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专题11 与圆有关的位置关系（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，在边长为4的等边三角形中，为线段的中点，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段的长不可能为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，分别切与点A，B，切于点C，分别交于点M，N，若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在⊙O的内接四边形ABDE中，AB是直径，∠E＝106°，过D点的切线DC与AB延长线交于点C，则∠C的度数为（ ）
A．58° B．32° C．74° D．48°
5．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方式放置于桌面上，AB与螺母相切，D为螺母与桌面的切点，∠CAB=60°．若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）
A．cm B．12cm C．cm D．cm
6．如图，是的直径，是的切线，连接交于点D，连接，．则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，与的边相切，切点为B，将绕点B顺时针旋转得到，使点落在上，边交线段于点C，，则为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以点C为圆心，r为半径，作⊙C，当r＝3时，⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
9．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若∠C=50°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
10．如图，在矩形中，，，，则内切圆的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，为弦，于点Q，，过点A作圆O的切线，交的延长线于点P，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，分别与相切于点，，为上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在四边形ABCD中，，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在平面直角坐标系中直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．一个半径为的，从点开始以每秒个单位的速度沿着轴向下运动，当与直线相切时，则该圆运动的时间为（ ）
A．6秒 B．8秒 C．6秒或8秒 D．6秒或16秒
二、填空题
16．如图，是的内接正三角形，弦过的中点D，且，若，则的长为 ．
17．如图，为平行四边形中延长线上一点，且，的外接圆交于，若，则为 ．
18．如图，点到直线的距离为的半径为分别为和上的动点，且始终与相切于点．以为直角边作，且使，则斜边的最小值为 ．
19．是的弦，切于点，经过圆心．若，则 ．
20．如图，与正五边形的边分别相切于点F，G．点H是优弧上任意一点，则 °．
21．如图，从外一点引圆的切线，切点为，连结并延长交于点，连结．若，则的度数为 ．
22．如图，，分别切于点A，B，点C是上一点，过C作的切线，交，于点D，E，若，则的周长是 ．
23．如图，A是外一点，切于点B，过圆心O，且交于点D．若，，则的长度为 ．
24．已知的三边a、b、c满足，则的内切圆半径= ．
25．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D、E，，为的外接圆，过点E作的切线交于点F．
（1）若，则的长为 ；
（2）若，则 ．
三、解答题
26．如图，在锐角△ABC中，，以BC为直径画⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当，时，求劣弧的长．
27．如图，在中，是的直径，与相切于，连接，过点作，与交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长度．
28．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长．
29．如图，是的直径，C、D是上两点，且D为弧中点，过点D的直线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为2，求阴影部分的面积；
(3)若，求的长．
30．如图，在中，，是上一点，以为半径的与相切，切点为，连接，与相交于点．
(1)求证：是的角平分线；
(2)若，，求的长．
31．如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E，延长交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求AF的长．
32．如图，为，C为的中点，D为延长上一点，与相切，切点为A，连接并延长，交点E，直线于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
33．如图，在中，，．以点为圆心，为半径作圆，延长交于点．
(1)请在图中作出点关于直线的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，证明：直线与相切．
34．如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径的长．
35．如图，以为直径的上有两点，点是弧的中点，垂足为点，交的延长线于点，与相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径和的长．
【能力提升】
36．如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．
(1)当 时，与所在的直线第一次相切，点到直线的距离为______．
(2)当为何值时，直线与半圆所在的圆相切？
(3)当的一边所在的直线与相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积．
37．如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6
(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)求AB的长；
(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．
38．如图，平行四边形中，，，于，经过点作圆和边切于点（点可与点重合），分别交边、边于点、．
(1)求的长度；
(2)若点在边上，求的长；
(3)设圆的半径为，直接写出的最小值．
39．某种在同一平面进行转动的机械装置如图1，图2是它的示意图，其工作原理是：滑块Q在平直滑道上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作于点H，并测得分米，分米，分米．
解决问题：
(1)点Q与点O间的最小距离是______分米；点Q与点O间的最大距离是______分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是______分米；
(2)如图3，有同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，与是相切的．”你认为这个判断对吗？说明理由；
(3)当绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
40．如图，已知是的直径，是上一点，，垂足为，连接，过点作的切线与的延长线相交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为，，求的长．
(3)若，，求的半径．
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专题11 与圆有关的位置关系（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，在边长为4的等边三角形中，为线段的中点，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段的长不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质以及勾股定理．首先连接，，，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【详解】解：连接，，，
∵在边长为4的等边三角形中，为线段的中点，
∴，，
∵是的切线，
∴；
根据勾股定理知，
∵为定值，
∴当的值最小时，的值最小，当的值最大时，的值最长，
∴当时，线段最小，当与点重合时，线段最长，
∵在中， ，
∴，
∵，
∴，
∴线段最小值，线段最大值．
∴，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
2．如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】连接，，首先根据勾股定理求出，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，，证明出，利用相似三角形的性质求出．
【详解】如图所示，连接，，
∵，，，
∴，
∵以为直径的半圆与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴解得．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3．如图，分别切与点A，B，切于点C，分别交于点M，N，若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用切线长定理，得，，，即可证明．
【详解】解：∵分别切与点A，B，
∴，
同理，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是熟练运用切线长定理．
4．如图，在⊙O的内接四边形ABDE中，AB是直径，∠E＝106°，过D点的切线DC与AB延长线交于点C，则∠C的度数为（ ）
A．58° B．32° C．74° D．48°
【答案】A
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、切线的性质定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】连接OB，首先利用圆内接四边形对角互补求出∠ABD，利用等腰三角形两底角度数相等求出∠ODB，再利用切线的性质求出∠ODC、∠BDC，最后利用三角形外角性质求出∠C．
【详解】解：连接OD，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∠E＝106°，
∴∠E+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝74°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠ABD＝74°，
∵过D点的切线DC与AB延长线交于点C，
∴∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣74°＝16°，
∵∠ABD＝∠C+∠BDC，
∴∠C＝∠ABD﹣∠BDC＝74°﹣16°＝58°．
故选：A．
【点睛】本题考查圆内接四边形、切线、等腰三角形、三角形外角的性质与运用等知识点，由圆内接四边形对角互补求出∠ABD的长度是解答本题的关键．
5．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方式放置于桌面上，AB与螺母相切，D为螺母与桌面的切点，∠CAB=60°．若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）
A．cm B．12cm C．cm D．cm
【答案】A
【知识点】切线的性质定理、应用切线长定理求解、解直角三角形的相关计算
【分析】设圆形螺母的圆心为O，连接OD，OE，OA，如图所示：根据切线的性质得到AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，又∠CAB=60°，得到∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°，根据三角函数的定义求出OD的长，即为圆的半径，进而确定出圆的直径．
【详解】解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，如图所示：
∵AD，AB分别为圆O的切线，
∴AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，OD⊥AC，又∠CAB=60°，
∴∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°，
在Rt△AOD中，∠OAD=60°，AD=6cm，
∴tan∠OAD=tan60°=，即，
∴OD=6cm，
则圆形螺母的直径为12cm．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
6．如图，是的直径，是的切线，连接交于点D，连接，．则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边对等角、圆周角定理、切线的性质定理
【分析】根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C=40°求出∠AOC，再根据同弧所对的圆周角是其所对圆心角的一半即可求出∠ABD的度数，根据OB=OD，得出，即可得出答案．
【详解】∵AC是⊙O的切线，
，
∴∠OAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠AOC=50°，
∵∠ABD与∠AOD所对的弧相同，
∴∠ABD==25°，
∵OB=OD，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是求出∠AOC的度数．
7．如图，与的边相切，切点为B，将绕点B顺时针旋转得到，使点落在上，边交线段于点C，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据旋转的性质求解、切线的性质定理、等边三角形的判定和性质
【分析】
本题考查了切线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质；
根据切线的性质得到，连接，根据旋转的性质得，，证明为等边三角形，得到，所以，然后利用三角形外角的性质计算．
【详解】
解：∵与的边相切，
∴，
∴，
连接，如图，
∵绕点B按顺时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以点C为圆心，r为半径，作⊙C，当r＝3时，⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【知识点】判断直线和圆的位置关系、已知余弦求边长
【分析】如图，作，由余弦值求 的值，在中，由勾股定理求，由求得的值，比较与半径的大小，即可判断位置关系．
【详解】解：如图，作
∵，
∴
在中，由勾股定理得
∵
∴
∵
∴以点C为圆心，3为半径的与直线的位置关系是相交
故选C．
【点睛】本题考查了余弦，勾股定理，直线与圆的位置关系．解题的关键在于确定圆心到直线的距离．
9．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若∠C=50°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
【答案】D
【知识点】切线的性质定理
【分析】根据切线的性质求出∠BCA，根据直角三角形的性质求出∠ABC，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出答案．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴∠BCA=90°，
∵∠C=50°，
∴∠ABC=90°-50°=40°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=40°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=40°+40°=80°，
故选：D．
【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系以及三角形的内角和定理，掌握切线的性质和直角三角形的边角关系是正确计算的关键．
10．如图，在矩形中，，，，则内切圆的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、应用切线长定理求解
【分析】根据矩形中，，，则可得，连接、、，根据圆是三角形的内切圆，可得四边形是正方形，设圆的半径是，则有，，利用，化简求出即可．
【详解】解：如图示，连接、、，
∵，，，
∴
又∵圆是三角形的内切圆，
，，， ，，
四边形是正方形，
设圆的半径是，
则有：，
∴，，
∵，
即：，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查对三角形的内切圆的性质，切线长定理，切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理的逆定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质是解题的关键．
11．直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断直线和圆的位置关系
【分析】此题考查直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线l和相交，进行判断即可．
【详解】解：∵直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ，
∴．
故选：C．
12．如图，在中，为弦，于点Q，，过点A作圆O的切线，交的延长线于点P，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】切线的性质定理、利用垂径定理求值、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了垂径定理，切线性质，直角三角形两个锐角互余，连接，根据垂径定理可得，由切线性质可得，即可求出最后结果．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
为圆的切线，
，
，
故选：C．
13．如图，分别与相切于点，，为上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】连接，根据切线的性质得到，进而在的优弧上找一点，连接，根据圆周角及内接圆的性质即可解答．
【详解】解：连接，所在的优弧上找一点，连接，
∵分别与相切于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是内接四边形，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了四边形的内角和，圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
14．如图，在四边形ABCD中，，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】应用切线长定理求解、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、因式分解法解一元二次方程
【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到可求解．
【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，，，
∴为的切线，
由题意，为的切线，
∴，，
∵，
∴设，，，
则，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，切线长定理的应用，，以及勾股定理的应用，一元二次方程的应用等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
15．如图，在平面直角坐标系中直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．一个半径为的，从点开始以每秒个单位的速度沿着轴向下运动，当与直线相切时，则该圆运动的时间为（ ）
A．6秒 B．8秒 C．6秒或8秒 D．6秒或16秒
【答案】D
【知识点】一次函数与几何综合、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】求出，，分两种情况画出图形，由切线的性质及相似三角形的判定与性质可求出答案．
【详解】解：直线与轴、轴分别交于、两点，
当时，，
当时，，，
，，
，，
如图，当点在线段上时，
与相切，
，
，
又，
，
，
，
，
，
运动的时间为（秒），
当点在线段的延长线上时，同理，
，
，
则运动的时间为（秒）．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
二、填空题
16．如图，是的内接正三角形，弦过的中点D，且，若，则的长为 ．
【答案】/
【知识点】利用垂径定理求值、由平行截线求相关线段的长或比值、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】连接，连接交于点M，延长交于点N．求得得出，证明是的中位线，求出，证明是等边三角形，求出，结合勾股定理求出，从而可求出的长．
【详解】解：连接，连接交于点M，延长交于点N．
∵是等边三角形，
∴，
由作图得，，
．
∵是的中点，
∴
∴，
∴即点是的中点，
是的中位线，
，
又，
是等边三角形，，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形外接圆与外心，等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理等知识，能够证得为等边三角形是解答此题的关键．
17．如图，为平行四边形中延长线上一点，且，的外接圆交于，若，则为 ．
【答案】
【分析】如图，延长AF交BC的延长线于M，连接BF，作BN⊥AE．首先证明BM是⊙O的切线，可得BM2=MF MA，由CM∥AD，推出，设FM=m，CM=n，则AF=2m，求出m与n之间的关系即可解决问题；
【详解】解：如图，延长交的延长线于，连结，，作，
，，
，
经过圆心，
四边形是平行四边形，
，
，
是的切线，
，即，
，
，
在中，，
将代入得，
，
，
，
在和中，
，
则，
，
，
，
设，，则，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、三角形的外心、切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用此时解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
18．如图，点到直线的距离为的半径为分别为和上的动点，且始终与相切于点．以为直角边作，且使，则斜边的最小值为 ．
【答案】/
【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、切线的性质定理
【分析】连接，，根据题意，最小时，斜边有最小值，则当时，最小，即可求出最小值．
【详解】如图，连接，，
∵是的切线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴点，，三点共线，
在中，，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
要使最小，则需最小，
∴当时，最小值为，
∴此时，
∴斜边的最小值为：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆的性质，圆的切线性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是正确找到点的位置，使得斜边的值最小.
19．是的弦，切于点，经过圆心．若，则 ．
【答案】
【知识点】切线的性质定理、圆周角定理
【分析】本题考查了圆的切线的性质，一般作法是：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系；同时要熟练掌握圆的切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．连接，根据切线性质得，再由三角形的内角和求出的度数，并根据同圆的半径相等求出结论．
【详解】解：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
20．如图，与正五边形的边分别相切于点F，G．点H是优弧上任意一点，则 °．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合、切线的性质定理、圆周角定理
【分析】本题考查了正多边形的内角和，切线的性质，圆周角定理等知识．熟练掌握正多边形的内角和，切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
由题意知，，如图，连接，由切线的性质可得，则，由圆周角定理可得，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
如图，连接，
∵与正五边形的边分别相切于点F，G，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
21．如图，从外一点引圆的切线，切点为，连结并延长交于点，连结．若，则的度数为 ．
【答案】32°
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理
【分析】连接OB，如图，先根据切线的性质得到∠ABO=90°，再利用互余计算出∠AOB=64°，然后根据圆周角定理得到∠ACB的度数．
【详解】解：连接OB，如图，
∵AB为圆O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-26°=64°，
∴∠ACB=∠AOB=32°，
故答案为：32°．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，也考查了圆周角定理，掌握切线的性质是解题关键．
22．如图，，分别切于点A，B，点C是上一点，过C作的切线，交，于点D，E，若，则的周长是 ．
【答案】
【知识点】应用切线长定理求解
【分析】本题考查了切线长定理；
根据切线长定理可得，，，求出的周长为即可．
【详解】解：∵，分别切于点A，B，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴的周长为：，
故答案为：．
23．如图，A是外一点，切于点B，过圆心O，且交于点D．若，，则的长度为 ．
【答案】
【知识点】圆周角的概念辨析、切线的性质定理、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了圆的基本性质，切线的性质，勾股定理等；连接，由圆的基本性质得 ，由切线的性质得，由勾股定理得，即可求解；掌握切线的性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
切于点B，
，
，
，
解得：，
；
故答案：．
24．已知的三边a、b、c满足，则的内切圆半径= ．
【答案】1
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【分析】先将变形成，然后根据非负性的性质求得a、b、c的值，再运用勾股定理逆定理说明△ABC是直角三角形，最后根据直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半解答即可．
【详解】解：
则=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，
∵42+32=52
∴△ABC是直角三角形
∴的内切圆半径==1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了非负数性质的应用、勾股定理逆定理的应用以及直角三角形内切圆的求法，掌握直角三角形内切圆半径的求法以及求得a、b、c的值是解答本题的关键．
25．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D、E，，为的外接圆，过点E作的切线交于点F．
（1）若，则的长为 ；
（2）若，则 ．
【答案】 /
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求弧长、切线的性质定理
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，切线的性质，弧长的计算等内容，熟知相关性质及定理是解题关键．
①先证明是的直径，再求得，最后利用弧长公式进行计算即可；
②先证明，得到，设，则，则，由勾股定理可得方程，求出m的值，最后得出答案．
【详解】①如图，连接，
∵，
∴是的直径，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
的长为，
故答案为：；
②∵是的切线，
∴，
在中，，，
，
∵是的垂直平分线，
∴，
，
又，
，
，
设，则，则，
在中，由勾股定理可得，，
即，
解得：或（不合题意，舍去），
．
故答案为：2.24
三、解答题
26．如图，在锐角△ABC中，，以BC为直径画⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当，时，求劣弧的长．
【答案】（1）见详解；（2）
【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、求弧长
【分析】（1）连接OD，由直径所对圆周角性质可得∠BDC=90°，由等腰三角形的性质得到∠CBD=∠ABD，由OD=OB，∠ODB=∠ABD，可得OD∥AB,根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形的性质得到AD＝CD，根据直角三角形的性质得到∠ADE＝30°，求得∠A＝60°，利用勾股定理求出AE，CD，然后根据扇形弧长公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OD，BD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵AB=BC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠ABD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵BD⊥AC，AB＝BC，
∴AD＝CD，
∵AC＝4AE，
∴AD＝2AE，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OD=OC，
∴△OCD为等边三角形，
在Rt△ADE中，根据勾股定理AD2=DE2+AE2，
∵，
∴（2AE）2=（）2+AE2，
解得AE=1，
∴AD＝CD＝2AE＝2，
∴劣弧的长．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，扇形弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
27．如图，在中，是的直径，与相切于，连接，过点作，与交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质和判定的综合应用、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形
【分析】（1）连接，利用切线的性质得到，利用平行线性质结合等量代换得到，证明,得到，即可证明是的切线；
（2）连接，利用圆周角定理得到，利用勾股定理得到，证明，利用相似的性质即可得到的长度．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）如图，连接，
是的直径，，
，，
在中，，，
又，
，
，即，
解得：．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，平行线性质，全等三角形性质和判定，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形性质和判定，掌握以上知识是解题的关键．
28．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长．
【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）.
【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、证明某直线是圆的切线
【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明即可；
（2）过O作于G，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形AODF是菱形，得到，，于是得到结论．
【详解】（1）直线DE与⊙O相切，
连结OD．
∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过O作于G，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形AODF是菱形，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
29．如图，是的直径，C、D是上两点，且D为弧中点，过点D的直线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为2，求阴影部分的面积；
(3)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】切线的性质和判定的综合应用、求其他不规则图形的面积、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）连接OD，证明即可得到，即可得到DE是⊙O的切线；
（2）先求出∠DOB=60°，解直角△ODF求出DF的长，然后根据进行求解即可；
（3）先证明∠DOF=∠EAF，解直角△DOF得到，则，即可求出AF=OA+OF=8，证明△AEF∽△ODF得到，则．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
∵D为弧中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵EF是切线，
∴∠ODF=90°，
∵∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠DOB=∠OAD+∠ODA=60°，
∴，
∴
（3）解：∵，
∴∠DOF=∠EAF，
∵∠ODF=90°
∴，
∴，
∴，
∴AF=OA+OF=8，
∵，
∴△AEF∽△ODF
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了圆切线的性质与判定，扇形面积，三角形面积，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质与判定，等腰对等角，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
30．如图，在中，，是上一点，以为半径的与相切，切点为，连接，与相交于点．
(1)求证：是的角平分线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．
（1）连接，根据切线的性质和平行线的判定和性质证明即可；
（2）设，再根据勾股定理列式求出，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接．
与相切，
，
，
又，
∴，
，
，
，
，
平分；
（2）解：是圆的切线，
，
在中，；
若，，
设圆的半径，
解得：，
，
，
∵，
，
，
，
．
31．如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E，延长交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求AF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、已知正切值求边长、圆与三角形的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）如图：连接．根据切线的性质可得，进而得到，即，则，然后得到，最后根据三角形外角的性质即可解答；
（2）如图：连接DF，DA,根据圆周角定理结合（1）的相关结论可得，即；再根据等腰三角形的性质可得，然后再证可得，最后根据正切的定义列比例式求解即可．
【详解】（1）证明：如图：连接．
∵是的切线．
∴半径，
∵，
∴．
∴，
∴．
∵．
∴．
∴，
∴是的外角，
∴．
（2）解：如图：连接DF，DA,
∵，，
∴．
∴．
∵．
∴．
∵是圆的直径．
∴．
∴．．
∵，
∴．
∴．
∴
∴，
在中，,,
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握圆的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
32．如图，为，C为的中点，D为延长上一点，与相切，切点为A，连接并延长，交点E，直线于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）7
【知识点】与三角形中位线有关的证明、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、已知正弦值求边长
【分析】（1）证明：如图，连接OA．由与相切，切点为A，OA为的半径，可得．．由，C为的中点，．可得．即可；
（2）如图，连接．设的半径为r．由O为的中点，C为的中点， 可得，可证△AFE∽△DFO，可得． ． ．，， 解得即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OA．
∵与相切，切点为A，OA为的半径，
∴．
∴．
∵，C为的中点，
∴．
∴．
∴．
∴；
（2）解：如图3，连接．设的半径为r．
∵O为的中点，C为的中点，
∴，
∵，=90°，
∴△AFE∽△DFO，
∴．
∵，
∴，
在中． ．
在中，．
∴．
∵，
∴，
化简，得，
解得．
经检验，是原方程的解．
∴．
【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解方程，掌握圆的切线性质，直径所对圆周角性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解方程是解题关键．
33．如图，在中，，．以点为圆心，为半径作圆，延长交于点．
(1)请在图中作出点关于直线的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，证明：直线与相切．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】作垂线(尺规作图)、证明某直线是圆的切线
【分析】（1）作线段的垂直平分线即可；
（2）连接，，交于点，根据垂直平分线的性质和圆性质即可证明．
【详解】（1）解：如图点即为所求，
作线段的垂直平分线，利用对称轴垂直平分对应点所连线段即可得到点关于直线的对称点；
（2）证明：连接，，交于点，如图所示，
∵，
∴，
又∵是的外角，
∴，
在中，，
∴，
由（1）得，垂直平分.
∴，
∴在中，平分，
∴，
即，
∴直线与相切；
【点睛】本题考查了尺规作图和切线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
34．如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】切线的性质和判定的综合应用、利用弧、弦、圆心角的关系求证、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定， 等弧所对的圆心角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等：
（1）如图所示，连接，由切线的性质得到，再由得到，证明，得到，据此可证明结论；
（2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵与相切于点B，
∴ ，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为．
35．如图，以为直径的上有两点，点是弧的中点，垂足为点，交的延长线于点，与相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径和的长．
【答案】(1)详见解析
(2)的半径为：，
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、用勾股定理解三角形
【分析】（1）连接，由点是弧的中点，得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可证明；
（2）根据圆周角定理得到，设，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质得到，设的半径为，根据勾股定理得到，求得，根据三角函数的定义得到，过点作于，由，得到，求得根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接
点是弧的中点
是的半径
是的切线
（2）为的直径
设
设的半径为
解得：
，
设
过点作于
连接
【点睛】本题考查了切线的切线的性质和判定、勾股定理、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【能力提升】
36．如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．
(1)当 时，与所在的直线第一次相切，点到直线的距离为______．
(2)当为何值时，直线与半圆所在的圆相切？
(3)当的一边所在的直线与相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积．
【答案】(1)，
(2)t为4秒或16秒
(3)或
【知识点】含30度角的直角三角形、切线的性质定理、求扇形面积、圆与三角形的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）由题意可知，为的直径，即，，所以，与所在的直线第一次相切，即点与点重合，也就是时；由，再根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，可知；
（2）此题有两种情况：第一种情况，直线与半圆相切，即过点的半径与所在的直线垂直，也就是，即点与点重合时，也就是；第二种情况，直线与半圆相切，即点运动到点的右侧时，即过点的半径与的延长线垂直，此时，也就是；
（3）此题有两种情况：第一种情况是与相切时，此时重叠的部分为的四分之一，即为；第二种情况是与第二次相切时，此时的直径与的边重合，重叠部分的面积等于与扇形的和，即．
【详解】（1）解：如图，过点C作于F，
，
，
，
，
，
当时，与所在直线第一次相切；
，，
；
故答案为：，．
（2）解：如图，过作于，
同理得：，
当直线与半圆所在的圆相切时，
又圆心到的距离为，半圆的半径为，
且圆心又在直线上，
与重合，即当点运动到点时，半圆与的边相切，
此时，点运动了，
所求运动时间；
如图，当点运动到点的右侧时，且，
过作，交直线于，
在中，，则，
即与半圆所在的圆相切，
此时点运动了，
所求运动时间，
综上所述，当为秒或秒时，直线与半圆所在的圆相切；
（3）解：有两种情况：
①当半圆与边相切于时，如图，重叠部分的面积；
②当半圆与相切于时，如图，连接，
，
与重合，与重合，
，
，
．过作于，
，
，
由勾股定理得：，
，此时重叠部分的面积；
综上所述，重叠部分的面积为或
【点睛】本题考查切线，求扇形面积，熟练掌握勾股定理的性质是解题关键．
37．如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6
(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)求AB的长；
(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．
【答案】(1)⊙M与x轴相切，理由见解析
(2)6
(3)
【知识点】求一次函数解析式、利用垂径定理求值、半圆（直径）所对的圆周角是直角、判断直线和圆的位置关系
【分析】（1）连接CM，证CM⊥x即可得出结论；
（2）过点M作MN⊥AB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；
（3）连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所以OB=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，即可求得CD，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，从而得出点D坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可．
【详解】（1）解：⊙M与x轴相切，理由如下：
连接CM，如图，
∵MC=MA，
∴∠MCA=∠MAC，
∵AC平分∠OAM，
∴∠MAC=∠OAC，
∴∠MCA=∠OAC，
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，
∵MC是⊙M的半径，点C在x轴上，
∴⊙M与x轴相切；
（2）解：如图，过点M作MN⊥AB于N，
由（1）知，∠MCO=90°，
∵MN⊥AB于N，
∴∠MNO=90°，AB=2AN，
又∵∠CON=90°，
∴四边形OCMN是矩形，
∴MN=OC，ON=CM=5，
∵OA+OC=6，
设AN=x，
∴OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，
在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得
x2+(1+x)2=52，
解得：x1=3，x2=-4（不符合题意，舍去），
∴AN=3，
∴AB=2AN=6；
（3）解：如图，连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，
由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，
∴OB=8，C（4，0）
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，得
BC=，
∵BD是⊙M的直径，
∴∠BCD=90°，BD=10，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，得
CD=，即CD2=20，
在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD2=CD2-CP2=20-CP2，
在Rt△MPD中，由勾股定理，得PD2=MD2-MP2=MD2-（MC-CP）2=52-（5-CP）2=10CP-CP2，
∴20-CP2=10CP-CP2，
∴CP=2，
∴PD2=20-CP2=20-4=16，
∴PD=4，即D点横坐标为OC+PD=4+4=8，
∴D（8,-2），
设直线CD解析式为y=kx+b，把C（4,0），D（8,-2）代入，得
，解得：，
∴直线CD的解析式为：．
【点睛】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握直线与圆相切的判定、待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．
38．如图，平行四边形中，，，于，经过点作圆和边切于点（点可与点重合），分别交边、边于点、．
(1)求的长度；
(2)若点在边上，求的长；
(3)设圆的半径为，直接写出的最小值．
【答案】(1)12
(2)
(3)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、求弧长
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理进行计算即可得到答案；
（2）先求出的度数以及半径的长，再根据弧长公式进行计算即可得到答案；
（3）找到当最小时，在同一直线上，此时斜边上的高为的直径；当与边相切于点时，此时最大，连接，过点作垂线交于，分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解： ，，，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
，
切圆于点点，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：当最小时，在同一直线上，此时斜边上的高为的直径，
，
，
，即，
，
即半径为3；
当与边相切于点时，此时最大，连接，过点作垂线交于，
，
，
，
，
，，
，
，
即半径为6，
．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式、切线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质、弧长公式、切线的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
39．某种在同一平面进行转动的机械装置如图1，图2是它的示意图，其工作原理是：滑块Q在平直滑道上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作于点H，并测得分米，分米，分米．
解决问题：
(1)点Q与点O间的最小距离是______分米；点Q与点O间的最大距离是______分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是______分米；
(2)如图3，有同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，与是相切的．”你认为这个判断对吗？说明理由；
(3)当绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
【答案】(1)4，5，6
(2)不对，理由见解析
(3)所求最大圆心角的度数为
【知识点】用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求解、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离、证明某直线是圆的切线
【分析】（1）点Q运动到点H时，点Q与O的距离最小，即可求解；点O、P、Q在一条直线上时，点Q与O的距离最大，即可求解；点Q滑动到最左端时，由即可求解；当点Q运动到最右端时，同理可求．
（2）可证，即可求解；
（3）时，点P到直线l的距离最大，连接，交于点D，过点作垂直l．可证，在中，，从而可求，接可求解．
【详解】（1）解：点Q运动到点H时，点Q与O的距离最小，由于分米，
Q与O的最小距离为4分米，
点O、P、Q在一条直线上时，点Q与O的距离最大，
最大距离为：（分米），
点Q滑动到最左端时，
分米，分米，，
分米，
同理可得，当点Q运动到最右端时，分米，
点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离为6分米．
故答案为：4，5，6．
（2）解：不对．
理由如下：
，，，
当Q、H重合时，，
，即，
不是直角三角形，
与不垂直．
与不相切．
（3）解： 分米，只有时，点P到直线l的距离最大，
在上存在点P，到l的距离为3．此时，将不能再向下转动，
如图，连接，交于点D，过点作垂直l．
则在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是．
，均与l垂直，且分米，
四边形是矩形，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
所求最大圆心角的度数为．
【点睛】本题考查了圆外一点到圆心的距离最值问题，切线的判定，勾股定理，特殊角的三角函数值等，理解距离取得最值的条件，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
40．如图，已知是的直径，是上一点，，垂足为，连接，过点作的切线与的延长线相交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为，，求的长．
(3)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据题意可得，，再根据三角形内角和可推出，得证；
（2）连接，，由（1）可得，推出，结合勾股定理计算得到，从而得到，再由，，得到，根据勾股定理计算，最后计算即可；
（3）由，推出，得到，从而得到，再根据，推出、，最后根据勾股定理可得长度，即可求得半径．
【详解】（1）证明：，垂足为，
，
过点作的切线与的延长线相交于点，
，
，
，，
．
（2）连接，，
，，
，
，
，，
在中，，
，
，
，垂足为，，
，
，
是的直径，，
，
在中，，
在中，，
的长为．
（3）是的直径，，
，
，
，
，
设，则，由，得：，
，解得：，
，
，
，，，
，
，
的半径为．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是90度，切线的性质定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，平行的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
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