2025-2026学年山东省济南市天桥区八年级第一学期数学期末考试试题(含答案)

2025—2026 学年度第一学期八年级期末测试数学试题
注意事项：
本试题共 8 页，满分为 150 分．考试时间为 120 分钟。
答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上。
答选择题时，必须使用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效。
第 Ⅰ 卷（选择题共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.下列实数是无理数的是（ ）
A. 2.1 B. 0 C. D. -3
2.在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（ ）
A. 钱塘明月 4 号楼 301 室 B. 广州塔南偏西30 方向
C. 东经108 ，北纬53 D. 庆春电影院 1 号厅的 3 排 4 座
3.如图，AB∥CD，∠A=37 ，∠C=65 ，那么∠F等于（ ）
A. 28 B. 63 C. 37 D. 60
4.下列命题是真命题的是（ ）
A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 相等的角是对顶角
C. 三角形的外角大于任一内角 D. 直角三角形的两锐角互余
5.已知直线y=2x+3过点A( 1,y1)和点( 3,y2)，则y1和y2的大小关系是（ ）
A. y1y2 D. 不能确定
6.已知八年级 1 班和 2 班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 1 班成绩比 2 班成绩集中 B. 1 班成绩的上四分位数是 80 分
C. 1 班同学的成绩有超过 140 分的 D. 1 班和 2 班成绩的中位数相同
7.我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？” 意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，下列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.一次函数y=kx+b（b≠0）不经过第三象限，则y=bx+k的大致图象是（ ）
A B C D
9.如图，在△ABC中，AB=5，BC=10，AC=9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 15
10.如图，△ABC中，∠ABC=45 ，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，BE⊥AC于E，与CD相交于F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论正确的有( )
①BF=AC；②CE=BF；③△DGF是等腰三角形；④BD+DF=BC；⑤=；
A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个
第 II 卷（非选择题共 110 分）
二、填空题：(本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．)
11.16 的算术平方根是______．
12.若正多边形的一个外角是45 ，则这个正多边形的边数为______．
13.如图，直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P，则方程组的解是______．
14.中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌的距离y1（km）与时间x（h）之间的函数关系，线段
AN表示轿车离西昌的距离y2（km）与时间x（h）之间的函数关系，则货车出发______小时后与轿车相遇．
15.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（4，0），点B为y轴上任意一点，连接AB，将BA绕点B逆时针旋转90 至BC，连接OC．在点B的运动过程中，则线段OC的最小值为______．
三、解答题：(本大题共 10 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
16.(本小题满分 7 分)计算：(+2)( 2) ×．
17.(本小题满分 7 分)解方程组：．
18.(本小题满分 7 分)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E为AC上一点，且DE=CE．求证：DE∥BC．
19.(本小题满分 8 分)如图，CD=AB，点A、E、F、C在同一直线上，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE=BF．求证：CF=AE．
20.(本小题满分 8 分)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(2,4)，B(1,1)，C(3,2)．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：A1（ ， ）
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标：P（ ， ）．
21.(本小题满分 9 分)近年来，体育在青少年成长中的多元价值已经得到广泛认同，某校鼓励学生利用课余时间进行体育锻炼．为了解本校学生周末校外体育活动情况，随机对本校 40 名学生周末某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分A，，B，C，D以下是部分数据和不完整的统计图表：体育活动时间在60≤x<90范围内的数据：
70，80，75，80，75，70，85，75，70，80，80，65，75，85，80，70
结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的a= ，b= ；
（2）统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
（3）体育活动时间在60≤x<90范围内的数据的众数是______分钟；调查的 40 名同学体育活动时间的上四分位数是______分钟；
（4）根据调查结果，请你估计全校 1600 名同学体育活动时间不少于 60 分钟的人数．
22.(本小题满分 10 分)济南大明湖景区某文创店准备购进一批雨荷文化纪念品．已知购进 2 件A纪念品和 6 件B纪念品共需 180 元，购进 4 件A纪念品和 3 件B纪念品共需 135 元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价．
（2）该店计划购进A、B两种纪念品共 100 件，且应厂家要求，A纪念品的购进数量最多 40 件．已知A纪念品每件售价为 25 元，B纪念品每件售价为 30 元．若该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？
23.(本小题满分 10 分)定义：形如y=的函数称为正比例函数y=kx（k≠0）的 “分移函数”，其中b叫 “分移值”．
（1）函数y=x的 “分移函数” 为y=，其中 “分移值” 为 3，在图 1 中画出其图象（注意：x<0时图象不包含x=0的点，在x=0处画个圆圈即可）；
（2）已知点（1，2k）在y=kx（k≠0）的 “分移函数”y=的图象上，则k= ；
（3）已知点P1(2,1 m)，P2( 3,2m+1)在函数y=2x的 “分移函数” 的图象上，则m的值是 ；
（4）如图 2，已知矩形ABCD顶点坐标为A(1,0)，B(1,2)，C( 2,2)，D( 2,0)．函数y=kx的 “分移函数” 的 “分移值” 为 3，且其图象与矩形ABCD恰好有 2 个交点，直接写出k的取值范围______．
24.(本小题满分 12 分)如图，直线l1:y=x+2和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l1与y轴相交于点E，直线l2与y轴相交于点D(0, 4)，OA=2OB．
（1）求出直线l2的函数表达式；
（2）P是y轴上一点，若S△ABC=S△APC，求点P的坐标；
（3）在x负半轴上是否存在点Q，使得2∠DQO+∠ODB=90 ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题满分 12 分)
【问题背景】我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图 1，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，∠ABC=30 ，则AC=AB．
【探究结论】
（1）如图 1，连接AB边上中线CE，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为______；
（2）如图 2，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，∠ABC=30 ，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADP，且点P在∠ACB的内部，连接BP．线段BP与DP之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论______；
（3）如图 3，当点D是边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，试探究线段
BP与DP之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明；
【拓展应用】
（4）如图 4，在平面直角坐标系xOy中，∠AOB=150 ，点A的纵坐标为 2，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B(4,0)时，求C点的坐标．
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.下列实数是无理数的是（ C ）
A. 2.1 B. 0 C. D. -3
2.在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（ B ）
A. 钱塘明月 4 号楼 301 室 B. 广州塔南偏西30 方向
C. 东经108 ，北纬53 D. 庆春电影院 1 号厅的 3 排 4 座
3.如图，AB∥CD，∠A=37 ，∠C=65 ，那么∠F等于（ A ）
A. 28 B. 63 C. 37 D. 60
4.下列命题是真命题的是（ D ）
A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 相等的角是对顶角
C. 三角形的外角大于任一内角 D. 直角三角形的两锐角互余
5.已知直线y=2x+3过点A( 1,y1)和点( 3,y2)，则y1和y2的大小关系是（ C ）
A. y1y2 D. 不能确定
6.已知八年级 1 班和 2 班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ D ）
A. 1 班成绩比 2 班成绩集中 B. 1 班成绩的上四分位数是 80 分
C. 1 班同学的成绩有超过 140 分的 D. 1 班和 2 班成绩的中位数相同
7.我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？” 意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，下列方程组正确的是（ D ）
A. B. C. D.
8.一次函数y=kx+b（b≠0）不经过第三象限，则y=bx+k的大致图象是（ A ）
A B C D
9.如图，在△ABC中，AB=5，BC=10，AC=9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（ C ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 15
10.如图，△ABC中，∠ABC=45 ，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，BE⊥AC于E，与CD相交于F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论正确的有( A )
①BF=AC；②CE=BF；③△DGF是等腰三角形；④BD+DF=BC；⑤=；
A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个
第 II 卷（非选择题共 110 分）
二、填空题：(本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．)
11.16 的算术平方根是___4___．
12.若正多边形的一个外角是45 ，则这个正多边形的边数为___8___．
13.如图，直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P，则方程组的解是______．
14.中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌的距离y1（km）与时间x（h）之间的函数关系，线段
AN表示轿车离西昌的距离y2（km）与时间x（h）之间的函数关系，则货车出发______小时后与轿车相遇．
15.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（4，0），点B为y轴上任意一点，连接AB，将BA绕点B逆时针旋转90 至BC，连接OC．在点B的运动过程中，则线段OC的最小值为__2____．
三、解答题：(本大题共 10 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
16.(本小题满分 7 分)计算：(+2)( 2) ×．
=5－4－2
=－1
17.(本小题满分 7 分)解方程组：．
由②得y=4x－9③
将③代入①得2x+3（4x－9）=1
解得x=2
将x=2代入③得y=8－9=－1
原方程组得解为
18.(本小题满分 7 分)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E为AC上一点，且DE=CE．求证：DE∥BC．
证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∵DE=CE，
∴∠ACD=∠EDC
∴∠EDC=∠BCD，
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）
19.(本小题满分 8 分)如图，CD=AB，点A、E、F、C在同一直线上，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE=BF．求证：CF=AE．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90
在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL)
∴EC=AF，
∴EC EF=AF EF，
即CF=AE
20.(本小题满分 8 分)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(2,4)，B(1,1)，C(3,2)．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：A1（ ， ）
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标：P（ ， ）．
（1）A1（2， 4）
（2）S△ABC=2×3 ×1×2 ×1×2 ×1×3=6 1.5 0.5 2=2.5
（3）P（0，2）
21.(本小题满分 9 分)近年来，体育在青少年成长中的多元价值已经得到广泛认同，某校鼓励学生利用课余时间进行体育锻炼．为了解本校学生周末校外体育活动情况，随机对本校 40 名学生周末某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分A，，B，C，D以下是部分数据和不完整的统计图表：体育活动时间在60≤x<90范围内的数据：
70，80，75，80，75，70，85，75，70，80，80，65，75，85，80，70
结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的a= ，b= ；
（2）统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
（3）体育活动时间在60≤x<90范围内的数据的众数是______分钟；调查的 40 名同学体育活动时间的上四分位数是______分钟；
（4）根据调查结果，请你估计全校 1600 名同学体育活动时间不少于 60 分钟的人数．
(1)a=40 6 16 8=10，b=8
（2）B组圆心角：360 ×=144
（3）60≤x<90数据中，80 出现 7 次，众数为80；上四分位数为80
（4）不少于 60 分钟人数：1600×=1600×=960人
22.(本小题满分 10 分)济南大明湖景区某文创店准备购进一批雨荷文化纪念品．已知购进 2 件A纪念品和 6 件B纪念品共需 180 元，购进 4 件A纪念品和 3 件B纪念品共需 135 元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价．
（2）该店计划购进A、B两种纪念品共 100 件，且应厂家要求，A纪念品的购进数量最多 40 件．已知A纪念品每件售价为 25 元，B纪念品每件售价为 30 元．若该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？
(1)设A进价x元，B进价y元
根据题意得
解得
答：A每件 15 元，B每件 25 元。
（2）设购进A纪念品m件，则B(100 m)件，
根据题意得m≤40
W利润=(25 15)m+(30 25)(100 m)=10m+500 5m=5m+500
∵5>0，
∴W随m增大而增大，
∴m=40时，W最大最大利润：5×40+500=700元，此时100 40=60件
答：购进A纪念品40件、B纪念品60 件，最大利润 700 元。
23.(本小题满分 10 分)定义：形如y=的函数称为正比例函数y=kx（k≠0）的 “分移函数”，其中b叫 “分移值”．
（1）函数y=x的 “分移函数” 为y=，其中 “分移值” 为 3，在图 1 中画出其图象（注意：x<0时图象不包含x=0的点，在x=0处画个圆圈即可）；
（2）已知点（1，2k）在y=kx（k≠0）的 “分移函数”y=的图象上，则k= ；
（3）已知点P1(2,1 m)，P2( 3,2m+1)在函数y=2x的 “分移函数” 的图象上，则m的值是 ；
（4）如图 2，已知矩形ABCD顶点坐标为A(1,0)，B(1,2)，C( 2,2)，D( 2,0)．函数y=kx的 “分移函数” 的 “分移值” 为 3，且其图象与矩形ABCD恰好有 2 个交点，直接写出k的取值范围______．
（1）
（2）6
（3）－4
（4）－＜k＜1
24.(本小题满分 12 分)如图，直线l1:y=x+2和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l1与y轴相交于点E，直线l2与y轴相交于点D(0, 4)，OA=2OB．
（1）求出直线l2的函数表达式；
（2）P是y轴上一点，若S△ABC=S△APC，求点P的坐标；
（3）在x负半轴上是否存在点Q，使得2∠DQO+∠ODB=90 ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）由l1:y=x+2得A( 4,0)
∵OA=2OB，
∴OB=2
即B(2,0)
设l2:y=kx+b
将B(2,0)和D(0, 4)代入y=kx+b
解得
∴l2解析式：y=2x 4
（2）联立
解得
∴C(4,4)
设P(0,p)，E(0,2)
S△ABC=×6×4=12，
S△APC=×∣p 2∣×8=4∣p 2∣
由4∣p 2∣=12
得p=5或p= 1
∴P(0,5)或(0, 1)
（3）存在，Q( 4,0)
25.(本小题满分 12 分)
【问题背景】我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图 1，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，∠ABC=30 ，则AC=AB．
【探究结论】
（1）如图 1，连接AB边上中线CE，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为______；
（2）如图 2，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，∠ABC=30 ，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADP，且点P在∠ACB的内部，连接BP．线段BP与DP之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论______；
（3）如图 3，当点D是边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，试探究线段
BP与DP之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明；
【拓展应用】
（4）如图 4，在平面直角坐标系xOy中，∠AOB=150 ，点A的纵坐标为 2，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B(4,0)时，求C点的坐标．
（1）BE=CE （2）BP=DP
（3）BP=DP
∵△ABC为直角三角形，∠ABC=30
∴AC=AB，∠BAC=60
∵△ADP为等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=60
∴∠BAC+∠DAB=∠DAP+∠DAB，即∠DAC=∠PAB
在△DAC和△PAB中，
∴△DAC≌△PAB（SAS），
∴∠ACB=∠ABP=90
∵△ADP是等边三角形，
∴DP=AP，
在Rt△ABP中，BP=AP，
∴BP=DP
（4）C点坐标：(2+,1+2)