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专题09 特殊平行四边形
（一）特殊平行四边形的性质与判定
（1）性质（具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等）
矩 形 （1）四个角都是直角 （2）对角线相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO. （3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB.
菱 形 （1）四边相等 （2）对角线互相垂直平分，一条对角线平分一组对角 （3）面积=底×高=对角线_乘积的一半
正 方 形 (1)四条边都相等，四个角都是直角 (2)对角线相等且互相垂直平分 (3)面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB
（2）判定
矩 形 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形 （2）有三个角是直角 （3）对角线相等的平行四边形
菱 形 （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形 （2）对角线互相垂直的平行四边形 （3）四条边都相等的四边形
正 方 形 （1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形 （2）一组邻边相等的矩形 （3）一个角是直角的菱形 （4）对角线相等且互相垂直、平分
（二）中点四边形
（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.
考点1：矩形的判定与性质
典例1：如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点F，直接写出与之间的关系为 ．
在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
(1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为；
(2)连接、，当t为何值时，为直角三角形．
【变式2】如图，中，于点E，点F在的延长线上，且，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若求的值．
【变式3】如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
【变式4】如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积．
【变式5】如图，，，且，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______．
【变式6】如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，．
(1)求证：是矩形；
(2)若点E为的中点，求的度数．
【变式1】
【变式7】如图，在平行四边形中，点分别在上，且，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求的长．
考点2：菱形的判定与性质
典例2：已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式1】如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接、、、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【变式2】如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点，
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的度数．
【变式3】如图，四边形是平行四边形，分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，交，于点和点，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求四边形的周长．
【变式4】如图，在中，平分，的垂直平分线分别交于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形：
(2)若，，，求的面积．
【变式5】在中，，点是边上的一点，连接，作，连接．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当是边的中点时，若，，求四边形的面积．
【变式6】如图，的对角线，相交于点，且，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，四边形的面积是，求的长．
【变式7】如图，是的角平分线，过点D分别作的平行线，交于点E，交于点F．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，求四边形的边长和面积．
【变式8】如图，在矩形中（），对角线相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若矩形的周长为20，，求四边形的面积．
【变式9】在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．
(1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）？
答：__________；（直接填空，不用说理）
(2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值；
(3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值．
考点3：正方形的判定与性质
典例3：如图，已知中，，点D为边BC上一动点，四边形是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F，
(1)判断BD与CG的数量关系，并证明；
(2)求证：；
(3)若，求AE的值．
【变式1】如图①，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)如图②，连接，若，，求的长．
【变式2】如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)当是的中点，且时，求的面积．
【变式3】【课本再现】
（1）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长都等于6，都等于，如图①摆放时，重叠部分的面积是______；
（2）（知识在探究）在正方形绕点O旋转的过程中（如图②），上述重叠部分的面积有没有变化？请说明理由．
【拓展延伸】
如图③，四边中，，边，直接写出的长______．
【变式4】如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点．
(1)求证：．
(2)①______；
②求证：．
(3)求证：．
【变式5】如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长．
【变式6】综合与实践
问题情境：
如图①，点为正方形内一点，；将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）如图①，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，，求和的长．
【变式7】（1）如图①，在正方形中，是上一点，连接，过点作交的延长线于点．求证：；
（2）如图②，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请利用（1）的结论证明：；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图③，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积．
【变式8】【问题情境】
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形．
【特例探究】
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形．
【探究发现】
(1)博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明．
(2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上．
①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
②当，且时，直接写出的长．
【变式9】如图，点E是正方形中边上一点，且．
(1)尺规作图：①以与为邻边作正方形；②作，垂足为H（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，求证：
(3)连接，猜想四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
考点4：特殊平行四边形——折叠
典例4：如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为．
(1)求线段的长；
(2)线段的长．
【变式1】如图，已知正方形纸片的边长为9，，将沿对折至，延长交于点，连接，且平分．
(1)证明：；
(2)求线段的长．
【变式2】【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度．
【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接．
（1）证明：；
（2）若正方形的边长为4，点为中点，则的长为______．
【变式3】如图1，折叠矩形纸片，具体操作：①点E为边上一点（不与点A，D重合），把沿所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②将沿所在的直线折叠，折痕所在的直线交于点G，D点的对称点为H点．
(1)求证：．
(2)如图2，若，若点C恰在直线上，
①求线段的长；
②如图3，连接，求的面积．
【变式4】综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）．
(1)【动手操作】
当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________；
(2)【问题探究】
如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：；
(3)【拓展延伸】
已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长．
【变式5】如图，已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，折痕与边交于点，连接，，．
(1)求证：．
(2)若，求边的长．
【变式6】在矩形中，． 沿过点的直线折叠矩形，使点落在边上点处，折痕为．
【尝试】
（1）如图1，与始终保持相似关系，请说明理由．
【探究】
（2）随着折痕位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，是否存在点，使？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【延伸】
（3）如图2，折叠，使边落在上处，折痕为． 若，求的值．
【变式7】如图，在正方形中，F为的中点，连接，将沿对折得到，延长交的延长线于点Q．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若正方形的边长为2，求的长．
考点5：特殊平行四边形——平移
典例5：在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合(如图)．其中，，．并进行如下研究活动：将图中的纸片沿方向平移，联结， (如图)．
（1）求证：图中的四边形是平行四边形；
（2）当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形(如图)．求此时的长：
（3）在纸片平移的过程中，四边形能成为菱形吗？如果可以直接写出的长，如果不可以，说明理由．
在一次数学研究性学习中，小敏将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中，并进行如下研究活动，将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
（1）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小敏发现四边形ABDE为矩形（如图3），求AF的长．
【变式1】已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，将△ABC沿射线AC向下平移得，边交BC于点D．
(1)求；
(2)连接，判断四边形BCC′B′的形状，并说明理由；
(3)若四边形BCC′B′为正方形，则平移的距离为 ．
【变式2】如图，在中，，，，点为的中点，连接，将沿射线的方向平移，使平移的距离等于线段的长，得到，连接．
(1)求平移过程中扫过的图形的面积；
(2)求证：垂直平分．
【变式3】如图，已知的面积为7，且，现将沿方向平移长度得到．
(1)求四边形的面积；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若，求的长．
【变式4】【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是__________．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，与边分别交于点M，N．求证：是菱形．
【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，（为锐角），则四边形的面积为_________．
考点6：特殊平行四边形——旋转
典例6：如图，中，，，是由绕按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点．
(1)求证：；
(2)当四边形为菱形时，求的长．
【变式1】【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程．
（1）延长到点G，使 ，连接．
（2）求证：．
【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长
【变式2】【阅读理解】
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，
【初步探究】
如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：．
（1）根据以上信息，填空：
①_______°；
②线段之间满足的数量关系为_______；
【迁移探究】
（2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论；
【拓展探索】
（3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长．
【变式3】如图1，在等边内有一点P，且，，，求的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题．
(1)求出的度数；
(2)如图1，在等边内有一点P，若，，，则______．
(3)如图3，在正方形内有一点P，且，，，则______．
考点7：特殊平行四边形——动点
典例7：如图，在边长为4的正方形中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒．
(1)点F在边上．
①如图1，连接，，若，求t的值；
②如图2，连结，，当与相似时，求的值；
(2)如图3，若点G是边的中点，，相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式1】如图，在矩形中，，，点Q为边上的中点，动点M从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止，设运动的时间为t秒，记为y（面积不为0）．
(1)请直接写出y关于t的函数表达式以及对应的t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；
(3)函数与y的图像有且仅有2个交点，请直接写出k的取值范围．
【变式2】已知：正方形的边长为4，点为边的中点，点为边上一动点长，沿翻折得到，直线交边于点，交直线于点．
(1)如图，当时，求的长；
(2)如图，当点在射线上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)延长交直线于点，若，求的长．
【变式3】如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图②所示．
(1)________；
(2)求点在段上运动时，的面积与运动时间的函数关系式；
(3)当的面积为时，求的值．
考点8：中点四边形的证明
典例8：定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形．
利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ．
【变式1】如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：．
【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、．
（1）若，则四边形的周长为 ．
（2）图③，若，且，则四边形的面积为 ．
【变式2】阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接．
结合小敏的思路作答：
（1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由；
参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论．
【变式3】阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
(1)这个中点四边形的形状是 ；
(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明．
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专题09 特殊平行四边形
（一）特殊平行四边形的性质与判定
（1）性质（具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等）
矩 形 （1）四个角都是直角 （2）对角线相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO. （3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB.
菱 形 （1）四边相等 （2）对角线互相垂直平分，一条对角线平分一组对角 （3）面积=底×高=对角线_乘积的一半
正 方 形 (1)四条边都相等，四个角都是直角 (2)对角线相等且互相垂直平分 (3)面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB
（2）判定
矩 形 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形 （2）有三个角是直角 （3）对角线相等的平行四边形
菱 形 （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形 （2）对角线互相垂直的平行四边形 （3）四条边都相等的四边形
正 方 形 （1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形 （2）一组邻边相等的矩形 （3）一个角是直角的菱形 （4）对角线相等且互相垂直、平分
（二）中点四边形
（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.
考点1：矩形的判定与性质
典例1：如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点F，直接写出与之间的关系为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据三角形中线求长度、三角形的外角的定义及性质、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】（1）由三角形中线的性质得出，．由角平分线的定义和三角形外角的性质可证，即得出，结合题意即得出，则四边形是矩形；
（2）根据矩形的性质得出，，结合三角形中线的性质证明四边形为平行四边形，得出，即．
【详解】（1）证明：∵在中，，是中线，
∴，，
∴．
∵是的外角的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，点F为对角线，的交点，
∴，．
∵是中线，
∴，
∴．
由（1）可知，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，三角形中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解题关键．
在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
(1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为；
(2)连接、，当t为何值时，为直角三角形．
【答案】(1)
(2)或或
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了矩形的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点，学会利用勾股定理列出一元二次方程是解题的关键．
（1）作交于点，利用矩形的性质得到，，再利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）分两种情况①；②，根据矩形的性质和勾股定理分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：作交于点，则，
由题意得，，，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
，
解得：，
当时，点P、Q之间的距离为．
（2）解：①若，作交于点，则，
由题意得，，，
，
在中，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
在中，，
，
解得：，，
或；
②若，
，
四边形是矩形，
，，
，
由①得，，
在中，，
，
解得：，（舍去负值），
；
综上所述，当或或时，为直角三角形．
【变式2】如图，中，于点E，点F在的延长线上，且，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求面积、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可得出结论；
（2）根据矩形的性质得到，进而推出，最后利用相似三角形性质计算即可．
【详解】（1）证明：，
，即，
在中，且，
且，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，即，
解得：，
，
，
．
的值为．
【变式3】如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质与判定求面积
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行四边形的性质得出，从而得到，利用即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质得出，从而证明出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，推出四边形是矩形，由勾股定理得，即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E为中点，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
根据勾股定理得，
∴矩形的面积为．
【变式4】如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求面积
【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形，且即可；
（2）利用等腰三角形的性质与矩形的性质求出，，进而即可求出面积．
【详解】（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，是边上的中线，
∴，即，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，是边上的中线，
∴．
由（1）知，四边形是矩形，，
∴，
在中，．
∴．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．
【变式5】如图，，，且，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求面积
【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，
（1）先证得，再根据可得四边形为平行四边形，然后由得，进而得，再由得，据此可得出结论；
（2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，证明四边形为矩形得，然后表示，，可得，，的等量关系．
【详解】（1）证明：∵，，且，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，如下图所示：
证明四边形为矩形得，
∵平行四边形为矩形，
∴，
∵，
∴
∴四边形为矩形
∴，
∵，，，
∴，
即．
【变式6】如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，．
(1)求证：是矩形；
(2)若点E为的中点，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质与判定求角度
【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形；
（2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键：
【变式1】
【变式7】如图，在平行四边形中，点分别在上，且，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求角度
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和判定，利用勾股定理列方程是解题的关键；
（1）先证四边形是平行四边形，再结合对角线相等证明即可；
（2）根据勾股定理，可得， ，即可得到方程，再求解即可．
【详解】（1）证明：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
，
，
设，
在中，，
在中，，
，
解得：，
，
．
考点2：菱形的判定与性质
典例2：已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的性质证明、根据菱形的性质与判定求角度
【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论；
（）首先证明四边形是菱形，再用菱形的性质可得到，再根据两直线平行，同位角相等得到
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
由（）得：四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【变式1】如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接、、、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，根据矩形的四个角都是直角得到，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的邻角互补，对角线平分对角可得，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半得出，根据勾股定理求出，根据菱形的对角线互相平分求出，，根据菱形面积等于对角线积的一半即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，即，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等．掌握相关知识是解题的关键．
【变式2】如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点，
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求角度
【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；
（2）由菱形的性质得 则即可求解．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∵垂直平分，
在和中，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知， 四边形是菱形，
【变式3】如图，四边形是平行四边形，分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，交，于点和点，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求四边形的周长．
【答案】(1)四边形是菱形，详见解析
(2)四边形的周长为
【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质与判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题；
（2）根据菱形的性质和平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由作图可知：，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形的周长．
【变式4】如图，在中，平分，的垂直平分线分别交于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形：
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证，可得，由菱形的判定可证结论；
（2）过点作，由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质可得，，即可求的长，再根据三角形面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）证明：在中，平分，的垂直平分线分别交于点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，过点作，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
【变式5】在中，，点是边上的一点，连接，作，连接．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当是边的中点时，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】（1）根据，证明四边形是平行四边形，再根据，证明四边形是矩形，即可得到；
（2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，证明四边形是菱形，根据菱形的性质、勾股定理，求出的长，再计算四边形的面积即可．
【详解】（1）证明： ，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
；
（2） ，
四边形是平行四边形，
是边的中点，，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
四边形的面积为．
【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，灵活运用知识是解题的关键．
【变式6】如图，的对角线，相交于点，且，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，四边形的面积是，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识，
（1）证明，再证明四边形是平行四边形，即可得证；
（2）连接交于，由菱形的性质得，，，再由菱形的面积求出，然后由勾股定理可得出OB=7，即可得出结论；
熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：如图，连接交于，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∵四边形的面积是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
【变式7】如图，是的角平分线，过点D分别作的平行线，交于点E，交于点F．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，求四边形的边长和面积．
【答案】(1)见详解
(2)边长是6，面积是
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据菱形的性质与判定求面积、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查菱形的判定，菱形面积，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据，得到平行四边形，根据是的角平分线得到，根据得到即可得到，从而得到，即可得到证明；
（2）根据得到，即可得到菱形的边长，从而得到，结合菱形的面积等于两条对角线积的一半即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵是的角平分线，
，
，
，
，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：，
，
，
设菱形的边长为，
，
，
解得：，负值舍去，
∴菱形的边长为6；
∵四边形是菱形，，
，
，
，
．
【变式8】如图，在矩形中（），对角线相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若矩形的周长为20，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)菱形的面积9．
【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】（1）由矩形的性质求得，再证明是的中位线，推出，，得到四边形是平行四边形，据此即可证明四边形是菱形；
（2）先求得，在中，利用勾股定理列式计算求得，，再利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵矩形中，
∴，，，，
∴，
∵，
∴点是线段的中点，
∵点F是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵矩形中，
∴，，，
∵矩形的周长为20，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
解得或，
∵，
∴，，
∴，
∴菱形的面积．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算．证明四边形是菱形是解题的关键．
【变式9】在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．
(1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）？
答：__________；（直接填空，不用说理）
(2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值；
(3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值．
【答案】(1)四边形是平行四边形
(2)四边形为矩形时或
(3)当时，四边形为菱形
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】（1）利用三角形全等可得 则 即可证明；
（2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解；
（3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解.
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
由题意得：，
∵四边形是矩形，
∴，，
，
∵分别是中点，
，
，
，
，
，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图1，连接，
由（1）得，，，
∴四边形是矩形，
∴，
①如图1，当四边形是矩形时，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图2，当四边形是矩形时，
∵，，
∴，
∴；
综上，四边形为矩形时或；
（3）解：如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
∴，即，
∴当时，四边形为菱形．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用.
考点3：正方形的判定与性质
典例3：如图，已知中，，点D为边BC上一动点，四边形是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F，
(1)判断BD与CG的数量关系，并证明；
(2)求证：；
(3)若，求AE的值．
【答案】(1)，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据正方形的性质与判定求角度
【分析】（1）证明即可求解；
（2）连接DG，证明，结合（1）的结论即可求解；
（3）连接DG，勾股定理求得的长，继而求得的长，由（1）知，由（2）知，在中，勾股定理可得的长，由四边形是正方形，即可求解．
【详解】（1）解：
证明：∵四边形是正方形，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴．
∴
（2）证明：如图，连接GF，∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴在中，，
∴
（3）连接DG，
∵，
∴在中，
，
∵，∴，
由（1）知，
由（2）知，在中，，
∵四边形是正方形，
∴，
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转模型全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式1】如图①，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)如图②，连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】（1）可证明得到，再由直角三角形的性质证明，进而可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是菱形；
（2）先证明四边形是正方形，得到，设，则，由勾股定理可得方程，解方程求出，则．
【详解】（1）证明：为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直角三角形斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵且四边形是菱形，
∴四边形是正方形，
∴，
由（1）可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知正方形的性质与判定定理，菱形的判定定理是解题的关键．
【变式2】如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)当是的中点，且时，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键．
（1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据即可得出结论；
（2）连接，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，，，进而得到，在中由勾股定理得，据此可求的面积．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，
平行四边形为菱形，
又，
菱形为正方形，
（2）连接，如下图所示：
于点，点为的中点，
为线段的垂直平分线，
，，
，
四边形为正方形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
（负值舍去），
．
【变式3】【课本再现】
（1）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长都等于6，都等于，如图①摆放时，重叠部分的面积是______；
（2）（知识在探究）在正方形绕点O旋转的过程中（如图②），上述重叠部分的面积有没有变化？请说明理由．
【拓展延伸】
如图③，四边中，，边，直接写出的长______．
【答案】（1）；（2）不变，理由见解析；（3）
【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】（1）直接根据正方形的面积求解面积即可；
（2）在和中，利用正方形的性质和已知可证出，再利用全等三角形的面积相等即可得结论；
（3）如图，过作于，过作于，证明，可得，，证明四边形为正方形，可得，再进一步求解即可．
【详解】解：（1）∵正方形ABCD的边长都等于6，
∴，，
∴如图①摆放时，重叠部分的面积是；
（2）没有变化，
理由如下：如图，在正方形和正方形中，
，，，
，，
，，
在和中，
，，，
，
，
，
正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一 ；
（3）如图，过作于，过作于，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，旋转的性质，掌握基础知识是解本题的关键．
【变式4】如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点．
(1)求证：．
(2)①______；
②求证：．
(3)求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)①15°；②详见解析
(3)详见解析
【知识点】用HL证全等（HL）、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质与判定求面积
【分析】（1）由正方形的性质和等边三角形的性质可证明，从而得出；
（2）①；②首先证明，由，可以得出垂直平分；
（3）设，表示出与，利用三角形的面积公式分别表示出和再通过比较大小就可以得出结．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
．
（2）①；
故答案为：；
②证明：
，即，
垂直平分，
即．
（3）设，由勾股定理得，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
【变式5】如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明
【分析】（1）过点E作于点M，于点N，先根据正方形的性质证明四边形是矩形，进一步证明，可得，再根据正方形的判定，即可证得答案；
（2）连接，先证明，可证明，并求得的长，进一步证明，并求得的长，再利用勾股定理可求得的长，最后在中，根据勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）证明：过点E作于点M，于点N，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
（2）解：连接，
四边形和都是正方形，
，，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
正方形的边长为．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键．
【变式6】综合与实践
问题情境：
如图①，点为正方形内一点，；将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）如图①，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，，求和的长．
【答案】（1）①四边形是正方形，证明见解析；②，证明见解析；（2），
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、根据旋转的性质求解
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形
（2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论；
（3）作于，根据勾股定理求出，可得，由（2）可得，进而求出，根据勾股定理计算的长．
【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下：
∵将绕点B按顺时针方向旋转，
∴，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2），证明如下：
如图②所示，过点D作，垂足为H，则，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知四边形是正方形，
∴，
∴，
由旋转的性质可得：，
∴，
∴，
（3）解：如图①所示，作于，
∵四边形是正方形
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，则
∴，
由（2）可知：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
【变式7】（1）如图①，在正方形中，是上一点，连接，过点作交的延长线于点．求证：；
（2）如图②，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请利用（1）的结论证明：；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图③，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形的面积为27
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明
【分析】本题考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据正方形的性质得出，，证明即可得证；
（2）过点作交的延长线于点，由全等三角形的性质可得，，，再证明得出，即可得证；
（3）过点作于点，交延长线于，证明四边形是正方形，设正方形的边长为，根据勾股定理计算得出，即可得解．
【详解】（1）证明：四边形为正方形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：如解图①，过点作交的延长线于点，
由（1）可知：
∴，，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：如解图②，过点作于点，交延长线于，
，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
由（2）可得：，
设正方形的边长为，
，
，，，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
，
四边形的面积为．
【变式8】【问题情境】
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形．
【特例探究】
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形．
【探究发现】
(1)博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明．
(2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上．
①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
②当，且时，直接写出的长．
【答案】(1)见解析；
(2)①矩形还是正方形，理由见解析；②
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明
【分析】本题考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形性质与判定是解题关键．
（1）利用正方形性质得出，，证明，得出，由正方形判定定理解答即可；
（2）①过点作，，垂足分别为，利用（1）中方法解答即可；
②求出，过点作于点，由勾股定理可得出答案．
【详解】（1）解： 四边形是正方形，
，平分，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
（2）①矩形还是正方形，理由如下：
如图，过点作，，垂足分别为，
，
四边形是正方形，
，平分，
，，
，
，
，
矩形是正方形．
②四边形是正方形，
，
，
，
过点作于点，则是等腰直角三角形
，
，，
，
，
．
【变式9】如图，点E是正方形中边上一点，且．
(1)尺规作图：①以与为邻边作正方形；②作，垂足为H（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，求证：
(3)连接，猜想四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)四边形是平行四边形，证明见解析
【知识点】全等三角形综合问题、作垂线(尺规作图)、证明四边形是平行四边形、根据正方形的性质与判定证明
【分析】（1）①分别以点A、F为圆心，为半径画弧，两弧交于点G，连接、即可；②以点F为圆心，任意长为半径画弧，交于M、N两点，再分别以M、N两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，连接，交于点H，再即为所求；
（2）证明，得出即可；
（3）先证明G、 、C 、H在同一直线上，再证明， 得出， 证明，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，正方形为所求作的正方形，为所求作的垂线．
根据作图可知：，，
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∵，
∴四边形为正方形．
（2）证明：连接，如图所示：
在正方形和正方形中，
，，，
∴，
即，
∴，
∴．
（3）解：四边形是平行四边形，证明如下：
如图，连接，
∵，，
∴，
∴G、 、C 、H在同一直线上，
∵，
在中，
∴，
由（2）可知：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了尺规作垂线，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
考点4：特殊平行四边形——折叠
典例4：如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为．
(1)求线段的长；
(2)线段的长．
【答案】(1)16
(2)6
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、正方形折叠问题
【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理：
（1）根据正方形的性质可得，据此可解；
（2）由折叠的性质得，利用勾股定理解即可．
【详解】（1）解：正方形中，，，
，
；
（2）解： 由（1）知，
点Q为的中点，
，
由折叠的性质得，
设，则，
在中，，
，
解得，
即线段的长为6．
【变式1】如图，已知正方形纸片的边长为9，，将沿对折至，延长交于点，连接，且平分．
(1)证明：；
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题
【分析】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．
（1）利用翻折变换对应边关系得出，，，利用定理得出即可；
（2）结合（1）设，则，，利用勾股定理得出，进而求出即可．
【详解】（1）证明：在正方形中，，，
∵将沿对折至，
∴，，，
∴，，
又∵，
在和中，
，
∴．
（2）由（1）可知，，，
∴，，
设，则，，
∴在中，，即：，
解得，
∴．
【变式2】【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度．
【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接．
（1）证明：；
（2）若正方形的边长为4，点为中点，则的长为______．
【答案】【操作感知】：30；（1）见解析；（2）
【知识点】用HL证全等（HL）、勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题
【分析】本题主要考查正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定等知识，
操作感知：根据折叠求出，即可得出结论；
迁移探究：
（1）根据证即可；
（2）设的长为x，则，，利用勾股定理求出x的值即可．
【详解】解：【操作感知】：由折叠知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：30；
【迁移探究】（1）证明：∵正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，
∴，
在和中，
，
∴，
即；
（2）解：设的长为，
∵正方形的边长为4，点P为中点，
∴，，，
在中，，
即，
解得
故答案为：．
【变式3】如图1，折叠矩形纸片，具体操作：①点E为边上一点（不与点A，D重合），把沿所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②将沿所在的直线折叠，折痕所在的直线交于点G，D点的对称点为H点．
(1)求证：．
(2)如图2，若，若点C恰在直线上，
①求线段的长；
②如图3，连接，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【知识点】根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可；
（2）①由折叠可知，，，由矩形的性质得出，等量代换可得出，由等角对等边可得出，由勾股定理求出，由相似三角形的性质求出，再利用勾股定理即可得出答案．
②如图2中，连接，由翻折的性质可知垂直平分线段，利用面积法可得．
【详解】（1）解：如图1中由折叠可知，，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴，
∴
（2）解：①如图2中，由折叠可知，，，
，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点C在直线上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴
∴，
∴ ．
②连接交于O．由折叠可知垂直平分线段，
∴
∴，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，矩形与折叠问题，等角对等角，勾股定理的等知识，利用面积法求解解题的关键．
【变式4】综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）．
(1)【动手操作】
当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________；
(2)【问题探究】
如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：；
(3)【拓展延伸】
已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长．
【答案】(1)作图见解析，6；
(2)见解析；
(3)4或16．
【知识点】全等三角形综合问题、作垂线(尺规作图)、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题
【分析】本题主要考查矩形与折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握矩形与折叠的性质，数形结合分析是解题的关键．
（1）根据点的对应点在上，可得折线是的垂直平分线，由此可作图，根据矩形的性质，折叠的性质可得，由勾股定理即可求解；
（2）由翻折的性质得，，，设，则，，可得，，，，在中，由勾股定理
解得，，由此即可求解；
（3）分两种情况：如解图所示，点在线段上时；如解图所示，点在延长线上时；根据矩形、折叠，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：作图如图所示，将沿直线翻折至的位置（点落在点处），点落在边上，
∴即为所求的三角形，
∵折叠，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：6．
（2）证明：由翻折的性质得，，，
，
设，则，
在和中，
，
，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得，，
解得，即，
∴，
∴，
∴．
（3）解：分两种情况：
如解图所示，点在线段上时，
由翻折的性质得，，，，
，
,
四边形是矩形，
，
，
，
，
；
如解图所示，点在延长线上时，
由翻折的性质得，，，
,
设，则，，
，
,
在中，由勾股定理得，，
解得，即，
综上所述，的长为4或16．
【变式5】如图，已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，折痕与边交于点，连接，，．
(1)求证：．
(2)若，求边的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理与折叠，三角形相似的判定和性质，熟练掌握上述知识是解题关键．
（1）根据矩形和折叠的性质易证，即可证，得出；
（2）由相似三角形的性质得出，结合题意可求出，．设，则．在中，根据勾股定理可列出关于x的方程，求解即可．
【详解】（1）证明：在矩形中，，
由翻折可知，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，．
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
【变式6】在矩形中，． 沿过点的直线折叠矩形，使点落在边上点处，折痕为．
【尝试】
（1）如图1，与始终保持相似关系，请说明理由．
【探究】
（2）随着折痕位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，是否存在点，使？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【延伸】
（3）如图2，折叠，使边落在上处，折痕为． 若，求的值．
【答案】（1）与始终保持相似关系，理由见详解
（2）存在点，使，此时的长为
（3）
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，理解图示，矩形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，折叠的性质可得，由相似三角形的判定即可求解；
（2）根据矩形的性质可得，，由（1）可得，则，得到，根据题意求出，，由折叠的性质可得，在中由勾股定理可得，则，再根据即可求解；
（3）根据题意可得，由矩形的性质，折叠的性质，可得，可证，得到，设，则，，在中由勾股定理可得，解得，可得，由此即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，且，
∴与始终保持相似关系；
（2）存在，此时，理由如下，
∵四边形是矩形，
∴，，
由（1）可得，与始终保持相似关系，即，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵折叠，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴存在点，使得，此时；
（3）∵，若，
∴，
∵四边形是矩形，折叠，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，或（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
【变式7】如图，在正方形中，F为的中点，连接，将沿对折得到，延长交的延长线于点Q．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若正方形的边长为2，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题
【分析】（1）根据正方形的性质，得，继而得到，根据折叠的性质，得，继而得到，得到，得到是等腰三角形．
（2）设，则，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理计算即可．
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）∵正方形，
∴，
∴，
根据折叠的性质，得，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）设，
∵正方形的边长为2，，F为的中点，沿对折得到，
∴，，,
∴，，，
∴,
解得，
故的长为．
考点5：特殊平行四边形——平移
典例5：在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合(如图)．其中，，．并进行如下研究活动：将图中的纸片沿方向平移，联结， (如图)．
（1）求证：图中的四边形是平行四边形；
（2）当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形(如图)．求此时的长：
（3）在纸片平移的过程中，四边形能成为菱形吗？如果可以直接写出的长，如果不可以，说明理由．
【答案】（1）证明见解答；（2）AF=4cm；（3）AF=9cm
【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得结论；
（2）设AF=DC=x cm，则AD=AC+CD=（9+x）cm，由四边形ABDE为矩形，可得AE2+ED2=AD2，建立方程求解即可；
（3）设AF=DC=x cm，根据AE=DE，建立方程求解即可．
【详解】解：（1）∵两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，
∴ED=AB，∠EDF=∠BAC，
∴ED∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）∵将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，
∴AF=DC，
∵BC=EF=6cm，AC=DF=9cm，
∴设AF=DC=x cm，则AD=AC+CD=（9+x）cm，
∵∠DFE=90°=∠AFE，
∴AE2=AF2+EF2=x2+62，ED2=DF2+EF2=92+62，
∵四边形ABDE为矩形，
∴∠AED=90°，
∴AE2+ED2=AD2，
即x2+62+92+62=（9+x）2，
解得：x=4，
即AF=4cm；
（3）纸片DEF平移的过程中，四边形ABDE能成为菱形．
∵四边形ABDE能成为菱形，
∴AE=DE，
∴AE2=DE2，
设AF=DC=x cm，
∵∠DFE=∠AFE=90°，
∴AE2=AF2+EF2=x2+62，ED2=DF2+EF2=92+62，
∴x2+62=92+62，
解得：x=9或x=-9（舍去），
即AF=9cm，
∴当AF=9cm时，四边形ABDE能成为菱形．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
在一次数学研究性学习中，小敏将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中，并进行如下研究活动，将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
（1）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小敏发现四边形ABDE为矩形（如图3），求AF的长．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）cm
【知识点】四边形其他综合问题、利用平移的性质求解
【分析】（1）由全等三角形的性质得出，，则，可得出结论；
（2）连接交于点，设，则，得出，由勾股定理列出方程，进而求解．
【详解】解：（1）四边形是平行四边形．
证明：，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）如图1，连接交于点，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
在中，，
，解得：，
cm．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式1】已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，将△ABC沿射线AC向下平移得，边交BC于点D．
(1)求；
(2)连接，判断四边形BCC′B′的形状，并说明理由；
(3)若四边形BCC′B′为正方形，则平移的距离为 ．
【答案】(1)
(2)矩形，理由见解析
(3)6
【知识点】证明四边形是矩形、根据正方形的性质与判定求线段长、利用平移的性质求解、求角的余弦值
【分析】（1）由平移得，，则，求出的余弦值即可；
（2）由于沿射线向下平移得△，所以与在同一条直线上，由，，，可判断四边形是矩形；
（3）由一组邻边相等的矩形是正方形可知，由此即可求出平移的距离．
【详解】（1）如图，由平移得，，
，
，，，
．
（2）四边形是矩形，理由如下：
沿射线向下平移得△，
与在同一条直线上，
由平移得，，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
（3）由（2）得，四边形是矩形，
当时，四边形是正方形，
，
平移的距离是6，
故答案为：6．
【点睛】此题重点考查平移的特征、矩形的判定、正方形的判定、锐角三角函数等知识与方法，难度不大，属于基础题．
【变式2】如图，在中，，，，点为的中点，连接，将沿射线的方向平移，使平移的距离等于线段的长，得到，连接．
(1)求平移过程中扫过的图形的面积；
(2)求证：垂直平分．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、斜边的中线等于斜边的一半、根据菱形的性质与判定求面积、利用平移的性质求解
【分析】（1）连接，，根据平移的性质可得四边形，是平行四边形，利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，然后证明四边形是菱形，然后根据平移的性质得平移过程中扫过的图形的面积的面积平行四边形的面积；
（2）结合（1）四边形是菱形，根据菱形的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，连接，，
由平移可知：，，
四边形，是平行四边形，
，，，
，
，
是直角三角形，，
点为的中点，
．
，
四边形是菱形，
，，
，
，
由平移性质可知：扫过的图形的面积是的面积平行四边形的面积，
平移过程中扫过的图形的面积；
（2）证明：由（1）知：四边形是菱形，
垂直平分，
垂直平分．
【点睛】本题考查了平移的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理逆定理，平行四边形的面积，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握相关图形的性质．
【变式3】如图，已知的面积为7，且，现将沿方向平移长度得到．
(1)求四边形的面积；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若，求的长．
【答案】(1)21
(2)，理由见解析
(3)
【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、利用平移的性质求解
【分析】（1）先根据平移得出，且，进而推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出，即可得出答案；
（2）由（1）知，根据全等三角形的性质得出，推出，得出四边形是菱形，进而得出答案；
（3）过点作于点，先得出，进而得出，根据，即可得出答案．
【详解】（1）沿方向平移长度得到，
，且，
四边形是平行四边形，
，
四边形的面积为21；
（2）.
由（1）知，
，
又，
，
，
四边形是菱形，
；
（3）如图，过点作于点，
，且，
，
，
在中，，
又，
，
，
，
.
【点睛】本题考查平移的性质，含有30度角的直角三角形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，平形四边形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．
【变式4】【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是__________．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，与边分别交于点M，N．求证：是菱形．
【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，（为锐角），则四边形的面积为_________．
【答案】（操作发现），两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），见解析；（结论应用），80
【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据菱形的性质与判定求面积、已知正弦值求边长
【分析】（操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可；
（探究提升），证明四边形是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立；
（结论应用），证明四边形是菱形，求得其边长为10，作于Q，利用正弦函数的定义求解即可．
【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，
∴，，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（探究提升），∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（结论应用），∵平行四边形纸条沿或平移，
∴，，
∴四边形、、是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∵四边形是菱形，
∴四边形是菱形，
∵四边形的周长为40，
∴，
作于Q，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
故答案为：80．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
考点6：特殊平行四边形——旋转
典例6：如图，中，，，是由绕按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点．
(1)求证：；
(2)当四边形为菱形时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）根据菱形的性质，得到，进而推出为等腰直角三角形，勾股定理求出的长即可
【详解】（1）证明：∵，是由绕按顺时针方向旋转得到的，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵是由绕按顺时针方向旋转得到的，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
【变式1】【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程．
（1）延长到点G，使 ，连接．
（2）求证：．
【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长
【答案】（1）DF；（2）见解析；问题应用：
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解
【分析】[问题发现]（1）根据“巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得”可知，我们要做辅助线，使得，则可得出答案；
（2）结合正方形的性质，证明即可；
[问题应用]根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接，
故答案为：；
（2）证明：由（1）得，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
[问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到，
，，，，，
，
、、三点共线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∴五边形的周长为
故答案为：．
【变式2】【阅读理解】
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，
【初步探究】
如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：．
（1）根据以上信息，填空：
①_______°；
②线段之间满足的数量关系为_______；
【迁移探究】
（2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论；
【拓展探索】
（3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长．
【答案】（1）①45；②；（2）．证明见解析；（3）
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，构造全等三角形是解答的关键．
（1）如图1，先由正方形的性质和旋转性质得，，，，进而可得G、B、E共线，，证明得到即可求解；
（2）在图2中，在上截取，连接，先证明，得到，则可得，再证明得到，进而可得结论；
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，先求得，则由已知得，由旋转可得，，易证，证明得到，设，则，利用勾股定理列方程求解x值即可．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．
则，，，，
∴G、B、E共线，
，
∴，
在和中，
，
，
，
，
∴，
故答案为：①45 ；②；
（2）解：．
证明如下：如图2，在上截取，连接，
在和中，，
，
，
，即，
，
，
在和中，，
，
，
，
∴，
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，
∵四边形是正方形，
，，
，
由旋转可得，，
，
，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
．
【变式3】如图1，在等边内有一点P，且，，，求的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题．
(1)求出的度数；
(2)如图1，在等边内有一点P，若，，，则______．
(3)如图3，在正方形内有一点P，且，，，则______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】等边三角形的判定和性质、判断三边能否构成直角三角形、正方形性质理解、根据旋转的性质求解
【分析】（1）将逆时针旋转得到，根据旋转的性质可知，求证为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理得出，即可求出 ；
（2）将逆时针旋转得到，根据旋转的性质可知，求证为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理得出，即可求出 ；
（3）将△APB绕点A顺时针旋转90°，根据旋转的性质可知，求证，用勾股定理逆定理求出，最后求出即可．
【详解】（1）解：将逆时针旋转得到；
∵由旋转所得，
∴，
∴，，，，
在中，，，
∴为等边三角形，
∴，，
在中，，即，
∴，
∴，
∴；
（2）将逆时针旋转得到；
∵由旋转所得，
∴，
∴，，，，
在中，，，
∴为等边三角形，
∴，，
在中，，即，
在中，，且，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）将绕A点顺时针旋转90°得，连接，
∵由旋转所得，
∴，
∴，，，
在中，，且，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理；熟练的运用旋转的性质作出辅助线是解题的关键．
考点7：特殊平行四边形——动点
典例7：如图，在边长为4的正方形中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒．
(1)点F在边上．
①如图1，连接，，若，求t的值；
②如图2，连结，，当与相似时，求的值；
(2)如图3，若点G是边的中点，，相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)或
【知识点】一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值
【分析】（1）①利用正方形的性质及条件，得出，由列式计算即可求解；
②利用，得出，列出方程求出t的值，然后证明出，即可得到；
（2）①时如图3，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系，先求出所在的直线和所在的直线函数关系式，再利用勾股定理求出，运用，求出点的坐标，把的坐标代入所在的直线函数关系式求解；②当时如图4，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系，先求出所在的直线和所在的直线函数关系式，再利用勾股定理求出，运用，求出点的坐标，把的坐标代入所在的直线函数关系式求解．
【详解】（1）解：①如图1，
又∵四边形是正方形，
，
在和中，
，
解得：．
②如图所示，连接
∵四边形是正方形，
，
，
当时，
解得，，（舍去），故．
当时，
∴，方程没有实数根，
所以当时，与相似；
，方程没有实数根，
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）解：①当时，如图3，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系，的坐标，的坐标，点的坐标，的坐标，
由待定系数法得，所在的直线函数关系式是，
所在的直线函数关系式是：，
，
，
，，
设的坐标为，
，
解得：，
∴的坐标为，
把的坐标为代入，得
解得，（舍去），，
②当时，如图4，以点为原点为轴，为轴建立坐标系，的坐标，的坐标，点的坐标，的坐标，
由待定系数法得，所在的直线函数关系式是：，
所在的直线函数关系式是：，
∵，
∵，
∴，，
设的坐标为，
，
解得，
∴的坐标为，
把的坐标为代入，得，
解得：．
综上所述，存在或，使得．
【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，求角的正弦值，解一元二次方程，勾股定理，一次函数和几何综合题，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是把四边形与坐标系相结合求解．
【变式1】如图，在矩形中，，，点Q为边上的中点，动点M从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止，设运动的时间为t秒，记为y（面积不为0）．
(1)请直接写出y关于t的函数表达式以及对应的t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；
(3)函数与y的图像有且仅有2个交点，请直接写出k的取值范围．
【答案】(1)
(2)图见解析，在范围内，随着的增大而增大
(3)
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查了求分段函数的解析式、根据解析式画函数的图象、一次函数的图象与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据题意，分和讨论，根据三角形面积公式得出关于的函数表达式即可；
（2）根据（1）中函数表达式，取，，作出图象，写出该函数的一条性质即可；
（3）根据函数与的图象一定经过点，画图分析，当函数与的图象从经过点，逆时针转动到经过时，与的图象有且仅有个交点（不包含刚好经过点时），得出不等式求解，得出的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，
∴，，
∴，
∵，，记为，
∴当时，点在上运动，；
当时，点与点重合，不存在；
如图，当时，点在上运动，
，
综上所述：；
（2）解：∵，
∴当时，，
当时，（作图用，此时不存在），
当时，，
∴取，，，连线作图如下，
∴在范围内，随着的增大而增大；
（3）解：∵函数的图象一定经过点，
∴如图，画图分析，
∴当函数与的图象从经过点，逆时针转动到经过点时，与的图象有且仅有个交点（不包含刚好经过点时），
∴，
解得：，
∴的取值范围为．
【变式2】已知：正方形的边长为4，点为边的中点，点为边上一动点长，沿翻折得到，直线交边于点，交直线于点．
(1)如图，当时，求的长；
(2)如图，当点在射线上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)延长交直线于点，若，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】角平分线的性质定理、正方形折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）首先确定，即，然后利用，列出比例式求出的长度；
（2）根据，求出的表达式；由，列出比例式求解；
（3）本问分两种情形，分别作图，运用数形结合思想以及相似三角形的性质进行列式计算，即可得出结论．
【详解】（1）解：由翻折性质，可知为的角平分线，且．
点为中点，
，
为的角平分线．
，
，即，
，
，
即．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
即，
解得：．
（2）解：由（1）知，
，即，
，
．
，
，
又，，
，
∵
∴
或，
此时x无解，
．
（3）解：由题意知：．
①当点在线段的延长线上时，如答图1所示．
∵，
∴，
，
．
，
，
，
；
②当点在线段的延长线上时，如答图2所示．
∵，
∴．
同理可得：，
，
，
．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是几何综合题型，主要考查了相似三角形、正方形、解直角三角形、角平分线等几何知识点．难点在于第（3）问，有两种情形，不要漏解．
【变式3】如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图②所示．
(1)________；
(2)求点在段上运动时，的面积与运动时间的函数关系式；
(3)当的面积为时，求的值．
【答案】(1)6
(2)
(3)或
【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】（1）根据图象得出当点P运动到点A时，求解即可；
（2）过点作交于点，证明则四边形为矩形，得出，，结合，，，得出，勾股定理求出，则可得运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，当点在上，即时，根据待定系数法即可解出与之间的函数关系式；
（3）先求出在上时，与之间的函数关系式，再代入时，即或，求解即可．
【详解】（1）解：根据图象可得，
∵，
∴当点P运动到点A时，，
∵，
∴，
故答案为：6；
（2）解：过点作交于点，
∵，，
∴，
则四边形为矩形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴在中，，
∴，
则可得运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，
当点在上，即时，设，
代入，，得，
解得：，
∴与之间的函数关系式为；
（3）解：在上，即时，设，
代入，得，
解得：，
∴与之间的函数关系式为；
当时，即或，
解得：或，
综上所述：当的值为解得或时，的面积为．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键．
考点8：中点四边形的证明
典例8：定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形．
利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ．
【答案】(1)见解析
(2)矩形
【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、中点四边形
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，中点四边形，矩形的判定，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
（1）连接，根据中位线定理，得出 进而得出，，即可求证；
（2）根据三角形的中位线定理得出 ，结合推出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵点E、F、G、H是四边形各边中点，
∴
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵点E、F、G、H是四边形各边中点，
∴ ，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
故答案为：矩形．
【变式1】如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：．
【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、．
（1）若，则四边形的周长为 ．
（2）图③，若，且，则四边形的面积为 ．
【答案】见解析；（1）①四边形的周长为；（2）
【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题、与三角形中位线有关的证明、中点四边形
【分析】运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论；
（1）运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案；
（2）由（1）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，即可求得答案．
【详解】证明：如图①，
、、分别是、、的中点，
、分别是、的中位线，
，，
，
，
．
（1）如图②，
、、、分别是、、、的中点，
，，
，
，
四边形的周长为16；
（2）：如图③，
、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
菱形是正方形，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．
【变式2】阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接．
结合小敏的思路作答：
（1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由；
参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）且
【知识点】与三角形中位线有关的证明、中点四边形
【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）结论：四边形还是平行四边形．连接．根据中位线定理证明，即可；
（2）利用（1）的结论，可知需要满足而且，由此可知当与满足且即可．
【详解】解：（1）结论：四边形还是平行四边形．
理由：如图2，连接．
、分别是、中点
，，
同理：，，
，，
四边形是平行四边形．
（2）结论：当且时，四边形是正方形．
理由：如图3中，由（1）四边形是平行四边形
、是、中点
同理：
平行四边形是菱形．
，，
，
，
，
，
四边形是正方形．
【变式3】阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
(1)这个中点四边形的形状是 ；
(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明．
【答案】(1)平行四边形
(2)菱形，见解析
【知识点】全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形、中点四边形
【分析】本题考查了中点四边形、菱形的判定方法、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握中点四边形，证明三角形全等得出是解决问题（2）的关键．
（1）连接，由三角形中位线定理得出，，，，得出，，即可得出结论；
（2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：中点四边形是平行四边形；
理由如下：连接，如图1所示：
，，，分别是边，，，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）解：四边形为菱形．理由如下：
连接与，如图2所示：
∵和为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，，分别是边，，，的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，，
，，
四边形是平行四边形；
，
，
四边形为菱形．
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