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专题12 与圆有关的计算（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求扇形面积、求其他不规则图形的面积
【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
【详解】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
2．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】根据ABCDEF是边长为4的正六边形，可得CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，根据三角形内角和定理可得∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，所以∠FEG=90°，然后利用含30度角的直角三角形可得EG的长，进而可以解决问题．
【详解】解：∵ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，
∴∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，
∴∠FEG=90°，
∵EF=4，
∴EG=EF=，
∴△GEF的面积=×EF GE=，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解决本题的关键是掌握正六边形的性质．
3．如图， ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、求弧长
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠B的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角与内角的关系，可以得到∠AOB的度数，再根据弧长公式l＝，即可计算出的长．
【详解】解：连接OE，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠B＝70°，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝70°，
∴∠AOE＝∠B+∠OEB＝70°+70°＝140°，
∵AB＝2，AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB＝OE＝1，
∴的长为：，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、弧长的计算、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确弧长公式和平行四边形的性质，利用数形结合的思想解答．
4．如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用垂径定理求值、圆周角定理、求其他不规则图形的面积
【分析】连接，，交于点E，根据圆周角定理得到，得出是等边三角形，结合，求出的长，利用勾股定理求出的长，根据求出结果即可．
【详解】解：如图，连接，，交于点E，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是直径，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，求解不规则图形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
5．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画：先画正三角形，然后分别以点A，B，C为圆心，长为半径画弧．若一个弧三角形的周长为，则此弧三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求弧长、求其他不规则图形的面积
【分析】先由弧三角形的周长得出等边三角形的边长，然后根据等边三角形的面积及弓形面积可进行求解．
【详解】解：在等边中，，，
∴，
∴，
∵弧三角形的周长为，
∴，
∴，
过点A作于点D，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴弧三角形的面积为；
故选A．
【点睛】本题主要考查扇形面积、弧长公式及等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积、弧长公式及等边三角形的性质是解题的关键．
6．如图，一个圆锥的高，底面半径，的长度为（ ）．
A．2.5 B．2.6 C．2.7 D．2.8
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、求圆锥的高
【分析】根据勾股定理列式计算，得到答案．
【详解】解：在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理，掌握圆锥的定义、勾股定理是解题的关键．
7．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算
【分析】如图，先求得圆内接正八边形的圆心角，再过O作于C，求得，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，圆内接正八边形的圆心角，
过A作于C，则，
∵，
∴，
∴这个圆内接正八边形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆、解直角三角形、三角形的面积计算，正确作出辅助线构造直角三角形是解答的关键．
8．如图，在中，，，，以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、求其他不规则图形的面积
【分析】根据直角三角形的性质得到，，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：中，，，，
∴，，
∴
．
故选：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
9．如图，正六边形内接于，为上的一点（点不与点，重合），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理
【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理，连接 ，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解，熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出 是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图：
∵多边形是正六边形，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求弧长、切线的性质定理、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，连接，，根据切线的性质得到，，推出四边形是正方形，求得ZBOC=90°， ，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：连接，
∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴,，
∴
故选∶C．
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．15 B．22 C．21 D．24
【答案】D
【知识点】由展开图计算几何体的表面积、求弧长、求圆锥侧面积、由三视图还原几何体
【分析】先把三视图转化为几何体的直观图，即可求出几何体的表面积．
【详解】解：将该几何体的三视图转化为直观图：该几何体为底面直径为6，高为4的圆锥
如图，
故选：D．
【点睛】本题考查三视图与几何题直观图的转换、圆锥的表面积、勾股定理等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
12．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得的度数，再利用正六边形的对称性即可求得答案．
【详解】解：六边形是正六边形，
，
由对称性可知，
故选：C．
13．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求其他不规则图形的面积、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了圆中不规则图形的面积求法，熟练掌握割补法、勾股定理、等边三角形的性质与判定是解题的关键．连接，先判定是等边三角形，得出有关三角形的角度，再利用勾股定理、直角三角形的性质进行边的求解，最后利用割补法求面积．
【详解】解：如图，连接，
∵以点为圆心，的长为半径画弧交于点，
∴，
∵以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴为中点，
∴，
∴，
故选：D．
14．如图，将边长为4的正方形铁丝框ABCD(面积记为)变形为以点B为圆心，BC为半径的扇形(面积记为)，则与的关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】根据正方形的性质求面积、求扇形面积
【分析】本题考查正方形的性质，扇形面积公式， 先用正方形面积公式求出正方形面积，再根据题意结合图形得出，，利用扇形面积与弧长的关系式求出，从而比较得解．熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
【详解】解：根据图形可得：，弧长，即的长，
∴，，
∴，
故选：B．
15．已知扇形的弧长为，该弧所对圆心角为，则此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求扇形半径、求扇形面积
【分析】先根据弧长公式：列方程求r，再利用扇形面积公式求面积即可.
【详解】依题意可得，
解得r=12，
所以扇形的面积为：
故选A.
【点睛】此题考查的是弧长公式：和扇形的面积公式：.
二、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标 .
【答案】
【知识点】坐标与图形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】作、的垂直平分线交于点，即为内切圆圆心，连接，，根据正六边形的性质及等边三角形的性质得出，再由勾股定理确定，即可求解．
【详解】解：如图所示，作、的垂直平分线交于点，即为内切圆圆心，连接，，
正六边形的边长是，
，为等边三角形，，
，
，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及坐标与图形，理解题意，作出图形辅助线是解题关键．
17．如图，扇形的圆心角是，半径为，点是上一点，将沿边翻折，圆心恰好落在弧上的点，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算、折叠问题、求扇形面积、等边三角形的判定和性质
【分析】连接，则，由折叠得，则是等边三角形，可求得，则，所以，即可由求出阴影部分的面积．
【详解】解：连接，
则，
由折叠得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数、扇形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18．如图，已知扇形，点C为中点，点D在弧上，将扇形沿直线折叠，点A恰好落在点O，若，，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】求扇形面积、求其他不规则图形的面积
【分析】连接，根据中点的性质得到，证明为等边三角形，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：连接．
由题意得，是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴
∴
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图象中阴影部分的面积
=
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式、等边三角形的性质、折叠的性质是解题的关键．
19．如图，个相同的正六边形恰好可以围成一个环状，的值为＝ ．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形和圆，能求出每个正六边形被圆截的弧对的圆心角的度数是解此题的关键．
【详解】解：如图，延长正六边形的两边，
∵正六边形的每个外角为
∴圆心角为，
∴的值为，
故答案为：．
20．将半径为12，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】4
【知识点】求圆锥底面半径
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可得到关于r的方程，然后解方程即可．
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得
解得r=4，即这个圆锥的底面圆的半径为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握弧长公式，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长建立方程是解题的关键.
21．半径为2，圆心角为60°的扇形弧长为 ．
【答案】/
【知识点】求弧长
【分析】把已知条件代入弧长公式计算即可．
【详解】解：扇形的弧长=
故答案为．
【点睛】本题主要考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解答本题的关键．
22．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r =4，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥母线l的长为 ．
【答案】12
【知识点】圆锥的实际问题
【分析】首先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长为圆锥底面圆周长可以求得扇形的弧长为，，扇形的弧长同时还可以根据公式，此时扇形的半径等于圆锥的母线长，所以即可列出等式求解；
【详解】由题意可得：圆锥的底面圆周长为
根据扇形的弧长公式可得：
解得：
即该圆锥母线的长为12
故答案是：12.
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图的相关计算，明白圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长是求解本题的关键.
23．是边长为4的等边三角形，以BC为直径画弧，分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】π
【分析】连接BF，OF，根据圆周角定理得到∠BFC＝90°，根据等边三角形的性质得到∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，得到点F是AC的中点，同理，点E是AB的中点，求得（SSS），于是得到结论．
【详解】解：连接BF，OF，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BFC＝90°，
∵是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠CBF＝30°，
∴CF＝BC ，
∴CF＝AC，为等边三角形，
∴点F是AC的中点，
同理，点E是AB的中点，
∴EF是的中位线，
∴EF＝BC
为等边三角形，
∴（SSS），
∴图中阴影部分的面积＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同时考查了圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
24．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的全面积 ．
【答案】3π
【知识点】求圆锥侧面积、由三视图还原几何体
【分析】易得圆锥的底面直径为2，母线长为2，圆锥的全面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：观察几何体的三视图，易得此几何体为圆锥，且底面直径为2，母线长为2，
所以圆锥的侧面积=πrl=2×1×π=2π，
底面圆的面积=πr2=π，
所以这个几何体的全面积=2π+π=3π，
故答案为：3π．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及圆锥的计算的知识，解题的关键是能够确定几何体的形状，难度不大．
25．一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【知识点】求圆锥侧面积
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．
故答案为6π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
三、解答题
26．如图，在等腰三角形中，，以点O为圆心画圆，与相切于点P， 分别与相交于点M，N， 连接．
(1)求证：；
(2)若，求扇形 (即阴影部分)的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、切线的性质定理、求扇形面积
【分析】本题主要考查了切线的性质，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等：
（1）由切线的性质得到，由三线合一定理得到，进而可证明，得到；
（2）由切线的性质得到，则，，证明，推出是等边三角形，得到，则，再由扇形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵与相切于点P，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵与相切于点P，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
27．如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为上一点，于点O，连接交于F，．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
(3)若，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为6
(3)
【知识点】求其他不规则图形的面积、证明某直线是圆的切线、切线的性质定理、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理、扇形面积的求法、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
（1）如图：连接，利用垂径定理的推论得到，再利用得到，然后利用角度的代换可证明则从而证明结论；
（2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可；
（3）先根据勾股定理求得,再利用圆周角定理得到，则，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积即可解答．
【详解】（1）解：如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴是的切线．
（2）解：设的半径为r，则，
在中，，解得：或（舍去），
∴的半径为6．
（3）解：设的半径为r，则
∵，，
∴,即，解得：（舍弃负值），
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，
∴阴影部分的面积．
故答案为．
28．如图，边长为1的正五边形ABCDE内接于，延长AB，DC交于点F，过点C作的切线CG交AF于点G．
(1)求证：；
(2)求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】公式法解一元二次方程、切线的性质定理、正多边形和圆的综合、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥CG，根据CD=CB得到OC⊥BD，即可得到；
（2）通过求角度得到CG＝CB＝GF＝1，再证明计算即可．
【详解】（1）连接OC．
∵正五边形ABCDE
∴．
∴．
∴OC⊥BD
∵CG是⊙O的切线，
∴OC⊥CG．
∴．
（2）∵在正五边形ABCDE中，CD＝CB，，
∴，．
∴．
∵，
∴，．
∴∠GCF＝∠F，∠CBG＝∠BGC．
∴CG＝GF，CG＝CB．
∴CG＝CB＝GF＝1．
∵∠CBG＝∠CBF，∠BCF＝∠CGB，
∴．
∴．
∴．
即．
解得．
∴．
【点睛】本题考查圆与正多边形、相似三角形的判定与性质，熟记圆相关性质是解题的关键．
29．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．
(1)将向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得 其中点A，B，C 分别和点对应，画出点 的坐标为 ；
(2)将绕原点O逆时针旋转 得，其中点A，B，C分别和点 对应，画出，点的坐标为 ；
(3)在（2）的条件下，求点B运动的路径长．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
(3)点B 运动的路径长为
【知识点】画旋转图形、平移(作图)、求某点的弧形运动路径长度
【分析】本题考查了平移和旋转作图，求弧长，解题的关键是掌握平移和旋转的作图方法，以及弧长公式．
（1）先根据平移的作图方法画出点，再依次连接即可；
（2）先根据旋转的作图方法画出点，再依次连接即可；
（3）先求出，再根据弧长公式即可解答．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求，
由图可知：，
故答案为：．
（2）解：如图所示：即为所求，
由图可知： ，
故答案为：．
（3）解：∵，
∴，
∴点B运动的路径长．
30．如图，是的直径，，是的弦，过圆心作的平行线与过点的切线交于点，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)如果，，求的长；
(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）根据切线的性质得出，根据平行线的性质及等腰三角形的性质得出，利用可证明，即可得出，可得结论；
（2）由（1）可知，根据得出，利用的余弦值即可得答案；
（3）设交于，根据，利用扇形面积公式计算即可得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点在上，
∴是的切线．
（2）解：由（1）知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）如（1）中图，设交于，
由（1）（2）知，，，，
∴，
，
．
【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形面积的计算及解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
31．如图，内接于，过点A的的切线，并交的延长线于点D，分别与和相交于点E和F．
(1)求证：；
(2)若．
①求的度数；
②求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)①；②
【知识点】等腰三角形的性质和判定、切线的性质定理、求其他不规则图形的面积
【分析】（1）连接并延长交于点H，由与相切于A可得，由可得，进一步得出垂直平分，即可证明问题；
（2）①由等腰三角形的性质，直角三角形的性质推出，求出的度数；②先证得是等腰直角三角形，求出长，即可求出扇形的面积，的面积，从而得到阴影的面积．
【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点H，
∵与相切于A，
∴，
∵
∴，
∴垂直平分，
∴；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴ ,
.
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形、直角三角形的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是由等腰三角形，直角三角形的性质求出的度数．
32．如图，在三角形中，，，以为直径的分别与交于点F，E，．
(1)求证：；
(2)若的半径为4，求阴影部分的面积；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【知识点】解直角三角形的相关计算、求其他不规则图形的面积、圆周角定理、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）先证明是等边三角形，再求出，进而可证；
（2）连接，作于点H，证明为等边三角形得，分别求出和扇形的面积即可求解；
（3）延长到H使得，连接，证明为等边三角形得，根据证明得，进而可证结论成立．
【详解】（1）∵，，
∴是等边三角形．
∵为直径，
∴．
∵，
∴；
（2）连接，作于点H，
∵，
∴
∴为等边三角形，
，
，
∴
（3）延长到H使得，连接
∵，，
∴为等边三角形
∴，
∴
在等边中，，
∴
∴
∴
即
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，圆周角定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
33．如图，已知的三个顶点坐标分别是，，，将绕原点顺时针旋转后得到．请按要求完成下列各题：
(1)请在直角坐标系中画出，并写出点的坐标_________．
(2)求出点到点所经过的路径长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、求某点的弧形运动路径长度
【分析】本题考查了作图——旋转变换、坐标与图形、弧长公式计算等知识，熟练掌握作图依据和弧长公式是解题关键．
（1）利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、，连接即可，根据坐标直接写出即可；
（2）根据勾股定理可得的长度，利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
由图可知，，
故答案为：；
（2）由勾股定理可得，
∴点到点所经过的路径长为．
34．在扇形中，半径，点P在上，连接，将沿折叠得到．
(1)如图1，若，且与所在的圆相切于点B．
①求的度数．
②求的面积．
(2)如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．
【答案】(1)①；②；
(2)．
【知识点】折叠问题、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、求弧长
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质、解直角三角形、弧长公式、全等三角形的判断与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）①由圆的切线的性质可得，再根据折叠的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，最后根据平角的定义求解即可．②如图：如图：连接交于T，则，由折叠可知：,然后解三角形求得、，然后根据三角形的面积公式计算即可；
（2）如图2中，连接，由弧、弦、圆周角的关系可得，然后证明可得，进而 说明，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：①如图1中，∵是的切线，
∴，
由翻折的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴．
②如图：连接交于T，则，
由折叠可知：,
在中，．
在中，，
∴．
∴，
∴．
（2）解：如图2中，连接．
∵，
∴，
由翻折的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长．
35．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点D．
(1)求的长；
(2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)连接，P为半圆上任意一点，过P点作于点E，设的内心为M，当点P在半圆上从点B运动到点A时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、求弧长、圆与三角形的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）由圆周角定理得出，由勾股定理可求出答案；
（2）延长到，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，得出，则为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出结论；
（3）连接，证明，由全等三角形的性质得出，则点M在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况），求出的长，由弧长公式可得出答案．
【详解】（1）是直径
是的平分线
在中，
（2），证明如下
延长到，使，连接
又
∴为等腰直角三角形
（3）连接
点为的内心
所以点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）；
设所在圆的圆心
连接B交弧OD于M，则有BM最小
过作，则为等腰直角三角形，
【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形内心的定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，弧长公式以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
【能力提升】
36．如图，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即，如T（60°）＝1．
（1）理解巩固：T（90°）＝ ，T（120°）＝ ；
（2）学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从P点这沿着圆锥的侧面爬行到点Q．
①求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的数；
②求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）．（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）
【答案】（1），；（2）①160°；②11.61．
【知识点】三线合一、求某点的弧形运动路径长度、求圆锥侧面展开图的圆心角
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
（2）①根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；
②根据T（A）的定义解答即可．
【详解】解：（1）如图1，∠A＝90°，AB＝AC，
则
∴T（90°）＝，
如图2，∠A＝120°，AB＝AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD＝60°，
∴BD＝AB，
∴BC＝AB，
∴T（120°）＝；
故答案为：，；
（2）①∵圆锥的底面直径PQ＝8，
∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，
设扇形的圆心角为n°，
则＝8π，
解得：n＝160，
∴圆锥侧面展开图的扇形圆心角为160°；
②∵160°÷2＝80°，
∴T（80°）≈1.29，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×9≈11.61．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
37．如图，是的直径，是一条弦，是的中点．于点，交于点，连接，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，试求的长度．
【答案】(1)详见解析
(2)
【知识点】解直角三角形的相关计算、求弧长、圆周角定理、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）如图，连接．根据是的中点．得出．根据圆周角定理得出．根据，得出，从而得出，，．根据，和，得出，，即可证明．
（2）如图，连接，在中，根据勾股定理得出．结合，得出，是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可得出，根据弧长公式即可求解；
【详解】（1）证明：如图，连接．
是的中点，
，
．
是直径，
．
，
，
，
，
，
．
在中，，
．
又，
，
，
．
（2）解：如图，连接，
，
在中，．
，
，
是等边三角形，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，弧长公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
38．我国古代建筑屋顶大部分属于坡屋顶的范畴.与平屋顶相比，其优点是排水迅速、不易积水，所以一般不会形成渗漏并影响下部结构.各种坡屋顶类型早在秦汉时期就已基本形成，到宋代更为完备.可以将房脊抽象成数学问题.如图，分别与相切于点，连接.连接，交于点，交于点.延长交于点，
(1)若，①连接，判断四边形的形状，并说明理由.
②若的半径为，直接写出劣弧的长为______.
(2)若，求的长.
【答案】(1)①四边形是正方形，理由见解析；② ；
(2)
【知识点】证明四边形是正方形、求弧长、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）①根据四个角是证明四边形是矩形，根据邻边相等证明是正方形即可；
②根据弧长公式求解即可；
（2）设，并用x表示各线段的长度，证明，根据对应边成比例即可求解．
【详解】（1）解：①四边形是正方形，
理由：，分别与相切于点，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
②由（1）知，四边形是正方形，
，
，
劣弧的长为；
故答案为：．
（2）设，则，
，
，
，
，分别与相切于点，，
，平分，，
，
，
，
，即：
化简得：，
解得：或（不合题意，舍去），
故；
故答案为：．
【点睛】,本题主要考查圆的综合应用，牢记弧长计算公式，掌握圆的切线的性质是判定四边形形状的关键，解题难点是利用三角形相似求得圆中线段的长度．
39．如图，为直径，是上一点，于点，弦与交于点，过点作，使，交的延长线于点．过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求弧AD的长；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)12
【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、求弧长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）连接，如图，先证明，再证明，然后利用得到，则，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由切线的性质得，则利用四边形内角和可计算出，然后根据弧长公式可计算出弧的长；
（3由，设，则，则可表示出，再利用得到，然后在中，根据勾股定理得到，再解方程求出即可得到、，由得到，代值求解即可答案．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的切线；
（2）解：为切线，
，
，
，
，
的长；
（3）解：连接，如图所示：
，设，则，
，
，，
，
在中，由勾股定理可知，即，解得，
，，
，
，
，即，解得．
【点睛】本题考查圆综合，涉及切线的判断与性质、弧长公式求弧长、相似三角形的判定与性质、勾股定理求线段长等知识．在判断切线时，理解圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线有：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； 有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
40．如图①，已知线段，B，O是线段的三等分点，以O为圆心，长为半径在线段的上方作半圆O，以为边在的上方作正方形，将正方形沿所在直线水平向右移动．
(1)如图②，连接，当与半圆O相切时，设切点为D，求的长（结果保留）；
(2)如图②，在平移的过程中，设与半圆O交于点M，连接，当时，求的长；
(3)如图③，点G是半圆O上的一点，且到的距离为1，当点B到达点C后，正方形立即绕着点C顺时针旋转，当边旋转时停止，若正方形向右平移的速度为每秒2个单位长度，绕点C旋转的速度为每秒，求点G在正方形内（含边界）的时长．
【答案】(1)
(2)
(3)秒
【知识点】利用垂径定理求值、求弧长、解直角三角形的相关计算、角度问题(旋转综合题)
【分析】（1）连接，根据切线的性质求出从而求出，再求出，最后根据弧长公式求解即可；
（2）过点作于点，得再求出，求出的长即可得出结论；
（3）分点在正方形内部，当点B到达点C时，求出；正方形进行绕点顺时针旋转过程中，当点在上时，连接，过点G作于点H，求出旋转时间，相加后可得结论
【详解】（1）解：连接
∵是正方形的对角线，
∴，
∵为的切线，
，即
∵，
∴
∴；
又为的三等分点，
∴
∴的长为：；
（2）过点作于点，则
∵，
∴,
∵
∴
∴
∴；
（3）如图，当正方形向右运动时，点在上时，连接，
∵,
由勾股定理得，
∴
∴
∵正方形向右平移的速度为每秒2个单位长度，此时正方形向右运动，点在正方形内部，当点B到达点C时，；
如图，正方形进行绕点顺时针旋转过程中，当点在上时，连接，过点G作于点H，
∵
∴
∴
又∵，
∴
此时，正方形绕点顺时针旋转了，旋转的速度为每秒，
∴（秒）
所以，点G在正方形内的时长为（秒）
【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
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专题12 与圆有关的计算（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画：先画正三角形，然后分别以点A，B，C为圆心，长为半径画弧．若一个弧三角形的周长为，则此弧三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一个圆锥的高，底面半径，的长度为（ ）．
A．2.5 B．2.6 C．2.7 D．2.8
7．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正六边形内接于，为上的一点（点不与点，重合），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若，则（ ）
A． B． C． D．
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．15 B．22 C．21 D．24
12．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，将边长为4的正方形铁丝框ABCD(面积记为)变形为以点B为圆心，BC为半径的扇形(面积记为)，则与的关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
15．已知扇形的弧长为，该弧所对圆心角为，则此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标 .
17．如图，扇形的圆心角是，半径为，点是上一点，将沿边翻折，圆心恰好落在弧上的点，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，已知扇形，点C为中点，点D在弧上，将扇形沿直线折叠，点A恰好落在点O，若，，则图中阴影部分的面积是 ．
19．如图，个相同的正六边形恰好可以围成一个环状，的值为＝ ．
20．将半径为12，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为 ．
21．半径为2，圆心角为60°的扇形弧长为 ．
22．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r =4，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥母线l的长为 ．
23．是边长为4的等边三角形，以BC为直径画弧，分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，则图中阴影部分的面积是 ．
24．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的全面积 ．
25．一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为 ．
三、解答题
26．如图，在等腰三角形中，，以点O为圆心画圆，与相切于点P， 分别与相交于点M，N， 连接．
(1)求证：；
(2)若，求扇形 (即阴影部分)的面积．
27．如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为上一点，于点O，连接交于F，．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
(3)若，，则阴影部分的面积为 ．
28．如图，边长为1的正五边形ABCDE内接于，延长AB，DC交于点F，过点C作的切线CG交AF于点G．
(1)求证：；
(2)求的值．
29．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．
(1)将向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得 其中点A，B，C 分别和点对应，画出点 的坐标为 ；
(2)将绕原点O逆时针旋转 得，其中点A，B，C分别和点 对应，画出，点的坐标为 ；
(3)在（2）的条件下，求点B运动的路径长．
30．如图，是的直径，，是的弦，过圆心作的平行线与过点的切线交于点，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)如果，，求的长；
(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
31．如图，内接于，过点A的的切线，并交的延长线于点D，分别与和相交于点E和F．
(1)求证：；
(2)若．
①求的度数；
②求阴影部分的面积．
32．如图，在三角形中，，，以为直径的分别与交于点F，E，．
(1)求证：；
(2)若的半径为4，求阴影部分的面积；
(3)求证：．
33．如图，已知的三个顶点坐标分别是，，，将绕原点顺时针旋转后得到．请按要求完成下列各题：
(1)请在直角坐标系中画出，并写出点的坐标_________．
(2)求出点到点所经过的路径长．
34．在扇形中，半径，点P在上，连接，将沿折叠得到．
(1)如图1，若，且与所在的圆相切于点B．
①求的度数．
②求的面积．
(2)如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．
35．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点D．
(1)求的长；
(2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)连接，P为半圆上任意一点，过P点作于点E，设的内心为M，当点P在半圆上从点B运动到点A时，求的最小值．
【能力提升】
36．如图，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即，如T（60°）＝1．
（1）理解巩固：T（90°）＝ ，T（120°）＝ ；
（2）学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从P点这沿着圆锥的侧面爬行到点Q．
①求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的数；
②求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）．（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）
37．如图，是的直径，是一条弦，是的中点．于点，交于点，连接，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，试求的长度．
38．我国古代建筑屋顶大部分属于坡屋顶的范畴.与平屋顶相比，其优点是排水迅速、不易积水，所以一般不会形成渗漏并影响下部结构.各种坡屋顶类型早在秦汉时期就已基本形成，到宋代更为完备.可以将房脊抽象成数学问题.如图，分别与相切于点，连接.连接，交于点，交于点.延长交于点，
(1)若，①连接，判断四边形的形状，并说明理由.
②若的半径为，直接写出劣弧的长为______.
(2)若，求的长.
39．如图，为直径，是上一点，于点，弦与交于点，过点作，使，交的延长线于点．过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求弧AD的长；
(3)若，，求的长．
40．如图①，已知线段，B，O是线段的三等分点，以O为圆心，长为半径在线段的上方作半圆O，以为边在的上方作正方形，将正方形沿所在直线水平向右移动．
(1)如图②，连接，当与半圆O相切时，设切点为D，求的长（结果保留）；
(2)如图②，在平移的过程中，设与半圆O交于点M，连接，当时，求的长；
(3)如图③，点G是半圆O上的一点，且到的距离为1，当点B到达点C后，正方形立即绕着点C顺时针旋转，当边旋转时停止，若正方形向右平移的速度为每秒2个单位长度，绕点C旋转的速度为每秒，求点G在正方形内（含边界）的时长．
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