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专题02 图形的初步（2）（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数．
【详解】解：如图：
∵正六边形的一个外角的度数为：，
∴正六边形的一个内角的度数为：，
即：，，
∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
2．如图，直线，D为直线l上一点，，为的角平分线，交直线l于点E，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由邻补角的性质得到，由角平分线定义即可求出的度数．
【详解】解：∵直线，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴．
故选：C．
3．如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理、等边对等角、根据平行线的性质求角的度数
【分析】先根据等边对等角得到，则由圆周角定理得到，再由平行线的性质得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，平行线的性质，熟知同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键．
4．一个角的补角比这个角的6倍还大，则这个角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】与余角、补角有关的计算、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】设这个角的度数为x，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为x，根据题意得：
，
解得：，
故选：B．
【点睛】题目主要考查角的计算及一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
5．如图，直线与相交于点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度
【分析】本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，根据邻补角的性质可得，进而由角平分线的定义可得，再由邻补角的性质即可得到的度数，掌握邻补角的性质和角平分线的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．若，则
C．同位角相等 D．若，则
【答案】A
【知识点】不等式的性质、对顶角相等、两直线平行同位角相等、判断命题真假
【分析】本题考查命题与定理，根据对顶角、平方运算、平行线的性质，不等式的性质逐项判断即可．
【详解】A．对顶角相等，是真命题；
B．若，则，原命题是假命题；
C．两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
D． 若，，则，原命题是假命题；
故选：A．
7．一副三角尺按如图所示位置放置，为公共边，量角器中心与点重合，为刻度线．如果三角尺一边与刻度线重合，那么边与下列刻度线重合的是（ ）
A．刻度线 B．刻度线 C．刻度线 D．刻度线
【答案】A
【知识点】求一个角的余角、三角板中角度计算问题
【分析】由三角尺的特征可知，，由此即可计算出．
【详解】解：∵，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角尺中有关角的计算和角的度量，解题关键是利用余角的性质求出．
8．若，一对同旁内角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据“两直线平行，同旁内角互补”得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
故选D．
9．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（ ）
A．114° B．142° C．147° D．156°
【答案】C
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算
【分析】根据平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理计算即可；
【详解】∵CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，
∴，
∵a∥b，
∴，
又∵BC平分∠ABD，
∴，
∴；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
10．如图，，平分且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题
【分析】根据平分且，得到，再由即可得到的度数．
【详解】解： 平分且，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查求角度问题，涉及角平分线定义，根据图形，准确得到相关角度的和差倍分关系是解决问题的关键．
11．如图，直线a∥b被直线c所截，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【知识点】两直线平行内错角相等、利用邻补角互补求角度
【分析】根据平行线性质知∠3＝∠1＝50°，再根据平角的性质可求∠2．
【详解】解：如图
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝130°．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
12．如图所示，a∥b，∠1=158°，∠2=42°，∠4=50°．那么∠3=（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【详解】试题分析：作BC∥ａ，BE∥b，再由a∥b可知a∥b∥BC∥DE，再根据平行纯线的性质可得出结论．
试题解析：作BC∥ａ，BE∥b，
∵a∥b，
∴a∥b∥BC∥DE，
∵∠1=158°，∠2=42°，∠4=50°
∴∠ABC=180°-158°=22°
∴∠CBD=∠BDE=42°-22°=20°，∠EDF=∠4=50°
∴∠3=∠BDE+∠EDF=20°+50°=70°．
故选C．
考点：平行线的性质．
13．如图，已知直线a、b被直线c所截．若a∥b，∠1=120°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．60° C．120° D．130°
【答案】B
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【详解】解：如图，∠3=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=60°．
故选B．
14．如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质、两直线平行内错角相等、对顶角相等
【分析】利用平行线的性质求得，利用对顶角性质求，再利用三角形外角定理即可解决问题．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质、对顶角性质和三角形的外角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质找到角与角之间的关系．
15．如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等
【分析】根据对顶角相等和平角的定义即可求解．
【详解】 ，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相交线的相关性质，对顶角相等，平角的定义，熟练掌握相关性质是解本题的关键．
二、填空题
16．如图①，点是直线外一点．如图②，在直线上取一点，作直线．以点为圆心，以任意长为半径画圆弧分别交和直线于点．再以点为圆心，以长为半径画圆弧交于点，以点为圆心，以长为半径画圆弧交与点，过点作直线，则的理论依据是 ．
【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】尺规作一个角等于已知角、内错角相等两直线平行
【分析】由作图可知：∠PQB=∠QPE，再根据内错角相等，两直线平行即可判断．
【详解】解：由作图可知：∠PQB=∠QPE，
∴m∥n（内错角相等，两直线平行），
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
17．如图，是一块直角三角板，，，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点落在直尺的一边上，与直尺的另一边交于点，与直尺的两边分别交于点，．若是三角形的角平分线，则的度数为 ．
【答案】/105度
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质和三角形内角和定理，先根据角平分线的定义得，再依据，可得，最后由三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵是三角形的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
18．如图，直线l与直线，相交，且，，则的度数是 度．
【答案】70
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、两直线平行同位角相等
【分析】本题考查了平行线性质∶两直线平行，同位角相等；，熟练掌握平行线的性质是解体的关键；
根据两直线平行，同位角相等，得和的对顶角相等，据此解答．
【详解】如图，
，
，
故答案为：．
19．将一个装有水的圆柱体杯子斜放在水平桌面上，当倾斜角时，其主视图如图所示．若该水杯的杯口宽度，则水面宽度 参考数据：，，
【答案】
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质求线段长、两直线平行内错角相等
【分析】过作于，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解： 如图所示，
过作于，则四边形是矩形，
，，
桌面，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，求出是解题的关键．
20．如图，，则 度．
【答案】
【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补
【分析】根据，得出，根据，即可得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
21．将一把直尺和一块含角的直角三角板按如图所示的位置摆放．若，则的大小为 度．
【答案】10
【知识点】三角形的外角的定义及性质、两直线平行同位角相等
【分析】先由DE∥AF得∠CFA的度数，再根据三角形外角的性质求出∠BAF的度数即可．
【详解】解：由题意知DE∥AF，
∴∠CDE=∠CFA=40°，
∵∠B=30°，
∴∠BAF=∠CFA－∠B=40°－30°=10°，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等及三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和．
22．若，则的余角是 _____度．
【答案】
【知识点】求一个角的余角
【分析】利用余角的定义进行求解即可．
【详解】解：，
的余角为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查余角，解答的关键是明确互为余角的两角之和为．
23．将按如图所翻折，为折痕，若，则 ．
【答案】/100度
【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用、折叠问题
【分析】本题考查图形的折叠和三角形的内角和定理的应用，根据折叠的性质得出，，然后根据三角形的内角和定理和对顶角相等即可得出结论．解题的关键是明确题意，列出相等关系的式子．
【详解】解：设交于点，交于点，
由折叠得：，，
∵，且，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
24．如图，已知菱形的面积等于24，，则
（1） ；
（2）点，，，分别是此菱形的，，，边上的点，且，则 ．
【答案】 6 6
【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查菱形的性质，涉及菱形面积公式、菱形性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是根据菱形的面积公式得出解答．
（1）根据菱形的面积公式列方程求解得出即可；
（2）根据菱形的面积得出，由平行线的判定与性质结合相似三角形的判定和性质得出比例解答．
【详解】解：（1）菱形的面积等于24，，
；
（2）四边形是菱形，
，，
菱形的面积等于24，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理，由可得，
，
，即，
，
故答案为：（1）6；（2）6．
25．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．，，则的度数是 ．
【答案】/65度
【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质，先根据补角的定义求出，，再根据两直线平行、内错角相等，推出，，即可求解．
【详解】解： ，，
，，
由题意知：，
，，
，
故答案为：．
三、解答题
26．如图，E，F 在线段上，，．若，
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了平行线的判定和性质以及全等三角形的判定及性质．
（1）根据两直线平行内错角相等即可得出，进而得，再利用判断出，得出；
（2）由，求得，再推出，即可推出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
27．如图，在中，点D是边上一点．请利用尺规作图法在边上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【知识点】用直尺、三角板画平行线、尺规作一个角等于已知角
【分析】本题主要考查尺规作图、平行线的判定定理．用尺规以点D为顶点作，与交于点E即可．
【详解】解：如图，点即为所求．
．
28．如图，OB平分平分．
（1）若，求的度数；
（2）若（度），（度），求的度数．
【答案】(1)35°;(2) (度)
【知识点】角平分线的有关计算
【分析】(1)根据角平分线的性质即可解出．
(2)根据角平分线的性质分别求出∠BOC和∠COD,即可求出∠BOD．
【详解】(1)∵∠AOC=70°,OB平分∠AOC,
∴．
(2)∵∠AOC=x(度),OB平分∠AOC,
∴(度),
∵∠COE=y(度),OD平分∠COE,
∴(度),
∴(度)．
【点睛】本题考查角平分线的计算,关键在于熟记角平分线的性质．
29．追本溯源题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
(1)如图①，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由．
(2)如图②，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．
① 图②中一定是等腰三角形的有__________．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
② 已知，求的长．
【答案】(1)的形状是等腰三角形，理由见解析
(2)① B；②
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解
【详解】（1）的形状是等腰三角形．
理由：平分，
．
，
，
是等腰三角形．
（2）①B．
②由（1）可知，．
．
，
．
．
，
．
．
30．如图，在四边形中，直线分别与交于点E，F，与交于点O，，，平分．
(1)尺规作图：作的角平分线交于点N；（只保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：．
证明：∵，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴ ，
∴．
小西进一步研究发现，两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线均有此特征，请依照题意完成下面命题：
两条平行线被第三条直线所截， ．
【答案】(1)见解析
(2)；；；所得的一组内错角的角平分线相互平行
【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了尺规作图－角平分线，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）按照尺规作图的方法作出的角平分线即可；
（2）证明，推出，再证明，得到，再根据角平分线的定义求得，利用“内错角相等，两直线平行”证明即可．
【详解】（1）解：射线如图所作，
；
（2）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
研究发现，两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线相互平行．
故答案为：；；；所得的一组内错角的角平分线相互平行．
31．如图，点在的延长线上，连接，作的角平分线分别交线段，于点，点，已知，．
(1)试说明；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算
【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据平行线的性质可得；
（2）根据平行线的性质可得，根据平行线的性质得出，，根据（1）的结论得出，，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵
∴，
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
32．如图，于点，是上一点，交于点，与互余．
(1)试说明：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【知识点】与余角、补角有关的计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．
（1）根据同角的余角相等即可证明；
（2）由，推出，由，，推出，即可解决问题．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
，，
，
．
33．如图，在菱形中，，为对角线，点是边延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点．
(1)求证；
(2)若，．
求菱形的面积；
求的值．
(3)若，当的大小发生变化时，在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值．
【答案】(1)见解析
(2)①96；②
(3)理由见解析，
【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质证明、角平分线的有关计算
【分析】根据菱形的性质和平分，可得；
连接交于点，交于点，根据勾股定理求出，用求解即可；先由证明，则，所以，再由得，则，即可由，得，可求得，求出的值即可；过点作，交于点，由可知，当的大小发生变化时，始终都有，由得，所以，同理可得，再证明，再求出的值即可．
【详解】（1）证明： 四边形是菱形，
∴，
∵平分，
∴，
．
（2）解：如图，连接交于点，交于点，
，
，
，，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
②∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点作，交于点，则为定值，连接交于点，交于点，
∵，
当的大小发生变化时，始终都有，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为定值；
∵，
．
【点睛】本题考查菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC上一点，DF∥AB交AC于点F，BD=DF=AF，DE⊥AB于点E.
求证：（1）AD平分∠BAC；
（2）CF=BE.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、根据等边对等角证明、角平分线的性质定理、两直线平行内错角相等
【分析】（1）先根据等边对等角，可知，再根据平行线的性质得，从而可得，即得证；
（2）由题（1）的结论可得，在和中，分别利用勾股定理即可得.
【详解】（1）在中，
（等边对等角）
（两直线平行，内错角相等）
平分；
（2）
由题（1）的结论，根据角平分线的性质得：
在中，由勾股定理得：
在中，由勾股定理得：
即.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义与性质、勾股定理，熟记各性质与定理是解题关键.
35．已知，，点、点分别在线段上．
(1)如图1，点在直线之间，求证．
(2)如图2，分别过点和点作直线，使，以点为顶点作直角，并且的两边分别与直线交于点和点，则____________．（直接写出角度和）
(3)如图3，在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】（1）过点作，根据平行线的传递性，得到，再根据平行线的性质，即可得出结论；
（2）连接，平行线的性质，得到，三角形的内角和得到，进而得到；
（3）设，角平分线的定义，求出，进而求出，再根据角平分线求出，平行线的性质，求出，进而求出，过点作，
得到，再根据，求解即可．
【详解】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）设，
平分，
，
，
由（1）得，，
∴，
，
，
平分
．
，
，
过点作，交于点，
答：的度数是
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，过拐点构造平行线，是解题的关键．本题有一定的难度，属于压轴题．
【能力提升】
36．已知，，点为射线上一点．
（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，求∠AED的度数；
（2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明理由；
（3）如图3，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数．
【答案】（1）70°；（2）∠EAF=∠AED+∠EDG，理由见解析；（3）142°
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】（1）延长DE交AB于点H，根据∠AED是△AEH的外角求解
（2）根据AB∥CD，可得∠EAF=∠EHC，再根据∠EHC是△DEH的外角可得∠EHG=∠AED+∠EDG，即∠EAF=∠AED+∠EDG．
（3）设∠EAI=x，则∠BAE=3x，通过三角形内角和得到∠EDK=x-2°，由角平分线定义及AB∥CD得到3x=22°+2x-4°，求出x的值再通过三角形内角和求∠EKD．
【详解】解：（1）延长DE交AB于H，
∵AB∥CD，
∴∠D=∠AHE=40°，
∵∠AED是△AEH的外角，
∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°．
（2）∠EAF=∠AED+∠EDG．
∵AB∥CD，
∴∠EAF=∠EHC，
∵∠EHC是△DEH的外角，
∴∠EHC=∠AED+∠EDG，
∴∠EAF=∠AED+∠EDG．
（3）∵∠EAI：∠BAI=1：2，
设∠EAI=x，则∠BAE=3x，
∵∠AED-∠I=22°-20°=2°，∠DKE=∠AKI，
又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，
∴∠EDK=∠EAI-2°=x-2°，
∵DI平分∠EDC，
∴∠CDE=2∠EDK=2x-4°，
∵AB∥CD，
∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，
即3x=22°+2x-4°，解得x=18°，
∴∠EDK=18°-2°=16°，
∴∠EKD=180°-16°-22°=142°．
【点睛】本题考查三角形内角和，外角性质及平行线的性质的综合应用，解题关键是熟练掌握熟练掌握三角形的内角和及外角等于不相邻的两个内角和等知识点．
37．如图，△ABC中，AD是高，BE平分∠ABC．
（1）若∠EBC＝32°，∠1∶∠2＝1∶2，EF∥AD，求∠FEC的度数．
（2）若∠2＝50°，点F为射线CB上的一个动点，当△EFC为钝角三角形时，直接写出∠FEC的取值范围．
【答案】（1）∠FEC＝52°；（2）①或；
【知识点】三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余、两直线平行同位角相等、角平分线的有关计算
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出的度数，然后利用直角三角形两锐角互余求出 的度数，进而可求出的度数，最后利用两直线平行，同位角相等即可求出的度数；
（2）利用直角三角形两锐角互余求出的度数，然后分两种情况进行讨论：①若是钝角，②若是钝角．
【详解】（1）∵BE平分∠ABC，∠EBC＝32°，
．
∵AD是高，
∴ ，
，
．
∵∠1∶∠2＝1∶2，
．
，
；
（2），
．
①若是钝角，
，
；
②若是钝角，
，
；
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，题目综合性较强，也有一定的难度，第（2）问分情况讨论是关键．
38．如图，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．
(1)如图2，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，请直接写出 ， （结果用含的代数式表示）；
(2)在（1）的条件下，若恰好是的倍，求的值．
(3)如图1三角板的放置，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线、均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)12或48．
【知识点】根据旋转的性质求解、根据平行线的性质求角的度数、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据平行线的性质得到，，再求出，最后根据邻补角互补求出对应角的度数即可；
（2）根据恰好是的倍列方程，计算可求解；
（3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案．
【详解】（1），，
，，
，，
，
故答案为：，；
（2）恰好是的倍，
，
解得，
的值是；
（3）存在，理由如下：
如图：则，，
，
，
，
解得；
如图：
，
，
，
解得，
综上所述，的值为12或48．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角板中交点的特点，掌握平行线的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
39．已知点，分别在和上，且．
(1)如图，若，，则的度数为_____；
(2)如图，平分，延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数．
(3)点为平面内直线与中间一点，平分，平分，作，在图3中画出图形，则与之间的关系是否改变，若不变，请求值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不变；
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算
【分析】（1）过点作，则，利用平行线的性质，进行求解即可；
（2）延长交于点，设交于点，设，利用平行线的性质，外角的性质推出，，求出，即可得出结果；
（3）分点在点左侧和右侧两种情况分别画出图形，进行求解即可．
【详解】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）延长交于点，设交于点，
∵平分，平分，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）①当点在点左侧时：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点在点右侧时：如图，过点作，
设：，，
同法可得：，
，
∴，
∴；
综上：与之间的关系不发生改变．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，三角形的外角等知识点，解题的关键是过拐点构造平行线，利用数形结合和分类讨论的思想求解．
40．已知，，点在直线上，为上一点，为上一点．
(1)如图，当点在线段上运动时，连接，求的值；
(2)如图，当点在的延长线上运动时，连接，求的值；
(3)如图，当点在的延长线上运动时，连接，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用
【分析】（）过点作，得到，利用平行线的性质即可求解；
（）过点作，得到，利用平行线的性质即可求解；
（）过点作，得到，利用平行线的性质即可求解；
本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，根据图形，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，过点作，
∵，
∴，
∴， ，
∴；
（2）解：如图所示，过点作，
∵，
∴，
∴， ，
∴；
（3）解：如图所示，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
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专题02 图形的初步（2）（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线，D为直线l上一点，，为的角平分线，交直线l于点E，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．一个角的补角比这个角的6倍还大，则这个角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线与相交于点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．若，则
C．同位角相等 D．若，则
7．一副三角尺按如图所示位置放置，为公共边，量角器中心与点重合，为刻度线．如果三角尺一边与刻度线重合，那么边与下列刻度线重合的是（ ）
A．刻度线 B．刻度线 C．刻度线 D．刻度线
8．若，一对同旁内角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（ ）
A．114° B．142° C．147° D．156°
10．如图，，平分且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直线a∥b被直线c所截，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
12．如图所示，a∥b，∠1=158°，∠2=42°，∠4=50°．那么∠3=（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
13．如图，已知直线a、b被直线c所截．若a∥b，∠1=120°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．60° C．120° D．130°
14．如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图①，点是直线外一点．如图②，在直线上取一点，作直线．以点为圆心，以任意长为半径画圆弧分别交和直线于点．再以点为圆心，以长为半径画圆弧交于点，以点为圆心，以长为半径画圆弧交与点，过点作直线，则的理论依据是 ．
17．如图，是一块直角三角板，，，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点落在直尺的一边上，与直尺的另一边交于点，与直尺的两边分别交于点，．若是三角形的角平分线，则的度数为 ．
18．如图，直线l与直线，相交，且，，则的度数是 度．
19．将一个装有水的圆柱体杯子斜放在水平桌面上，当倾斜角时，其主视图如图所示．若该水杯的杯口宽度，则水面宽度 参考数据：，，
20．如图，，则 度．
21．将一把直尺和一块含角的直角三角板按如图所示的位置摆放．若，则的大小为 度．
22．若，则的余角是 _____度．
23．将按如图所翻折，为折痕，若，则 ．
24．如图，已知菱形的面积等于24，，则
（1） ；
（2）点，，，分别是此菱形的，，，边上的点，且，则 ．
25．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．，，则的度数是 ．
三、解答题
26．如图，E，F 在线段上，，．若，
求证：
(1)；
(2)．
27．如图，在中，点D是边上一点．请利用尺规作图法在边上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
28．如图，OB平分平分．
（1）若，求的度数；
（2）若（度），（度），求的度数．
29．追本溯源题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
(1)如图①，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由．
(2)如图②，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．
① 图②中一定是等腰三角形的有__________．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
② 已知，求的长．
30．如图，在四边形中，直线分别与交于点E，F，与交于点O，，，平分．
(1)尺规作图：作的角平分线交于点N；（只保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：．
证明：∵，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴ ，
∴．
小西进一步研究发现，两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线均有此特征，请依照题意完成下面命题：
两条平行线被第三条直线所截， ．
31．如图，点在的延长线上，连接，作的角平分线分别交线段，于点，点，已知，．
(1)试说明；
(2)若，，求的度数．
32．如图，于点，是上一点，交于点，与互余．
(1)试说明：；
(2)若，求的长．
33．如图，在菱形中，，为对角线，点是边延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点．
(1)求证；
(2)若，．
求菱形的面积；
求的值．
(3)若，当的大小发生变化时，在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值．
34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC上一点，DF∥AB交AC于点F，BD=DF=AF，DE⊥AB于点E.
求证：（1）AD平分∠BAC；
（2）CF=BE.
35．已知，，点、点分别在线段上．
(1)如图1，点在直线之间，求证．
(2)如图2，分别过点和点作直线，使，以点为顶点作直角，并且的两边分别与直线交于点和点，则____________．（直接写出角度和）
(3)如图3，在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数．
【能力提升】
36．已知，，点为射线上一点．
（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，求∠AED的度数；
（2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明理由；
（3）如图3，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数．
37．如图，△ABC中，AD是高，BE平分∠ABC．
（1）若∠EBC＝32°，∠1∶∠2＝1∶2，EF∥AD，求∠FEC的度数．
（2）若∠2＝50°，点F为射线CB上的一个动点，当△EFC为钝角三角形时，直接写出∠FEC的取值范围．
38．如图，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．
(1)如图2，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，请直接写出 ， （结果用含的代数式表示）；
(2)在（1）的条件下，若恰好是的倍，求的值．
(3)如图1三角板的放置，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线、均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
39．已知点，分别在和上，且．
(1)如图，若，，则的度数为_____；
(2)如图，平分，延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数．
(3)点为平面内直线与中间一点，平分，平分，作，在图3中画出图形，则与之间的关系是否改变，若不变，请求值；若改变，请说明理由．
40．已知，，点在直线上，为上一点，为上一点．
(1)如图，当点在线段上运动时，连接，求的值；
(2)如图，当点在的延长线上运动时，连接，求的值；
(3)如图，当点在的延长线上运动时，连接，求的值．
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