答案为：．
14．
解：（1）点在双曲线上，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）
设直线的解析式为，
则：，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
解：设，
∵，
∴是的中点，
∴，
∵轴，在反比例函数上，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．
解：连接、，
，的面积为3，
，，
的面积为8，
，
，
，
∴，
又∵
∴轴，则，
∴，
∵反比例函数图象在第二象限，．
．
故答案为．
17．
解：设前个直角三角形的面积分别为、、、、，
∵点、、、、在图象上，且横坐标分别为1、2、3、、n，
∴，，，
，，，
，
，，，
∴当时，，
当时，，
∴
．
18．8
解：设，
∵边轴，边轴，
∴，
根据题意，，，，
∵，
∴，
∴，
过点A作轴于点D，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵
∴，
∵，
∴，
解得
，
故答案为：8．
三．解答题
19．（1）解：把点代入得，
，
∴，
把代入得；
（2）解：由（1）可知：一次函数解析式为，反比例函数解析式为，
∴联立得
解得或，
∴，
∴由函数图象可知不等式的解集为或；
（3）解：设，
∵，，，
，
，
解得，
∵将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C．
∴，
∴．
20．（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，
∴，，
解得，
故答案为：
（2）由（1）可知反比例函数为，一次函数为
当时，即点的横坐标为，
当时，，，
∴，
∴的面积；
（3）联立得到解得或，
∴反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点，
由图象可知，当时，直接写出自变量的取值范围为或．
21．（1）解：把点代入反比例函数中，得，
则反比例函数的解析式为．
当时，，
所以点的坐标为
把点，点代入一次函数中，
得，
解得，
所以一次函数的解析式为．
（2）由图象可得不等式的解集为或．
（3）设一次函数与轴相交于点，当时，，即点的坐标为
即．
22．（1）解：将的坐标代入，得．
反比例函数的解析式为．
将的坐标代入，得．
把和代入，得：，
解得：，
故直线的解析式为：，
（2）解：由（1）知和，
结合图象可得，当时，．
（3）解：令，，令，，
，
．
（4）解：设点的坐标为，则点F的坐标为，
．
，，
，
整理得：．
解得：，
的坐标为或．
23．（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；
，
∴，
∴，，
∴反比例函数解析式为：，
∵，在直线图象上，
，
∴，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：如图：
在中，当时，；当时，；
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点，则，
∴，
整理得：，
∴或，
∴或；
（3）解：①当时，如图，过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为，
∵，
，
，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
设直线解析式为代入，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得，或（不符合题意，舍去），
∴；
②当时，过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为，连接，交于点，由①可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线为，代入，，
，解得
∴的解析式为，
联立，解得或（不符合题意，舍去），
∴，
综上：或．
24．（1）解：在中，当时，，即，
当时，，解得，即，
∴，，
如图，过点作轴于，
，
则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：①如图，作轴于，
，
则，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵正方形沿轴正方向平移，得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上，
∴由平移的性质可得，存在两种情况，点在反比例函数的图象上或者点在反比例函数的图象上，
当点在反比例函数的图象上时，令，则，解得，故正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上，
当点在反比例函数的图象上时，令，，解得，故正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上；
综上所述，正方形沿轴正方向平移或个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上；
②存在，
由①可得，当点在反比例函数的图象上时，正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形，
设正方形沿轴正方向平移个单位，此时直线的解析式为，
当时，
∵正方形的边与反比例函数只有一个交点，
∴联立可得：，
∴,
解得：（负值不符合题意，舍去），
∴直线的解析式为，正方形沿轴正方向平移个单位长度，
∵，
∴点的坐标为，即，
由解得，
∴，
∵以点、、、为顶点的四边形是菱形，
∴当为对角线时，由菱形的性质可得，垂直平分，
∴点与点关于对称，此时，
∵，，
∴此时该菱形的面积为；
当为边时，此时，，即，不满足题意；
当时，正方形的边与反比例函数有两个交点，
当时，正方形的边与反比例函数只有一个交点，
在中，当时，，解得，即，
∵点在上，
∴设，
∵以点、、、为顶点的四边形是菱形，
∴当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：（此时与点重合，不符合题意，舍去）或，
∴，即，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，，
此时该菱形的面积为；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴当时，（负值不符合题意，舍去），
当时，，即，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，，
此时该菱形的面积为；
综上所述，在坐标平面内存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，该菱形的面积为或或．
25．（1）解：把点代入直线中，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
把点的坐标代入比例函数中，
可得：，
反比例函数的解析式是；
（2）解：如下图所示，连接、，
解方程组，
可得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
设点的坐标是，
则中边上的高是，中边上的高是，
，，
，
，
解得：，，
点的坐标是；
（3）解：的值为定值，
点在反比例函数图象上，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
是第一象限反比例函数图象上一动点，
设点的坐标是，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
可得：，
解得：，
直线的解析式是,
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
，，
．
26．（1）解：∵，
∴，
∴，
把上述两点坐标分别代入一次函数中，得，
解得：,
∴一次函数的解析式为，
将代入，得，
∴，
把点A的坐标代入中，得，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
把点B的坐标代入得：，解得：，
∴直线的解析式为．
如图1，作轴于点G，轴于点H，交直线于点，
设，则，易知所求点P在点B的左侧．
∴，，，
∴，
∴，
∴，
当A，P，G在同一直线上，且轴时，的值最小，此时最小值为的长．
∵，
∴，
如图1，作点A关于y轴的对称点为，连接交y轴于点，
由轴对称的性质可得，，
∴当三点共线时，的值最小，最小值为．
由待定系数法得直线的解析式为，
当时，，
∴，即此时点F的坐标为．
（3）解：如图2，过点D作y轴的垂线l，过点A，N作直线l的垂线，垂足分别为U，T，
则，
∴，
∴，
由旋转知，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
设直线与直线交于点R．
∵，，
∴轴，
∴．
又∵．
∴，
∴，
作于点K，则，
∴点R的横坐标为，
当时，，即，
∴直线的解析式为．
联立解得或，
∴点Q的坐标为或．