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专题11 与圆有关的位置关系
（一）与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 d＞r 点P在的外
点在圆上 点在圆周上 d＝r 点P在上
点在圆内 点在圆的内部 d＜r 点在的内
（2）直线与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离 直线与圆没有公共点 d＞r 直线与相离
相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 d＝r 直线与相切
相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 d＜r 直线与相交
（二）切线的判定与性质
（1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
（2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；
（3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直
（三）切线长定理
（1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
（四）三角形与圆
（1）三角形与外接圆
①经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
②三角形外心的性质：
★三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点的距离相等；
★三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
③直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点
（2）三角形与内切圆
①概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是三角形三个角平分线的交点；它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形，
②普通三角形与内切圆的关系：R为内切圆的半径
S△ABC=×R×（AB+BC+AC）
③直角三角形的三边与内切圆的关系
R=（两直角边和-斜边长）
考点1：点与圆的位置关系
典例1：如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（ ）
A．，，都不在 B．只有 C．只有， D．，，
【变式1】如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图所示，正方形的边长为2，点E为边的中点，正方形所在平面内有一个动点P，它到点E的距离始终为1，以为直角边作等腰直角，则的最大值为 ，最小值为 ．
【变式3】如图，在中，．以点为圆心，为半径作圆．
（1）当点在内时，的取值范围是 ；
（2）若，则点在 ，点在 ；
（3）当点中只有两点在内时，的取值范围是 ．
考点2：三角形的外接圆
典例2：如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，，则下列结论中错误的是( )
A． B．
C． D．点是的外心
【变式2】一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于
【变式3】如图，中，，，上的高．则外接圆的半径长为 ．
考点3：直线与圆的位置关系
典例3：在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点A在上 B．点C在内
C．直线与相切 D．直线与相离
【变式1】如图所示，在中，，，，以为圆心，为半径的圆与边有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．
【变式2】如图，直线与轴、轴分别相交于A、B两点，点，点，圆心的坐标为，圆与轴相切于点．若将圆沿轴向左移动，当圆与线段有公共点时，令圆心的横坐标为，则的取值范围是 ．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
考点4：切线的判定综合
典例4：如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边，分别相交于点，，且
(1)如图1，求证：是的切线；
(2)如图2，连接，若，求阴影部分的面积．
【变式1】如图，在中，，为上一点，以为直径的上一点在上，且平分．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
【变式2】如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧与交于点E，且．
(1)求证：与相切；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【变式3】如图，，点在上，过点，分别与、交于、，过作于．
(1)求证：是的切线；
(2)若与相切于点，半径为，则阴影部分面积______．
【变式4】如图，内接于 且为的直径，过点作，交于点，交于点 过点作直线交的延长线于点，且．
(1)求证：直线与相切；
(2)若，求的长．
【变式5】如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，点为的下面半圆的中点，连接交于，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【变式6】如图，是的外接圆，是的直径，过点作于点，交于点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为4，，求的长．
【变式7】如图，是的直径，C点在上，平分角交于D，过D作直线的垂线，交的延长线于E，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：直线是的切线．
考点5：切线的性质综合
典例5：如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式1】已知是的直径，弦与相交，．
(1)如图①，若D为的中点，求和的大小；
(2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点P，若，求的大小．
【变式2】如图，是的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E，，．
(1)求证：平分；
(2)求的半径．
【变式3】在中，弦与直径相交于点，
(1)如图①，若求和的大小：
(2)如图②，若过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小．
【变式4】如图，为的直径，为的半径，的弦与相交于点，的切线交的延长线于点，．
(1)求证：；
(2)若的半径长为，且，求的长．
【变式5】如图，C为上一点，过点C作的切线l，过上一点A作直线l的垂线交于点B，垂足为D，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
考点6：切线的判定与性质综合
典例6：如图，在四边形中，平分．点 O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点 E，交于点 F，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【变式1】如图，是的直径，点在射线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接、．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的长．
【变式2】与的半径分别为R、r，如果在直线取一点P，使，那么称与关于点P位似，P叫作位似中心，k叫作与的位似比（规定：同心圆关于圆心位似）．
(1)如图①，已知和点P，画，使与关于点P位似，且与的位似比为；
(2)如图②，已知和关于点P位似，直线l经过点P且与相切，切点为A，请判断直线l与的位置关系，并说明理由．
【变式3】如图，直角内接于，点是直角斜边上的一点，过点作的垂线交于，过点作交的延长线于点，连结交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【变式4】如如图，是半圆的直径，是切线，点A是半圆上一点，且，连接，，．
(1)与的位置关系为________；
(2)求证：；
(3)若四边形是平行四边形，当时，求的值．
【变式5】如图，经过菱形的顶点，，与边，分别相交于点，．
(1)若与相切，求证：与相切；
(2)求证：．
考点7：切线长定理
典例7：如图，的内切圆与分别相切于点，连接，，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是角顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得，则此光盘的直径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式2】如图，是的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在上，切于点E．若的周长为12，则的长为 ．
【变式3】如图，的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若，，则的面积为 ．
考点8：三角形的内切圆
典例8：如图，的内切圆与，，分别相切于点D、E、F．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，，求的长．
【变式1】如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）．
（1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． 小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． （2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明．
【变式2】已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明．
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
如图，在中，，，．
(1)用海伦公式求的面积；
(2)求的内切圆半径r．
【变式3】如图，在中，，⊙是的内切圆，半径为，切点为、、，连接，，．
(1)若，，则 ；
(2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由．
考点9：圆的切线应用——尺规作图
典例9：【已有经验】我们通过尺规作图，可以作经过A，B两点，如图1所示；也可以作（或），使（或）过点M，且与直线l相切，如图2－1（或图2－2）．
(1)【迁移经验】用尺规按要求画图：如图3，已知，求作使其与的两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)【问题解决】如图4，在中，，，．若经过点C，且与直线相切，的半径为r，当圆心O在的内部（含边界）时，
①求r的最小值；
②直接写出r的最大值．
【变式1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
【变式2】（1）如图，已知与外一点，请利用直尺和圆规按要求作图：
①连接，利用尺规作出的垂直平分线，与交于点；
②以为圆心，长为半径作，与交于，两点；
③连接，．
根据所做图形，完成下列题目：
（2）求证：是的切线；
（3）若的半径为2，过做的平行线，与所在直线相交于点，恰好是的切线，请求出的长．
【变式3】阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日晴 过圆外一点作圆的切线 我学习了圆的有关定理，知道“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，并学会了如何用尺规过圆上一点作圆的切线，那么能否用尺规过圆外一点作出圆的切线呢？经过反复思考，我想出了两种作法．具体如下（已知点P是外的一点）： 作法一（如图1）： 1．连接，作线段的垂直平分线，交于点A； 2．以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点B； 3．作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，连接． 由作图可知， ∴，．（依据） 在中，∵， ∴． ∴． ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线． 作法二（如图2）： 1．连接，交于点A，过点A作的垂线； 2．以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点B； 3．连接，交于点C； 4．作直线，则直线是的切线． 证明：……
任务：
(1)“作法一”中的“依据”是指______．
(2)请写出“作法二”的证明过程．
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专题11 与圆有关的位置关系
（一）与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 d＞r 点P在的外
点在圆上 点在圆周上 d＝r 点P在上
点在圆内 点在圆的内部 d＜r 点在的内
（2）直线与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离 直线与圆没有公共点 d＞r 直线与相离
相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 d＝r 直线与相切
相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 d＜r 直线与相交
（二）切线的判定与性质
（1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
（2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；
（3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直
（三）切线长定理
（1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
（四）三角形与圆
（1）三角形与外接圆
①经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
②三角形外心的性质：
★三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点的距离相等；
★三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
③直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点
（2）三角形与内切圆
①概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是三角形三个角平分线的交点；它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形，
②普通三角形与内切圆的关系：R为内切圆的半径
S△ABC=×R×（AB+BC+AC）
③直角三角形的三边与内切圆的关系
R=（两直角边和-斜边长）
考点1：点与圆的位置关系
典例1：如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（ ）
A．，，都不在 B．只有 C．只有， D．，，
【答案】A
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半、判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的特征，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得的长，然后与比较大小，即可解答本题；掌握勾股定理，点与圆的位置关系的判断方法，求出三角形三个顶点到点的距离是解题的关键．
【详解】解：，，，
，
是直角三角形，且，
点是斜边的中点，
，，
如图，以为圆心，为半径画圆，
，
点A，B，C都不在覆盖范围内，
故选：A．
【变式1】如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用、利用点与圆的位置关系求半径
【分析】本题考查三角形的三边关系、点与圆的位置关系、不等式组，比较基础．利用三角形的三边关系、点到圆心的距离与半径的关系分别列不等式，再求解即可．
【详解】解：在中，
，
，
解得：；
∵以点为圆心，为半径作圆，使点和点都在外，
且，
，
∴的取值范围是，
故选：B．
【变式2】如图所示，正方形的边长为2，点E为边的中点，正方形所在平面内有一个动点P，它到点E的距离始终为1，以为直角边作等腰直角，则的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、点与圆上一点的最值问题
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，由勾股定理可求的长，由题意可得点P在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵正方形所在平面内有一个到点E的距离始终为1的动点P，
∴点P在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，
∴当点P在的延长线上时，有最大值，最大值为，则的最大值为，
当点P在线段上时，有最小值，最小值为，则的最小值为，
故答案为：，．
【变式3】如图，在中，．以点为圆心，为半径作圆．
（1）当点在内时，的取值范围是 ；
（2）若，则点在 ，点在 ；
（3）当点中只有两点在内时，的取值范围是 ．
【答案】 / 上 外 /
【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．也考查了勾股定理．利用勾股定理求出．
（1）根据点与圆的位置关系即可解答即可；
（2）根据点与圆的位置关系即可解答即可；
（3）根据点与圆的位置关系即可解答即可．
【详解】解： 中，，
．
（1）当点在内时，则，即，
故答案为：；
（2） ，，
则，
点在上，点在外，
故答案为：上，外；
（3）点中只有两点在内，，
点两点在内，点B在外，
的取值范围是：．
故答案为：
考点2：三角形的外接圆
典例2：如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用垂径定理求解其他问题、求三角形外心坐标、判断三角形外接圆的圆心位置
【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形．
由网络可得出线段和的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标．
【详解】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为，
故选：C
【变式1】如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，，则下列结论中错误的是( )
A． B．
C． D．点是的外心
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角、 三角形外接圆的概念辨析
【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论．
【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线，
，，
，
，
．
，
，
A正确，C错误；
，，
，
点为的外心，故D正确；
，，
，故B正确．
故选：C．
【变式2】一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于
【答案】2.5
【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、用勾股定理解三角形、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，以及外接圆，掌握直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半是解题关键．利用因式分解法解一元二次方程，得到直角三角形的两条直角边长，再结合勾股定理求出斜边长，即可得到外接圆的半径．
【详解】解：，
，
解得：，，
一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，
直角三角形的斜边长为，
此直角三角形外接圆的半径等于，
故答案为：．
【变式3】如图，中，，，上的高．则外接圆的半径长为 ．
【答案】/
【知识点】解直角三角形的相关计算、求特殊三角形外接圆的半径、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】此题考查三角形与外接圆，解三角形的运用，解题关键在于能够熟练运用三角函数求解一些简单的直角三角形的计算问题．作的外接圆，设圆心为O，过点A作直径交于G，连接，先求出，再由，即可求出直径，由此即可解题．
【详解】解：作的外接圆，设圆心为O，过点A作直径交于G，连接，如图所示：
则，，
是的高，
在中，，，
，
，
在中，，
，
，
，
即外接圆的半径长为．
故答案为：．
考点3：直线与圆的位置关系
典例3：在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点A在上 B．点C在内
C．直线与相切 D．直线与相离
【答案】C
【知识点】判断直线和圆的位置关系、判断点与圆的位置关系、用勾股定理解三角形、三线合一
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，作于，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，再逐项分析即可得解．
【详解】解：如图，作于，
，
∵，
∴，
∴，
∵以A为圆心作一个半径为3的圆，
∴点A为圆心，故A错误，
∵，
∴点C在外，故B错误；
∵，，
∴直线与相切，故C正确，D错误；
故选：C．
【变式1】如图所示，在中，，，，以为圆心，为半径的圆与边有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值
【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质，作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由可得以为圆心，或为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有公共点，即可得出的取值范围，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：作于，如图：
，
的面积
即圆心到的距离
∴以为圆心，或为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，
∴若与斜边有公共点，则的取值范围是：，
故选：D．
【变式2】如图，直线与轴、轴分别相交于A、B两点，点，点，圆心的坐标为，圆与轴相切于点．若将圆沿轴向左移动，当圆与线段有公共点时，令圆心的横坐标为，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离、切线的性质定理
【分析】根据题意可得，进行分类讨论：①当点P在点A右边，且与线段只有一个交点时，；②当点P在点A左边，且与线段只有一个交点时，与线段相交于点A．
【详解】解：∵点，点，
∴，
∴，
∴，
当点P在点A右边，且与线段只有一个交点时，如图中：
∵与线段只有一个交点，
∴，
∴，
则；
当点P在点A左边，且与线段只有一个交点时，如图中：
∵与线段只有一个交点，
∴与线段相交于点A，
∴，，
则；
综上：的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的定义，解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步骤，圆与直线的位置关系．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
【答案】/
【知识点】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离、利用平移的性质求解
【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：的圆心P的坐标为，
，
的半径为2，
，
，，
当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1，
当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5，
平移的距离d的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
考点4：切线的判定综合
典例4：如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边，分别相交于点，，且
(1)如图1，求证：是的切线；
(2)如图2，连接，若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、求扇形面积
【分析】（1）连接，由得，根据三角形外角的性质得，从而判断，得到，从而可得出结论；
（2）过点O作于点G．则为直角三角形．设的半径为r．求出，证明、为等边三角形，得出，解直角三角形求出，从而得出结论
【详解】（1）解：证明：如图1，连接
．
．
又
．
．
又
．
又是半径，
是的切线；
（2）如图2，过点作于点
，
设的半径为
在中，，
，则．
同理，在中，，
则，
，
解得：，
为等边三角形，
，
，
又
为等边三角形，
，
在中，根据勾股定理得，，
．
【点睛】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，切线的判定定理以及勾股定理，求扇形面积；正确作出辅助线是解答本题的关键．
【变式1】如图，在中，，为上一点，以为直径的上一点在上，且平分．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线
【分析】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接，根据平行线的判定得出，进而得到，根据切线的判定可得出结论；
（2）根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：设，
在中，，，
∴，
由勾股定理，得
解得：，
∴，
∴．
【变式2】如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧与交于点E，且．
(1)求证：与相切；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】等边三角形的判定和性质、证明某直线是圆的切线、求扇形面积、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）如图，连接，，证明，可得，从而可得结论；
（2）如图，过作于，证明四边形为矩形，可得，证明为等边三角形，可得，，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接，，
∵，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴与相切．
（2）解：如图，过作于，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，即，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
【变式3】如图，，点在上，过点，分别与、交于、，过作于．
(1)求证：是的切线；
(2)若与相切于点，半径为，则阴影部分面积______．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质与判定求角度、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积
【分析】（1）连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线；
（2）连接，可证明四边形是正方形，则，，根据，则．
【详解】（1）证明：连接，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：连接，
与相切于点，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
半径为，
，
阴影部分面积为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【变式4】如图，内接于 且为的直径，过点作，交于点，交于点 过点作直线交的延长线于点，且．
(1)求证：直线与相切；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线
【分析】本题是圆与三角形的综合题目，考查切线的判定与性质、圆周角定理的推论、勾股定理应用，解题的关键是掌握相关的性质定理，进行证明．
（1）先证明即可得出，从而证明结论；
（2）先求出，再求出，利用勾股定理求出结论．
【详解】（1）证明：∵
∴
∵是⊙的直径
∴，即
∵
∴
∴
∴
∵是⊙的半径
∴直线与⊙相切；
（2）∵
∴
∵
∴
∵
∴
在中，，
∴
解得
∴的长为．
【变式5】如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，点为的下面半圆的中点，连接交于，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、证明某直线是圆的切线
【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识．
（1）连接，由，可得，根据，推出，根据垂径定理可得，推出，即可证明；
（2）由，可得，设半径为，则，在中，根据勾股定理求出，进而求出，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
点为的下面半圆的中点，，
，即，
，
，即，
是的切线；
（2）解： ，
，
设半径为，则，
在中，根据勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
．
【变式6】如图，是的外接圆，是的直径，过点作于点，交于点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为4，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）连接，得到，根据是的直径，得到，由，推出，即可得到结论；
（2）根据题意得到，推出，证明，推出，证明，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为4，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直线对的圆周角是直角，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
【变式7】如图，是的直径，C点在上，平分角交于D，过D作直线的垂线，交的延长线于E，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：直线是的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】根据等边对等角证明、利用弧、弦、圆心角的关系求证、证明某直线是圆的切线
【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系、等腰三角形的性质，切线的证明，掌握圆中相关结论是解题关键．
（1）证，根据圆中弧、弦、角的关系即可求解；
（2）连接半径，可得；根据，即可求证．
【详解】（1）证明：∵在中，平分角，
∴，
∴；
（2）证明：连接半径，如图所示：
则，
∴，
∵于E，
在中，，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
考点5：切线的性质综合
典例5：如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、切线的性质定理
【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，根据是的切线，可得，根据垂线的定义得到，求得，根据等腰三角形的性质得出，等量代换即可得证；
（2）由勾股定理可得，根据三角形的面积公式得到，根据垂径定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线．
，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【变式1】已知是的直径，弦与相交，．
(1)如图①，若D为的中点，求和的大小；
(2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点P，若，求的大小．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、圆周角定理、切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边对等角、三角形外角的定义及性质．
（1）根据直径所对圆周角是直角以及圆周角的度数等于它所对弧的度数求解即可；
（2）由切线的性质可得，由平行线的性质可得，有三角形外角的定义及性质可得，由圆周角定理可得，由等边对等角可得，即可得解．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式2】如图，是的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E，，．
(1)求证：平分；
(2)求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值、切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的性质以及垂径定理，熟练掌握垂径定理与切线的性质是解答本题的关键．
（1）连接，是过点C的切线，得到，然后可以推出，结合推导出，，即平分；
（2）过点O作，首先证得四边形是矩形，，然后利用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D，
∴．
∵是过点C的切线，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
即平分．
（2）解：如图，过点O作，垂足为F．
∴，．
由（1）知，，，
∴四边形是矩形．
∴．
在中，，
∴．
即的半径为．
【变式3】在中，弦与直径相交于点，
(1)如图①，若求和的大小：
(2)如图②，若过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等求得，进而根据三角形的外角性质可得；由直径所对的圆周角等于度，根据，即可求得；
（2）连接，求出，由切线的性质得出，由圆周角定理得出，即可得出答案．
【详解】（1）如图1，
，，
，
，
，
是直径，
，
；
（2）连接，如图②所示：
，
，
，
是的切线，
，
，
，
°．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
【变式4】如图，为的直径，为的半径，的弦与相交于点，的切线交的延长线于点，．
(1)求证：；
(2)若的半径长为，且，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【知识点】对顶角相等、等边对等角、用勾股定理解三角形、切线的性质定理
【分析】（）连接，根据半径相等，利用切线的性质得，则，根据等腰三角形的性质得，，由对等角得，故有，则，从而得证；
（）设，则，，在中，利用勾股定理可求得，最后由即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵切于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴设，则，，
在中，，
∴，
解得（舍去），，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，对顶角相等，勾股定理，解一元二次方程等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式5】如图，C为上一点，过点C作的切线l，过上一点A作直线l的垂线交于点B，垂足为D，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）连接，由题意可得，，从而得出，，进而得出，，再由等边对等角并结合三角形内角和定理即可得证；
（2）作于，于，于，证明，得出，设，则，，再由等腰三角形的性质可得，再由等面积法求出，再由勾股定理得出，即可得解．
【详解】（1）证明：如图：连接，
由题意可得：，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，作于，于，于，
则，
由垂径定理可得：，
由（1）可得，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
考点6：切线的判定与性质综合
典例6：如图，在四边形中，平分．点 O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点 E，交于点 F，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)的长为
【知识点】线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定的综合应用、圆与三角形的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）连接，证明，得到，即可求证；
（2）由，，可得垂直平分，，进而可得，即可求出，再利用勾股定理得到的长即可．
【详解】（1）如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵与相切于点B，
∴，
∴，
∴，即，
∴是的切线；
（2）∵，，
∴垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点晴】本题主要考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解决此题的关键．
【变式1】如图，是的直径，点在射线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接、．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【知识点】切线的性质和判定的综合应用、用勾股定理解三角形、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查的是切线的性质定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
（1）根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；
（2）设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）证明：是的切线，
，
，
，
，
，
，
，即是的平分线；
（2）解：设的半径为，则，
在中，，
即，
解得，，
则．
【变式2】与的半径分别为R、r，如果在直线取一点P，使，那么称与关于点P位似，P叫作位似中心，k叫作与的位似比（规定：同心圆关于圆心位似）．
(1)如图①，已知和点P，画，使与关于点P位似，且与的位似比为；
(2)如图②，已知和关于点P位似，直线l经过点P且与相切，切点为A，请判断直线l与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)直线l是的切线，理由见解析
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质和判定的综合应用
【分析】本题主要考查了画位似图形，切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定：
（1）根据题意可得，，据此作图即可；
（2）连接，作于点C，设和的半径分别为．由切线的性质得到，则可证明，得到，再由和的关于点P位似，得到，则，据此可证明直线l是的切线．
【详解】（1）解：如图所示，和即为所求；
由题意得，，
由，得到，；
（2）解：直线l是的切线，理由如下：
如图，连接，作于点C，
设和的半径分别为．
∵直线l是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵和的关于点P位似，
∴，
∴，
∵，是的半径，
∴直线l是的切线．
【变式3】如图，直角内接于，点是直角斜边上的一点，过点作的垂线交于，过点作交的延长线于点，连结交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质和判定的综合应用、等边对等角、直角三角形的两个锐角互余
【分析】（1）连接，欲证明是的切线，只要证明即可；
（2）延长交圆于点，由切割线定理求出即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
又，
，
，
，
，
是切线；
（2）解：延长交圆于点，连接
是切线，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
，
，
．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角 三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式4】如如图，是半圆的直径，是切线，点A是半圆上一点，且，连接，，．
(1)与的位置关系为________；
(2)求证：；
(3)若四边形是平行四边形，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)4
【知识点】切线的性质和判定的综合应用、圆周角定理、利用平行四边形的性质证明、全等的性质和SSS综合（SSS）
【分析】（1）先根据切线的性质得到，然后证明即可解题；
（2）根据得到，然后利用等腰三角形的性质解题即可；
（3）证明，然后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）∵是切线，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵是的直径，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的性质，正确掌握切线的性质是解题的关键．
【变式5】如图，经过菱形的顶点，，与边，分别相交于点，．
(1)若与相切，求证：与相切；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明、圆周角定理、切线的性质和判定的综合应用
【分析】此题考查的切线的判定与性质、菱形的性质、圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
（1）连接、、，根据菱形的性质及全等三角形的判定与性质可得，然后由切线的判定方法可得结论；
（2）连接、，根据圆的性质及全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】（1）证明：连接、、，
经过菱形的顶点，，
过点，，，，
在和中，
，
，
，
与相切，
，
是半径，
与相切；
（2）证明：在和中，
，
，
，
，
，
，
．
考点7：切线长定理
典例7：如图，的内切圆与分别相切于点，连接，，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、求扇形面积
【分析】连接，由题意，先利用勾股定理求出的长度，设半径为r，然后求出内切圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案．
【详解】解：连接，如图：
在中，，，，
由勾股定理，则
，
设半径为r，则，
∵的内切圆与分别相切于点，
∴，，
∴四边形CEOF是正方形；
∴，
由切线长定理，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴；
∴阴影部分的面积为：；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
【变式1】小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是角顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得，则此光盘的直径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】含30度角的直角三角形、切线的性质定理、应用切线长定理求解
【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，含度角的直角三角形的性质，掌握切线长定理是解题的关键．设光盘的圆心为，直角三角板与光盘的切点为，连接、，可求得，进而利用勾股定理以及含度角的直角三角形的性质，求得的长，即可求得答案．
【详解】解：设光盘的圆心为，直角三角板与光盘的切点为，连接、、；
∴、是的切线，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
【变式2】如图，是的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在上，切于点E．若的周长为12，则的长为 ．
【答案】6
【知识点】应用切线长定理求解
【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理，结合题意可知，以及，，再结合的周长为12，即可求出的长．
【详解】解：是的切线，切点分别为A，B，
，
又切于点E，
，，
的周长为12，
，
，
．
故答案为：6．
【变式3】如图，的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若，，则的面积为 ．
【答案】20
【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解
【分析】本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定理的相关内容，找到线段之间的关系．直接利用切线长定理得出，，，设，再结合勾股定理得出的长，进而得出答案．
【详解】解：的内切圆分别与斜边、直角边、切于点D、E、F，，，
，，，
设，
则，
整理得，，
解得：，（不合题意舍去），
则， ，
，
故的面积为20，
故答案为20．
考点8：三角形的内切圆
典例8：如图，的内切圆与，，分别相切于点D、E、F．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】应用切线长定理求解、三角形内心有关应用
【分析】本题考查了三角形的内切圆、切线长定理，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
（1）根据三角形的内心是角平分线的交点并结合三角形内角和定理计算即可得解；
（2）根据切线长定理，构建方程组解决问题即可．
【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D、E、F．
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵是的内切圆，
∴，，，
设，，，
∵，，，
∴，
解得：，
∴．
【变式1】如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）．
（1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． 小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． （2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明．
【答案】（1）；；；；（2）相等，证明见解析
【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、应用切线长定理求解、切线的性质定理、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】（1）方法一：利用面积法求解；方法二：根据切线长定理，找出、、、的关系，可得答案；
（2）利用平方差公式证明即可得到相等．
【详解】解：（1）在中，，，，，是的内切圆，，，分别为切点，的半径为，
方法一：如图，连接，，，，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
方法二：∵是的内切圆，，，分别为切点，的半径为，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵是的内切圆，
∴、、都是的切线，切点分别为点，，，
∴，，
∴，
，
，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；；；；
（2）相等．
证明：∵，
∴，
∵
∴．
【点睛】本题考查三角形内切圆，切线的性质，切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，等积法，平方差公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2】已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明．
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
如图，在中，，，．
(1)用海伦公式求的面积；
(2)求的内切圆半径r．
【答案】(1)的面积；
(2)的内切圆半径．
【知识点】二次根式的应用、三角形内心有关应用
【分析】（1）先根据的长求出的值，再代入到公式即可求得S的值；
（2）根据公式，代入可得关于r的方程，解方程得r的值．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴；
故的面积；
（2）解：∵，
∴，
解得：，
故的内切圆半径．
【点睛】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公式是解题的关键．
【变式3】如图，在中，，⊙是的内切圆，半径为，切点为、、，连接，，．
(1)若，，则 ；
(2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由．
【答案】(1)2
(2)
【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【分析】（1）根据等面积法即可得出结论；
（2）根据，结合，即可得到，，之间数量关系．
【详解】（1）连接、、，
∵
∴
在中，
∵，，
∴
又∵，
代入①得：
（2）∵，
代入①得，
∴，，之间数量关系为
【点睛】本题考查了用等面积法求三角形的内切圆半径，三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
考点9：圆的切线应用——尺规作图
典例9：【已有经验】我们通过尺规作图，可以作经过A，B两点，如图1所示；也可以作（或），使（或）过点M，且与直线l相切，如图2－1（或图2－2）．
(1)【迁移经验】用尺规按要求画图：如图3，已知，求作使其与的两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)【问题解决】如图4，在中，，，．若经过点C，且与直线相切，的半径为r，当圆心O在的内部（含边界）时，
①求r的最小值；
②直接写出r的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)①r的最小值为；②r的最大值为
【知识点】切线的性质和判定的综合应用、确定圆心(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）先画出的角平分线，在角平分线上任意取一点O，过点O作一边的垂线，以点O到垂足的距离为半径画圆，此时与的两边相切；
（2）①过点C作于点D，当是的直径时，r最小；②当点O运动到边上时，r最大．
【详解】（1）解：如下图所示：
（2）①如图，过点C作于点D，当是的直径时，r最小．
∵，，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴r的最小值为．
②r的最大值为．
当点O运动到边上时，r最大．
此时，，则；
∵直线是的切线，
∴，
∵,
∴，
∴，即：，
解得．
【点睛】本题考查圆的切线，尺规作图等知识点，分析出圆心O的位置，并能灵活运用等面积法、相似等是解题的关键．
【变式1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质和判定的综合应用、切线的性质定理、利用垂径定理求值
【分析】（1）连接OA，过点A作AD⊥AO即可；
（2）连接OB，OC．过点O作于点H，先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．
【详解】（1）解：如图，切线AD即为所求；
（2）如图：连接OB，OC．过点O作于点H，
∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC cos30°＝，
∴BC＝2．
【点睛】本题主要考查了作圆的 、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式2】（1）如图，已知与外一点，请利用直尺和圆规按要求作图：
①连接，利用尺规作出的垂直平分线，与交于点；
②以为圆心，长为半径作，与交于，两点；
③连接，．
根据所做图形，完成下列题目：
（2）求证：是的切线；
（3）若的半径为2，过做的平行线，与所在直线相交于点，恰好是的切线，请求出的长．
【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）
【知识点】证明某直线是圆的切线、切线的性质定理、圆周角定理、根据正方形的性质与判定证明
【分析】（1）根据步骤完成作图即可；
（2）连接． 由题意可知为的半径．根据直径所对的圆周角是直角得到．根据切线判定定理即可得到结论；
（3）设切于点，连接．证明四边形为正方形．则．证明，得到．求出．在中，利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）解：作图如图所示．
（2）证明：如图，连接．
是上一点，
为的半径．
为的直径，
．
是的切线．
（3）解：如图，设切于点，连接．
，
．
是的切线，
．
四边形为矩形．
又，
四边形为正方形．
．
为的中点，
．
又，
∴．
．
．
在中，
【点睛】此题考查了基本作图，切线的判定和性质、圆周角定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确作图和熟练掌握切线的判定是解题的关键．
【变式3】阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日晴 过圆外一点作圆的切线 我学习了圆的有关定理，知道“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，并学会了如何用尺规过圆上一点作圆的切线，那么能否用尺规过圆外一点作出圆的切线呢？经过反复思考，我想出了两种作法．具体如下（已知点P是外的一点）： 作法一（如图1）： 1．连接，作线段的垂直平分线，交于点A； 2．以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点B； 3．作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，连接． 由作图可知， ∴，．（依据） 在中，∵， ∴． ∴． ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线． 作法二（如图2）： 1．连接，交于点A，过点A作的垂线； 2．以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点B； 3．连接，交于点C； 4．作直线，则直线是的切线． 证明：……
任务：
(1)“作法一”中的“依据”是指______．
(2)请写出“作法二”的证明过程．
【答案】(1)同一个三角形中，等边对等角
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明、证明某直线是圆的切线
【分析】（1）根据题意和等边对等角的性质求解即可；
（2）由作法可得到，，然后证明，得到，从而得到，由切线的判定定理得出结论．
【详解】（1）根据题意可得，“作法一”中的“依据”是指，同一个三角形中，等边对等角，
故答案为：同一个三角形中，等边对等角；
（2）由作法可得，，，
∴
在和中
∴
∴
∴
而是的半径
∴直线是的切线．
【点睛】此题考查了切线的判定定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
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